DÃY số

Nhằm cung cấp thêm tư liệu cho Giáo viên và giúp các bạn, các em học sinh THPT có điều kiện hệ thống lại kiến thức đã học, ôn tập kiểm tra chương "Dãy số", tôi biên soạn tài liệu "Dãy số

LỜI NÓI ĐẦU

Các Thầy Cô và các bạn độc giả thân mến!

Nhằm cung cấp thêm tư liệu cho Giáo viên và giúp các bạn, các em học sinh THPT có điều kiện hệ thống lại kiến thức đã học, ôn tập kiểm tra chương "Dãy số", tôi biên soạn tài liệu "Dãy số" với mục đích giúp nâng cao và vững chắc phần nào kiến thức về dãy số

Dãy số, tuy là một chương "khó nhằn", là "nỗi ám ảnh" của biết bao học sinh, thường thấy trong các kì thi tuyển chọn HSG, ít khi có trong các kì thi phổ thông Tuy nhiên, gần đây, theo hướng trắc nghiệm hóa, các bài toán dãy số dễ dàng đi vào trong các bài thi THPT, đặc biệt là kì thi THPTQG của Bộ GD ĐT Trong tài liệu này tôi đã hệ thống lại tương đối đầy đủ lí thuyết của chương dãy số, các dạng bài tập điển hình, các cách tư duy mới mẻ có chọn lọc và logic cùng các bài luyện tập nhằm cũng cố kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài thi

Cảm ơn những nguồn tài liệu hay về dãy số: Toanmath, toanhoc247, cô

Phạm Thị Thu Huyền đã góp phần làm cho tài liệu trở nên hoàn chỉnh hơn

Trong quá trình biên soạn, tôi đã có nhiều cố gắng Rất mong nhận được những đóng góp quí báu và chân thành từ quí Thầy Cô và các bạn độc giả để tài liệu trở nên hoàn chỉnh hơn

Mọi liên hệ xin gửi qua : Nhannguyen.6760@gmail.com

Hoặc số điện thoại : 0585249685

Tôi xin chân thành cảm ơn

Nguyễn Thành Nhân

- Cách 1: Cho bằng phép khai triển (rất hiếm gặp)

Dãy số xác định với mọi n N*

{

- Cách 2: Cho dãy số bằng công thức tổng quát:

Dãy số xác định với mọi n N*thỏa mãn xn= 3nn+1

- Cách 3: Cho dãy số bằng phương pháp mô tả:

Cho dãy (un) gồm các số nguyên tố

- Cách 4: Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un+1 = 7un-2, n 1

Hay : Cho dãy số (bn) xác định bởi {

“Với cách này, ta có thể xác định ngay được những mối liên hệ giữa các số hạng hoặc nhóm các số hạng của dãy số thông qua hệ thức truy hồi Tuy nhiên, để tính được các số hạng bất kì của dãy số ta cần phải tính và biết được các số hạng liền trước nó hoặc thông qua việc lập công thức tổng quát của dãy”

2 Tính tăng giảm

 Phương pháp chứng minh dãy số tăng, giảm

Một hàm số u xác định trên tập N* được gọi là một dãy số vô hạn, gọi tắt là dãy số

- Dãy un được gọi là dãy số tăng nếu n N* ta có un+1 > un

- Dãy un được gọi là dãy số giảm nếu n N* ta có un+1 < un

- Dãy un được gọi là dãy số hằng nếu n N* ta có un+1 = un

TIPS:

I

Cách 1: Lập hiệu T=un+1 - un rồi so sánh với 0;

**Nếu T>0, n N* => dãy tăng;

** Nếu T<0, n N* => dãy giảm;

 Cách 2: Lập thương T= un+1

un rồi so sánh với 1;

**Nếu T>1, n N* => dãy tăng;

**Nếu T<1, n N* => dãy giảm;

5n =5n+10n+3

Vd1: Chứng minh rằng, dãy (u n ) với u n =n 2 -2n+3 là một dãy số tăng

Vd2: Chứng minh rằng: Dãy số (y n ) với y n = n+2 5 n là một dãy số giảm

Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho Un ≤ M, n N*

Dãy số (un) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho Un m, n N*

Dãy số (un) được gọi là bị chặn nếu tồn tại một số M, m sao cho m ≤ Un ≤ M, n N* , tức dãy vừa bị

chặn trên và bị chặn dưới;

Vd1: Dãy (an) với an=2017s - π4 là một dãy số bị chặn, vì -2017≤an≤2017, n N*

Hay một câu toán hay khác, ta xét các hướng khai thác từ VD3 đến VD5 (Ngọc Huyền LB, có chỉnh sửa)

Ta có: a1=1, a2= √ , a3= √ ,… => dự đoán số hạng tổng quát của dãy là an=√ , n N *

Vd1 Cho dãy số (a n ) xác định bởi a 1 =1, a n = - 3 2 a n2 + 5 2 a n +1, n N* Số hạng thứ 2018 của dãy số (a n ) có giá trị bằng bao nhiêu? (Ngọc Huyền LB)

Vd2: Dãy (bn) với bn= (3n-1).7n+1, bị chặn dưới vì bn 49, n N*

Vd2 Cho dãy số (a n ) xác định bởi a 1 =1, a n = - 2 a 3 n2 + 5 2 a n +1, n N * Tổng bình phương của 2018 số hạng đầu tiên của dãy số (a n ) (Ngọc Huyền LB)

Vd3 Cho dãy số (a n ) xác định bởi a 1 =1 và a n+1 = √ 𝟏 a n2 ), n N * Tìm số hạng tổng quát của dãy số (a n )

TIPS:

I

“Vậy số hạng tổng quát của dãy số là: a n = √n, n N * ”

Dựa vào kết quả của Vd3, ta có: an= √n

Vd6 Cho dãy số : (a n ) có tổng của n số hạng đầu tiên bằng S n = n 3 Chứng minh rằng: (a n ) là dãy tăng và a n =3n 2 -3n+1

Vd8 Cho dãy số un= 1.2 + 1 2.3 + 1 3.4 +…+ 1 n.(n+1) Tìm lim u 1 n

Vd9 (Đề thi HSG tỉnh Quảng Bình) Cho u1=2008 và un+1 = 2008 (2007.u 1 n+ u 2008

n 2007 ) (n 𝟏 Tìm giới hạn của dãy số

21 (Nhận thấy có 1 dấu căn thì số mũ của 2 là 1)

Và √ √ = √ s = 2cosx4 =2cos2x2 (Nhận thấy có 2 dấu căn thì số mũ của 2 là 2)

Lập luận tương tự ta có, Tn=2cosx

2n

Khi n->+ => 2n-> + nên 2xn -> 0 nên cos2xn ->1 =>Tn->2 vậy limTn=2

Ta xét thêm một số bài tập trắc nghiệm về dãy số

= n+1n

Chọn B

( Ta có thể nhìn như sau:

0=

Vd10 Chứng minh rằng: Tn = 𝟐 √𝟐 √𝟐 𝟐 √𝟐 √𝟐 𝟐𝒄𝒐𝒔𝒙 (n dấu căn) có limTn=2

Vd1 Cho dãy số có các số hạng đầu là: 0; 𝟏

Số hạng tổng quát ta có thể đơn giản hóa thành: un= 2n-2

Dãy trên là một Cấp số nhân với u1= có công bội là q= 2

Chọn C

Vd2 Cho dãy các số hạng đầu: 0,2; 0,02; 0,002; 0,0002……Số hạng tổng quát của dãy số trên là:

A un = 0.000…02 (n số 0 ở phần thập phân) C un = 0,000… 02 (n-1 số 0 ở phần thập phân)

B un 2.10n+1 D un = 2 10-n+2

Vd3 Cho dãy số (un) xác định bởi số hạng tổng quát un= 2n-2 .(-1)2n

A Dãy số là một dãy xen dấu C Dãy số trên là một cấp số nhân

B Dãy số trên là một cấp số cộng D Dãy trên là một dãy số không đổi

Chọn A

Vd4 Cho dãy số (un) xác định bởi: un = 𝟏𝒏

A Dãy số trên là một dãy số tăng C Dãy số trên là một dãy số giảm

B Dãy số trên là một dãy số không đổi D dãy số trên là một dãy đan dấu

Vd7 Xét tính bị chặn của dãy số sau: un= (-1)n

A Dãy số trên bị chặn C Dãy số trên bị chặn dưới

B Dãy số trên bị chặn trên D Dãy số trên không bị chặn

TIPS:

I

"Nhiều đọc giả hiểu nhầm rằng: khi một dãy số không tăng ngặt, hoặc giảm ngặt (luôn tăng, luôn giảm) thì dãy không bị chặn Thế nhưng, đây là một trường hợp đặc biệt, dãy số bị cô lập lại bởi hai giá trị -1 và

1 tạo thành một khoảng biến thiên và tất nhiên chỉ biến thiên trong khoảng đó Vì vậy: dãy số bị chặn "

Ta có: un = 2021 - n + = 2020 + (1 - n + ) = 2020 + ( - 1)2

2020 Dấu "=" xảy ra khi: n= 2

Vậy dãy số trên bị chặn dưới bởi số 2020

Vd8 Xét tính bị chặn của dãy số sau: un = 2021 - x + 𝒙𝟒𝟐

A Dãy số bị chặn trên bởi số 2020 C Dãy số không bị chặn

B Dãy số bị chặn dưới bởi số 2020 D Dãy số bị chặn dưới bởi -2020 và bị chặn trên bởi 2020

Vd9 Cho dãy số (un) xác định bởi u1=1, un+1= un+ (𝟏𝟐)n, n N * Số hạng u n của dãy được biểu diễn dưới dạng

u n = a.2 c.2 n -b n thì tổng a+b+c là:

Vd10 Cho dãy số (un) xác định bởi u1= 11, un+1= 10un+1-9n, n N * Số hạng u n được biễu diễn dưới dạng

u n = 𝒂𝒏+b.n+c Giá trị biểu thức a.b-c là:

Với n=1, ta có u1=11=101+1 (đúng)

Giả sử đúng với n=k, ta có uk= 10k+k

Ta cần chứng minh rằng: uk+1=10k+1+k+1

Ta có uk+1= 10uk+1-9k= 10.(10k+k)+1-9k=10k+1+k+1 (đpcm)

Vậy công thức tổng quát của dãy (un) là un=10n+n

Lập luận tương tự ta chọn A

Tiếp theo, tôi xin giới thiệu với quý bạn đọc một phương pháp mới đó chính là chọn hàm trong dãy số, một phương pháp rất hay có thể giúp ta giải quyết được một số bài toán không thể quy về dạng thông thường như tôi đã trình bài ở ví dụ 9

Vì thế ta có ý tưởng đặt: un= an3+bn2+cn+d (1)

Ta có: u1=1 (2)

u2 = -4 (3)

u3= -19 (4)

u4= -50 (5)

Từ (1)(2)(3)(4)(5)  {

4 4

4 4

{

Suy ra .un= -n3+n2-n+2 Chọn C "Ta có thể dùng casio thử từng đáp án:" Ta có: u1=1

Vd11 Cho dãy số (un) được cho bằng hệ tức truy hồi như sau: un+1= un -3n2-n-1, u1=1

Tìm công thức tổng quát của dãy un

A un= -2n3+n2+n+2 C un= -n3+n2-n+2

B un= -n3+n2+n+2 D un= -n3+n2+n-2

TIPS:

I

14 | P a g e

u2 = -4

u3= -19

u4= -50

Câu C: với n=1 => u1=1

Với n=2 => u2 = -4

Với n=3 => u3= -19

… Chọn C "Ở ví dụ trước, ta dễ dàng nhận diện được "loại" hàm bị ẩn đi, nhưng với ví dụ này, ta có hai loại hàm, vì thế, ta ưu tiên đặt hàm có bậc cao nhất" Ta đặt: un= an3+bn2+cn+d (1) Ta có: u1= -1 (2)

u2=-1 (3)

u3=1 (4)

u4=5 (5)

Từ (1)(2)(3)(4)(5)  {

4

4 4

{

Vậy: un=n2-3n+1 Chọn C Vd12 Cho dãy số (un) được cho bằng hệ tức truy hồi như sau: 3un+1- un =2n2-4, u1=-1

Tìm công thức tổng quát của dãy un

B un= -2n3+n2+1 D un= n2+n-2

TIPS:

I

Vd13 Cho dãy có 4 số hạng đầu tiên là: -1; 3; 19; 53 Tính u10

A u10= 971 C u10= 197

B u10=187 D u10= 781

"Đây là một bài toán hay đòi hỏi một suy luận logic của người làm, khi ta không hề biết dạng hàm đã bị ẩn

đi, nhưng dựa vào dữ kiện đề bài: cho 4 số hạng, thì ta có thể suy nghĩ đến hệ phương trình 4 ẩn số => hàm số bậc 3."

Ta đặt: un= an3+bn2+cn+d (1)

Ta có: u1= -1 (2)

u2=3 (3)

u3=19 (4)

u4=53 (5)

Từ (1)(2)(3)(4)(5)  {

4

4 4

{

Suy ra: un=n3-3n+1

Vậy: u10= 971

Chọn A

*** Mạn phép xin trình bày một phương pháp rất hay của cô: Phạm Thị Thu Huyền về cơ sở chọn hàm

Ta xét lại ví dụ 13

Ta kẻ bảng:

u k

2

u k

3

Nhận thấy đến hàng u k

3 thì độ chênh lệch giữa các số bằng một hằng ( số 6 ) Suy ra: hàm ẩn cần tìm có dạng là phương trình bậc 3…

Ta đặt: un= an3+bn2+cn+d (1)

TIPS:

I

Vd13* Cho dãy có 4 số hạng đầu tiên là: -1; 3; 19; 53,111,199,323,489

Tính u10

A u10= 971 C u10= 197

B u10=187 D u10= 781

16 | P a g e

Ta có: u1= -1 (2)

u2=3 (3)

u3=19 (4)

u4=53 (5)

Từ (1)(2)(3)(4)(5)  {

4

4 4

{

Suy ra: un=n3-3n+1 Vậy: u10= 971 ***Đánh giá: "Phương pháp này rất hay để có thể tìm dạng hàm một cách rất logic, cách trình bài rất đẹp, dễ hiểu ,tuy nhiên, ta cũng nhận thấy mặt yếu của nó là ta cần phải biết một dữ liệu khá lớn ( ít nhất 3 số hạng đầu ta mới có thể xét được hàm bậc 2, 5 số hạng đầu cho hàm bậc 3,…." Đây cũng là một hướng khai thác rất đẹp, ta có thể áp dụng trong các bài tiếp tương tự Ta có: un+1 un - un+1 n2+n = 1  un+1 un = un+1+n 2 +n n2+n un+1(n2+n) = un.un+1+un(n2+n) ( un+1 - un)(n2+n) = un.un+1 un+1 - un un.un+1 = 1 n(n+1)  1 un - 1 un+1 =

∑

= ∑



=



=

 - 1

u 2020 = => u 2020 = -

Vd14 Cho u un+1 n - n u2 n+1 +n = 1, u1 = 2020 Tính ∑𝟐𝟎𝟏𝟗𝟏 )

A -

C -

B - 8 D

Vậy dãy số trên là dãy cấp số nhân có công bội là 2

Vd15 an = 𝟐 √𝟐 √𝟐 𝟐 √𝟐 √𝟐 (n dấu căn) Lim an có giá trị là:

Vd16 Cho dãy số xác định bởi: un+2 + 6un = 5un+1 và u2 = 2u1 = 2 Dãy số trên là dãy:

A Cấp số cộng có công sai là 2 C Cấp số nhân có công bội là 2

B Dãy các số nguyên tố D Có công thức tổng quát là: un=2n

2020 >1, nên dãy tăng

Lim un+1 =+ nên lim u1

+ u3

2020

u4

Vd18 Cho dãy số (un) : un= (1-a)n + (1+a)n, trong đó a (0;1), và n là số nguyên dương CTTQ của dãy:

A un+1 = un +a.[(1+a)n+(1-a)n] C un+1 = un + 2a.[(1+a)n-(1-a)n]

B un+1 = 2un +a.[(1+a)n- (1-a)n] D un+1 = un + a.[(1+a)n- (1-a)n]

Ta có: un= (1-a)n + (1+a)n,

Suy ra: un+1= (1-a)n+1+(1+a)n+1

=> un+1-un=[ (1-a).(1-a)n + (1+a).(1+a)n ]-[ (1-a)n + (1+a)n]

 un+1-un= -a.(1-a)n+a.(1+a)n = a.[(1+a)n-(1-a)n]

Vậy: un+1 = un + a.[(1+a)n- (1-a)n]

20 | P a g e

Chọn C

" Đối với một số dạng toán tính tổng hữu hạn như thế này, ta nên biến đổi biểu thức tổng quát (thường được đặt ở sau cùng) trước Từ đó, ta dễ dàng cô đọng hóa bài toán, và dễ nhìn ra được quy luật Nhưng đối với hình thức thi trắc nghiệm Tôi có một nhận xét như sau đễ đơn giản hóa cách chứng minh:

Sn= 1+2+3+4+5+….+n= (Công thức tính tổng các số tự nhiên liên tiếp, bắt đầu từ 1)

Sn= 1+3+5+7+….+(2n-1) = n2 (Công thức tính tổng các số tự nhiên lẻ liên tiếp, bắt đầu từ 1)

Sn= 12+22+32+…+n2= (Công thức tính tổng các số chính phương liên tiếp, bắt đầu từ 1)

Sn= 13+23+33+…+n3= (Công thức tính tổng lập phương các số tự nhiên liên tiếp, bắt đầu từ 1)

"Để hiểu sâu một cách thấu đáo, tôi xin bổ sung thêm vài dạng bài tập tự luyện cho quý bạn đọc nâng cao kĩ năng và sáng tạo."

Câu 1 Cho dãy số được xác định bởi: un= 2n+3, dãy số đã cho có quy luật nào:

A Dãy số trên là cấp số nhân có công bội q=2 C Dãy số trên là cấp số nhân có công bội q=3

B Dãy số trên là cấp số cộng có công sai d=3 D Dãy số trên là cấp số cộng có công sai d=2

Câu 2 Cho dãy số được xác định bởi: un= n2+2 Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy

(Hướng dẫn: ta dùng chức năng ∑ của máy casio để tính nhanh)

Câu 3 Cho dãy số được xác định bởi: un=( +n)n- ,n là số nguyên dương Tìm giới hạn dưới của dãy

số trên

(Hướng dẫn: dùng bất đẳng thức cauchy để đánh giá +n)

Câu 4 Biết (un) là một cấp số cộng có số hạng đầu là 2020, công sai là 2021 Viết công thức tổng quát của dãy

22 | P a g e

Cách 2: dùng hệ quả của cấp số nhân"

Câu 7 Xét dãy: un+1=un+ , n *, u1=1 Xác định số hạng tổng quát của dãy

"Hướng dẫn: đặt un= 2n.vn rồi triệt tiêu 2n+1ở hai vế"

Câu 9 Cho dãy số hữu hạn (un) có dạng khai triển như sau: -3;-3;-1;3;9;17;27;39;53;69 Tìm công thức tổng quát của dãy số:

biến đổi đến cùng, ta được: un=tan[ +(n-1) 8] "

Câu 11 Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số sau, biết: un+1 = , n , u1=1

"Hướng dẫn: ta đặt: un= =>vn=vn-1+1=> CSC, tìm công thức tổng quát của vn=> công thức tổng quát của

un"

Câu 12 Cho dãy số có các số hạng đầu như sau:u1, u2, u3, u4, u5, u6 = 783, u7, u8, u9, u10 = 998;

Biết tổng ba số hạng liên tiếp đều bằng 2020 Tính tổng 10 số hạng đầu đó