Bài 1: Căn bậc hai

+ Số âm không có căn bậc hai.. Căn bậc hai số học + Với số a không âm, số a được gọi là căn bậc hai số học của a.

BÀI 1: CĂN BẬC HAI I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 Căn bậc hai: Căn bậc hai của số thực a không âm là số thực x sao cho x2 = a

Chú ý:

+ Số dương a có đúng hai căn bậc hai, là hai số đối nhau: số dương kí hiệu là a , số âm kí hiệu là − a

+ Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

+ Số âm không có căn bậc hai

2 Căn bậc hai số học

+ Với số a không âm, số a được gọi là căn bậc hai số học của a

0

x

a x

x a

≥





3 So sánh các căn bậc hai số học

Ta có : a < b⇔ ≤ <0 a b

II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN

Dạng 1: Tìm căn bậc hai và căn bậc hai số học của một số Phương pháp giải:

• Nếu a > 0 thì các căn bậc hai của a là ± a; căn bậc hai số học của a là a

• Nếu a = 0 thì căn bậc hai của a và căn bậc hai số học của a cùng bằng 0

• Nếu a < 0 thì a không có căn bậc hai và do đó không có căn bậc hai hai số học

Bài 1: Tìm các căn bậc hai và căn bậc hai số học của các số sau:

a) 0 b) 64 c) 9

16 d) 0,04 e) -81 f) 0,25 g) 1,44 h) 140

81

HD:

a) Căn bậc hai và căn bậc hai số học của 0 cùng là 0

b) Căn bậc hai của 64 là ±8; căn bậc hai số học của 64 là 8

c) Tương tự, các căn bậc hai và căn bạc hai số học của 9

16 lần lượt là 3

4

± và 3

4 d) Các căn bậc hai và căn bậc hai số học của 0.04 lầ lượt là ±0,2 và 0,2

e)Không tồn tại f) ±0,5 và 0,5

g) ±1,2 và 1,2 h) 11

9

± và 11

9 Bài 2: Tìm căn bậc hai số học của các số sau

9

1

HD:

a) 12 có căn bậc hai số học là: 12 b) 121 có căn bậc hai số học là: 121

c)4

9 có căn bậc hai số học là:

4

9 d) 0,09 có căn bậc hai số học là: 0,3 e) 40

1

81 có căn bậc hai số học là:

11

9 f) 0 có căn bậc hai số học là 0 g) 64 có căn bậc hai số học là: 8 h) -81 không có căn bậc hai số học n) 9

16có căn bậc hai số học là:

3

4 m) 0,04 có căn bậc hai số học là: 0,2

Dạng 2: Tìm số có căn bậc hai số học là một số cho trước Phương pháp giải:

Với số thực a≥ 0 cho trước ta có a2 chính là số có căn bậc hai số học bằng a

Bài 1: Mỗi số sau đây là căn bậc hai số học của số nào?

a) 12 b) -0,36 c) 2 2

7 d) 0, 2

3

e) 13 f) 3

4

− g) 1 2

2 5 h) 0,120,3

7

−

l) 1 2

0,12 0,7

HD:

a) Số có căn bậc hai số học bằng 12 là 144

c) Tương tự, số có căn bậc hai số học bằng 2 2

7 là 8 7

d) Số có căn bậc hai số học bằng 0, 2

3 và 0,04

3

g) 1

3 n)Không tồn tại số nào có căn bậc hai số học là -0,49

m) Không tồn tại số nào có căn bậc hai số học bằng 1

7

−

l) Số có căn bậc hai số học bằng 1 2

2 7 là

1 10

r) Số có căn bậc hai số học bằng 0,12

0,7 là

0,12 7

Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức chứa căn bậc hai Phương pháp giải: Với số a≥0 ta có a2 =a vµ a( )2=a

Bài 1: Tính:

a) 9 b) 4

25 c) 2

( 6)

− − d)

2 3 4

−

49

B= f) C = − −( 8)2 g) A= 121 h) 121

169

B =

n) C = −( 2)2 m)

2 3 5

D − 

=  ÷ 

HD:

a) Ta có 9= 32 =3 b) Ta có

2

 

=  ÷ =

 

c) Ta có ( )2 2

− = − = − d) Ta có

e)Ta có: 4 2

B= → =B f) Ta có: C = − −( 8)2 → = −C 64→ = −C 8 g)

B= → =B

2

D= −  → =D

  Bài 4: Tính giá trị của các biểu thức sau

B= − − + −−

−

e) A = 49+ 25 4 0, 25+ f) B = ( 169− 121− 81) : 0, 49

−

HD:

a) A=0,5 0, 04 5 0,36+ → =A 0,5.0, 2 5.0, 6+ → =A 3,1

B= − − + −− → = −B + → = −B

−

e) A = 49+ 25 4 0, 25 7 5 4.0,5 14+ = + + =

f) B = ( 169− 121− 81) : 0, 49 (13 11 9) : 0,7= − − = −10

Bài 5:Tính

HD:

a 52−42 = (5 4)(5 4)− + = 9 3=

b 262−242 = 100 10=

c 852−842 = 169 13=

Dạng 4: Tìm giá trị của x thỏa mãn biểu thức cho trước Phương pháp giải: Ta sử dụng chú ý:

• x2=a2⇔ = ±x a

• Với số a 0≥ , ta có x a= ⇔ =x a2

Bài 1:Tìm x không âm biết :

3

x+ = e) 2x+ + = 1 3 0 f) 2

4 13 3

HD :

a) x = ⇒ =5 x 52 =25

b) x = 2⇒ =x ( 2)2 =2

c) x = − ⇒2 không x∃

x+ = ↔ =x

e) 2x+ + = ↔ ∈∅1 3 0 x

f) x2−4x+13 3= ↔ =x 2

Bài 2: Tìm giá trị của x biết :

d) − 2x 1+ + =2 0

3 e) x − =1 3(x≥0) f) x2+ =1 2 g) x2+5x+20 4= n) 2x+ =1 3

3 m) 2x 1 3 0+ + =

l) x2−4x 13 3+ =

HD:

a) Ta có

2

9 16 0

x − x= ⇔ x =  ⇔ = ±x

 ÷

 

b) Ta có

2

4 13

= ⇔ = ÷÷ ⇔ = ±

c) Vì x2 ≥ ⇒0 2x2+ > ⇒ ∈∅9 0 x

2 1 6 2 1 6

2

x+ = ⇔ x+ = ⇔ =x

e) x− =1 3(x≥ ⇔0) x = ⇒ =4 x 16

f) x2+ =1 2⇔ x2+ = ⇔1 2 x2 = ⇔ = ±1 x 1

g) 2 5 20 4 2 5 20 16 2 5 4 0 1

4

x

x

= −



n) 13

3

x= m) x∈∅ l) x = 2

Bài 3: Tìm giá trị của x, biết:

a) 2x<1

2 c) − + >2x 1 7 d) 2x 1− ≤ 3

2 e) x <3 f) 3x <9

HD:

a) Ta có 2x< ⇔1 2x< ⇔ ≤1 0 2x< ⇔ ≤ <1 0 x 1

b) ĐK : − + ≥ ⇔ ≤3x 1 0 x 1

Ta có − + ≥ ⇔ − + ≥3x 1 5 3x 1 25⇔ ≤ −x 49

c) ĐK: x≤ 1 Ta cã -2x+ 1>49 ⇔ < −x 24

d) ĐK: x≥1 Ta cã 2x-1≤ ⇔ ≤9 x 13

e) x < ⇒3 x < 9 ⇒ ≤ <0 x 9

f) 3x < ⇔9 3x < 81⇔3x<81⇔ <x 27

Dạng 5: So sánh các căn bậc hai số học Phương pháp giải:

Phương pháp 1: Ta có : a< b ⇔ ≤ <0 a b

Phương pháp 2 :

Bước 1 : Xác định bình phương của hai số Bước 2 : So sánh các bình phương của hai số Bước 3 : So sánh giá trị các CBHSH của các bình phương của hai số

Bài 1: So sánh các số sau

a) 2 38 và 151 b) −7 11 và −11 7 c)2 3 và 3 2

d)−6 7 và −7 6 e)4 3 và 7 f) −4 17 và − 17

HD:

a) Cách 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh a với b

Ta có 2 38= 2 382 = 152 > 151⇒2 38 > 151 Cách 2: So sánh bình phương của hai số

2 38 =4.38 152; 151= =151

Do 152 151 > và 2 38 0 2 38 151

151 0

 >



>

b) Ta có −7 11 và −11 7 là hai số âm

Nên ta cần so sánh −7 11 =7 11 và −11 7 =11 7 Cách 1:Đưa thừa số vào trong căn để so sánh a với b

11 7= 11 7 = 847;7 11= 7 11= 539

Do 539 847< ⇒7 11 11 7< ⇒ −7 11> −11 7

Vậy −7 11> −11 7 Cách 2:So sánh bình phương của hai số

11 7 =11 7 847; 7 11= =7.11 =539

539 847< ⇒ 7 11 < 11 7 ⇒7 11 11 7< ⇒ −7 11> −11 7 Vậy −7 11> −11 7

c) Cách 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh a với b

Ta có 2 3= 2 32 = 12;3 2 = 3 22 = 18

Vì 12 18< ⇔ 12< 18⇔2 3 3 2<

Cách 2: So sánh bình phương của hai số

2 3 =4.3 12; 3 2= =9.2 18=

12 18 < ⇔ 2 3 < 3 2 ⇔ 2 3 3 2 <

d)Cách 1: Đưa thừa số vào trong dấu căn để so sánh a với b

Ta có −6 7 = − 6 72 = − 252; 7 6− = − 7 62 = − 294

Vì 252 294< ⇔ 252< 294 ⇔ − 252> − 294 ⇔ −6 7> −7 6 Cách 2: So sánh bình phương của hai số

6 7 =36.7 252; 7 6= =49.6 294=

252 294 < ⇔ 6 7 < 7 6 ⇔ 6 7 < 7 6 ⇔ − 6 7 > − 7 6

e)Cách 1:Vì 48 49< ⇔ 48< 49 ⇔4 3 7<

Cách 2: So sánh bình phương của hai số

( )2

2

4 3 <7 ⇒4 3 7<

f)Cách 1: Vì 272 289< ⇔ 272 < 289⇔ − 272 > − 289 ⇔ −4 17> −17

Cách 2: So sánh bình phương của hai số

2

272 289< ⇒ 4 17 <17 ⇒4 17 17< ⇔ −4 17 > −17 Bài 2: So sánh:

d) 1− 3 và 0,2 e) 120 và 97 f) 81 và 19

g) 2 và 1+ 2 h) 1 và 3 1−

HD:

a) Ta có 32=9 vµ 2 2( )2=8 mµ 9>8 nªn 3>2 2

b) Ta có 5 4 1= + = 16 1 mµ 16+ < 17 (v× 16<17) nªn 5< 17 1+

c) Tương tự câu b, 3 4 1= − = 16 1 mµ 16− > 15 (v× 16>15) nªn 3 > 15 1−

d) Ta có 1− 3= 1- 3<0 mµ 0< 0,2 nªn 1- 3< 0,2

e) Vì :120 97> ⇒ 120 > 97

f) Ta có: 81 = 9 < 19

g)Ta có: 2 1 1 1= + < + 2 ⇒ < +2 1 2

h)Ta có: 1 2 1= − = 4 1− > 3 1− ⇒ >1 3 1−

Bài 3: So sánh các số sau

a) 7+ 15 và 7 b) 3 26 và 15 c) 2+ 11 và 3 5+

d) -30 và −5 35 e) 30 2 45

4

15+ 24 và 101 1−

g) 17 2 15

6

− và

2

HD :

a) Ta có: 7 < 9 9; 15= < 16 4= ⇒ +7 15 3 4 7< + =

b Ta có: 26 > 25 5= ⇒3 26 3.5> ⇒3 26 15>

c) Ta có : 2 < 3; 11< 25⇒ 2+ 11< 3 5+

d) Ta có : 35 < 36 6= ⇔5 35 5 36 30< = ⇔ −5 35> −30

e) Ta có : 30 2 45 30 2 49 30 2.7 4 16 17

f)Ta có

Vậy 101 1− > 15+ 24

g) Ta có 17 2 15 17 2 16 3 17 2 15 2 ( )2 17 2 15

Vậy 17 2 15 2

6

− > .

Bài 4: So sánh các số sau

e)7 4 5 − và − 2 f) − − 9 4 5 và − 18

HD:

a) Xét 11 7= + 16

Vì 14 16< ⇔ 14< 16 ⇔ +7 14 7< + 16⇔ +7 14 11<

b) Xét 7 9= − 4

Vì − 4> − 5⇔ −9 4 9> − 5⇔ > −7 9 5 c) Xét 1 5 = − 16;5 − 5 3 5 = − 15

Vì − 16 < − 15⇒ −5 16 5< − 15⇔ < −1 5 5 3 d) Xét 2= − +11 169

Vì 145< 169 ⇔ − +11 145< − +11 169⇔ − +11 145 2<

e) Xét − = − = − 2 7 9 7 81;7 4 5 7 − = − 80

Vì − 81< − 80⇔ −7 81 7< − 80⇔ − < −2 7 4 5 f) Xét − = − − 18 9 81; 9 4 5 − − = − − 9 80

Vì − 81< − 80⇔ − −9 81< − −9 80 ⇔ − < − −18 9 4 5

Bài 5: So sánh các số sau

c)− 4 5 3 + và − 37 d) − 37 5 − và − 120

e) 2+ 11 và 3 5 +

HD:

a) Xét 15 < 16 ⇔ 15 1 3, − < mà 3 = 9 < 10 ⇒ 15 1 − < 10

b)Xét 17 > 16 ⇒ 17 3 7 + > > 48 ⇒ 17 3 4 3 + >

c)Xét − 80 > − 81 ⇔ − 4 5 3 + > − 6, mà − 36 > − 37 ⇒ − 4 5 3 + > − 37

d)Xét − 37 < − 36 ⇔ − 37 5 − < − ⇔ − 11 37 5 − < − 121

mà − 121 < − 120 ⇒ − 37 5 − < − 120

e)Xét 2 < 3 và 11 < 25 ⇒ 2 + 11 < 3 5 +

Bài 6: So sánh các số sau

3 12 và 4 37

HD:

Đưa về so sánh A2 và B2

2 + 3 = + 5 2 6 5 = + 24; 10 = 10 5 = + 25

24 < 25 ⇒ 2 + 3 < 10 ⇒ 2 + 3 < 10

5 2 + = + 9 4 5 9 = + 80; 2 + 6 = + 8 2 12 8 = + 48

9 + 80 8 > + 48 ⇔ 5 2 + > 2 + 6 ⇔ 5 2 + > 2 + 6

3 2 + = + 7 4 3 7 = = 48; 2 + 6 = + 8 2 12 8 = + 48 ⇒ 3 2 + < 2 + 6

⇔ + < + ⇔ − − > − −

d) Xét

2

2

2 2

15 7 22 2 105;8 22 2 441

15 7 8

⇒ + < ⇔ − − > −

e) Xét ( )2

3 2 2− = −17 12 2 17= − 288 và 22 = −17 169

17− 288 17< − 169 ⇔ −3 2 2 <2 ⇔ −3 2 2 2<

f) Ta có

3 12 108 4 3 48

Vì

2 2

48 108 4 3 3 12 4 3 3 12

> ⇒ ÷  > ÷÷ ⇒ >

Bài 7: So sánh các số sau

n) 2+ 3và 3 m)16 và 9 + 4 5 l) 11− 3 và 2

HD:

a) Ta có ( 30− 29)( 30+ 29) (=1; 29− 28)( 29+ 28) =1

30 29 29 28

b) 27+ 6 1 3 3+ = + 6 1+ và 48 4 3 3 3= = + 3

mà 6 1+ > 3 1+ > 3⇒ 27+ 6 1+ > 48

c) Xét 18 15 3 15= + = + 9

Vì 9< 10⇒ +15 9 15< + 10 Vậy 15+ 10 18.>

d) Xét 16 22 6 22= − = − 36

Vì − 35> − 36⇒22− 35 22> − 36 Vậy 22− 35 16>

21+ 2 = 21 +2 21 2+ 2 =23 2 42+

( ) ( )2 2 ( )2

14+ 3 = 14 +2 14 3+ 3 = +14 2 42 3 17 2 42+ = +

23 17 23 2 42 17 2 42 21 2 14 3

21 2 14 3

Vậy 21+ 2 > 14+ 3

17+ 6 =23 2 102;+ 21− 2 =23 2 42−

23 2 102 23 2 42+ > − ⇒ 17+ 6 > 21− 2 ⇒ 17+ 6 > 21− 2 Vậy 17+ 6> 21− 2

g) Ta có ( )2

15+ 2 = +15 2 15 2 2 17 2 30+ = + ; ( )2

14+ 3 = +17 2 42

17 2 42 17 2 30+ > + ⇒ 14+ 3 > 15+ 2 ⇒ 14+ 3> 15+ 2 Vậy 14+ 3> 15+ 2

h) Ta có : 9 6 3 6= + = + 9 ; 6 2 2 6+ = + 8

Vậy 9 6 2 2 > +

n) Ta có : ( 2 + 3) 2 = + 5 2 6; 9 5 4 5 2.2 = + = +

Do 6 2> nên 2+ 3 3>

m) Ta có : 16 4 = 2 = + (2 2) ; 9 4 5 (2 2 + = + 5) 2

Vậy 16 9 4 5< +

l) Ta có : 11− 3< 12− 3 2 3= − 3= 3< 4 2=

Vậy 11− 3 2<

Nhận xét: Khi so sánh a+ b và c+ d mà ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

a + b = c + d thì ta sẽ đi so sánh bình phương của hai số, rồi từ đó suuy ra kết quả

Bài 8: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần 23; 2 7;5 6; 8 2; − − 127

HD:

Ta có −8 2= − 8 22 = − 128< − 127 0<

Ta so sánh các số dương23;2 7;5 6 như sau:

23= 23 = 529; 2 7 = 2 7 = 28;5 6= 5 6= 150

Do 28 150 529< < ⇒ 28< 15< 529⇒2 7 5 6 23< <

Vậy − 128< − 127 2 7 5 6 23.< < <

Bài 9: So sánh hai số sau 29− 28 và 28− 27

HD:

29 28 29 28 29 28 1 29 28

29 28

+

28 27 28 27 28 27 1 28 27

28 27

+

28 27 29 28

Vậy 28− 27 > 29− 28

Nhận xét: Để so sánh hai số dạng a− b và b− d (a, b, c, d là các số dương) mà a b b d− = −

ta làm như sau:

( a− b)( a+ b) = −a b;( b− d)( b+ d)= −b d

Sau đó từ việc so sánh hai số a+ b và b+ d ta sẽ só sánh được hai số a− b và b− d Bài 10: So sánh

a 2+ 2+ 2 2 2+ và 2 b x = 13 + 15; y = 11 + 17

c x = 23 − 21; y = 19 − 17 d x = 12 + 5; y = 20 + 3

HD :

a 2+ 2+ 2 2 2+ < 2+ 2+ 2 2 4+ = = 2

b Ta có:

(13 15 11 17); ,+ = + x y> →0 x =28 2 13.15;+ y =28 2 11.17+ →x > y → >x y

23 21 23 21 19 17

vì 23+ 21> 19+ 17→ <x y

Chú ý:a b, 0 a b ( a b)( a b) a b a b

−

+

d Ta có12.5 20.3;= x2 = +17 2 60;y2 =23 2 60+ ⇒x2 < y x y2( , > ⇒ <0) x y.

Bài 11: Tìm số lớn hơn trong các cặp số sau:

HD:

a) 2 30 b) 1+ 2 c) 3 1 − d) −3 11

Dạng 6: Chứng minh một số là số vô tỉ:

Bài 1: Chứng minh:

a) 3 là số vô tỉ b) 2+ 3 là số vô tỉ

HD:

a) Giả sử 3= m

n là số hữu tỉ với m,n Z,n 0 ∈ ≠ và (m,n) =1

Từ 3= m⇒m2=3n2⇒m 32M⇒m 3M⇒ =m 3k

Thay m=3k vào m2= 3n2 ta được n2= 3k2⇒ n 32M ⇒ n 3 M Như vậy m,n có ước chung là 3, trái với giả thiết (m,n)=1

Vậy 3 là số vô tỉ.

b) Giửa sử 2+ 3 a= là số hữu tỉ Ta có + = ⇒ = 2−

5 2 6 a 6

2 (1)

Tương tự ý a, ta chứng minh được 6 là số vô tỉ (2)

Tuy nhiên, vì a là số hữu tỉ nên a2− 5

2 cũng là số hữu tỉ (3)

Từ (1),(2), (3) dẫn đến điều vô lý

Vậy 2+ 3 phải là số vô tỉ

Bài 2: Chứng minh các số sau là số vô tỷ

HD :

b) Giả sử 7 3 m+ = là số hữu tỉ → 7 = − ∈m 3 Q

mà 7 là số vô tỉ, trái với giả thiết nên 7 3+ là số vô tỉ

Bài 3: Chứng minh:

a) 5 là số vô tỉ b) 3+ 5 là số vô tỉ

III BÀI TẬP VỀ NHÀ

Bài 1: Mỗi số sau đây là căn bậc hai số học của số nào?

a) 7 b) − − 

3

4 c) 3 2

2 3 d) 0, 250,5

HD: a) 49 b) 9

16 c)

3

2 d)

0,625 2

Bài 2: Tính: a) 225

9 b) − −( )2

111 c)

2 1 400

− ÷÷

  d)

2 7 3

−

HD: a) 15

3 b) 111 c)

-1

400 d)

7 3 Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) 2 25−9 16+ 144

5 2 81 b) 0,5 0,09 2 0,25− + 1

4

c) 19 −3 64

−

289 10 0,09

HD:

a) 12 b) -0,35 c) -11

4 d)

-13 4 Bài 4: Tìm giá trị của x biết:

−

HD:

a) x = ± 18 b) x = 5

4

± c) 13

x 4

= d) x ∈ − { 1;2 } Bài 5: So sánh các cặp số sau:

c) 0,5 và 3 2− d) −3 3 và −2 7

HD:

a) 4 1 2 2> + b) 4 2 6 1> − c) 0,5 > 3 2 − d) − 3 3 2 7 >

Bài 6: So sánh : 2015+ 2018 và 2016+ 2017

HD:

Đặt A= 2015+ 2018 và B= 2016+ 2017

Ta có A2=2015 2018 2 2015.2018 4033 2 2015.2018+ + = +

Tương tự B 4033 2 2016.2017= +

Mặt khác 2015.2018= (2016-1)(2017+1)= 2016.2017- 2<2016.2017

2 2

A B A B

⇒ < ⇒ <

Bài 7: Tìm x thỏa mãn

HD :

b) Điều kiện: 1

2

x≤ , bình phương hai vế ta được: x ≥ 2 ( thỏa mãn ) Bài 8: tìm x thỏa mãn: a) − + >2x 1 7 b) x 9 31+ ≤

HD:

a) x<-24 b) 0 x 484≤ ≤

Bài 9: Tìm x biết:

HD:

a) ĐK: 1

x 2

≥ Bình phương hai vế ta tìm được x 2≥ (TMĐK) b) ĐK; x 0 ≥ Bình phương hai vế ta có

2x x x(x 2) 0

x 0

≥



≤ ⇔ − ≥ ⇔  ≤ Kết hợp ĐK ta được x=0 hoặc x 2≥

Bài 10: Chứng minh:

a) 7 là số vô tỉ b) 7 3+ là số vô tỉ

HD:

a) Tương tự

b) Giả sử 7 3 a + = là số hữu tỉ Suy ra 7 a 3 Q = − ∈

Mà 7là số vô tỉ, trái với giả thiết ⇒ 7 3 + là số vô tỉ

Bài 11: Cho biểu thức : P x 2 2x 3= − −

a) Đặt t= 2x 3− Hãy biểu thị P theo t

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

HD:

a) Đặt

2

t 3

t 2x 3(t 0) x

2

+

= − ≥ ⇒ = từ đó P 1t2 2t 3

b) Ta có 1 2 1

= − ⇔ = Bài 12: So sánh:

a) 1 + 1 + 1 + + 1

1 2 3 100 và 10 b) 4+ 4+ 4 + + 4 và 3

HD:

1 1 1 1 a 100. 1 10

1> 2> 3> > 100⇒ > 100=

b) Ta có

< ⇒ + < + <

⇒ + + < < + <