BÀI 1. HÀM SỐ

HÀM SỐ MỤC TIÊU - Phát biểu và vận dụng được điều kiện để điểm Mx, y, thuộc đồ thị hàm số y f x  điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến trên tập X; điều kiện để hàm số là hàm chẵ

Trang 1

BÀI 1 HÀM SỐ MỤC TIÊU

- Phát biểu và vận dụng được điều kiện để điểm M(x, y, thuộc đồ thị hàm số y f x  điều kiện để hàm

số đồng biến (nghịch biến) trên tập X; điều kiện để hàm số là hàm chẵn (hàm lẻ) trên tập D

Kỹ năng:

- Biểu diễn được các điểm trên mặt phẳng tọa độ

- Tính toán được giá trị của hàm số tại một điểm cho trước, tìm tập xác

định, tìm tập giá trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số đơn giản, khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng tọa độ

- Xét được sự đồng biến, nghịch biến, tính chẵn - lẻ của một số hàm số đơn giản

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Khái niệm về hàm số

- Cho hai đại lượng biến thiênx và y , trong đó x nhận giá trị thuộc tập sốD Khi đó, đại lượng y được gọi là hàm số của đại lượng x nếu

Đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x thay đổi

Với mỗi giá trị của x D ta luôn xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của y

- Hàm số có thể được cho bằng bảng hoặc công thức

- Khi hàm số được cho bởi công thức y f x  thì biển số x chỉ lấy những giá trị làm cho f x xác  

- Hàm số y f x  được gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu x x1, 2K x, 1x2 f x 1  f x 2

- Hàm số y f x  được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu x x1, 2K x, 1x2 f x 1  f x 2

• Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

• Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

Nhận xét: Về bản chất, cả hai cách làm tương tự nhau Tuy nhiên cách 1 chỉ tính được giá trị của hàm số

tại điểm x2 trong khi cách 2 tìm được biểu thức của f x với mọi   x0

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1 Biểu đồ dưới đây (trích từ báo Khoa học và Đời sống số 47 ngày 8-11-2002) mô tả số công trình

khoa học kĩ thuật đăng kí dự giải thưởng Sáng tạo Khoa học Công nghệ Việt Nam và số công trình đoạt giải hằngnăm từ 1995 đến 2001 Gọi f x là tỉ số giữa số công trình đoạt giải thưởng trên tổng số Công  

trình tham dự giải thưởng của năm x Ta có hàm số y f x  với tập xác định là

Bài tập nâng cao

Câu 7 Cho hàm số ( ) 3 khi 2

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

1-C 2-C 3-C 4-A 5-A 6-C 7-A 8-D

Câu 7 Chọn A

- Với điểm M 0;1 , ta có f(0)3.02   1 1 1 nên điểm M không thuộc đồ thị hàm số y3x21

- Với điểm N 1; 2 , ta có f(1)3.12 1 2 nên điểm N thuộc đồ thị hàm số y3x21

b) Trong các điểm M, N, P điểm nào thuộc đồ thị hàm số

1

x y

Trang 8

e b) Vì x1 không thuộc tập xác định của hàm số

1

x y

Đồ thị hàm số y 1 x3 cắt trục hoành tại điểm A2;0

Với x0 thì y 1 3 nên đồ thị hàm số y 1 x3 cắt trục tung tại điểm (0;1B  3)

Ta cóOA2,OB 3 1 , tam giác OAB vuông tại đỉnh O nên có diện tích là

f x g x có k nghiệm phân biệt

Độ dài đoạn thẳng AB được tính theo công thức   2 2

AB x x  y y

Trang 9

Ví dụ 3 Cho hàm số ym1x2m1 ẩn x và m là tham số Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số

đi qua điểmM2; 1  ?

Đồ thị  d1 và  d2 có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm,

điều này xảy ra khi m2

- Điểm M x y 0; 0 thuộc đồ thị hàm số y f x  khi và chỉ khi y0  f x 

- ĐiểmM x y 0; 0 thuộc đồ thị hàm số y f x m ,  với mọi m khi và chỉ khi y0 f x m 0, , m

M  N Khẳng định nào sau đây sai?

A Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm cách gốc tọa độ 3

Bài tập nâng cao

Câu 11 Đồ thị hàm số y 3 m x m  1 (với x là biến, m là tham số) luôn đi qua một điểm cố định

khi 04

y

x x

x x





  

 Vậy hàm số 22011

x

 





x x

mx xác định là mx 5 0 1  Bây giờ ta sẽ xét các khả năng của m

- Nếu m = 0 thì (1) trở thành 50 luôn đúng) Khi đó tập xác định của hàm só là D

- Nếu m = 0 thì (1) trở thành 3 = 0 (vô nghiệm)

Do đó m = 0 là một giá trị cần tìm

- Nếu m = 0 thì (1) là phương trình bậc hai ẩn x có biệt thức thu gọn   m2m m(   3) 3 ,m nên (1) vô nghiệm khi và chỉ khi 3 m  0 m 0 (thỏa mãnm0 )

Từ hai trường hợp trên suy ra m0 thì thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Chú ý: Ở ví dụ này, học sinh thường bị thiếu trường hợp m0

Bài tập nâng cao

Câu 5 Tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 2 1 2

Trang 16

Khi x3 hàm số trở thành 1

15

Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số ta thực hiện theo một trong các cách sau đây:

Cách 1 Cho hàm số y f x  có tập xác định là D Gọi X là tập con có ít nhất hai phần tử của D

Bước 1 Xét hiệu H f x   1 f x2 với mọi x x1, 2X x, 1x2

Bước 2 So sánh

- Nếu H  0, x x1, 2X x, 1x2 thì hàm số f x đồng biến trên X  

- Nếu H 0, x x1, 2X x, 1x2 thì hàm số f x nghịch biến trên X  

- Nếu T 0, x x1, 2X x, 1x2, thì hàm số f x đồng biến trên X  

- Nếu T 0, x x1, 2X x, 1x2 thì hàm số f x nghịch biến trên X  

Ví dụ: Xét hàm số ( )f x  x1 trên [ 1; ) Với mọi x1x2 1 ta có hiệu

Vậy hàm số đã cho là hàm số nghịch biến trên

Chú ý: Bảng biến thiên của hàm số y  2x 3 như sau

Ví dụ 2 Cho hàm số 1

x y x

 

  Với mọi 1, 2 3 và 1 2

2

x x   x x thì T 0 nên hàm số 1

x y x

       (mâu thuẫn với (f   f( f( f(4)))) 4

- Nếu f  4  4 thì đẳng thức f   f   f  4    4 được thỏa mãn

Vậy f  4  4

Ví dụ 4 Xét hàm số 2

( ) 4 1

y f x x  x xác định trên a) Chứng minh hàm số f x đồng biến trên   2; và nghịch biến trên (; 2]

b) Chứng minh rằng trên hàm số f x không phải hàm đồng biến, cũng không phải hàm nghịch  

Vậy f x đồng biến trên   2;

- Nếux x1, 22,x1x2 , thì trong hai số x x có ít nhất một số nhỏ hơn 2 và 1, 2

1 2 4 0, 1, 2 ( ;2], 1 2

x     x T x x   x x

Vậy f x nghịch biến trên   ; 2 

b) Giả sử f x đồng biến trên   Khi đó, với mọi x x1, 2 ,x1x2, thì f x 1  f x 2

Suy ra f  1  f  0 Tuy nhiên, điều này không xảy ra vì f  1  2 f  0 1

Vậy hàm số f x không phải hàm đồng biến trên  

Giả sử f x nghịch biến trên   Khi đó, với mọi x x1, 2 ,x1x2, thì f x 1  f x 2

Suy ra f  3  f  2 Tuy nhiên, điều này không xảy ra vì f  3  2, f  2  3

Vậy hàm số f x không phải hàm nghịch biến trên  

Chú ý: Bảng biến thiên của hàm số y f x( )x24x1 như sau

Bài tập tự luyện dạng 4

Bài tập cơ bản

Trang 19

Câu 1 Cho hàm số f x xác định trên   Khẳng định nào sau đây sai?

A Nếu hàm số f x đồng biến trên   thì x x1, 2 ,x1x2 te ta có f x 1  f x 2

B Nếu hàm số f x đồng biến trên   thì x x1, 2 ,x1x2 ta có f x 1  f x 2

C Nếu hàm số f x nghịch biến trên   thì x x1, 2 ,x1x2 ta có f x 1  f x 2

D Nếu hàm số f x nghịch biến trên   thì x x1, 2 ,x1x2 ta có f x 1  f x 2

Câu 2 Hàm số nào sau đây đồng biến trên ?

Câu 4 Cho hàm số f x xác định trên   Xét các khẳng định sau:

(1) Nếu hàm f x đồng biến trên   thì ( ( )f a  f b( ))(a b  ) 0, a b, 

(2) Nếu f a( ) f b( ) 0

a b

 a b,  ,ab thì hàm f x đồng biến trên   (3) Nếu ( ( )f a  f b( ))(a b  ) 0, a b,  ,ab thì hàm f x nghịch biến trên  

(4) Nếu hàm f x nghịch biến trên   thì f a( ) f b( ) f c( ),a b c, ,  ,a b c

Số khẳng định đúng là

Câu 5 Cho hàm số f x xác định trên đoạn   a b a; , b Xét các khẳng định sau:

(1) Nếu hàm f x nghịch biến trên [a;b] thì   f x 1 f x 2  x1x2 0, x x1, 2[ , ],a b x1x2 (2) Nếu f x 1  f x 2 x1x2 0, x x1, 2[ ; ],a b x1x2 thì hàm số f x nghịch biến trên   [ ; ]a b

(3) Nếu f a( ) f c( ) f b( ), c ( ; )a b thì hàm f x đồng biến trên    a b ;

(4) Nếu hàm f x đồng biến trên   thì f a( ) f c( ) f b( ), c ( ; )a b

Những khẳng định sai là

A (2), (3) B (1), (2) C (1), (3) D (2), (4)

Câu 6 Cho hàm số yx m22019m với x là biến số, m là tham số Khẳng định nào sau đây đúng?

A Nếu m > 0 thì hàm số đồng biến trên , nếu m < 0 thì hàm số nghịch biến trên

B Nếu m > 0 thì hàm số nghịch biến trên , nếu m < 0 thì hàm số đồng biến trên

C Với mọi m hàm số luôn nghịch biến trên

D Với mọi m hàm số luôn đồng biến trên

Câu 7 Cho hàm số f x xác định và đồng biến trên   , thỏa mãn f f f  3  3 Giá trị của

Bài tập nâng cao

Câu 9 Cho hai hàm số f x   , g x xác định trên Những khẳng định nào sau đây đúng?

(1) Nếu f x và g x đồng biến trên     thì hàm f g x cũng đồng biến trên    

Trang 20

(2) Nếu f x và g x nghịch biến trên     thì hàm f g x cũng nghịch biến trên    

(3) Nếu f x đồng biến và   g x nghịch biến trên   thì hàm f g x nghịch biến trên    

A (1), (3) B (2), (3) C (1), (2) D (1), (2), (3)

Câu 10 Cho hai hàm số f x   , g x xác định trên Khẳng định nào sau đây sai?

A Nếu các hàm f x   , g x đồng biến trên thì hàm f x  g x  cũng đồng biến trên

B Nếu các hàm f x   , g x nghịch biến trên thì hàm f x   g x cũng nghịch biến trên

C Nếu hàm f x đồng biến trên   , hàm f x nghịch biến trên   thì hàm f x   g x đồng biến trên

D Nếu hàm f x nghịch biến trên   , hàm g x đồng biến trên   thì hàm f x   g x đồng biến trên

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

f g a  f g (do hàmg x ) nghịch biến), chứng tỏ   f g x    là hàm đồng biến trên

Lập luận tương tự ta thấy khẳng định (1) và (3) đúng

 Nếu hàm số y f x  là hàm số chẵn trên D thì đồ thị của hàm số nhận trục tung làm trục đới xứng

 Nếu hàm số y f x  là hàm số lẻ trên D thì đồ thị của hàm số nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

 Nếu hàm số y f x  vừa là hàm chẵn vừa là hàm lẻ trên D thì f x( )  0, x D

ya x a x a là hàm chẵn trên khi mọi hệ số bậc lẻ bằng 0

Tương tự, hàm này là hàm lẻ trên khi mọi hệ số bậc chẵn bằng 0

Câu 5 Cho hàm số trên

Trang 23

B Hàm số là hàm lẻ trên

C Hàm SỔ không phải hàm chẵn, cũng không phải hàm lẻ trên

D Hàm sổ vừa là hàm chẵn, vừa là hàm lẻ trên

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

y   x x    x   y x Nếu 1  x 1 thì    1 x 1 và y   x y x 0

Do đó ta luôn có (y   x) y x( ), x

Vậy hàm số đã cho là hàm lẻ trên

Dạng 6 Tìm tập giá trị của hàm số, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

Phương pháp giải

- Để tìm tập giá trị của hàm số y f x  với tập xác định D ta tìm tập hợp các giá trị của y để phương đo trình y f x  có nghiệm xD

Kí hiệu G là tập giá trị của hàm số G{ ( )f x∣ xD}

Xét hàm số y f x  với tập xác định D, gọi X là tập con khác rỗng của D.Số m được gọi là giá trị lớn 1

nhất của hàm số y f x  trên X , kí hiệu là

1max ( ) ,

: ( ):

- Xét hàm số y f x  với tập xác định D, gọi X là tập con khác rỗng của D Số m được gọi là giá trị 2

nhỏ nhất của hàm số y f x  trên X, kí hiệu là

Phương trình bậc hai (1) có biệt thức   1 8(y  1) 9 8y

Điều kiện để (1) có nghiệm là 0 9 8 0 9

Chú ý: Bảng biến thiên của hàm số như sau

Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x   2x 1 trên đoạn [-3;4]

(2) Hàm số đồng biến trên khoảng 2;0 và nghịch biến trên khoảng  0; 2

(3) Tập giá trị của hàm số là đoạn  0; 2

(4) Hàm số không phải hàm chẵn, cũng không phải hàm lẻ trên tập xác định

Câu 6 Nhà ông Minh có 50 phòng trọ cho thuê Biết rằng nếu cho thuê mỗi phòng với giá 2000 000

đồng/ tháng thì cả 50 phòng đều có người thuê Cứ mỗi lần tăng giá mỗi phòng thêm 50 000 đồng một tháng thì có thêm một phòng bị bỏ trống Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì ông Minh phải cho thuê mỗi phòng giá bao nhiêu đồng một tháng?

(3 ) ( 1) 1 0 11

- Nếu y3 thì (1) là phương trình bậc hai với biệt thức   3y218y11

Lúc này (1) có nghiệm khi

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2 2