BĐ HÌNH HỌC LỚP 9 KỲ I

Ta đã biết : Hai tam giác vuơng đồng dạng với nhau khi và chỉ khi chúng cĩ cùng số đo của một gĩc nhọn, hoặc tỉ số B C các tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của một gĩc nhọn trong một tam

Trang 2

KIẾN THỨC CƠ BẢN

YÊU CẦU HỌC THUỘC *** TRƯỚC KHI ĐẾN LỚP

BÀI 1 * MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ

ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1- HỆ THỨC GIỮA CẠNH GÓC VUÔNG VÀ HÌNH CHIẾU CỦA NÓ TRÊN CẠNH HUYỀN

Định lí 1

Như vậy,trong tam giác ABC vuông tại A ta nhận được

AB2 = BC.BH ⇔ c2 = a.c’

AC2 = BC.CH ⇔ b2 = a.b’ 2- MỘT SỐ HỆ THỨC LIÊN QUAN TỚI ĐƯỜNG CAO

Trang 3

số thập phân thứ ba), biết rằng cos 300 ≈0,866.

№Bài 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A AB = 6cm α

Biết tg α = 5

12, hãy tính : Hình 9

№Bài 5 : Tìm giá trị x (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) trong mỗi tam giác vuông với

kích thước được chỉ ra trên hình 10, biết rằng:

№Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A, trong đó AB = 6cm, AC = 8cm Tính các tỉ số lượng

giác của góc B, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C

№Bài 7 : Cho tam giác ABC vuông tại A Kẻ đường cao AH Tính sinB, sinC trong mỗi trường

hợp sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư), biết rằng :

a) AB = 13; BH = 5 b)BH = 3; CH = 4

№Bài 8 : Hãy biến đổi các tỉ số lượng giác sau đây thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn

450 : sin750, cos530, sin47020’, tg620, cotg82045’

Trang 4

BÀI 2 * TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GĨC NHỌN

1* KHÁI NIỆM VỀ TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GĨC NHỌN

a) Mở đầu

Cho tam giác ABC vuơng tại A Xét gĩc nhọn B của nĩ A

• Cạnh AB được gọi là cạnh kề của gĩc B.

• Cạnh AC được gọi là cạnh đối của gĩc B.

Ta đã biết : Hai tam giác vuơng đồng dạng với nhau khi

và chỉ khi chúng cĩ cùng số đo của một gĩc nhọn, hoặc tỉ số B C

các tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của một gĩc nhọn trong một tam giác đĩ như nhau Như vậy, tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của một gĩc nhọn trong một tam giác vuơng đặt trưng cho độ lớn của gĩc nhọn đĩ

b) Định nghĩa : Cho gĩc nhọn α Vẽ một tam giác vuơng cĩ gĩc nhọn α

Cách vẽ : Vẽ gĩc α, từ một điểm bất kì trên một cạnh của gĩc α kẻ đường vuơng gĩc với cạnh kia , xác định cạnh đối và cạnh kề của gĩc α Khi đĩ:

Nhận xét : Từ định nghĩa trên ta nhận thấy tỉ số lượng giác của một gĩc nhọn luơn luơn

dương Hơn nữa sin α < 1 , cos α < 1.

• Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền được gọi là sin của gĩc α.Kí hiệu: sin α

• Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền được gọi là cơsin của gĩc α Kí hiệu: cos α

• Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề được gọi là tang của gĩc α.Kí hiệu: tg α (hay tan α)

• Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh đối được gọi là cơtang của gĩc α

Kí hiệu: cotg α(hay cot α)sin α = CạnhhuyềCạnhđốin; cos α = cạnhhuyềcạnhkền;

tg α = cạnhđốcạnhkềi; cotg α = cạnhđốcạnhkềi;

Trang 5

№Bài 2 :Đường cao BD của tam giác nhọn ABC bằng 6;đoạn thẳng AD bằng 5

a) Tính diện tích tam giác ABD ;

b) Tính AC, dùng các thông tin dưới đây nếu cần : sinC = 3

5, cosC = 4

5, tgC = 3

4

№Bài 3 : Cho cosα = 0,8 Hãy tìm sinα, tgα, cotgα (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư).

№Bài 4 : Hãy tìm sinα, cosα (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư) nếu biết

Hãy viết một phương trình để từ đó 70 0

có thể tìm được x(không phải giải phương trình này) x 4

Trang 6

Hình 13.

BÀI 2 * TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN

2* TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA HAI GÓC PHỤ NHAU A

VÍ DỤ 4: (?4/tr 74 – SGK) Cho hình 19

Hãy cho biết tổng số đo của hai góc

của góc α và góc β Lập các tỉ số lượng giác của góc α B α β C

và góc β Trong các tỉ số này, hãy cho biết các cặp tỉ số bằng nhau Hình 19.

Bài giải :

Ta có : α + β = 900 Theo định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn với h.19

Ta có : sin α = ACBC ; cos α = ABBC ; tg α = ACAB ; cotg α = ABAC ;

Trang 7

№Bài 2 : Tam giác ABC vuông tại A có AB = 21cm,C∧ = 400 Hãy tính các độ dài

cao 38m so với mặt nước biển, người 30 0

300 so với đường nằm ngang chân đèn Hình 17.

(h.17) Hỏi khoảng cách từ đảo đến

chân đèn (ở mực nước biển) bằng bao nhiêu ?

Trang 8

BÀI 4 * MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

a) Cạnh huyền và các tỉ số lượng giác của góc B và góc C

b) Cạnh góc vuông còn lại và các tỉ số lượng giác của góc B và góc C

Như vậy, trong tam giác ABC vuông tại A, ta có các hệ thức :

b = a sin B = a cos C ; b = c tg B = c cotg C

c = a sin C = a cos B ; c = b tg C = b cotg B

Định lí : Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng :

a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề ;b) Cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc nhân với côtang góc kề

Trang 9

MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

Trang 10

HC = 64cm, tính B∧ , C∧

BÀI 4 * MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG

2 ÁP DỤNG GIẢI TAM GIÁC VUÔNG:

Trong một tam giác vuông, nếu cho biết trước hai cạnh hoặc một cạnh và một góc nhọn thì

ta sẽ tìm được tất cả các cạnh và góc còn lại của nó Bài toán đặt ra như thế gọi là bài toán

“ Giải tam giác vuông”

Ví dụ 3 : Cho tam giác vuông ABC với các cạnh góc vuông AB = 5

AC = 8 (h.27) Hãy giải tam giác vuông ABC C

Ví dụ 4 : Cho tam giác OPQ vuông tại O có P∧ = 360, 7

PQ = 7 (h.28) Hãy giải tam giác vuông OPQ

Trang 11

SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN

TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

LỚP DẠY KÈM TOÁN 9

№Bài 1 : Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 12cm, CD = 16cm Chứng minh rằng bốn điểm

A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn Tính bán kính của đường tròn đó

№Bài 2 : Cho góc nhọn xOy và hai điểm D, E thuộc tia Oy Dựng đường tròn tâm M đi qua D

và E sao cho tâm M đi qua tia Ox

№Bài 3: Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo,

OA = 2cm Vẽ đường tròn tâm A bán kính 2cm Trong năm điểm A, B, C, D, O,

điểm nào nằm trên đường tròn ? Điểm nào nằm trong đường tròn ? Điểm nào nằm ngoài đường tròn ?

№Bài 4 : Cho tam giác nhọn ABC Vẽ đường tròn (O) có đường kính BC, nó cắt các cạnh AB,

AC theo thứ tự ở D, E

a) Chứng minh rằng CD⊥AB, BE⊥AC

b) Gọi K là giao điểm của BE và CD Chứng minh rằng AK vuông góc với BC

№Bài 5 : Cho hình vuông ABCD.

a) Chứng minh rằng bốn đỉnh của hình vuông cùng nằm trên một đường tròn Hãy chỉ ra vị trí của tâm đường tròn đó

b) Tính bán kính của đường tròn đó, biết cạnh của hình vuông bằng 2dm

№Bài 6 : Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AH cắt đường tròn

Trang 12

BÀI 1 *SỰ XÁC ĐỊNH CỦA ĐƯỜNG TRÒN TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN.

1* NHẮC LẠI VỀ ĐƯỜNG TRÒN

Định nghĩa: Đường tròn tâm O, bán kính R (với R > 0)

là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R

Đường tròn như vậy được kí hiệu : (O; R) trong trường hợp

không cần chú ý đến bán kính có thể sử dụng kí hiệu (O)

* Vị trí tương đối của điểm và đường tròn :

Cho đường tròn (O; R) và điểm M, ta có :

• Nếu OM < R ⇔ M nằm trong đường tròn

• Nếu OM = R ⇔ M nằm trên đường tròn

• Nếu OM > R ⇔ M nằm ngoài đường tròn.

Nhận xét : “ Nếu AMB∧ = 900 thì M thuộc đường tròn đường kính AB”

1.Một điểm O cho trước và một số thực R > 0 cho trước xác định một đường tròn (O; R)

2 Một đoạn thẳng AB cho trước xác định một đường tròn đường kính AB

3 Ba điểm không thẳng hàng A, B, C xác định một và chỉ một đường tròn đi qua ba điểm đó ( gọi là đường tròn ngoại tiếp ΔABC )

Đường tròn là hình có tâm đối xứng Tâm của đường tròn là tâm đối xứng

của đường tròn đó

Đường tròn là hình có trục đối xứng Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng

của đường tròn

O R

Trang 13

ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN

№Bài 1 : Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK Chứng minh rằng :

a) Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn;

b) HK < BC

№Bài 2 : Tứ giác ABCD có B∧ = D∧ = 900

a) Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn

b) So sánh độ dài AC và BD Nếu AC = BD thì tứ giác ABCD là hình gì ?

№Bài 3 : Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và dây EF không cắt đường kính Gọi I

và K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến EF

Chứng minh rằng IE = KF

№Bài 4 : Cho đường tròn (O) có bán kính OA = 3cm Dây BC của đường tròn vuông góc với

OA tại trung điểm của OA Tính độ dài BC

№Bài 5 : Cho đường tròn (O), đường kính AD = 2R Vẽ cung tâm D bán kính R, cung này cắt

đường tròn (O) ở B và C

a) Tứ giác OBDC là hình gì ? Vì sao ?

b) Tính số đo các góc CBD, CBO, OBA

c) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác đều

№Bài 6 : Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên trong đường tròn, điểm B nằm bên ngoài

đường tròn sao cho trung điểm I của AB nằm bên trong đường tròn Vẽ dây CD vuông góc với OI tại

I Hãy cho biết ACBD là hình gì ? Vì sao ?

Trang 14

BÀI 2 * ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN

1* SO SÁNH ĐỘ DÀI CỦA ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY

⇒ AM = 144 = 12 (cm) ⇒ AB = 2.AM = 2.12 = 24 (cm)

Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính

Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

O MTrong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

Trang 15

LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY

№Bài 2 : Cho đường tròn (O), dây AB và dây CD AB < CD Giao điểm K của các đường

thẳng AB, CD nằm ngoài đường tròn Đường tròn (O; OK) cắt KA và KC tại M và N

Chứng minh rằng KM < KN

№Bài 3 : Cho đường tròn (O) và điểm I nằm bên trong đường tròn Chứng minh rằng dây AB

vuông góc với OI tại I ngắn hơn mọi dây khác đi qua I

№Bài 4 : Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có Â > B∧ > C∧ Gọi OH, OI, OK theo thứ tự làkhoảng cách từ O đến BC, AC, AB So sánh các độ dài OH, OI, OK

№Bài 5: Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD cắt nhau tại điểm M nằm bên trong đường

tròn Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD Cho biết

AB > CD, chứng minh rằng MH > MK

Trang 16

BÀI 3 * LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY

1* BÀI TOÁN : Cho AB và CD là hai dây (khác đường kính )của đường tròn

(O ;R) Gọi OH, OK theo thứ tự là các khoảng cách từ O đến AB, CD

• Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

• Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

Trong hai dây của một đường tròn :

• Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

Trang 17

VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

№Bài 1 : Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm I có tọa độ (– 3 ; 2) Nếu vẽ đường tròn tâm I bán

kính bằng 2 thì đường tròn đó có vị trí như thế nào đối với các trục tọa độ ?

№Bài 2 : Cho đường thẳng a Tâm I của tất cả các đường tròn có bán kính 5cm và tiếp xúc với

đường thẳng a nằm trên đường nào ?

№Bài 3 : Cho điểm A cách đường thẳng xy là 12cm Vẽ đường tròn (A; 13cm)

a) Chứng minh rằng đường tròn (A) có hai giao điểm với đường thẳng xy

b) Gọi hai giao điểm nói trên là B và C Tính độ dài BC

№Bài 4 : Cho đường tròn (O) bán kính 2cm Một đường thẳng đi qua điểm A nằm bên ngoài

đường tròn và cắt đường tròn tại B và C, trong đó AB = BC Kẻ đường kính

COD Tính độ dài AD

№Bài 5 :Cho đường tròn (O; 2cm), điểm A di chuyển trên đường tròn Trên tiếp tuyến tại A,

lấy điểm M sao cho AM = OA Điểm M chuyển động trên đường nào ?

Trang 18

BÀI 4 * VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

1* BA VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN

a) Đường thẳng và đường tròn cắt nhau :

Khi đường thẳng a và đường tròn (O) có hai điểm chung A và B

B a ∩(O) = {A, B} ⇔a và (O) cắt nhau.

Ta nói đường thẳng a và đường tròn (O) cắt nhau Đường thẳng acòn được gọi là cát tuyến của đường tròn (O)

Khi đó OH < R và HA = HB = R 2 − OH 2

A

a b) Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau:

Khi đường thẳng a và đường tròn (O) chỉ có một điểm chung C,

ta nói đường thẳng a và đường tròn (O) tiếp xúc nhau

Ta còn nói đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O)

điểm C gọi là tiếp điểm

a ∩(O) = { }C ⇔a tiếp xúc với (O).

Khi đó H ≡C, OC ⊥ a và OH = R

Định lí

a C ≡H

c) Đường thẳng và đường tròn không giao nhau

Khi đường thẳng a và đường tròn (O) không có điểm chung

ta nói đường thẳng a và đường tròn (O) không giao nhau

a ∩(O) = ∅ ⇔a và (O) không giao nhau.

Trang 19

a H

DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

№Bài 1 : Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn Dùng thước và compa, hãy

dựng các điểm B và C thuộc đường tròn (O) sao cho AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O)

№Bài 2 : Cho điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d Dựng đường

tròn (O) đi qua A và B, nhận đường thẳng d làm tiếp tuyến

№Bài 3 : Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H Vẽ đường tròn

(O) có đường kính AH Chứng minh rằng :

a) Điểm E nằm trên đường tròn (O);

b) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

№Bài 4 : Cho góc nhọn xOy, điểm A thuộc tia Ox.

Dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A và có tâm I nằm trên tia Oy

№Bài 5 : Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không giao nhau Dựng tiếp tuyến của đường

tròn (O) sao cho tiếp tuyến đó song song với d

№Bài 6 : Xét tính đúng – sai của mỗi khẳng định sau :

a) Nếu đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A thì d vuông góc với OA

b) Nếu đường thẳng d vuông góc với bán kính OA của đường tròn (O) thì d là tiếp tuyến của đường tròn

Trang 20

1*DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Ta đã có các kết quả sau:

• Nếu một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là

tiếp tuyến của đường tròn.

• Nếu khoảng cách từ tâm của một đường tròn đến đường thẳng bằng bán kính của đường tròn thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn

Từ đó ta có định lí sau :

Định lí

(a) Ta có (a) là tiếp tuyến của (O) tại H ⇔ (a) ⊥ OH

Hoặc viết Nếu H ∈(O) và H ∈(a) (a) là tiếp tuyến của (O)

(a) ⊥ OH tại H

VÍ DỤ 1: (?1/tr 110 – SGK) Cho tam giác ABC, đường cao AH Chứng minh rằng đường

thẳng BC là tiếp tuyến của đường tròn (A; AH)

Bài giải :

Cách 1 : Khoảng cách từ tâm A đến BC bằng bán kính

của đường tròn nên BC là tiếp tuyến của đường tròn

Cách 2 : BC vuông góc với bán kính AH tại điểm H

của đường tròn nên BC là tiếp tuyến của đường tròn

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn

R O

A

Trang 21

TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU

№Bài 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A Đường tròn (O) nối tiếp tam giác ABC tiếp xúc với

AB, AC lần lượt tại D, E

a) Tứ giác ADOE là hình gì ? Vì sao ?

b) Tính bán kính của đường tròn (O) biết AB = 3cm, AC = 4cm

№Bài 2 : Cho đường tròn (O; 2cm), các tiếp tuyến AB và AC kẻ từ A đến đường tròn vuông

góc với nhau tại A (B và C là các tiếp điểm)

a) Tứ giác ABOC là hình gì ? Vì sao ?

b) Gọi M là điểm bất kì thuộc cung nhỏ BC Qua M kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB và

AC theo thứ tự tại D và E Tính chu vi tam giác ADE

c) Tính số đo góc DOE

№Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp, r là bán

kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng :

AB + AC = 2(R + r)

№Bài 4 : Cho tam giác ABC, đường tròn (K) bàng tiếp trong góc A tiếp xúc với các tia AB và

AC theo thứ tự tại E và F Cho BC = a, AC = b, AB = c

2

+ −

;c) CF = a c b

2

+ −

№Bài 5 : Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB Vẽ các tiếp tuyến Ax, By (Ax, By và

nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB) Gọi M là một điểm bất kì thuộc nửa đường

Định dạng
Số trang	25
Dung lượng	526,5 KB