Phát triển năng lực suy luận ngoại suy cho học sinh trong dạy học hình học lớp 9

Năng lực suy luận là một trong số tám năng lực được chọn để đánh giá trong chương trình đánh giá HS quốc tế PISA, một chương trình do tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD khởi xướn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Danh Nam

THÁI NGUYÊN – 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hương

Xác nhận của khoa chuyên môn

Xác nhận của người hướng dẫn khoa học

PGS.TS Nguyễn Danh Nam

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện đề tài: “Phát triển năng lực suy luận ngoại suy

cho HS trong dạy học hình học lớp 9”, em đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ,

động viên của các cá nhân và tập thể Em xin được bày tỏ sự cảm ơn sâu sắc nhất tới tất cả các cá nhân và tập thể đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong quá trình học tập

và nghiên cứu

Em xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Danh Nam, người

thầy đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình làm luận văn

Em xin chân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, Phòng Đào tạo trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện cho em trong suốt quá trình học tập và làm luận văn

Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các GV tổ toán, HS khối 9 trường THCS Giao Phong, trường THCS Giao Thịnh huyện Giao Thủy tỉnh Nam Định đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình thực nghiệm tại trường

Dù đã rất cố gắng, xong luận văn cũng không tránh khỏi những khiếm khuyết, tác giả mong nhận được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn học viên

để luận văn được hoàn chỉnh hơn

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Hương

MỤC LỤC

Trang

TRANG BÌA PHỤ

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN iv

DANH MỤC CÁC BẢNG v

DANH MỤC BIỂU ĐỒ vi

DANH MỤC HÌNH VẼ vii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

4 Giả thuyết khoa học 3

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

6 Phương pháp nghiên cứu 3

7 Đóng góp của luận văn 4

8 Cấu trúc của luận văn 4

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Năng lực và năng lực toán học 5

1.1.1 Năng lực 5

1.2.2 Năng lực toán học 7

1.2 Năng lực suy luận 9

1.2.1 Suy luận 9

1.2.2 Các loại suy luận 10

1.2.3 Phân biệt suy luận diễn dịch, suy luận ngoại suy và suy luận quy nạp trong toán học 13

1.2.4 Một số quy tắc suy luận cơ bản 16

1.3 Mô hình Toulmin trong phân tích suy luận ngoại suy 16

1.4 Vai trò của suy luận ngoại suy trong chứng minh hình học 18

1.4.1 Giải thích các giả thuyết hiện tượng quan sát được 18

1.4.2 Nguồn gốc hình thành các ý tưởng sáng tạo 19

1.4.3 Chuyển sang chứng minh suy diễn 20

1.5 Năng lực suy luận ngoại suy 21

1.5.1 Khái niệm 21

1.5.2 Các thành tố của năng lực suy luận ngoại suy 21

1.6 Thực trạng của việc dạy học theo định hướng phát triển năng lực ngoại suy cho học sinh lớp 9 ở trường THCS 32

1.6.1 Nội dung hình học lớp 9 32

1.6.2 Thực trạng của việc dạy và học hình học ở trường THCS 34

1.7 Kết luận chương 1 38

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM NHẰM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC SUY LUẬN NGOẠI SUY CHO HỌC SINH 39

2.1 Định hướng xây dựng các biện pháp sư phạm 39

2.1.1 Đảm bảo tính trực quan của các mô hình trong môi trường hình học động 39

2.1.2 Vấn đề mở, tình huống mở phải phù hợp với học sinh 39

2.1.3 Chú ý đến các quy tắc suy luận khi xây dựng tình huống 40

2.1.4 Tăng cường các hoạt động thảo luận nhóm để phát triển năng lực suy luận 40 2.2 Một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực ngoại suy cho học sinh trong dạy học hình học lớp 9 40

2.2.1 Biện pháp 1: Sử dụng biểu diễn trực quan động hỗ trợ suy luận ngoại suy 40

2.2.2 Biện pháp 2: Xây dựng một số bài toán hình học kết thúc mở hỗ trợ suy luận ngoại suy 46

2.2.3 Biện pháp 3: Rèn luyện các kĩ năng thực hiện các thao tác tư duy 51

2.2.4 Biện pháp 4: Cung cấp tri thức phương pháp về các quy tắc suy luận lôgic 60 2.3 Kết luận chương 2 65

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 66

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 66

3.2 Nội dung, kế hoạch và phương pháp thực nghiệm 66

3.2.1 Nội dung thực nghiệm sư phạm 66

3.2.2 Kế hoạch thực nghiệm sư phạm 66

3.2.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 67

3.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 68

3.3.1 Quy trình tổ chức thực nghiệm sư phạm 68

3.3.2 Phân tích chất lượng học sinh trước khi tiến hành thực nghiệm 69

3.4 Kết quả thực nghiệm sư phạm 69

3.4.1 Phân tích định tính 69

3.4.2 Phân tích định lượng 71

3.5 Kết luận chương 3 74

KẾT LUẬN CHUNG 75

CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN 76

TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắt Viết đầy đủ

DANH MỤC CÁC BẢNG

Trang Bảng 1.1 Mô hình so sánh ba loại suy luận 15

Bảng 1.2 Bảng dữ liệu về số đường thẳng và số cặp góc đối đỉnh tương ứng 25Bảng 3.1 Kết quả học tập học kì I năm học 2016- 2017 của hai lớp 9A và 9B

trường THCS Giao Phong 69Bảng 3.2 Kết quả điểm kiểm tra của HS hai lớp 9A và lớp 9B trường Trung học

cơ sở Giao Phong 71Bảng 3.3 Tỉ lệ phần trăm về năng lực suy luận ngoại suy của HS lớp thực

nghiệm trước và lớp đối chứng sau thực nghiệm 73Bảng 3.4: Tỉ lệ phần trăm về năng lực suy luận ngoại suy của HS lớp thực

nghiệm trước và sau thực nghiệm 73

DANH MỤC BIỂU ĐỒ

Trang

Biểu đồ 1.1 Tỉ lệ vận dụng phương pháp dạy học phát triển năng lực suy luận

ngoại suy cho HS 34Biểu đồ 1.2 Thái độ của HS khi học Hình học 37Biểu đồ 1.3 Thái độ của HS khi gặp các bài hình học kết thúc mở 37Biểu đồ 3.1 Biểu đồ tỉ lệ phần trăm về năng lực suy luận ngoại suy của HS lớp

thực nghiệm trước và sau thực nghiệm 73Biểu đồ 3.2 Biểu đồ tỉ lệ phần trăm về các thành tố của năng lực suy luận ngoại

suy của HS lớp thực nghiệm và đối chứng sau thực nghiệm 74

DANH MỤC HÌNH VẼ

Trang

Hình 1.1 Dạng cơ bản của mô hình Toulmin 17

Hình 1.2 Mô hình Toulmin chứng minh ABC vuông 17

Hình 1.3 Suy luận ngoại suy trong mô hình Toulmin 18

Hình 1.4 Quá trình chứng minh trong môi trường hình học động 19

Hình 1.5 Tính tổng sử dụng ngoại suy sáng tạo 20

Hình 1.6 22

Hình 1.7 22

Hình 1.8 Bài làm của HS 24

Hình 1.9 Cặp góc đối đỉnh tạo bởi các đường thẳng đồng quy 24

Hình 1.10 Bài làm của HS 32

Hình 2.1 42

Hình 2.2 43

Hình 2.3 HS đưa ra giả thuyết từ các trường hợp cụ thể 44

Hình 2.4 45

Hình 2.5 45

Hình 2.6 46

Hình 2.7 47

Hình 2.8 49

Hình 2.9 49

Hình 2.10 50

Hình 2.11 51

Hình 2.12 52

Hình 2.13 54

Hình 2.14 55

Hình 2.15 56

Hình 2.16 56

Hình 2.17 57

Hình 2.18 58

Hình 2.19 59

Hình 2.20 61

Hình 2.21 64

Giáo dục định hướng phát triển năng lực được bàn đến từ những năm 90 của thế kỷ XX và ngày nay đã trở thành xu hướng giáo dục quốc tế Năng lực không chỉ quan trọng đối với con người trong học tập mà còn trong thực tiễn đời sống

Luật Giáo dục nước Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam năm 2005 đã quy

định [21]: “Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp HS phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho HS tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc”

Mục tiêu được ghi trong Dự thảo của chương trình giáo dục phổ thông [9]:

“Chương trình giáo dục phổ thông cụ thể hóa mục tiêu giáo dục phổ thông, giúp HS phát triển hài hòa về thể chất và tinh thần; trở thành người học tích cực, tự tin, có ý thức lựa chọn nghề nghiệp và học tập suốt đời; có những phẩm chất tốt đẹp và năng lực cần thiết để trở thành người công dân có trách nhiệm, người lao động có văn hóa, cần cù, sáng tạo, đáp ứng nhu cầu phát triển của cá nhân và yêu cầu của

sự nghiệp xây dựng, bảo vệ đất nước trong thời đại toàn cầu hóa và cách mạng công nghiệp mới” Cụ thể đối với trường THCS “Chương trình giáo dục THCS giúp

HS phát triển các phẩm chất, năng lực đã được hình thành và phát triển ở cấp tiểu học, tự điều chỉnh bản thân theo các chuẩn mực chung của xã hội, hình thành

phương pháp học tập, hoàn chỉnh tri thức và kĩ năng nền tảng để tiếp tục học lên trung học phổ thông, học nghề hoặc tham gia vào cuộc sống lao động”

Năng lực suy luận là một trong số tám năng lực được chọn để đánh giá trong chương trình đánh giá HS quốc tế PISA, một chương trình do tổ chức hợp tác và phát triển kinh tế OECD khởi xướng và chỉ đạo, nhằm tìm kiếm các chỉ số đánh giá tính hiệu quả, chất lượng của hệ thống giáo dục mỗi nước tham gia, qua đó rút ra các bài học về chính sách đối với giáo dục phổ thông

Năng lực suy luận là một năng lực cốt lõi không chỉ trong chương trình môn Toán của Việt Nam mà trong chương trình môn Toán của nhiều nước trên thế giới, trong đó suy luận ngoại suy được coi là công cụ hỗ trợ khả năng sáng tạo của HS Suy luận ngoại suy là một dạng suy luận đóng vai trò quan trọng trong quá trình phân tích giả thuyết và phát hiện các ý tưởng chứng minh toán học Đặc biệt là

trong hình học, suy luận ngoại suy giúp tìm ra những ý tưởng mới, đặc biệt là vấn

đề chuyển tiếp từ lập luận ngoại suy sang chứng minh dạng suy diễn [29], [30]

Thực tiễn giảng dạy bộ môn Toán 9 hiện nay ở trường THCS còn nhiều bất cập trong phương pháp giảng dạy, truyền thụ tri thức cho HS Mặc dù GV đã vận dụng nhiều phương pháp trong quá trình dạy nhưng việc tiếp thu tri thức của HS vẫn còn nhiều hạn chế, chưa phát huy được hết đặc điểm nổi bật của môn Toán cụ thể là hình học trong việc phát huy tính sáng tạo cho HS Do đó, việc hình thành, phát triển năng lực ngoại suy cho HS là một trong những nhiệm vụ cần được quan tâm hàng đầu, nhằm đào tạo ra những con người sáng tạo trong cuộc sống, phù hợp với hệ giá trị chuẩn mực, là động lực của phát triển bền vững và nhanh chóng của đất nước

Với những lí do trên, tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Phát triển năng lực

suy luận ngoại suy cho HS trong dạy học hình học lớp 9”

3 Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học hình học ở trường THCS

3.2 Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu những năng lực thành phần của năng lực suy

luận ngoại suy và các biện pháp phát triển năng lực suy luận ngoại suy cho HS THCS

3.3 Phạm vi nghiên cứu: Lớp 9 trường THCS

4 Giả thuyết khoa học

Dựa trên cơ sở lí luận và thực tiễn, xác định được các thành tố cơ bản của

năng lực suy luận ngoại suy, và đề xuất được một số biện pháp sư phạm thích hợp trong dạy học hình học 9 thì có thể phát triển năng lực suy luận ngoại suy cho HS ở

trường THCS góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán ở trường THCS

Các câu hỏi nghiên cứu cụ thể là:

1 Tại sao cần phải phát triển năng lực suy luận ngoại suy cho HS ở trường THCS? Những năng lực thành phần của suy luận ngoại suy là gì?

2 Thực trạng của việc dạy học hình học 9 ở các trường THCS như thế nào?

3 Đề xuất các biện pháp để phát triển suy luận ngoại suy

4 Các biện pháp sư phạm đã đề xuất có thực sự góp phần phát triển suy luận ngoại suy cho HS trường THCS không?

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu các quan điểm mang tính lí luận về năng lực suy luận ngoại suy 5.2 Đề xuất một số biện pháp sư phạm nhằm góp phần phát triển năng lực suy luận ngoại suy cho HS trong dạy học hình học lớp 9

5.3 Thực nghiệm sư phạm để kiểm chứng và đánh giá tính khả thi của giả thuyết khoa học và các câu hỏi nghiên cứu

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các vấn đề

liên quan đến đề tài của luận văn

6.2 Phương pháp điều tra - quan sát: Nghiên cứu thực trạng dạy và học nội dung

toán học tại một số trường THCS thông qua các hình thức sử dụng phiếu điều tra, quan sát phỏng vấn trực tiếp GV ở trường THCS

6.3 Phương pháp nghiên cứu trường hợp: Phỏng vấn, nghiên cứu một số nhóm

HS lớp thực nghiệm

6.4 Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm tại một số trường THCS để

xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sư phạm đã đề xuất

6.5 Phương pháp thống kê toán học: Phân tích các số liệu điều tra thực trạng và số

liệu thực nghiệm sư phạm

7 Đóng góp của luận văn

7.1 Những đóng góp về mặt lý luận

Tổng quan về năng lực suy luận, làm rõ năng lực thành phần của năng lực suy luận ngoại suy, trên cơ sở đó đề xuất được một số biện pháp sư phạm mang tính khả thi nhằm phát triển năng lực suy luận ngoại suy cho HS lớp 9

7.2 Những đóng góp về mặt thực tiễn

- Đề xuất được các biện pháp phát triển suy luận ngoại suy

- Kết quả luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho GV và HS trong quá trình giảng dạy và học tập ở trường THCS

- Làm cơ sở để phát triển những nghiên cứu sâu, rộng hơn về những vấn đề

có liên quan trong luận văn

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần “Mở đầu”, “Kết luận” và “Tài liệu tham khảo”, “Phụ lục”, nội dung chính của luận văn được trình bày trong ba chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp nhằm phát triển năng lực suy luận ngoại suy cho HS

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Năng lực và năng lực toán học

Năng lực là khả năng thực hiện hiệu quả một nhiệm vụ hay hành động cụ thể, liên quan đến một lĩnh vực nhất định dựa trên cơ sở hiểu biết, kĩ năng, kĩ xảo và

sự sẵn sàng hành động

Năng lực là khả năng huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính tâm lí cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí… để thực hiện thành công một loại công việc trong một bối cảnh nhất định

Năng lực của cá nhân được đánh giá qua phương thức và kết quả hoạt động của cá nhân đó khi giải quyết các vấn đề của cuộc sống Có thể xem xét riêng một cách tương đối phẩm chất và năng lực, nhưng năng lục hiểu theo nghĩa rộng (năng lực người) bao gồm cả phẩm chất và năng thực theo nghĩa hẹp [31]

Theo nhà Tâm lý học người Nga V A Cruchetxki [11]: “Năng lực được hiểu như là một phức hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp ứng những yêu cầu của một loạt hành động nào đó và là điều kiện thành công hoạt động đó”

Theo Phạm Minh Hạc [14]: “Năng lực chính là một tổ hợp các đặc điểm tâm lí của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lí của một nhân cách),

tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy”

Qua những cách hiểu trên về năng lực, chúng ta có thể rút ra một số điểm chung sau:

- Năng lực không phải là một thuộc tính tâm lí xuất sắc mà là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của nhân cách, phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động

nhất định, đảm bảo cho hoạt động đó có kết quả

- Nói đến năng lực là đề cập tới xu thế có thể đạt được một kết quả nào đó của một công việc nào đó do một con người cụ thể thực hiện (năng lực học tập, năng lực lao động, năng lực quan sát…) Không tồn tại năng lực một cách chung chung và trừu tượng

- Nói đến năng lực là nói đến sự tác động (quan hệ) của một cá nhân cụ thể tới một đối tượng cụ thể (kiến thức, quan hệ xã hội, đối tượng lao động…) để có một sản phẩm nhất định Do đó, chúng ta có thể căn cứ vào đó để phân biệt người này với người khác

- Năng lực là yếu tố tổng thành trong một hoạt động cụ thể chứ không chỉ là

sự tương ứng hay sự phù hợp giữa một bên là yêu cầu của hoạt động và một bên là

tổ hợp những thuộc tính tâm lí cá nhân Điều này muốn nhấn mạnh tính cơ động của năng lực: Năng lực chỉ tồn tại trong quá trình vận động, phát triển của một hoạt động cụ thể

Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng với quan niệm: “Năng lực là khả năng thực hiện có trách nhiệm và hiệu quả các hành động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề trong những tình huống khác nhau thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội hay cá nhân trên cơ sở hiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và kinh nghiệm cũng như sự sẵn sàng hành động” [2]

b, Năng lực học sinh

Năng lực của HS là khả năng làm chủ những hệ thống kiến thức, kĩ năng, thái độ, phù hợp với lứa tuổi và vận hành (kết nối) chúng một cách hợp lí vào thực hiện thành công nhiệm vụ học tập, giải quyết hiệu quả những vấn đề đặt ra cho chính các em trong cuộc sống

Có ba dấu hiệu quan trọng cần lưu ý về năng lực của HS:

- Năng lực không chỉ là khả năng tái hiện tri thức, thông hiểu tri thức, kĩ năng học được , mà quan trọng là khả năng hành động, ứng dụng/ vận dụng tri thức, kĩ năng học được để giải quyết những vấn đề của cuộc sống đang đặt ra với HS

- Năng lực không chỉ là vốn kiến thức, kĩ năng thái độ sống phù hợp với lứa tuổi mà là sự kết hợp hài hòa của cả ba yếu tố này, thể hiện ở khả năng hành động (thực hiện) hiệu quả, muốn hành động và sẵn sàng hành động đạt mục đích đề ra (gồm động cơ, ý chí, sự tự tin và trách nhiệm xã hội, )

- Năng lực được hình thành, phát triển trong quá trình thực hiện các nhiệm vụ học tập ở trong lớp học và ngoài lớp học Nhà trường là môi trường giáo dục chính thống giúp HS hình thành những năng lực chung, năng lực chuyên biệt phù hợp với lứa tuổi, song đó không phải là nơi duy nhất Những môi trường khác như gia đình, cộng đồng cùng góp phần bổ sung và hoàn thiện năng lực của HS

Năng lực cốt lõi của HS là năng lực cơ bản, thiết yếu mà bất kì một người nào cũng cần để sống, học tập và làm việc Tất cả các hoạt động giáo dục (bao gồm các môn học và hoạt động trải nghiệm sáng tạo) với khả năng khác nhau nhưng đều hướng tới mục tiêu hình thành và phát triển các năng lực cốt lõi của HS

Những năng lực cốt lõi của HS trong thế kỉ XXI cần được nhận diện như là kết quả đầu ra (chuẩn đầu ra) của quá trình dạy và học Theo bản dự thảo chương trình giáo dục phổ thông chương trình tổng thể: Chương trình giáo dục phổ thông hình thành và phát triển cho HS các năng lực cốt lõi sau [9]:

 Những năng lực chung được tất cả các môn học và hoạt động giáo dục góp phần hình thành, phát triển: năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo;

 Những năng lực chuyên môn được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua một số môn học nhất định: năng lực ngôn ngữ, năng lực tính toán, năng lực tìm hiểu tự nhiên và xã hội, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm mĩ, năng lực thể chất

Bên cạnh việc hình thành, phát triển các năng lực cốt lõi, chương trình giáo dục phổ thông còn góp phần phát hiện, bồi dưỡng năng lực đặc biệt (năng khiếu) của HS

1.2.2 Năng lực toán học

Năng lực toán học cũng như năng lực nói chung, chỉ tồn tại trong hoạt động toán học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động toán học mới thấy được biểu hiện của năng lực toán học Năng lực toán học ở trạng thái động, nó hình thành và phát triển

trong hoạt động toán học tùy theo từng thời kỳ, có thời kỳ thích hợp nhất cho việc hình thành và phát triển năng lực toán học

Theo V A Cruchetxki [12], năng lực toán học được hiểu theo hai ý nghĩa, hai mức độ:

- Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc học Toán, đối với việc nắm giáo trình toán học ở trường phổ thông, nắm một cách nhanh và tốt các kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo tương ứng

- Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt động sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn đối với xã hội loài người

Theo KhinSin, năng lực toán học thể hiện ở những nét sau: [15]

- Suy luận theo sơ đồ lôgic

- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích

- Phân chia chính xác các ký hiệu

- Có căn cứ đầy đủ trong các lập luận, đặc biệt không bao giờ chấp nhận những khái quát không có suy luận, những phép tương tự không có cơ sở

Có nhiều quan điểm khác nhau về năng lực toán học Con người có những năng lực khác nhau vì có những tố chất khác nhau và năng lực chỉ được hình thành thông qua hoạt động trong những điều kiện xã hội của môi trường sống Năng lực toán học được cho là có mối liên hệ mật thiết với hoạt đông trực giác và sự sáng tạo toán học ở người nghiên cứu

Trong bài tổng luận của tác giả Trần Thúc Trình “Nhìn lại lịch sử cải cách nội dung và phương pháp dạy - học toán ở trường phổ thông trên thế giới trong thế

kỉ XX” [16], tác giả đã đưa ra mười chỉ tiêu năng lực là:

1) Năng lực phát biểu và tái hiện những định nghĩa, kí hiệu, các phép toán

và các khái niệm;

2) Năng lực tính nhanh và cẩn thận, sử dụng đúng các kí hiệu;

3) Năng lực dịch chuyển các dữ kiện thành kí hiệu;

4) Năng lực biểu diễn dữ kiện thành kí hiệu;

5) Năng lực theo dõi một hướng suy luận hay chứng minh;

6) Năng lực xây dựng một chứng minh;

7) Năng lực giải một bài toán đã toán học hóa;

8) Năng lực giải một bài toán chưa toán học hóa;

9) Năng lực khái quát hóa toán học;

10) Năng lực phân tích bài toán, xác định các phép toán có thể áp dụng để giải

Như vậy, năng lực toán học là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí tuệ của

HS, giúp họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong môn Toán

1.2 Năng lực suy luận

1.2.1 Suy luận

Suy luận là một hình thức tư duy cơ bản của tư duy đáng nhận thức, nó xuất phát từ những phán đoán đã biết để rút ra phán đoán mới Phán đoán đã biết gọi là tiền đề, phán đoán mới rút ra gọi là kết luận của suy luận, cách thức rút ra kết luận

từ tiền đề gọi là lập luận [10]

 Cấu trúc của suy luận: Suy luận bao gồm hai thành phần cơ bản là tiền đề

và kết luận

 Hình thức biểu diễn: Mỗi suy luận được biểu diễn dưới dạng một mệnh đề

kéo theo mà tiền đề là một mệnh đề hoặc hội của nhiều mệnh đề: A 1 , A 2 ,… A n B (các A i là các tiền đề, B là kết luận)

Điều kiện cần và đủ để suy luận đạt tới kết luận chân thực là phải xuất phát

từ tiền đề chân thực và quá trình suy luận phải đúng đắn nghĩa là phải tuân theo quy luật và quy tắc lôgic hình thức

Theo lôgic học của tác giả Nguyễn Như Hải thì suy luận là hình thức lôgic của tư duy trong đó các phán đoán được liên kết lại với nhau để rút ra phán đoán

mới Như vậy có thể hiểu năng lực suy luận là năng lực dựa trên những tri thức có

giá trị chân thực để liên kết chúng lại với nhau nhằm rút ra tri thức mới mà ta chưa biết ở trong các phán đoán trước đó [10]

Bất kì suy luận nào cũng có ba bộ phận hợp thành là tiền đề lập luận và kết luận:

Tiền đề là phán đoán có trước được sử dụng để liên kết chúng lại với nhau

nhằm rút ra phán đoán mới Trong mỗi suy luận tiền đề của nó có thể chỉ có một phán

đoán nhưng cũng có thể bao gồm nhiều phán đoán liên hệ chặt chẽ với nhau để rút ra phán đoán mới

Lập luận là cách thức liên kết các lôgic giữa các phán đoán cho trước để rút ra

phán đoán mới Cách thức liên kết các lôgic này không chỉ thể hiện trình tự sắp xếp các phán đoán thuộc tiền đề mà con bao gồm cả những quy luật và những quy tắc lôgic chi phối trình tự sắp xếp đó để rút ra phán đoán mới một cách tất yếu

Kết luận là phán đoán mới được rút ra từ tiền đề thông qua những lập luận

lôgic Kết luận có nhiều dạng khác nhau có kết luận phù hợp, có kết luận không phù hợp với hiện thực khách quan, có kết luận là ngẫu nhiên, có kết luận là tất yếu từ những lập luận lôgic của các tiền đề

1.2.2 Các loại suy luận

Suy luận là một quá trình sử dụng các tri thức đã biết để đi đến kết luận, đưa

ra dự đoán hay xây dựng các giải thích Peirce (1960) cho rằng có ba dạng suy luận

cơ bản là suy diễn, quy nạp và ngoại suy [29] [30]

a, Suy luận diễn dịch

Suy diễn (hay suy luận diễn dịch) là loại suy luận trong đó có những quy tắc tổng quát xác định rằng: nếu thừa nhận tiền đề (có một cấu trúc xác định nào đó) là đúng thì kết luận (có một cấu trúc xác định nào đó) cũng phải đúng Như vậy, suy diễn là loại suy luận trong đó tư tưởng đi từ nguyên lí chung đến kết luận riêng biệt

b, Suy luận quy nạp

Có nhiều định nghĩa khác nhau về suy luận quy nạp, nhưng chúng đều có chung bản chất, đó là suy luận nhằm đưa ra một giả thuyết mang tính tổng quát (không chắc chắn đúng) từ việc kiểm chứng tính đúng đắn của giả thuyết cho một

số trường hợp cụ thể

Polya (1968) đưa ra một số kết cấu của suy luận quy nạp, chẳng hạn, nếu A suy ra B đúng và B đúng thì A trở nên đáng tin cậy hơn Kết cấu thể hiện một niềm

tin rằng sự kiểm tra của một dãy các trường hợp sẽ đưa ra một giả thuyết đáng tin

cậy hơn Một kết cấu phức tạp hơn có thể kể đến là nếu A suy ra Bn1 đúng, trong

đó Bn1 khác xa so với một dãy B B1, 2 B đã được kiểm chứng của A đồng thời n

n

B  đúng thì giả thuyết A càng đáng tin cậy hơn nữa Ngược lại, nếu Bn1 rất giống với dãy B B1, 2 B ở trước thì A chỉ đáng tin cậy hơn ít hơn [37] n

Ví dụ 1.1 Khi đo đạc thấy tổng ba góc trong của một vài tam giác cụ thể luôn

bằng 180o, HS có thể tổng quát hóa kết quả này để đưa ra một giả thuyết bằng suy luận quy nạp: Tổng ba góc trong của một tam giác bất kì luôn bằng 180o Giả thuyết

này đã được chứng minh là đúng và trở thành một định lý cơ bản trong hình học

Có hai loại quy nạp là quy nạp hoàn toàn và quy nạp không hoàn toàn:

Quy nạp không hoàn toàn là phép quy nạp mà kết luận chung chỉ dựa vào một

số trường hợp cụ thể đã được xét đến Kết luận chỉ có tính chất ước đoán

Quy nạp không hoàn toàn có thể đưa đến kết quả sai Ví dụ 1.2 ở trên là một

dự đoán sai của Fecma, đã được Ơle và Landry chỉ ra Ví dụ 1.3 ở trên là một dự đoán đúng, phải chứng minh để khẳng định đúng

Quy nạp hoàn toàn là phép suy luận nhằm rút ra kết luận chung về tất cả các

trường hợp cụ thể đã được xét đến Kết luận thu được từ quy nạp hoàn toàn luôn đúng, do đó quy nạp hoàn toàn thực chất là một phép chứng minh

c, Suy luận ngoại suy

Nhà triết học Mỹ, C S Peirce [43] đã sử dụng thuật ngữ “ngoại suy” để chỉ loại suy luận liên quan đến việc tạo dựng và đánh giá của việc giải thích các giả thuyết Thuật ngữ này ít quen thuộc so với “suy diễn”, “quy nạp” Ngoại suy là một loại của suy luận có lý trong đó tạo nên những giả thuyết để giải thích các hiện tượng, kết quả, phát hiện với tính không chắc chắn

Ví dụ kinh điển về các loại suy luận của Pierce liên quan đến các hạt đậu như sau: (Pierce)

Quy luật: Tất cả các hạt

đậu ở cái túi này đều có

màu trắng

Trường hợp: Các hạt đậu

lấy ra từ cái túi này

Kết luận: Các hạt đậu này

có màu trắng

Trường hợp: Các hạt đậu

lấy ra từ cái túi này

Kết luận: Các hạt đậu này

lấy ra từ cái túi này

Như vậy có thể hiểu ngoại suy là quá trình suy luận nhằm đưa ra giả thuyết tốt nhất để giải thích cho một kết quả quan sát được

Có nhiều cách phân loại các loại suy luận ngoại suy Theo Eco (1983) [34], phân biệt ba loại lập luận ngoại suy thường sử dụng trong quá trình chứng

minh đó là: ngoại suy đơn tuyến, ngoại suy đa tuyến và ngoại suy sáng tạo

Ngoại suy đơn tuyến xảy ra khi người lập luận chỉ xác định được một quy tắc suy luận hay một “luận chứng” để từ đó suy ra kết luận, còn ngoại suy đa tuyến xảy ra khi người lập luận phải lựa chọn trong tập hợp nhiều hơn một quy tắc suy luận hay “luận chứng” Ngoại suy sáng tạo xảy ra khi người lập luận chưa xác định được bất cứ “luận chứng” nào để đi đến kết luận và buộc phải sáng tạo thêm các “luận chứng” mới

Theo Patokorpi đã tổng kết và đưa ra bốn loại suy luận ngoại suy sau [29]:

- Ngoại suy chọn lựa: Chọn trong số các quy tắc có sẵn một quy tắc có thể lý giải cho kết luận

- Ngoại suy sáng tạo: Khi các quy tắc có sẵn không lý giải được, cần sáng tạo ra một quy tắc mới để lý giải cho kết luận

- Ngoại suy trực quan: Tư duy ngay trong quá trình quan sát để đưa ra giả thuyết là một trường hợp nhằm lý giải cho kết luận

- Ngoại suy thao tác: Tiến hành các thao tác thích hợp nhằm thu thập thêm

dữ liệu để tìm thấy trường hợp có thể lý giải cho kết luận

1.2.3 Phân biệt suy luận diễn dịch, suy luận ngoại suy và suy luận quy nạp trong toán học

Dựa trên các cơ sở lí thuyết chung về suy diễn, quy nạp, ngoại suy đã trình bày ở trên ta có thể phân biệt ba loại suy luận trên theo các yếu tố sau:

a, Điều kiện để xảy ra và kết quả của ba loại suy luận

Nếu ta có một quy tắc“Nếu P thì Q”, một Sự kiện P và một Hệ quả Q thì: Cho trước thông tin về mối quan hệ giữa P và Q, quy nạp suy ra Quy tắc:

“Nếu P thì Q”

Cho trước thông tin về P và Quy tắc: “Nếu P thì Q”, diễn dịch suy ra Hệ quả Q Cho trước Quy tắc: “Nếu P thì Q” và Hệ quả Q, ngoại suy suy ra Giả thuyết:

“có thể là P”

Chú ý rằng với ngoại suy, có thể xảy ra một trong các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Ngoài quy tắc “Nếu P thì Q”, nếu trong tri thức có sẵn của người học có thêm một số quy tắc: “Nếu K thì Q”, “Nếu H thì Q”… thì ngoại suy có nhiệm vụ chọn ra một giả thuyết có lí nhất trong các giả thuyết “có thể là P”, “có thể là H”, “có thể là K” Ngoại suy trong trường hợp này được xếp vào loại ngoại suy chọn lựa

Ví dụ 1.4 Đây là ví dụ được Reid (2003) sử dụng để minh họa cho suy luận

ngoại suy xảy ra trong lớp học toán Trong ví dụ này một GV ở Pháp đang hướng dẫn một lớp học ở cấp độ 4 (HS tuổi từ 13 đến 14) chứng minh định lý Pytago Các

em đã kết luận được ABCD là hình thoi vì chúng có 4 cạnh bằng nhau Sau đây là

đoạn trao đổi giữa GV và HS [30]:

GV: ABCD là hình thoi, chúng ta đã có đủ yếu tố để kết luận, không cần

thêm điều gì nữa Nhưng đó không phải là những gì thầy yêu cầu các em chứng minh Thầy muốn các em chứng mình rằng nó là…

Ở đây ta có một sơ đồ ngoại suy sau:

Kết luận: ABCD là hình thoi, ABCD là hình vuông

Quy tắc: Nếu hình thoi có một góc vuông thì nó là hình vuông

Trường hợp: ABCD có một góc vuông

Trong tình huống này thứ nhất là sự hiện diện của hai kết luận: một kết luận

đã có sẵn từ giả thiết của bài toán và một kết luận được đề xuất dựa trên quan sát

hình vẽ và yêu cầu của GV Đây là một phần của “hợp đồng didactic” rằng kết luận

mà GV muốn HS chứng minh là đúng Thứ hai là có nhiều Quy tắc khác nhau mà

HS có thể chọn lựa, chẳng hạn “nếu hình thoi có hai đường chéo bằng nhau thì đó là hình vuông”, hoặc “nếu hình thoi có hai góc kề bằng nhau thì đó là hình vuông” Sử

dụng một trong các Quy tắc này có thể sẽ hữu ích hoặc không hữu ích cho việc

chứng minh của HS Nói cách khác, HS cần chọn một giả thuyết “tốt nhất” dựa trên các yếu tố đã có sẵn của bài toán Theo Eco, phép ngoại suy mà HS sử dụng trong

trường hợp này là ngoại suy chọn lựa [30]

Trường hợp 2: Nếu Quy tắc “Nếu P thì Q” có chiều ngược lại “Nếu Q thì P” thì giả thuyết ngoại suy không chỉ là một giả thuyết có lí, mà nó còn là giả thuyết đúng và duy nhất: “Chắc chắn là P” Ngoại suy trong trường hợp này là ngoại suy trực tiếp theo cách phân loại của Eco (1983) [30] [34]

Trường hợp 3: Nếu Quy tắc “Nếu P thì Q” chưa tồn tại trong tri thức người học, thì việc suy ra đồng thời Quy tắc “Nếu P thì Q” và Giả thuyết: “có thể là P” là kết quả của ngoại suy sáng tạo [30]

Bảng 1.1 Mô hình so sánh ba loại suy luận

b, Mục đích tiến hành mỗi loại suy luận

Suy luận diễn dịch sử dụng các quy tắc lôgic toán và các tiên đề đã biết để khẳng định sự đúng đắn của một kết quả và thường sử dụng trong quá trình chứng minh toán học Suy luận quy nạp giúp tổng quát hóa một kết quả từ các trường hợp riêng tương tự nhau, nhằm mở rộng phạm vi áp dụng của một tính chất/một tri thức toán cho một nhóm đối tượng lớn hơn Quy nạp thường được sử dụng trong khám phá các kết quả mang tính tổng quát Quy nạp cũng được dùng để hỗ trợ cho phương án giải quyết vấn đề, giải quyết một bài toán đơn giản hơn bằng cách hạn chế lại số trường hợp cần xem xét và sau đó dùng suy luận quy nạp để tổng quát hóa kết quả cho bài toán chính Suy luận ngoại suy nhằm đưa ra một giả thuyết có thể chấp nhận được để lý giải cho một hiện tượng hoặc quan sát gây ngạc nhiên trong quá trình khám phá các tri thức toán Ngoại suy cũng được dùng để định hướng cho

quá trình chứng minh bằng cách suy luận ngược từ điều cần chứng minh (các kết luận) đến giả thiết mà bài toán cho sẵn (các trường hợp) [29] [30]

c, Khám phá toán và tính chắc chắn của kết quả

Tính chắc chắn của những kết luận được tạo ra bởi các loại suy luận này giảm dần từ diễn dịch đến quy nạp và cuối cùng là ngoại suy Bản chất “tạo ra chân lí” của diễn dịch luôn luôn tạo ra một kết luận có cơ sở vững chắc vì những tiên đề đúng luôn luôn đưa đến những kết luận đúng Kết luận được suy ra không phải là sự tổng quát hóa vì thế không cần có sự xác minh thực nghiệm Trái lại, ngoại suy

Tuy nhiên, xét về khía cạnh khám phá tri thức mới, những tri thức có được từ suy luận diễn dịch có thể xem như những hệ quả lôgic được suy ra từ những tiên đề đúng đã biết trước, do đó chúng không thể mở rộng vốn tri thức sẵn có của con người Với quy nạp, tri thức mới thu được dưới dạng tổng quát hóa, là mở rộng phạm vi của những tri thức đã biết theo các xu hướng có thể đoán trước được Với ngoại suy, khi những tri thức có sẵn không giải thích được cho quan sát, tri thức mới được hình thành Vì thế, ngoại suy giúp cung cấp các ý tưởng mới và mở rộng tri thức của chúng ta [30] [45]

1.2.4 Một số quy tắc suy luận cơ bản

Các loại tam đoạn luận:

- Tam đoạn luận khẳng định: X Y X,

P(n) đúng với mọi số tự nhiên nn0

1.3 Mô hình Toulmin trong phân tích suy luận ngoại suy

Toulmin (1958) cho rằng lập luận chặt chẽ là kỹ năng cơ bản của con người sống trong thế kỉ XXI Chính vì vậy, ông đã dành nhiều thời gian nghiên cứu về bản chất của quá trình lập luận, đặc biệt là lập luận toán học Toulmin xem xét một lập

luận gồm có ba thành tố cơ bản là: luận cứ, kết luận và luận chứng Luận cứ (hay còn gọi là tiền đề) là một hoặc nhiều dữ kiện xuất phát làm căn cứ cho lập luận, từ

đó để suy ra kết luận, nó trả lời cho câu hỏi “chứng minh bằng cái gì?” Kết luận là một khẳng định có được trên cơ sở luận cứ đã cho, nó trả lời cho câu hỏi “chứng minh cái gì?” Luận chứng là những quy tắc, nguyên lý, định lý,… mà nhờ đó từ tiền đề chúng ta suy ra kết luận, nó trả lời cho câu hỏi “chứng minh bằng cách nào?” Ngoài ba thành tố cơ bản trên, Toulmin còn bổ sung thêm ba thành tố phụ nữa đó là: luận chứng bổ sung sử dụng trong trường hợp luận chứng ban đầu chưa

đủ sức thuyết phục, miền bác bỏ xét xem trong trường hợp nào thì lập luận không còn đúng nữa và mức độ đáng tin của lập luận chẳng hạn như: chắc chắn đúng, có thể đúng, không thể [22] [46]

D (Data): Luận cứ C (Claim): Kết luận

W (Warrant): Luận chứng

Hình 1.1 Dạng cơ bản của mô hình Toulmin

Ví dụ 1.10 Để biểu diễn quy trình chứng minh ABC vuông tại đỉnh A,

chúng ta sử dụng mô hình sau:

D: b2c2 a2 C: ABC vuông tại đỉnh A

W: Định lí Pitago đảo

Hình 1.2 Mô hình Toulmin chứng minh ABC vuông

Mô hình Toulmin có thể được dùng để mô tả suy luận ngoại suy trong tình huống cần tìm luận cứ hoặc luận chứng để chứng minh cho giả thuyết (kết luận) đã

có Eco (1983) phân biệt ba loại suy luận ngoại suy thường được sử dụng trong quá

trình chứng minh đó là: ngoại suy đơn tuyến, ngoại suy đa tuyến và ngoại suy sáng tạo Ngoại suy đơn tuyến xảy ra khi chỉ xác định được một quy tắc suy luận hay một

“luận chứng” để suy ra kết luận, còn ngoại suy đa tuyến xảy ra khi người lập luận

phải lựa chọn trong tập hợp nhiều hơn một quy tắc suy luận để đưa tra kết luận

Ngoại suy sáng tạo xảy ra khi chưa xác định được bất cứ “luận chứng” nào để đi

đến kết luận và buộc phải sáng tạo thêm các “luận chứng” mới

Các loại suy luận ngoại suy này được Pedemonte & Reid (2010) mô tả trong

mô hình lập luận của Toulmin như sau:

Hình 1.3 Suy luận ngoại suy trong mô hình Toulmin

Sử dụng các mô hình trên, chúng ta nhận thấy những dữ kiện còn thiếu cần được bổ sung trong quá trình chứng minh, giúp GV phân tích được các phương pháp lập luận của HS khi giải toán, đồng thời thấy được vai trò của suy luận ngoại suy trong chứng minh toán học ở bậc phổ thông và bậc đại học

1.4 Vai trò của suy luận ngoại suy trong chứng minh hình học

Peirce (1960), Gallo (1994) và Magnani (1997) cho rằng quá trình chứng minh hình học sử dụng lập luận ngoại suy tuân theo các bước sau [20] [22] [43]:

- Bước 1: (Quan sát, lập luận quy nạp, tạo giả thuyết) Người học quan sát

các hiện tượng trên hình vẽ và thành lập giả thuyết

- Bước 2: (Lập luận ngoại suy) Người học tìm tòi các dữ kiện, lựa chọn các

quy tắc hay phương pháp để giải thích và kiểm chứng các giả thuyết đã đưa ra dựa trên kinh nghiệm cá nhân và suy luận toán học

- Bước 3: (Lập luận suy diễn và quy nạp) Chuyển tiếp các lập luận dùng để

kiểm chứng các giả thuyết sang các lập luận suy diễn (để hoàn thành chứng minh) hay các lập luận quy nạp (để kiểm tra lại kết quả)

1.4.1 Giải thích các giả thuyết hiện tượng quan sát được

Suy luận ngoại suy có vai trò quan trọng trong việc lí giải nguồn gốc của các kết quả khoa học, lí giải các hiện tượng quan sát được nhằm đưa ra một phương án giải thích tốt nhất [22] Đặc biệt, trong quá trình dạy học môn Hình học ở phổ thông theo quan điểm lí thuyết kiến tạo, suy luận ngoại suy thường xuất hiện ẩn tàng trong

quá trình hình thành tri thức mới thông qua việc quan sát các tình huống, các hiện tượng cần giải thích Vì vậy, GV cần xây dựng tình huống thực nghiệm, giúp HS tạo ra các giả thuyết cần được kiểm chứng và sử dụng các phương pháp giải toán khác nhau Qua đó, HS rèn luyện kĩ năng suy luận ngoại suy trong quá trình chứng minh các bài toán hình học

Một số nhà nghiên cứu cho rằng, các phần mềm hình học động đã thay đổi cách suy nghĩ về các đối tượng hình học truyền thống vì trong khi di chuyển hay kéo rê các đối tượng hình học, đo đạc và kiểm tra các tính chất, người học có thể nhận ra các tính chất bất biến hình học [40], [22] Từ đó, giả thuyết ban đầu về các đối tượng hình học và mối quan hệ giữa chúng được hình thành, sau đó, phần mềm hình học động cũng hỗ trợ quá trình kiểm tra tính đúng đắn của các giả thuyết đó [39] Chính các hoạt động này dẫn đến các tình huống cần được giải thích và tạo nhu cầu chứng minh bài toán đó Quá trình lập luận sau đó được chuyển từ trực

quan sinh động sang một cấp độ cao hơn là dùng lời để mô tả, giải thích các hiện

tượng quan sát được Điều này có nghĩa là chúng ta cần đi tìm các luận cứ hay luận chứng để giải thích, chứng minh hay nói cách khác đây là tình huống dẫn đến việc

sử dụng lập luận ngoại suy Để hiểu rõ hơn về vai trò của các loại lập luận trong quá trình chứng minh hình học, chúng ta tìm hiểu sơ đồ dưới đây [20], [22]:

Hình 1.4 Quá trình chứng minh trong môi trường hình học động

1.4.2 Nguồn gốc hình thành các ý tưởng sáng tạo

Trong toán học, khi chứng minh một vấn đề nào đó thường sử dụng các lập luận lôgic kiểu suy diễn Tuy nhiên, quá trình hình thành giả thuyết, khám phá tri thức mới lại xuất phát từ suy luận ngoại suy, đặc biệt là suy luận ngoại suy sáng tạo

Do đó, suy luận ngoại suy còn đóng vai trò quan trọng trong việc tạo ra các ý tưởng mới và mở rộng vốn tri thức của nhân loại [20], [30]

Ví dụ 1.5 Trước khi học về công thức tính tổng vô hạn của cấp số nhân có

công bội q (với q  ), GV yêu cầu HS chứng minh đẳng thức: 1

4 tam giác đơn vị, …

Cứ thực hiện thao tác chia vô hạn lần tam giác đơn vị, ta có thể biểu diễn được tổng

phía bên trái của đẳng thức bởi phần màu đen ở Hình 1.5 Dựa vào lập luận trên, HS

đã “sáng tạo” ra ý tưởng sử dụng phép chia 1

4tam giác đơn vị để chứng minh đẳng thức ban đầu hay các em đã vận dụng suy luận ngoại suy để giải bài toán Mô hình dưới đây mô tả quá trình lập luận trên:

Hình 1.5 Tính tổng sử dụng ngoại suy sáng tạo 1.4.3 Chuyển sang chứng minh suy diễn

Suy luận ngoại suy đóng vai trò quan trọng trong quá trình chuyển tiếp sang

chứng minh suy diễn hình học [22], [43]

Khi HS sử dụng các suy luận ngoại suy để tìm ra phương pháp giải quyết bài toán Điều này dẫn đến HS phải thành lập các giả thuyết trước khi dùng suy luận ngoại suy đa tuyến và đơn tuyến để kiểm chứng lại chúng Tuy nhiên, hầu hết các

HS đều gặp khó khăn trong việc chuyển tiếp từ suy luận ngoại suy sang chứng minh suy diễn Đây chính là chướng ngại về mặt cấu trúc giữa suy luận ngoại suy và

chứng minh suy diễn Mức độ khó khăn trong quá trình chuyển tiếp được nâng dần

từ ngoại suy đơn tuyến đến ngoại suy sáng tạo Nếu các HS nhận ra được cấu trúc của quá trình suy luận ngoại suy và sử dụng phép suy ngược lùi thì việc viết chứng minh suy diễn lại trở nên dễ dàng hơn [22]

1.5 Năng lực suy luận ngoại suy

1.5.1 Khái niệm

Từ cách hiểu về các khái niệm năng lực suy luận, các nghiên cứu về ngoại

suy có thể hiểu năng lực ngoại suy trong hoạt động toán học của HS như sau:

“Năng lực suy luận ngoại suy là năng lực hoạt động của chủ thể nhằm tìm ra giả thuyết tốt nhất để giải thích cho kết quả quan sát được Kết quả của suy luận ngoại suy là một giả thuyết và tính đúng đắn của nó cần được chứng minh”

1.5.2 Các thành tố của năng lực suy luận ngoại suy

Thông qua nghiên cứu về năng lực suy luận, suy luận ngoại suy kết hợp với quá trình thực nghiệm, phân tích suy luận của các nhóm HS, từ đó có thể đề xuất lăm thành tố của năng lực suy luận ngoại suy:

a, Thành tố 1: Khả năng quan sát những biểu diễn trực quan đưa ra những giả thuyết mới và tiến hành tổng quát hóa

Theo Arcavi (2003): Trực quan hóa là quá trình và sản phẩm của sự sáng tạo, giải thích, sử dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ (hay hình ảnh sơ đồ…) trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các công cụ khoa học công nghệ Trực quan hóa nhằm mô tả giao tiếp thông tin, tư duy và phát triển các ý tưởng chưa biết trước đó

để hiểu Các biểu diễn trực quan như hình vẽ, đồ thị, sơ đồ, bảng biểu được xem là công cụ để trực quan hóa nhằm giúp HS hiểu được các đối tượng trừu tượng Biểu diễn trực quan được thừa nhận như là một thành phần chính của suy luận ngoại suy

Nó định hướng và hỗ trợ tích cực cho quá trình giải quyết vấn đề Đặc biệt là biểu

diễn trực quan động với sự hỗ trợ của máy tính đã và đang có nhiều đóng góp trong việc khám phá tri thức mới [29]

Trong môi trường học tập với sự hỗ trợ của biểu diễn trực quan động HS có điều kiện để tiến hành các thử nghiệm toán học thông qua thao tác trên các đối tượng được biểu diễn Với các kết quả quan sát được cho các trường hợp riêng, HS vận dụng các suy luận quy nạp và suy luận ngoại suy để đưa ra các phỏng đoán, đề xuất các giả thuyết, khám phá các quy luật và mối quan hệ mới, hay xây dựng các lí giải

Ví dụ 1.6 Cho hai hình vuông ABCD và EFGH cạnh a, được đặt sao cho

đỉnh E trùng với tâm của ABCD còn đình F có thể di chuyển được Khi di chuyển F

nhận xét về phần giao của hai hình vuông

Đầu tiên HS quan sát hình vẽ và sẽ suy nghĩ đến hình dạng của tứ giác

EMCN có phải là tứ giác đặc biệt không? Và HS sẽ bác bỏ ngay giả thuyết này khi kéo rê vị trí của điểm F HS tiếp tục quan sát suy nghĩ và đưa ra giả thuyết về mối

quan hệ giữa hai đường chéo của tứ giác trên liệu có vuông góc hoặc bằng nhau

không? Và HS cũng bác bỏ luôn giả thuyết khi kéo rê ngẫu nhiên điểm F và nhận

thấy giá trị của góc giữa hai đường chéo và độ dài hai đường chéo không luôn bằng

nhau Trong quá trình kéo rê điểm F HS nhận thấy một trường hợp đặc biệt khi tứ giác EMCN là hình vuông (Hình1.7) thì diện tích tứ giác EMCN bằng 1

4 diện tích

tứ giác ABCD không đổi HS đưa ra giả thuyết “Diện tích tứ giác EMNC không đổi

kéo rê vào trường hợp đặc biệt như trên HS suy nghĩ đến kẻ đường cao từ E xuống

BC và DC và đi chứng minh hai tam giác bằng nhau EMH và ENK (với H, K là chân đường cao hạ từ E xuống BC và DC) từ đó có được điều phải chứng minh

Như vậy, nếu có năng lực quan sát biểu diễn trực quan để đưa ra những giả thuyết mới và tiến hành tổng quát hóa HS sẽ dễ dàng khám phá được các tri thức mới, giải quyết được các dạng bài toán khó, nhất là các bài toán quỹ tích và các bài toán dạng kết thúc mở

b, Thành tố 2: Khả năng phát hiện quy luật hay tính chất toán học nhờ việc sử dụng quy nạp

Khi phải khám phá một quy luật hay tính chất toán học để đưa ngay ra kết quả là một việc khó khăn HS sử dụng ngoại suy để bước đầu khám phá giả thuyết mang tính thăm dò nhằm giải thích cho một số trường hợp đã biết Sau đó HS mở rộng giả thuyết ngoại suy này bằng cách kiểm chứng cho các trường hợp chưa biết bằng suy luận quy nạp nhằm tăng cường tính có lí của các giả thuyết hay tiến hành một phép suy luận ngoại suy khác khi có một phản ví dụ hay khi tổng quát hóa nên

là quá khó Suy luận ngoại suy sẽ hỗ trợ suy luận quy nạp tìm ra một giả thuyết mang tính tổng quát hóa nhằm giải quyết nhiệm vụ đặt ra

Ví dụ 1.7 GV yêu cầu HS thực hiện theo nhóm cho biết “Có bao nhiêu cặp

đối đỉnh được tạo ra bởi n đường thẳng phân biệt”

HS thực hiện theo nhóm, kết quả của một nhóm HS như sau:

Hình 1.8 Bài làm của HS

Hình 1.9 Cặp góc đối đỉnh tạo bởi các đường thẳng đồng quy

Một số HS có thể đưa ra ngay câu trả lời, nhưng một số khác có thể sẽ cảm thấy giải bài toán trực tiếp là một nhiệm vụ khó khăn HS có thể nghĩ đến giải các bài toán đơn giản hơn

Với 1 đường thẳng, có 0 cặp góc đối đỉnh Với 2 đường thẳng, có 2 cặp góc đối đỉnh: (1-3) và (2-4) Với 3 đường thẳng, có 6 cặp góc đối đỉnh: (1-4); (2-5); (3-6);(1,2-4,5); (2,3-5,6) và (3,4-1,6) Tương tự với 4, 5, 6 đường thẳng có tương ứng

12, 20, 30 cặp góc đối đỉnh (Hình 1.9) Tổ chức dữ liệu vào bảng như sau:

Bảng 1.2 Bảng dữ liệu về số đường thẳng và số cặp góc đối đỉnh tương ứng

HS cố gắng đề xuất một giả thuyết về mối quan hệ giữa các dữ liệu thu thập được bằng suy luận ngoại suy, chẳng hạn như mối quan hệ giữa số cặp góc đối đỉnh mỗi khi số đường thẳng tăng thêm một:

Nhưng HS gặp khó khăn trong việc tổng quát hóa bằng quy nạp nên HS đã đưa

ra giả thuyết ngoại suy khác về quan hệ giữa đường thẳng và số cặp góc đối đỉnh được tạo ra: T  n n. 1 trong đó T là số cặp góc được tạo thành bởi n đường thẳng Sau

đó HS phải sử dụng suy luận quy nạp để kiểm tra giả thuyết mình đưa ra

Như vậy, ngoại suy khi kết hợp với quy nạp giúp HS đưa ra những giả thuyết mang tính tổng quát hóa, làm tiền đề cho việc khám phá các quy luật toán và mở rộng hơn là khám phá các tính chất, các định lí toán học cơ bản

c, Thành tố 3: Khả năng xác định căn cứ ở mỗi bước lập luận

Đây là khả năng mà HS sử dụng căn cứ của mỗi bước lập luận trong trình bày lời giải bài toán Các căn cứ chính là định nghĩa, định lý hay tiên đề được thừa nhận đưa vào trong các bước lập luận chứng minh của các em

Ví dụ sau đây mô tả thảo luận của hai HS bằng phương pháp ghi âm để thấy các căn cứ mỗi bước lập luận trong chứng minh bài toán Trong phân tích lập luận chúng tôi kí hiệu Di, Ci và Wi lần lượt là các luận cứ, kết luận và luận chứng

Ví dụ 1.8 Cho tam giác ABC về phía ngoài tam giác dựng các tam giác ABD

và BCE vuông cân tại B Hãy so sánh diện tích tam giác ABC và BDE

Lập luận của HS Phân tích bằng mô hình Toulmin

1 Hoa: Mình vẽ hình trước nhé

2 Quang: ừ

3 Hoa: Hai tam giác này liệu có bằng

nhau không nhỉ? Nếu bằng nhau thì

HS nhận thấy hai tam giác cần so sánh có hai cạnh bằng nhau ( BDBA ) nên dựng hai đường cao

EH và CK tương ứng

có thể suy ra hai tam giác có diện

tích bằng nhau

4 Quang: ừ, nhưng mình thấy hai tam

giác này không bằng nhau vì góc

ABC và góc DBE không bằng

nhau?

5 Hoa: Hai tam giác này có hai cạnh

cặp cạnh bằng nhau!

6 Quang: uh, nếu mình sử dụng công

thức diện tích tam giác thì ta sẽ xét

các đường cao tương ứng, BD với

AB có bằng nhau không? Có bằng

nhau

7 Hoa: ừ

8 Quang: Giờ mình chỉ cần vẽ đường

cao, hạ đường cao tương ứng với

hai cạnh đáy nữa và so sánh chúng

với nhau, là biết diện tích hai tam

giác ABC và BDE

9 Hoa: Đúng rồi, giờ ta đi dựng

13 Hoa: Liệu EH = CK không?

14 Quang: Mình đo EH = CK rồi đấy,

đúng mà, nhưng mình phải kiểm

chứng xem

Hình vẽ của HS:

HS lập luận vì đáy bằng nhau nên cần

so sánh hai đường cao EH và CK

C1: Diện tích tam giác ABC bằng diện tích tam giác BDE

D1: ? C1: ?

D3: ? C3: BCK = BEH

15 Hoa: Xem tam giác BCK với BEH

có bằng nhau không?

16 Quang: Có góc vuông này, cạnh

huyền BE = BC theo giả thiết

17 Hoa: Đúng rồi

18 Quang: Giờ mình cần chứng minh

thêm một cạnh hoặc một góc nữa

bằng nhau

19 Hoa: BH và BK chắc không được

rồi, vậy chỉ còn xem góc có bằng

nhau không?

20 Quang: Xem EBH và KBC

hoặc BEH và BCK

21 Hoa: Đúng rồi, góc EBH và

KBC cùng bù với góc DBE nên

suy ra EBH = KBC

22 Quang: À, rồi như vậy ta đã chứng

minh được hai góc bằng nhau suy

ra hai tam giác bằng nhau

23 Hoa: Như vậy hai cạnh bằng nhau

dẫn đến diện tích hai tam giác bằng

Ta thấy trong từng bước suy luận HS cần phải xác định được các căn cứ, căn

cứ đúng mới có thể đưa ra hướng làm đúng, nếu các căn cứ sai thì dẫn đến chứng minh sai Vì vậy GV cần rèn luyện cho HS luôn luôn xác định căn cứ trong các bước lập luận của mình

d, Thành tố 4: Khả năng kiểm tra, đánh giá các giả thuyết dựa vào các suy luận

Trong quá trình HS lập luận để tìm ra cách giải quyết các vấn đề đặt ra HS sẽ đưa ra các giả thuyết dựa trên quan sát của mình, các giả thuyết có thể đúng có thể sai HS cần phải hiểu và áp dụng các quy tắc như các tam đoạn luận phổ biến, quy tắc kết luận từ mệnh đề phổ biến… để kiểm tra tính đúng đắn của giả thuyết mình đặt ra Nếu giả thuyết đúng HS sẽ tiếp tục con đường đó còn nếu sai HS phải bác bỏ giả thuyết để tìm ra con đường chứng minh khác

Ví dụ sau đây mô tả thảo luận của hai HS bằng phương pháp ghi âm để thấy các suy luận của HS sử dụng các quy tắc suy luận để tìm ra con đường chứng minh Trong phân tích lập luận chúng tôi kí hiệu Di, Ci và Wi lần lượt là các luận cứ, kết luận và luận chứng

Ví dụ 1.9 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền

BC thành hai đoạn BH, CH có độ dài lần lượt là 4cm và 9cm Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC

Linh: Chưa đâu

Trứ: Vậy xem DE có bằng đoạn nào

Trứ: Đúng rồi từ đó suy ra được

AH  DE

Linh: Vậy AH tính được chưa?

Trứ: AH tính được rồi dựa vào hệ thức

lượng trong tam giác vuông

Linh: Ừ, đúng rồi

b, Trứ: Để chứng minh M là trung điểm

của BH ta cần chứng minh gì nhỉ?

Linh: Ta cần chứng minh MH MB

Trứ: MB và MH có nằm trong tam giác

nào bằng nhau không? Liệu

Trứ: Liệu nó có bằng đoạn nào không?

Linh: Đúng rồi tam giác BDH vuông

D2: ADH  HDA AEH 90o

D3: C3 : AH DE

W: Tính chất hình chữ nhật

D3: ADEH là hình chữ nhật Trong quá trình đi tính DE HS không tìm được trực tiếp DE HS phải đi tìm kiếm dữ liệu để tính DE đó là AH

và quy tắc suy luận A B,B

bằng nhau dẫn đến điều giả sử là sai)