BÀI 2. HÀM SỐ y = ax + b

- Phát biểu và vận dụng được điều kiện để điểm M x y 0, 0 thuộc đồ thị hàm số yaxb , điều kiện để hàm số đồng biến nghịch biến trên tập X, điều kiện để hàm số là hàm chẵn hàm lẻ trên

Trang 1

BÀI 2 HÀM SỐ y = ax + b

MỤC TIÊU

Kiến thức:

- Nhận dạng được hàm số yaxb nắm được các nội dung về tập xác định, sự đồng biến, nghịch biến

và đô thị của hàm số

- Phát hiện được vấn đề toán học và về hàm số được nghiên cứu từ những bài toán thực tế

- Phát biểu và vận dụng được điều kiện để điểm M x y 0, 0 thuộc đồ thị hàm số yaxb , điều kiện để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên tập X, điều kiện để hàm số là hàm chẵn (hàm lẻ) trên D

Kỹ năng:

- Biểu diễn được các điểm trên mặt phẳng tọa độ, biết vẽ đồ thị hàm sốyax b y , ax b y ,  ax b , kiểm tra được các điểm cho trước có thuốc đô thị hàm số hay không, tìm giao điểm của đồ thị hàm số Với các trục tọa độ, xét sự tương giao của hai đô thị

- Xét được sự đồng biến, nghịch biến của hàm số yaxb

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

Nhắc lại về hàm số bậc nhất

- Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức yax b a  0 

- Tập xác định của hàm số bậc nhất D

- Khi a > 0, hàm số yax b a  0 đồng biến trên

Bảng biến thiên của hàm số yax b a  0 :

- Khi a < 0, hàm số yax b a ( 0) nghịch biến trên

Bảng biến thiên của hàm số yax b a  0 :

Hàm số hằng y = b

Đồ thị của hàm số y = b là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cắt trục tung tại điểm  0;b Đường thẳng này được gọi là đường thẳng y = b

Hàm số y = ax + b

- Hàm số y ax b có tập xác định D

- Hàm số | | khi 0

khi 0



- Vẽ đồ thị hàm số y ax b với a0 bằng cách: Vẽ hai đường thẳng yax b và y   ax b rồi xóa đi hai phần đường thẳng nằm ở dưới trục hoành

Ví dụ: Hàm số y2x1 có tập xác định D

Trang 2

Vì a 2 0 nên hàm số y2x1 đồng biến trên

Bảng biến thiên của hàm sốy2x1 :

Đồ thị của hàm số y2x1 là một đường thẳng cắt trục tung tại (0;1) và cắt trục hoành tại 1; 0

2

Đồ thị hàm số như hình vẽ

Ví dụ: Đồ thị hàm số y x 1 như hình vẽ:

HỆ THỐNG SƠ ĐỒ HÓA

Trang 3

II CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1 Đồ thị hàm số y = ax + b

- Phương pháp giải

Đồ thị của hàm số yaxb là một đường thẳng

Do đó, để vẽ đồ thị này, ta chỉ cần xác định hai điểm phân biệt thuộc đồ thị, chẳng hạn M x ax 1; 1b

Ta lưu ý tới các điểm là giao điểm của đồ thị với trục tọa độ

Ví dụ: Đồ thị hàm số y3 – 2x là đường thẳng đi qua hai điểm M0; 2 ,   N 1;1

Nhận xét: Đồ thị hàm số bậc nhất yax b a  0 là một đường thẳng không song song và không trùng với các trục toạ độOx Oy, Đường thẳng đó cắt Ox Oy, lần lượt tại các điểm A b, 0 ; (0, )B b

a

  có

hướng đi lên (đi xuống) từ trái sang phải nếu a > 0 (tương ứng a < 0 ) Nếu b = 0 thì đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ O 0;0 và điểm C 1;a Vì đồ thị hàm số yax b a  0 là đường thẳng d luôn cắt Oy tại

Trang 4

điểm B 0, b nên hệ số 6 được gọi là tung độ gốc của d Hơn nữa nếu gọi là góc tạo bởi phần đường

thẳng d nằm ở phía bên trên Ox và tia Ox thì ta có tan Do vậy a được gọi là hệ số góc của đường thẳng d

Khi a = 0 thì hàm số yaxb trở thành hàm hằng y = b và có đồ thị là đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm có tung độ bằng b (ta coi hệ số góc của đường thẳng này bằng 0)

- Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Vẽ đồ thị của các hàm số sau đây

a) 1

2

y b)y2x1 c)y 3 x d) y = 1

Hướng dẫn giải

a) Cho x0 thì y = 0 Cho x2 thì y =1

Do đó đồ thị hàm số yx là đường thẳng đi qua hai điểm O   0;0 , N 2;1

b) Chox0 thìy 1 Cho x1 thì y =1 Do đó đồ thị hàm số y2 –1x là đường thẳng đi qua hai điểm M0; 1 ,   N 1;1

c) Cho x0 thì y = 3 Cho x3 thì y = 0 Do đó đồ thị hàm số y3 –x là đường thẳng đi qua hai điểm M(0;3), N(3;0)

Trang 5

d) Đồ thị hàm hằng y = 1 là đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm có tung độ bằng 1

Ví dụ 2

a) Vẽ đồ thị của hai hàm số y 3 2,y x 1 trên cùng một hệ trục tọa độ

b) Tập nghiệm của bất phương trình 3 – 2xx–1 là

A ;2

3

4

; 3

C 2;

3

4

; 3

Hướng dẫn giải

a) Đồ thị hai hàm số y3 – 2 , x y x 1 như hình vẽ

b) Đồ thị hàm số y 3 2x nằm phía dưới đồ thị hàm số y x 1 khi và chỉ khi 4

3

x

Vậy tập nghiệm của bất phương trình 3 2 1 là 4;

3

Chú ý: Ta có thể biến đổi 3 2 1 4 3 4

3

      

Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình là 4;

3

 

Chọn D

Ví dụ 3 Vẽ đồ thị của hai hàm số

a) y x 2 b) y x 2

Hướng dẫn giải

Trang 6

a) Ta viết lại hàm số y x 2 ở dạng 2 khi 2

2 khi 2

y



Để vẽ đồ thị hàm số ta thực hiện các bước sau đây

- Bước 1 Ta vẽ đồ thị hàm số y x 2 (hình 1)

- Bước 2 Lấy đối xứng qua trục hoành phần đồ thị y x 2 nằm phía dưới trục hoành (hình 2)

- Bước 3 Xóa đi toàn bộ phần đồ thị y x 2 nằm phía dưới trục hoành ta được đồ thị hàm số

2

y x như hình 3 dưới đây

Nhận xét:

- Để vẽ đồ thị hàm số y x 2 ta có thể vẽ đồ thị của hai hàm số y x 2,y  x 2 trên cùng một hệ trục tọa độ rồi Xóa đi toàn bộ những phần đồ thị nằm ở phía dưới trục hoành

- Đồ thị hàm số y x 2 nhận đường thẳng x2 làm trục đối xứng

- Hàm số y x 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 tại x2

b) Ta viết lại hàm sốy x 2 ở dạng 2 khi 0

2 khi 0

y



Để vẽ đồ thị hàm số ta thực hiện các bước sau đây

- Bước 1 Ta vẽ phần đồ thị hàm số y x 2 ứng với x0 (hình 1)

- Bước 2 Lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị vừa vẽ ta được đồ thị hàm số y x 2 như hình 2 dưới đây

Nhận xét:

- Hàm sốy x 2 là hàm chẵn và đồ thị của nó nhận trực tung làm trục đối xứng

- Hàm số y x 2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng -2 tạix0

- Đồ thị của hai hàm số y  f x và y   f x  đối xứng với nhau qua trục hoành

- Đồ thị của hai hàm số y  f x và y   f  x đối xứng với nhau qua trục tung

Ví dụ 4 Vẽ đồ thị hàm số y2x  1 x 3

Trang 7

Hướng dẫn giải

Ta viết lại hàm có 3 2 khi 3

4 khi 3

y



Đồ thị hàm số gồm phần đồ thị y3x2 ứng với x3 và phần đồ thị y x 4 ứng với x3

Ví dụ 5 Vẽ đồ thị hàm số ( ) | 2 | khi 1

2 | | 1 khi 1



Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của f x  

Hướng dẫn giải

Ta viết lại hàm số

2 khi 2

2 khi 1 2 ( )

2 1 khi 0 1

2 1 khi 0









Đồ thị hàm y f x  như hình vẽ dưới đây

Do f x( )   1, x và ( )f x    1 x 0, nên   1

x

min f x

   đạt được khi x0

Ví dụ 6 Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số ymx2m1 luôn đi qua với mọi m

Hướng dẫn giải

Đồ thị của hàm sốymx2m1 là đường thẳng d

Gọi M x y 0; 0 là điểm cố định mà đường thẳng d luôn đi qua với mọi m

Cách 1: M x y 0; 0( ) :d ymx2m   1, m y0mx02m  1, m

x0 2m  y0 1 0, m



Trang 8

Vậy điểm cố định mà d luôn đi qua với mọi m là điểm M 2; 1 

Cách 2: M x y 0; 0( ) :d ymx2m  1, m

0 0 2 1(1),

Vì (1) đúng với mọi m nên nó phải đúng với m = 0 và m = 1

Thay lần lượt m0 và m1 vào (1) ta thu được 0 0

Thử lại thấy với x0  2,y0  1 thì (1) luôn đúng với mọi m

Vậy M 2; 1 là điểm cố định mà ở luôn đi qua với mọi giá trị của m

Nhận xét:

- Phương trình 1 2

a t a t  a t a ta  thoả mãn với mọi giá trị của t khi và chỉ khi

a  a a 

- Nếu khẳng định P(m) đúng với mọi mA thì với một giá trị nào đấy aA

khẳng định P(a) đúng

Ví dụ 7 Tìm m để bất phương trình (m1)x2m 5 0 có nghiệm x  12 

Hướng dẫn giải

Gọi d là đồ thị của hàm sốym1x m 5 Trên đường thẳng d ta lấy hai điểm

 1; 6 ,  2;4 3 

A  m B m Xét đoạn thẳng AB trong đó lấy điểm đầu mút B nhưng không lấy điểm đầu mút A Ta phải tìm m để đoạn thẳng này có ít nhất một điểm nằm ở phía trên hoặc thuộc trục Ox Điều này xảy ra khi y A0 hoặcy B   0 m 6 0 hoặc4m 3 0 Từ đó ta được m 6

Vậy với m 6 thì bất phương trình (m1)x2m 5 0 có nghiệm x  1; 2 

Bài tập tự luyện dạng 1

Bài tập cơ bản

Câu 1 Điểm M 1;3 không thuộc đồ thị hàm số nào sau đây?

A.y x 2 B.y4x1 C y3x1 D y3x

Câu 2 Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm sốy  2x 9 ?

A. 4;1 B.2;13  C  0;9 D  1;11

Câu 3 Hàm số y2 – 3x có đồ thị là hình vẽ nào sau đây?

Trang 9

Câu 4 Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?

A y2x3 B y 1 x C y5x2 D y 3 2x

Câu 5 Trong các hàm số cho ở bốn đáp án sau đây, hàm số nào có đồ thị đối xứng với đồ thị hàm số

2 3

y x qua trục Oy?

A y  2x 3 B.y  2x 3 C.y 4 x. D.y  6x 1

Câu 6 Đường thẳng nào sau đây có hệ số góc lớn nhất?

A y2x4 B.y  2x 8 C.y11x. D y  6 7 x

Câu 7 Đường thẳng nào sau đây có tung độ gốc nhỏ nhất?

A y2x2 B y2019x2020 C y 3 2x D y x 11

Câu 8 Giá trị của m để đồ thị hai hàm số ym1x m y ,  1 5x đối xứng với nhau qua trục hoành

là

A.m6 B m 1 C.m 4. D Không có m

Câu 9 Giá trị của m để đồ thị hai hàm số y(6m1)xm y,  1 5x đối xứng với nhau qua trục tung

là

A.m6 B m1 C.m 4. D Không có m

Câu 10 Giá trị của m để đồ thị hai hàm số ym1x m 3, y 1 5x đối xứng với nhau qua gốc tọa

độ là

A.m6 B m 1 C.m 4. D Không có m

Câu 11 Điểm cố định mà đồ thị hàm số ym1x2m luôn đi qua với mọi m là

A.2; 2 B. 2; 1 C.2;0 D 2; 2 

Bài tập nâng cao

Sử dụng giả thiết sau để trả lời các câu hỏi từ 12 đến 14

Cho bất phương trình (a4)x 1 2a0 (1) ở đó x là ẩn và a là tham số

Câu 12 Tất cả các giá trị của a để (1) có nghiệm trên [0;1) là

Trang 10

A 5

3

3

2

2 a 3 Câu 13 Tất cả các giá trị của a để (1) nghiệm đúng với mọi x  1, 2 là

A.a 3 B 9

4

4

a Câu 14 Tất cả các giá trị của a để (1) vô nghiệm trên khoảng (0;8) là

A 1

2

2

10

10

a Câu 15 Tất cả các giá trị của m để bất phương trình mx2m 1 0 nghiệm đúng với mọi x 12 là

A 1

4

m B m1 C m2 D m0

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

1-C 2-D 3-A 4-C 5-A 6-D 7-A 8-D 9-B 10-C

11-A 12-A 13-A 14-C 15-B

Câu 12 Chọn A

Đồ thị của hàm số ya4x–1 2 a ứng với x[0;1) là đoạn thẳng AB, với A0; 2a1 và

1;3 5 ,

B a kể cả điểm A nhưng không kể điểm B

Bất phương trình (1) có nghiệm trên 0;1 khi đoạn AB có phần nằm phía dưới trục hoành, hoặc có phần

thuộc trục hoành

Điều này xảy ra khi

1

3

A B

a

a

a

 







Câu 13 Chọn A

Đồ thị của hàm số ya4x 1 2a ứng với x [ 1; 2] là đoạn thẳng CD với C1;a3 và

2; 4 9,

D a kể cả hai điểm C,D

Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x [ 1; 2] khi đoạn CD không có phần nào nằm phía bên trên

trục hoành

Điều này xảy ra khi

3

3

9

0 4 9 0

4

C D

a

a

 







Câu 14 Chọn C

Đồ thị của hàm số ya4x 1 2a ứng với x(0;8) là đoạn thẳng AM với A0; 2a1 và

8;10 – 33 ,

M a không kể cả hai điểm A, M

Bất phương trình (1) vô nghiệm trên khoảng (0;8) khi toàn bộ đoạn AM nằm phía bên trên trục hoành

Điều này xảy ra khi

1

10

A M

a

a

a

 







Câu 15 Chọn B

Trang 11

Đồ thị hàm số ymx2 –1m ứng với x [ 1; 2] là đoạn thẳng PQ với P1;m1 và Q2, 4 –1 ,m  kể

cả hai điểm P,Q

Bất phương trình mx2m 1 0nghiệm đúng với mọi x [ 1; 2] khi toàn bộ đoạn PQ không nằm phía

dưới trục hoành

Điều này xảy ra khi

0

1

1

1

0 4 1 0

4

p

m

m









Dạng 2 Sự biến thiên của hàm số y = ax + b

Phương pháp giải

Xét hàm số yaxb với a, b là các hằng số

- Nếu a0 thì hàm số yaxb đồng biến trên

- Nếu a0 thì hàm số yaxb nghịch biến trên

- Nếu a0 thì hàm số yaxb trở thành hàm hằng y = b trên (không đồng biến, cũng không nghịch biến)

Ví dụ: Hàm số y3x1 ( có hệ số a 3 0 ) đồng biến trên

Hàm số y  x 1 ( có hệ số a  1 0 ) nghịch biến trên

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên ?

A.y  3x 2. B.y 1 x C.y  2x 1 D y5x3

Hướng dẫn giải

Các hàm số y3x2, y 1 , x y 2 –1x nghịch biến trên do có hệ số

0

a a<0 Hàm số y5x3 đồng biến trên do có hệ số a0

Chọn D

Ví dụ 2 Trong các hàm số 2 2, 4, 5 1, 3 , 1

2

y  x y  y x y  x y x có bao nhiêu hàm số nghịch biến trên ?

Hướng dẫn giải

Trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm số y  2x 2 nghịch biến trên

Chọn A

Ví dụ 3 Cho hàm số ym1x2m1 ẩn x và m là tham số Tìm m để hàm số đồng biến trên

Hướng dẫn giải

Hàm số ym1x2m1 đồng biến trên khi và chỉ khi m–1 0  1.m 

Ví dụ 4 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số 2

(2 11) 2019

y m x m nghịch biến trên .?

Hướng dẫn giải

Hàm số y(2m11)x2019m2 nghịch biến trên khi và chỉ khi2 11 0 11

2

m   m Có 5 giá trị nguyên dương m của là m1, 2,3, 4,5 

Chọn C

Trang 12

Ví dụ 5 Lập bảng biến thiên của hàm số sau đây

a)y  2x 3 b) y3x1

Hướng dẫn giải

a) Hàm số y  2x 3 nghịch biến trên và có bảng biến thiên như sau

b) Hàm số y3x1 đồng biến trên và có bảng biến thiên như sau

Bài tập tự luyện dạng 2

Bài tập cơ bản

Câu 1 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y3m2x2020 đồng biến trên

A m0 B.m2 C. 2

3

3

m Câu 2 Cho hàm số y 3 – 2x xác định trên tập Khẳng định nào sau đây đúng?

A Đồ thị của hàm số là một đường thẳng

B Đồ thị hàm số cắt đường thẳng y5 tại duy nhất một điểm M1;5 

C Hàm số đồng biến trên

D Hàm số có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất

Câu 3 Cho hàm sốy4 –1x Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số nghịch biến trên

B Hàm số đồng biến trên

C Hàm số nghịch biến trên ;1

4

 

  và đồng biến trên

1

; 4

 

D Hàm số đồng biến trên ;1

4

 

  và nghịch biến trên

1

; 4

 

Câu 4 Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số y  28 – 3m x 111 nghịch biến trên ?

Bài tập nâng cao

Câu 5 Cho hàm số sau xác định trên

2 1 khi 1

y



Khẳng định nào sau đây sai?

A Hàm số nghịch biển trên

B Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm M 0;3

C Hàm số không phải hàm chẵn, cũng không phải hàm lẻ trên

D Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm 1;0

2

 

HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM

Trang 13

1-D 2-D 3-B 4-D 5-D

Câu 5 Chọn D

Nếu x1 thì y    2x 1 1, nếu x <1 thì y  3 x 2 Vậy đồ thị hàm số đã cho nghịch biến trên , cắt trục tụng tại điểmM 0;3 , không phải hàm số chẵn, không phải hàm số lẻ trên và đồ thị hàm số không cắt trục hoành

Dạng 3 Sự xác định hàm số y = ax + b

Phương pháp giải

Hàm số yaxb xác định khi biết các hệ số a, b Ta gọi a là hệ số góc và b là tung độ gốc của đồ thị của hàm số yaxb

Điểm M x y 0; 0 thuộc đồ thị hàm số yaxb khi và chỉ khi y0ax0b

Ví dụ Xác định hàm số yaxbbiết rằng đồ thị của nó là đường thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng -1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

Hướng dẫn giải

Thay x 1, y0 vào hàm số ta được a b 0

Thay x0, y2 vào hàm số ta được b2

Suy ra a b 2 Vậy y2x2

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Cho hàm số ym1x2m1 ẩn x và m là tham số Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số

đi qua điểm M 2;1 ?

A.m1 B.m 1 C.m0 D 1

2

m  Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số ym1x2m1 đi qua điểm M 2;1 khi và chỉ khi

1(m  1) 2 2m 1 4m  0 m 0

Chọn C

Ví dụ 2 Xác định các hệ số a b, để đồ thị hàm số yaxb là đường thẳng đi qua hai điểm

2; 3 ,   1;1

Hướng dẫn giải

Đường thẳng yaxb đi qua điểm A(2; 3)   3 2a b

Đường thẳng yaxb đi qua điểm B 1;1   1 a b

Ta có hệ phương trình 2 3 4





Vậy với a 4, b5 thì đồ thị hàm số yaxb đi qua hai điểm A2; 3 ,    B 1;1

Ví dụ 3 Xác định các hệ số a, b để đồ thị hàm số yax b a  0 là đường thẳng ∆ đi qua điểm

 1;3 ,

M đồng thời ∆ cắt các tia Ox Oy, tại A, B (khác O) sao cho tam giác OAB có diện tích đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn giải