biểu diễn toán động trong chủ đề các bài toán liên quan đến thực tế

Trong khuôn khổ của một tiểu luận, với đề tài “Giải quyết các vấn đề trên biểu diễn toán động trong chủ đề các bài toán liên quan đến thực tế", tôi sẽ giải một số bài toán liên quan đến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Ứng dụng CNTT và truyền thông trong dạy học môn Toán

Giáo viên hướng dẫn: Nguyễn Đăng Minh Phúc

Sinh viên thực hiện: Đặng Thị Thu Trang

Huế, 11-2018

Lời nói đầu

Trong thời đại của sự bùng nổ của KH-KT mà đặc biệt là CNTT, diện mạođời sống xã hội của con người đã có những thay đổi vô cùng lớn CNTT đã xâmnhập vào tất cả mọi lịnh vực của đời sống và đặc biệt là trong hoạt động giáo dục,

có người nói rằng "mảnh đất giáo dục" chính là tấm gương phản chiếu của mỗibước phát triển của KH-KT mà trong đó có CNTT Ngày nay, CNTT đã được sửdụng phổ biến trong mọi cấp học, và nó đã tạo ra bước đột phá mới trong việc nângcao chất lượng giáo dục

Hiện nay trên thế giới đã có nhiều phần mềm dạy học toán như Maple,Cabri, GSP, v.v Các phần mềm này đã phần nào đó giúp GV và HS đạt được hiệuquả cao hơn trong việc dạy và học Toán Tuy nhiên việc lựa chọn phần mềm saocho phù hợp và sử dụng nó một cách hiệu quả cũng là một vấn đề không mấy dễdàng đối với không ít GV và HS hiện nay Trong khuôn khổ của một tiểu luận, với

đề tài “Giải quyết các vấn đề trên biểu diễn toán động trong chủ đề các bài toán liên quan đến thực tế", tôi sẽ giải một số bài toán liên quan đến thực tếcùng với

phần mềm The Geometer's Sketchpad

Hoàn thành đươc đề tài tiểu luận này, tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáoNguyễn Đăng Minh Phúc - người hướng dẫn cũng như là người phụ trách môn học

"Ứng dụng CNTT và truyền thông vào dạy học môn Toán"

Một số kí hiệu viết tắt

CNTT: Công nghệ thông tinKH-KT: Khoa học - Kỹ thuậtGSP: Geometer's Sketchpad

MTĐT: Máy tính điện tửSGK: Sách giáo khoa

THPT: Trung học phổ thôngGQVĐ: Giải quyết vấn đề

Lời nói đầu 1

Một số kí hiệu viết tắt 2

Chương 1: Giới thiệu đê tài 4

1 Tên đề tài 4

2 Mục tiêu của đề tài 4

3 Nội dung tóm tắt của đề tài 4

4 Tài liệu tham khảo phục vụ đề tài tiểu luận 4

Chương 2: Giới thiệu chung 5

1 Giải quyết vấn đề (giải bài toán) 5

a Bản chất của giải quyết vấn đề 5

b Quy trình thực hiện 5

c Ưu điểm 7

d Hạn chế 8

2 Biểu diễn toán động 8

a Biểu diễn toán động là gì? 8

b Vai trò của biểu diễn toán động trong dạy học Toán 8

3 Giới thiệu phần mềm dạy học Geometer’s Sketchpad 9

Chương 3: Sử dụng biểu diễn toán động để giải quyết một số bài toán thực tế 11

Bài toán 1: Trí khôn của thằng Bờm 11

Bài toán 2: Người đi lấy nước 13

Bài toán 3: Bài toán cây cầu 16

Bài toán 4: Trò chơi bi-a 20

Chương 1: Giới thiệu đê tài

1 Tên đề tài

Giải quyết các vấn đề trên biểu diễn toán động trong chủ đề các bài toán liên quanđến thực tế

2 Mục tiêu của đề tài

Dựa trên một số công cụ xây dựng biểu diễn toán động cơ bản trong phần mềmGSP để giải quyết một số bài toán liên quan đến thực tế môt cách hiệu quả màkhông kém phần sinh động, trực quan Đây cũng là một phương tiện hổ trợ chúngtôi trong quá trình giảng dạy ở kì thực tập sắp tới, với mong muốn mang đến cho

HS sự hứng thú trong học tập cũng nhưng trong việc giải quyết các bài toán

3 Nội dung tóm tắt của đề tài

Đề tài tiểu luận bao gồm những nội dung chính sau:

Phần 1: Một số hiểu biêt về giải quyết vấn đề và biểu diễn toán động, giới thiệu sơ

lược về phần mềm dạy học GSP

Phần 2: Đây là phần chính của đề tài bao gồm một só bài toán liên quan đến thực

tế được giải quyết bằng các biểu diễn toán động Các kiến thức liên quan đến cácbài toán không nằm trong một chương trình học cụ thể, mà có thể tích hợp nhiềulĩnh vực khác nhau trong toán học, chẳng hạn: Đại số, Hình học, Giải tích…

4 Tài liệu tham khảo phục vụ đề tài tiểu luận

1 Nguyễn Đăng Minh Phúc, Tài liệu bồi dưỡng chuyên đề dành cho GV tỉnh

An Giang – Thiết kế các mô hình dạy học Toán THPT với The Geometer’s Sketchpad

2 Trần Vui (Cb), Lê Quang Hùng (2007) Khám phá Hình học 11 với The Geometer’s Sketchpad NXB Giáo dục, Hà Nội.

3 Bùi Thị Hường (2010) Giáo trình phương pháp dạy học môn Toán ở trung học phổ thông theo định hướng tích cực NXB Giáo dục Việt Nam.

4 TRần Vui (Cb), Lê Quang Hùng, Nguyễn Đăng Minh Phúc (2009) Thiết kế các mô hình dạy học toán THCS với The Geometer’s Sketchpad NXB Giáo

dục Việt Nam

Chương 2: Giới thiệu chung.

1 Giải quyết vấn đề (giải bài toán)

a Bản chất của giải quyết vấn đề

Giải quyết vấn đề là một quá quá trình của một cá nhân sử dụng kiến thức, kỹ năng

và hiểu biết đã được học trước đây để đáp ứng đòi hỏi của những tình huống khôngquen thuộc Đây là một năng lực rất quan trọng trong quá trình học toán và làmtoán của HS, vì thế GV phải có những kĩ năng cơ bản trong phương pháp dạy họcgiải quyết vấn đề

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề là một PPDH trong đó GV tạo ra nhữngtình huống có vấn đề, điều khiển HS phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực,chủ động, sáng tạo để giải quyết vấn đề và thông qua đó chiếm lĩnh tri thức, rènluyện kĩ năng và đạt được những mục đích học tập khác Đặc trưng cơ bản của dạyhọc phát hiện và giải quyết vấn đề là "tình huống gợi vấn đề" vì "Tư duy chỉ bắtđầu khi xuất hiện tình huống có vấn đề" (Rubinstein)

Tình huống có vấn đề (tình huống gợi vấn đề) là một tình huống gợi ra cho HS

những khó khăn về lí luận hay thực hành mà họ thấy cần có khả năng vượt qua,nhưng không phải ngay tức khắc bằng một thuật giải, mà phải trải qua quá trìnhtích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiếnthức sẵn có

Một trong những mục đích cốt yếu của hình thức dạy học này là giúp học sinh pháttriển các khả năng: khả năng phát hiện và trình bày vấn đề, khả năng tìm kiếm cáchgiải quyết vấn đề, khả năng tổ chức quá trình giải quyết vấn đề, khả năng kiểm trađánh giá kết quả và phương pháp tiến hành giải quyết vấn đề, Nói cách khác, nócũng cung cấp cho học sinh những tri thức phương pháp

b Quy trình thực hiện

Thông thường, để giải quyết một vấn đề(giải một bài toán), cần phải trải qua các

“công đoạn” như sau: tìm hiểu sơ bộ đề bài, khai thác đề bài, tìm tòi lời giải, trìnhbày lời giải, đánh giá lời giải đề suất bài toán mới Tất nhiên, không phải bất kì bàitoán nào cũng phải trải qua đủ các công đoạn đó, song chúng giúp ích rất nhiều choviệc giải quyết các bài toán

Bước 1:Hiểu vấn đề.

Trước khi bắt tay vào làm một bài toán dù khó hay dễ, việc đầu tiên của người học

là đọc kỹ đề bài để thấy được “toàn cảnh” của vấn đề, càng sáng sủa, càng rõ ràngcàng hay, không vội đi vào chi tiết, nhất là các chi tiết rắc rối

Trong bước này, HS có thể liên kết các kiến thức từ các nguồn khác nhau, chứng tỏđược sự hiểu biết về các khái niệm có liên quan và sử dụng các khái niệm này đểhiểu thông tin vừa được cung cấp

Bước 2:Phân tích vấn đề.

Đối với các vấn đề khác nhau sẽ có cách phân tích khác nhau Nếu vấn đề là mộtbài toán tìm tòi thì HS phải xác định được đâu là ẩn, đâu là cái cần tìm, các điềukiện ràng buộc là gì Còn nếu vấn đề là một bài toán chứng minh thì cần nêu rõ cácgiả thiết, kết luận

Các em HS cần phải xây dựng các biểu diễn của bài toán dưới các dạng tương ứng.Chẳng hạn các bài toán hình học được biểu diễn dưới dạng hình vẽ, các bài toánđại số và số học đó có thể là các đồ thị, cũng có khi là các sơ đồ, đoạn thẳng, cáchình hình học (các bài toán về cực trị hoặc các bài toán hình học giải bằng phươngpháp đại số) Bên cạnh đó, đối với nhiều bài toán (nhất là các bài toán đại số), taphải đưa vào một số kí hiệu thích hợp dùng để ghi các đồi tượng và quan hệ củachúng trong bài toán một cách ngằn gọc, dễ nhìn, dễ nhớ Việc cảm nhận trực tiếptrên hình ảnh, kí hiệu giúp ta đánh giá một cách xác đáng các thông tin được chotrong ngữ cảnh

Một số lưu ý khi phân tích một vấn đề (bài toán):

 Phân tích bài toán đề đưa về những bài toán đơn giản hơn

 Liên hệ và sử dụng các bài toán đã giải

 Mò mẫm và dự đoán

Bước 3:Giải quyết vấn đề.

Đây là một bước quan trọng – nếu không nói là bước quan trọng nhất – trong việcgiải quyết một vấn đề Trong bước này, các em HS phải đưa ra một quyết định,phân tích một cách hệ thống để đạt được một mục tiêu nào đó, hoặc phát hiện và đềxuất ra một lời giải

Khi đã tìm được cách giải việc tiếp theo là trình bày lời giải Việc này không khókhăn, tuy nhiên nó đòi hỏi một lí luận chắt chẽ HS phải chú ý đến trình tự và độchính xác của từng chi tiết, đến mối quan hệ giữa các chi tiết trong từng đoạn của

lời giải và trong toàn bộ lời giải Không có chi tiết nào “bỗng nhiên” xuất hiện màkhông căn cứ vào những kiến thức đã học hoặc những chi tiết mà ta trình bày trước

đó Bên cạnh có, lời giải phải được trình bày gọn gàng, mạch lạc, sáng sủa, dễ đọc

Bước 4:Phản ánh về lời giải

Đây là quá trình các em HS kiểm tra lại lời giải của mình; đánh giá lời giải củamình theo các quan điểm khác nhau nhằm điều chỉnh lại lời giải và làm cho các lờigiải này có thể chấp nhận được về mặt kỹ thuật hoặc xã hội, và xác minh lại lờigiải của mình

Công đoạn cuối cùng này rất cần thiết và bổ ích nhưng lại thường bị bỏ qua do tínhvội vàng, hấp tấp Trong khi trình bày lời giải, rất có thể có thiếu sót, nhầm lẫn.Việc kiểm tra lại giúp ta tránh được những sai sót đó và còn giúp ta tích lũy thêmkinh nghiệm cho những bài toán khác Hơn nữa, việc nhìn lại toàn bộ lời giải cóthể giúp ta có cách giải khác tốt hơn, ngắn gọn hơn, hay hơn hoặc sâu sắc hơn.Ngoài ra, nhìn lại toàn bộ lời giải nhiều khi gợi ý cho ta tim những bài toán mới,

mà bài toán vừa xét chỉ là trường hợp đặc biệt mà thôi

c Ưu điểm

Phương pháp này góp phần tích cực vào việc rèn luyện tư duy phê phán, tư duysáng tạo cho HS Trên cơ sở sử dụng vốn kiến thức và kinh nghiệm đã có HS sẽxem xét, đánh giá, thấy được vấn đề cần giải quyết

Đây là phương pháp phát triển được khả năng tìm tòi, xem xét dưới nhiều góc độkhác nhau Trong khi phát hiện và giải quyết vấn đề, HS sẽ huy động được tri thức

và khả năng cá nhân, khả năng hợp tác, trao đổi, thảo luận với bạn bè để tìm racách giải quyết vấn đề tốt nhất

Thông qua việc giải quyết vấn đề, HS được lĩnh hội tri thức, kĩ năng và phươngpháp nhận thực ("giải quyết vấn đề" không còn chỉ thuộc phạm trù phương pháp

mà đã trở thành một mục đích dạy học, được cụ thể hóa thành một mục tiêu là pháttriển năng lực giải quyết vấn đề, một năng lực có vị trí hàng đầu để con người thíchứng được với sự phát triển của xã hội)

d Hạn chế

Phương pháp này đòi hỏi GV phải đầu tư nhiều thời gian và công sức, phải có nănglực sư phạm tốt mới suy nghĩ để tạo ra được nhiều tình huống gợi vấn đề và hướngdẫn tìm tòi để phát hiện và giải quyết vấn đề

Việc tổ chức tiết học hoặc một phần của tiết học theo phương pháp phát hiện vàgiải quyết vấn đề đòi hỏi phải có nhiều thời gian hơn so với các phương phápthông thường Hơn nữa, theo Lecne: "Chỉ có một số tri thức và phương pháp hoạtđộng nhất định, được lựa chọn khéo léo và có cơ sở mới trở thành đối tượng củadạy học nêu vấn đề".

2 Biểu diễn toán động

a Biểu diễn toán động là gì?

Biểu diễn toán động bao gồm các hình ảnh đồ thị, mô hình hình học được thiết kếbằng phương tiện CNTT như MTĐT Biểu diễn toán động là công cụ thiết yếu đểdạy, học và làm toán Đặc biệt, những mô hình toán tích cực được thiết kế bằngphần mềm động trên máy tính cung cấp những hình ảnh động, trực quan về các ýtưởng toán học, thúc đẩy việc sắp xếp và phân tích dữ liệu; đồng thời thiết lập cácphép tính một cách hiệu quả và chính xác Chúng có thể hổ trợ học sinh khảo sáttoán trong mọi lĩnh vực toán học bao gồm: hình học, đại số, thống kê, đo đạc và sốhọc Với công nghệ và những công cụ phù hợp, học sinh có thể tập trung vào việcđưa ra các quyết định, phản ánh, suy luận và giải quyết các vấn đề toán học

b Vai trò của biểu diễn toán động trong dạy học Toán

Các biểu diễn toán động có thể giúp cho sinh viên và học sinh:

a Minh họa trực giác và thấu hiểu nội dung toán Ý nghĩa của các biểu diễn ký

hiệu trừu tượng cần được thể hiện ở một dạng khác bằng các biểu diễn trựcquan Việc hiểu khái niệm toán sẽ tốt hơn khi học sinh “thấy” được khái niệm

đó thông qua nhiều bối cảnh hoặc biểu hiện khác nhau

b Phát hiện các sự kiện, quy luật và các mối quan hệ Phần mềm hình học động

giữ nguyên các mối quan hệ đã có giữa các đối tượng khi tiến hành các tươngtác lên đối tượng Những tương tác này hỗ trợ cho học sinh cơ hội phát hiện

ra các sự kiện, quy luật và mối quan hệ mới

c Đồ thị hóa để thể hiện các dữ kiện, cấu trúc hoặc quy tắc Các dữ kiện khi

được đồ thị hóa có thể giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc phát hiện cấutrúc, quy luật của chúng Không những thế, những đồ thị được dựng trênphần mềm hình học động còn có tính cập nhật tức thời: nếu học sinh thay đổi

dữ kiện, hình dáng đồ thị cũng thay đổi theo tương ứng Với các mô hình vậtthể trong không gian 3 chiều, các phần mềm còn cho phép học sinh quan sát

ở nhiều góc độ khác nhau, thậm chí cho phép tương tác trực tiếp lên mô hình

d Kiểm tra tính chặt chẽ, khẳng định hoặc bác bỏ giả thuyết.Từ một kết quả

đúng, học sinh có thể thay thế hoặc giảm bớt điều kiện đầu để hình thành giảthuyết mới Phần mềm hình học động hỗ trợ học sinh tiến hành các thựcnghiệm để tăng độ tin cậy của các giả thuyết hoặc bác bỏ nó qua một trườnghợp riêng

e Đề xuất các tiếp cận cho chứng minh suy diễn.Trong quá trình tìm kiếm một

chứng minh suy diễn, học sinh có thể tiến hành thực nghiệm trên máy tínhtrước khi làm việc với các biểu diễn ký hiệu Những thực nghiệm đó có thể

đề xuất ra những con đường khác nhau để đi đến chứng minh logic

f Giảm các tính toán rườm rà bằng tay Phần mềm động hỗ trợ công cụ tính

toán để giảm bớt những bước tính rườm rà, phức tạp nếu phải thực hiện bằngtay Tất nhiên giá trị cuối cùng của các phép tính sẽ thay đổi tương ứng nếucác giá trị tạo ra nó thay đổi

g Kiểm chứng các kết quả Phần mềm động hỗ trợ các thực nghiệm để kiểm

chứng

3 Giới thiệu phần mềm dạy học Geometer’s Sketchpad

Phần mềm Geometer's Sketchpad (GSP) do một nhà toán học Mỹ thiết kếvào những năm 90 Hiện tại phần mềm này được coi là phần mềm mô phỏng hìnhhọc động số một thế giới

Phần mềm này được cung cấp cho các trường phổ thông Việt Nam trongkhuôn khổ dự án “Thực hành phát triển nghiệp vụ” - PDL (Professionaldevelopment Laboratory) ký kết giữa hãng IBM và Bộ giáo dục - Đào tạo Cho đếnnay đã có rất nhiều giáo viên và nhà trường phổ thông đang sử dụng phần mềm nàytrong việc giảng dạy và học tập

Trước đây, việc làm bằng thủ công thường không trực quan và chính xác, tachỉ có thể thấy được kết quả sau khi chứng minh Trong thực tế, khi soạn thảo vănbản trên máy tính, đôi khi bạn cần đưa vào tài liệu các hình học hoặc các hình được

vẽ bằng các đường nét hình học cơ bản

Trong Geometer's Sketchpad, các hình được dựng theo phương pháp kiếnthiết Khi một hình được vẽ xong bạn có thể thay đổi, chuyển dời các thành phầncủa hình để được một hình mới với các quan hệ được khai báo trong lúc dựng hìnhvẫn được bảo toàn

Để đưa hình ảnh vào tài liệu Word, bạn chỉ cần copy hình từ Geometer'sSketchpad và paste vào tài liệu Các hình có thể là hình phục vụ dạy học môn hìnhhọc, đồ thị hàm số, hình vẽ phối cảnh, hình biểu diễn các hiện tượng vật lý

Chương 3: Sử dụng biểu diễn toán động để giải quyết một số bài toán thực tế

Bài toán 1: Trí khôn của thằng Bờm

Phú ông đưa cho thằng Bờm một đoạn dây dài 16m và bảo nó khoanh vùng

một mãnh đất hình chữ nhật, vùng đất phía trong sẽ là của Bờm Hỏi làm thế nào

để Bờm có được nhiều đất nhất?

Mô phỏng bài toán: Mở trang Bài toán 1.

Các bước giải quyết vấn đề:

Bước 1: Tìm hiểu đề bài.

Bài toán được chuyển sang một vấn đề toán học: Trong các hình chữ nhật có cùng

chu vi 16m , hãy tìm hình có diện tích lớn nhất.

Bước 2:Tìm lời giải cho bài toán trên GSP:

- Vẽ hình chữ nhật có chu vi 16cm (ta có thể xem đơn vị là cm để dễ vẽ hình, và

kết quả sẽ đổi đơn vị lại như ban đầu)

- Đo độ dài các cạnh và diện tích của hình chữ nhật

- Hoạt náo điểm để tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật Khi đó ta thấy rằng,diện tích đạt giá trị lớn nhất là 16cm , với độ dài hai cạnh đều bằng 4cm 2