Gọi là đường tròn tiếp xúc với tại A, cắt tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B.. Viết phương trình của T, biết tam giác ABC có diện tích bằng √ và điểm A có hoành dươn
Trang 1Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc
êPHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN HÌNH HỌC (Oxy)
˜ MỘT VÀI BÀI TOÁN OXY DỰA VÀO HÌNH VẼ VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC:
1) (A 2010 cơ bản) Trong mặt phẳng Oxy, cho 2 đường thẳng : √3 + = 0, : √3 − = 0 Gọi ( ) là đường tròn tiếp xúc với tại A, cắt tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B Viết phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng √ và điểm A có hoành dương Giải: Cách1: Vì ∆ vuông tại B nên AC là đường kính của (T) Ta có:
cos( =; ) √ √
√ .√ = → = 60
= 120 Mặt khác theo giả thiết tam giác OAC vuông tại A suy ra = 60 Gọi = Áp dụng tính chất của nửa tam giác đều AOB;AOC suy ra = 2 ; = ; = √3; = √ → = →
( ) = = √ . = √ Theo giả thiết ( ) =√ → √ =√ → =√ ℎ =√ Gọi
; −√3 ∈ → = + 3 = → = ±√ → √ ; −1 → : 1 −√ − √3( + 1) = 0 ↔ √3 − 3 −
4 = 0 → = ∩ = −√ ; −2 →Tâm − √ ; − → đường tròn: + √ + + = 1 Cách2: Gọi
; − √3 ∈ ớ > 0 Ta có ; − √3
⊥ : √3 − = 0 → : + √3 + 2 = 0 → = ∩ → − ; − √ Ta
có ; − √3
⊥ : √3 + = 0 → : − √3 − 4 = 0 → = ∩ → −2 ; −2 √3 → ( ) = =
√3 3 = √3 Theo giả thiết ta có phương trình: √3 =√ ↔ =√ → √ ; −1 ; −√ ; −2 → đường tròn
(d)
L C
A
M G
AH=2.IM; IH=3.IG
G
M H C
B A
C'
C'
B
I A'
B'
A'
B'
A
A'
1) Cho ∆: + = → ∆ qua ( ; ) à ∆ ∥ ∆ ó : ( − ) + ( − ) = 0 (∆ ) Nếu ∆ qua ( ; ) à ∆ ⊥ ∆ ó : ( − ) − ( − ) = 0 (∆ )
2) Nếu giả thiết cho phương trình đường cao AH thì ta chỉ sử dụng được 1 điều kiện (1 phương trình) đó là ⊥ , nếu biết thêm BC đi qua 1 điểm có tọa độ thì ta có thể viết phương trình đường thẳng BC ( ⊥ ⇔ ⃗ ⊥ ⃗)
3) Nếu giả thiết cho phương trình trung tuyến BM thì ta chỉ sử dụng được 1 điều kiện (1 phương trình) đó là trung điểm M của AC thuộc BM
4) Nếu giả thiết cho phương trình phân giác thì thông thường ta gọi điểm đối xứng với điểm cho trước thuộc cạnh AC hoặc thuộc cạnh BC Điểm thuộc AC lấy đối xứng qua sẽ nằm trên
BC và ngược lại Nếu đề cho phương trình AC, phương trình thì ta suy ra tọa độ điểm C và viết được phương trình BC nhờ công thức cos( ; ) = cos( ; )
5) Nếu giả thiết cho phương trình trung trực (d) của AC thì ta chỉ sử dụng được 2 điều kiện (2 phương trình) đó là trung điểm M của AC thuộc (d) và ⊥ ( )
6) Nếu giả thiết cho tọa độ trọng tâm G, trực tâm, trung điểm hoặc trọng tâm G thuộc đường thẳng nào đó có phương trình thì ta thu được 2 điều kiện (2 ptrình): + + + + = 3 = 3
(d)
(d')
(loại do // AB).
A
M
* Bài toán: Viết phương trình cạnh AB
của tam giác ABC nếu biết tọa độ 3 chân
đường vuông góc của 3 đường cao kẻ từ
A, B, C là A’, B’, C’ Giải: Trường
hợp 1:sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp:
HC’AB’;AB’BA’;HC’A’B ta suy ra
được AB là đường phân giác trong của
góc ′ ′ ′ Trường hợp 2: AB là
đường phân giác ngoài của góc ′ ′ ′
Trang 2Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc
2) (D 2010 cơ bản) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh (3; −7), trực tâm (3; −1), tâm đường tròn ngoại tiếp là
(−2; 0) xác định tọa độ đỉnh C, biết C hoành độ dương Giải: Gọi M là trung điểm BC, A’ là điểm đối xứng với A qua I Ta có:
BH//CA’; CH//BA’ suy ra BA’CH là hình bình hành suy ra M là trung điểm của BC Từ đó suy ra
⃗ = 2 ⃗ → 0 = 2(−2 − 6 = 2(− ) ) ↔ = −2= −3 → (−2;−3) Đường thẳng BC đi qua M có ⃗ = (0; 6) làm vectơ chỉ phương
có phương trình + 3 = 0 Phương trình đường tròn tâm I bán kính = là:( + 2) + = 84, Tọa độ của B, C là giao điểm của đường thẳng BC với đường tròn, tọa độ thỏa hệ ( + 2) + 3 = 0+ = 84 ↔ = −2 ± √65
= −3 ĐS: (−2 + √65; −3)
3) Tìm các đỉnh B, C của tam giác ABC biết rằng (−3; 1), trực tâm ; 1 và trọng tâm (1; 1) ĐS: (3; −2), (3; 4) hoặc
4) Tìm các đỉnh A, B, C của tam giác ABC biết rằng trực tâm (3; 1) và tâm đường tròn ngoại tiếp là (−1; −1), đường thẳng
BC có phương trình: + + 1 = 0
5) Cho tam giác ABC có trực tâm (3; 3), (5; 4) là trung điểm của BC, chân đường cao kẻ từ C là (3; 2) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
6) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có ’(0; 2), ’(1; −4) à ’(2; −3) lần lượt là hình chiếu vuông góc của A,B,C lên các đường thẳng BC,AC,và AB Lập phương trình đường thẳng BC ĐS: : + − 2 = 0; − + − 2 = 0
7) Cho tam giác cân có cạnh bên và một cạnh đáy có phương trình: AB: + 2 − 1 = 0; : 3 − + 5 = 0 Lập phương trình cạnh bên còn lại biết nó đi qua điểm (1; −3) Giải: Phương trình AC: ( − 1) + ( + 3) = 0 ⇔ + + 3 − = 0
( + ≠ 0) ∆ cân tại A nên cos( ; ) = cos( ; ) ↔ | |
= | |
↔ 5(3 − ) = + ↔
2 − 15 + 22 = 0 Nếu = 0 → = 0 (loại) Nếu ≠ 0 thì 2 − 15 + 22 = 0 ↔ =
= 2 Trường hợp 1: = chọn = 2; = 11 ta được phương trình AC: 2 + 11 + 31 = 0, Trường hợp 2: = 2 chọn = 1; = 2 ta được phương trình AC: + 2 + 5 = 0 (loại do song song với AB).N có thể giải cách khác Từ đó có thể làm các bài:
8) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB: − 2 + 1 = 0 Ptrình BD: − 7 +
14 = 0, đường thẳng đi qua (2; 1) Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật
9) Cho hình vuông ABCD có đỉnh (−4; 5) và một đường chéo có phương trình: 7 − + 8 = 0 Lập phương trình các cạnh và đường chéo thứ 2 của hình vuông ABCD ĐS: 4 + 3 + 1 = 0; 3 − 4 + 32 = 0; 3 − 4 + 7 = 0; 4 + 3 − 24 = 0
10) *Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (6; 6) và ngoại tiếp đường tròn tâm K(4; 5), biết (2; 3) Tính tọa độ 3 đỉnh
11) Cho tam giác ABC có (2; 1) là tâm đường tròn ngoại tiếp Đường cao AH, − ; thuộc BC đường phân giác trong góc
A là : − + 1 = 0, < 0 Tìm 3 đỉnh của tam giác ABC
ê TIẾP TUYẾN: Dạng 1: Tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng cho trước Ex: Viết phương trình tiếp tuyến
của đường tròn (C) : + ( − 1) = 25 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x – 4y = 0 ( hoặc song song với đường thẳng 4x+3y=0) Lúc đó (C) có tâm (0; 1), = 5, tiếp tuyến có dạng : 4 + 3 + = 0 (∆) ∆ tiếp xúc với (C) ↔ ( , ∆) =
↔| | = 5 ↔ = 22 = −28 Vậy có 2 tiếp tuyến cần tìm có phương trình 4 + 3 = 22 hay 4 + 3 – 28 = 0
R
B A
I
H
êSỰ PHỐI HỢP GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN
[é“Thần chú”: Để viết đường thẳng ∆ tạo (hoặc cắt hoặc tiếp xúc) với đường tròn một tam giác
3) Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(3;1) và chắn trên đường thẳng (∆) : − 2 + 4 = 0 một
dây cung có độ dài bằng 4 Giải: Kẽ ⊥ → là trung điểm của AB → = 2, = ( , ∆) =
√5 → = √ + = 3 → ( ): ( − 3) + ( − 1) = 9
4) Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua gốc O và cắt đường tròn (C):( − 1) + ( + 3) = 25 theo một dây cung có độ dài bằng 8 Giải: (C) có tâm (1; −3) à = 5 Phương trình đường thẳng
(∆) đi qua gốc O : ( − 0) + ( − 0) = 0 ↔ + = 0 ( + ≠ 0) Kẽ ⊥ →
là trung điểm của AB → = 4, = ( , ∆) = √ − = 3 ↔ | | = 3 ↔ 4 + 3 =
0 ↔ = − = 0: ℎọ = 1 : ℎọ = 4; = −3 Vậy có 2 đường thẳng cần tìm: ∆ : = 0; ∆ : 3 − 4 = 0
B
A
B A
I
M
H
Trang 3Châu Thanh Hải, ĐHKH Huế, sưu tầm và chọn lọc
Dạng 2: Tiếp tuyến tiếp xúc (C) tại điểm ( ; )( hay tiếp tuyến đi qua điểm M mà M thuộc (C)) Lúc đố tiếp tuyến ∆ có pháp vectơ là ⃗ = ∆ ⃗, với I là tâm đường tròn.Hoặc sử dụng công thức: + + ( + ) + ( + ) + =
Dạng 3: Tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước Ex: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn : + – 4 – 2 – 4 = 0 tâm I(2 ; 1), bán kính R=3 biết tiếp tuyến qua điểm (− 1 ; 2) Giải: Phương trình tiếp tuyến ∆ qua ( − 1 ; 2) có dạng:
( + 1) + ( – 2) = 0 ↔ + + – 2 = 0 ∆ tiếp xúc với (C) ↔ ( , ∆) = ↔| | = 3 ↔ =
0 ℎ = − 4 /3 Ta được 2 tiếp tuyến – 2 = 0 và 4 − 3 + 10 = 0
Dạng 4: Tiếp tuyến tạo với đường thẳng cho trước một góc Ex: Viết p/trình tiếp tuyến của đường tròn : (C) : + +
2 – 4 + 4 = 0, biết rằng tiếp tuyến hợp với đường thẳng (D): + 2 + 5 = 0 một góc 45 Giải: (C) có tâm (−1; 2), = 1
Gọi vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến ∆: ⃗ = ( ; ), ( ∆ + ≠ 0) Ta có: cos(∆, ) = | | =√ ↔ 2| + 2 | =
√10√ + ↔ 3 − 8 − 3 = 0 ↔ = − , ℎọ = −1, = 3 → ⃗ = (−1; 3)∆
= 3, ℎọ = 3, = 1 → ⃗ = (−1; 3)∆ Trường hợp 1 : ⃗ = (−1; 3) phương ∆ trình tiếp tuyến ∆ có dạng: − + 3 + = 0 ∆ tiếp xúc với (C) ↔ ( , ∆) = ↔|( )( ) | = 1 ↔ = 7 + √10
= 7 − √10 Có
2 tiếp tuyến trong trường hợp này: ∆ , : − + 3 + 7 ± √10 = 0 Trường hợp 2: tương tự: ∆ có dạng: 3 + + = 0, …
14) Từ M kẽ 2 tiếp tuyến đến (C) mà 2 tiếp tuyến đó hợp với nhau 1 góc ⇔ =
=
15) Đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại 2 điểm T, T’ sao cho tiếp tuyến tại T và T’ ⊥ với nhau ⇔ ( , ∆) = =√ =√
16) Đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại 2 điểm T, T’ sao cho tiếp tuyến tại T và T’ cắt nhau tại M mà ∆ ′ là tam giác đều
⇔ ( , ∆) = = =
17) Đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại 2 điểm T, T’ sao cho tiếp tuyến tại T và T’ tạo với nhau 1 góc 60 ⇔ =
=
⇔ ( , ∆) = =
= ( , ∆) = = = √
18) Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 tiếp điểm Ex: Cho điểm (−3; 1) và đường tròn ( ): + − 2 − 6 + 6 =
0 Gọi , là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình đường thẳng MN Giải: Cách 1: (C) có tâm
(1; 3), bán kính = 2 Gọi = ∩ Ta có: = 2√5 → = = = 4 → =√ → = → ⃗ = 5 ⃗ (do
H là điểm nằm trong đoạn AI → −3 − 1 = 5( 1 − 3 = 5( − 3)− 1) → ; Đường thẳng MN qua H có VTPT là ⃗ = (−4; −2)
Phương trình MN: −4 − − 2 − = 0 ↔ 2 + − 3 = 0 Cách 2: (C) có tâm (1; 3), = 2 Gọi V là trung điểm AI,
suy ra (−1; 2), ta có = 2√5 → = √5 Vì M, N nhìn AI dưới 1 góc vuông nên M, N nằm trên đường tròn ( ) tâm V bán kính = = √5 → ( ): ( + 1) + ( − 2) = 5 ↔ + + 2 − 4 = 0 ( ) Do đó MN chính là giao điểm của 2 đường tròn ( ) à ( ) hay MN chính là trục đẳng phương có phương trình: + − 2 − 6 + 6 = + + 2 − 4 ↔
2 + − 3 = 0 Cách 3:(công thức tiếp tuyến chẻ đôi) Lưu ý từ cách 1 ta suy ra độ dài MN mà không cần viết ph trình tiếp tuyến
R
H
R
H
R
H
120 0
60 0
I
M T
T'
T
T'
T
T'
ê GÓC GIỮA 2 TIẾP TUYẾN: Giả sử tiếp tuyến MT, MT’,
với T, T’ là 2 tiếp điểm, Lúc đó:
1) = 60 ↔ ∆ là tam giác đều ↔ = 30 ↔ = 2 ↔ thuộc đường tròn ( ) tâm bán kính = 2
2) = 90 ↔ ′ là hình vuông ↔ = √2 ↔ thuộc đường tròn ( ) tâm bán kính = √2
3) = 120 ↔ ∆ vuông tại T và có = 60 ↔ = √ ↔ thuộc đường tròn ( ) tâm bán kính = √