D18 toán max min liên quan đến đường thẳng muc do 4

Gọi G là trọng tâm tam giác MNC.. Biết điểm M thuộc  sao cho biểu thức T  MA MB đạt giá trị lớn nhất là Tmax.. Khi đó, Tmax bằng bao nhiêu?. Phương trình của đường thẳng  là... Viết

Câu 44: [2H3-5.18-4] (SGD BINH THUAN_L6_2018_BTN_6ID_HDG) Trong không gian với

hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M2; 2; 3  và N4; 2;1 Gọi  là đường thẳng đi qua M , nhận vecto ua b c; ;  làm vectơ chỉ phương và song song với mặt phẳng  P : 2x  y z 0 sao cho khoảng cách từ N đến  đạt giá trị nhỏ nhất Biết a , b là hai số nguyên tố cùng nhau Khi đó a  b c bằng:

Lời giải Chọn A

Gọi  Q là mặt phẳng đi qua M2; 2; 3  và song song với mặt phẳng  P

Suy ra  Q : 2x   y z 3 0

Do  // P  nên   Q

 , 

d N  đạt giá trị nhỏ nhất   đi qua N, với N là hình chiếu của N lên  Q

Gọi d là đường thẳng đi qua N và vuông góc  P ,

4 2

1

  



  



  



Ta có N d N   4 2 ; 2t t;1t;   4

3

N Q  t 4 10 7; ;

3 3 3

 ; ; 

u a b c cùng phương 10 4 16; ;

3 3 3

MN   

Do a , b nguyên tố cùng nhau nên chọn u  5;2;8

Vậy a   b c 15

Câu 47 [2H3-5.18-4] (TT Tân Hồng Phong - 2018 - BTN) Trong không gian với hệ tọa độ

Oxyz, cho ba điểm A2;1;0, B4; 4; 3 , C2;3; 2  và đường thẳng   1 1 1

:

  là mặt phẳng chứa  d sao cho A, B, Cở cùng phía đối với mặt phẳng   Gọi d1, d2, d3lần lượt là khoảng cách từ A, B, C đến   Tìm giá trị lớn nhất của T  d1 2d23d3

3

Lời giải Chọn B

Ta có AB3 6; AC2 6; BC 6

Ta có T  d1 2d23d3  d1 d2d2d32d3

Gọi M là trung điểm AB, và N là trung điểm của BC ta có 2d M ;  d1d2 và

 

2d N;  d d

Gọi G là trọng tâm tam giác MNC Khi đó ta có T 2d M ;  2d N ;  2d3 6d G ;  

Do đó T 6d G ;  6d G d ;  

Ta có 1; ;5 3

2 2

7 5 3; ;

2 2

  suy ra G2;3; 2  Gọi H1t;1 2 ;1 t t là hình chiếu của G lên đường thẳng  d , ta có GH    t 1; 2t 2;3t

GH u           t t t t

Câu 50: [2H3-5.18-4] (THPT Chu Văn An - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN)Trong không gian

   và hai điểm A1;2; 5  , B 1;0;2 Biết điểm M thuộc

 sao cho biểu thức T  MA MB đạt giá trị lớn nhất là Tmax Khi đó, Tmax bằng bao nhiêu?

A Tmax  3 B Tmax  2 6  3 C Tmax  57 D Tmax  3 6

Lời giải Chọn C

 2; 2;7

AB  

Phương trình đường thẳng AB là:

1 2 2

2 7



  



   



   



Xét vị trí tương đối của  và ABta thấy  cắt AB tại điểm 1 2; ; 1

3 3 3

C  

4 4 14

; ;

3 3 3

AC   

3

2AC AB nên B nằm giữa A và C

T MA MB AB Dấu bằng xảy ra khi M trùng C Vậy Tmax AB  57

Câu 357: [2H3-5.18-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d đi qua điểm A1; 1; 2 , song song

với  P : 2x   y z 3 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 1 1

x y z

 một góc lớn nhất Phương trình đường thẳng d là

x  y  z

x  y  z

x  y  z

x  y  z

Lời giải Chọn A

 có vectơ chỉ phương a 1; 2; 2 

d có vectơ chỉ phương a d a b c; ; 

 P có vectơ pháp tuyến n P 2; 1; 1  

Vì d / / P nên a d n Pa n d P  0 2a b c    0 c 2a b

cos ,

d

Đặt t a

b

 , ta có:   1 25 42

cos ,

3 5 4 2

t d



 

Xét hàm số   2 2

5 4

5 4 2

t

f t

t t





  , ta suy ra được:   1 5 3

max

f t  f  

 

 

max cos ,

a

b

Chọn a   1 b 5,c7

Vậy phương trình đường thẳng d là 1 1 2

x  y  z

Câu 358: [2H3-5.18-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi d đi qua A1;0; 1 , cắt

1

:

x y z

 , sao cho góc giữa d và 2

:

x y z

trình đường thẳng d là

x y z

 

 B

x y z

 

 C

x y z

  D

x y z

Lời giải Chọn A

Gọi M   d 1 M1 2 ; 2 t   t; 2 t

d có vectơ chỉ phương a AM 2t2;t  2; 1 t

 có vectơ chỉ phương a2   1; 2; 2

 2 2 2

2 cos ;

3 6 14 9

t d

 

Xét hàm số   2 2

6 14 9

t

f t



  , ta suy ra được min f t  f  0   0 t 0

Do đó min cos ,d   0 t 0 AM 2; 2 1 

Vậy phương trình đường thẳng d là 1 1

x y z

 



Câu 359: [2H3-5.18-4] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1: 1 2

 



 Gọi  là đường thẳng song song với  P :x   y z 7 0 và cắt

1, 2

d d lần lượt tại hai điểm A B, sao choAB ngắn nhất Phương trình của đường thẳng  là

A

12 5 9

y



 



   



6 5 2 9 2

y



  



 





   



6 5 2 9 2

x



 



  





   



6 2 5 2 9 2



  



  





   



Lời giải Chọn B

1

2

1 2 ; ; 2

1 ; 2 3 ; 2 2

 có vectơ chỉ phương ABb2 ;3a b a    2; 2b a 4

 P có vectơ pháp tuyến n P1;1;1

Vì / / P  nên ABn P AB n P    0 b a 1.Khi đó AB   a 1; 2a5;6a

  2  2 2 2

2

6 30 62

5 49 7 2

Dấu " " xảy ra khi 5 6; ;5 9 , 7; 0;7

a A   AB  

Đường thẳng  đi qua điểm 6; ;5 9

2 2

  và vec tơ chỉ phương u d   1;0;1

Vậy phương trình của là

6 5 2 9 2

y



  



 





   



Câu 365: [2H3-5.18-4] Trong không gian Oxyz, cho điểm A3;3; 3  thuộc mặt phẳng

  :2 – 2x y z 150và mặt cầu   2 2 2

: (x 2) (y 3) (z 5) 100

A, nằm trên mặt phẳng   cắt ( )S tại A, B Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng  là

x y z 

16 11 10

x y z 



C

3 5 3

3 8

y

  



 



   



x  y  z 

Lời giải Chọn A

Mặt cầu  S có tâm I2;3;5, bán kính R10 Do d(I, ( )) R nên  luôn cắt  S tại A,

B

(I, )

AB R  d  Do đó, ABlớn nhất thì d I ,   nhỏ nhất nên  qua H, với

H là hình chiếu vuông góc của I lên   Phương trình

x 2 2t

y 3 5

 



  



  



( ) 2 2 2 2 3 – 2 5 15 0

H    t  t   t     t 2 H2; 7; 3

Do vậyAH(1; 4;6) là véc tơ chỉ phương của  Phương trình của 3 3 3

x y z 

Câu 385: [2H3-5.18-4] [CHUYÊN ĐHKHTN HUẾ - 2017] Trong không gian cho đường thẳng

:

x y z

d     

Viết phương trình mặt phẳng  P

đi qua  và tạo với đường thẳng d một góc lớn nhất

A 19x17y20z770 B 19x17y20z340

C 31x8y5z91 0 D 31x8y5z980

Lời giải Chọn D

Đường thẳng d có VTCP là u13;1; 2

Đường thẳng  đi qua điểm M3;0; 1  và có VTCP là u1; 2;3

Do   P nên M P Giả sử VTPT của  P là    2 2 2 

n A B C A B C  Phương trình  P có dạng A x  3 By C z   1 0

Do   P nên u n   0 A 2B3C   0 A 2B3C

Gọi  là góc giữa d và  P Ta có

1

1

sin

 2

14

14 5 12 10

TH1: Với C0 thì 5 70

14 14

sin  

TH2: Với C0 đặt t B

C

2

5 7 1

5 12 10 14

t sin

  Xét hàm số   2 2

5 7

5 12 10

t

f t





  trên

Ta có  

2

2 2

50 10 112

5 12 10

f t

 

0 50 10 112 0

0

   





Và   25 72

5 12 10

t

f t



Bảng biến thiên

Từ đó ta có   75

14

Maxf t  khi 8 8

B t

C

5 14 14

sin f    

So sánh TH1 và Th2 ta có sin lớn nhất là 75

14

5

B

C  Chọn B      8 C 5 A 31

Phương trình  P là 31x 3 8y5z  1 0 31x8y5z980

Câu 48: [2H3-5.18-4] (SGD - Quảng Nam - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong không gian với hệ tọa

độ Oxyz, cho mặt phẳng  P :x y 4z0, đường thẳng : 1 1 3

d     

1; 3; 1

A thuộc mặt phẳng  P Gọi  là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng  P

và cách đường thẳng d một khoảng cách lớn nhất Gọi ua b; ; 1 là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng  Tính a2b

M

a

i

N

g

u

y

e

n

A a2b 3 B a2b0 C a2b4 D a2b7

Lời giải

Chọn A

d

d

(Q)

I

A

Đường thẳng d đi qua M1; 1; 3  và có véc tơ chỉ phương u1 2; 1; 1 

Nhận xét rằng, Ad và d  P  I 7; 3; 1 

Gọi  Q là mặt phẳng chứa d và song song với  Khi đó d,dd, Q d A Q ,   Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên  Q và d Ta có AH AK

Do đó, d,d lớn nhất  d A Q ,   lớn nhất AHmax HK Suy ra AH chính là đoạn vuông góc chung của d và 

Mặt phẳng  R chứa A và d có véc tơ pháp tuyến là n R  AM u, 1  2; 4; 8

Mặt phẳng  Q chứa d và vuông góc với  R nên có véc tơ pháp tuyến là

 Q  R, 1

n  n u 12; 18;6

Đường thẳng  chứa trong mặt phẳng  P và song song với mặt phẳng  Q nên có véc tơ chỉ phương là u n P ,n R  66;42; 6 6 11; 7; 1

Suy ra, a11;b 7 Vậy a2b 3