D18 toán max min liên quan đến đường thẳng muc do 3

Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc toạ độ sao cho tổng khoảng cách từ A và B đến đường thẳng d lớn nhất... Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng  P đến một điểm thu

Câu 43 [2H3-5.18-3] (THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Trong không

gian Oxyz, cho ba điểm A0;0; 1 , B1;1;0, C1;0;1 Tìm điểm M sao cho

3MA 2MB MC đạt giá trị nhỏ nhất

A 3 1; ; 1

4 2

M  

3 1

; ; 2

4 2

M 

3 3

; ; 1

4 2

M  

3 1

; ; 1

4 2

M  

Lời giải Chọn D

 

2

1

; ; 1

AM x y z

AM x y z





 2   2 2

3MA 2MB MC 3x y z 1  2 x 1 y 1 z 

 2 2  2

2

Dấu "" xảy ra 3

4

x

   , 1

2

y , z 1, khi đó 3 1; ; 1

4 2

M  

Câu 38 [2H3-5.18-3] (Chuyên Thái Nguyên - 2018 - BTN) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A2;1; 3  và B3; 2;1 Viết phương trình đường thẳng d đi qua gốc toạ độ sao cho tổng khoảng cách từ A và B đến đường thẳng d lớn nhất

A

x  y z B

x y  z

x  y z D

x  y z

Lời giải Chọn A

Ta có d A d ;  d B d; OA OB

Dấu " " xảy ra OA d

OB d





 d có VTCP là uOA OB; 7;7;7 7 1;1;1 Vậy :

x y z

d  

Câu 39 [2H3-5.18-3] Cho hai điểm A1; 4; 2, B1; 2; 4 và đường thẳng : 1 2

x y z

tọa độ điểm M mà MA2MB2 nhỏ nhất

A 1; 2;0  B 0; 1; 2  C 2; 3; 2   D 1;0; 4

Lời giải Chọn D

Gọi M1  t; 2 t t; 2 

MA MB   2  2  2  2  2 2

12t 48t 76

12t 48t76 12 t2 2828

Vậy MA2MB2 nhỏ nhất bằng 28 khi t2 hay M1;0; 4

Câu 41 [2H3-5.18-3] (CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai

điểm A(1; 1; 0), B( 1; 0; 1)  và điểm M thay đổi trên đường thẳng : 1 1

d    

 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức TMAMB là

Lời giải Chọn B

Phương trình tham số của đường thẳng : 1

1

x t

d y t

z t





  



  



Do M d M t ;1t;1t

MB      t t t MB t 

T MA MB  t   Suy ta Tmin 2 2 khi t 0 M0;1;1

Câu 42 [2H3-5.18-3] (SGD-BÌNH PHƯỚC) Cho mặt phẳng  P : 2x2y2z150 và mặt cầu

  2 2 2

S x y  z y z  Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng  P

đến một điểm thuộc mặt cầu  S là

A 3 3

3 3

Lời giải Chọn A

Mặt cầu  S có tâm I0;1;1 và bán kính R 3 Gọi H là hình chiếu của I trên  P và A

là giao điểm của IH với  S Khoảng cách nhỏ nhất từ một điểm thuộc mặt phẳng  P đến

một điểm thuộc mặt cầu  S là đoạn AH     3 3

,

2

AH d I P R

Câu 50: [2H3-5.18-3] (THPT Ninh Giang - Hải Dương - HKII - 2017 - 2018 - BTN) Trong không

gian Oxyz, cho mặt phẳng  P : x2y2z 5 0 và hai điểm A3;0;1, B1; 1;3  Trong tất cả các đường thẳng đi qua A và song song với mặt phẳng  P , gọi  là đường thẳng sao cho khoảng cách từ B đến  là lớn nhất Viết phương trình đường thẳng 

A : 5

    



    



Lời giải

Chọn B

Ta có:  3 2.0 2.1 5 1 2.       1 2.3 5    24 0

A, B là hai điểm nằm khác phía so với mặt phẳng  P

Gọi H là hình chiếu của B lên 

Ta có: BH BA nên khoảng cách từ B đến  lớn nhất khi và chỉ khi H trùng A

Khi đó: AB 

Mặt phẳng  P có vectơ pháp tuyến là n1; 2; 2 

4; 1; 2

1  , 

  n n AB   2;6;7

Đường thẳng  đi qua điểm A3;0;1 và nhận n1  2;6;7 làm vectơ chỉ phương

Phương trình đường thẳng  là: 1 12 13

    



BẢNG ĐÁP ÁN

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

C C C B B D C A B D A B B C B D B C A B D C C D C

26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

B D A B C D B C A D B C D A B A C B A A C A D B B

Câu 41: [2H3-5.18-3] (SGD Cần Thơ - HKII - 2017 - 2018) Trong không gian Oxyz, cho mặt

S x y z  x y z  và điểm M1;1; 1  Giả sử đường thẳng d đi qua

M và cắt  S tại hai điểm P, Q sao cho độ dài đoạn thẳng PQ lớn nhất Phương trình của d

là

x  y  z

x  y  z



x  y  z

x  y  z

Lời giải Chọn D

Mặt cầu  S có tâm I1; 2;1

Đường thẳng d đi qua M và cắt  S tại hai điểm P, Q sao cho độ dài đoạn thẳng PQ lớn nhất khi d đi qua tâm I của  S , suy ra d có véctơ chỉ phương là IM 2; 1; 2  

d     

 

Câu 25: [2H3-5.18-3] (Chuyên Quang Trung - BP - Lần 4 - 2017 - 2018) Trong không gian với

hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d: 1

x  y  z

 và điểm A1;6;0 Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài MA với Md

Lời giải Chọn D

Ta có Md :

1

2

x t

y t

z t

 



  



 



t  M1 t; t t; 2 , AM t; t 6; 2t

 2

AM   t t  t 2

6t 12t 36

6 t 1 30 30

    AM  30

Câu 36: [2H3-5.18-3] (Chuyên Quang Trung - BP - Lần 4 - 2017 - 2018) Trong không gian với

  , điểm A2; 2; 4 và mặt phẳng

 P :x   y z 2 0 Viết phương trình đường thẳng  nằm trong  P , cắt dsao cho khoảng cách từ A đến  lớn nhất

x  y  z

x  y  z



x y z

x y z



Lời giải Chọn B

Tọa độ giao điểm B của d và  P là nghiệm của hệ phương trình

2 0

x y z





    



1 0 1

x y z







 

 



Suy ra B1;0;1 Ta có  đi qua B

Gọi Hlà hình chiếu của A lên 

d

(P)

A

Gọi d A ,  AH AB, nên d A , đạt giá trị lớn nhất là AB, khi đó đường thẳng  qua

B và có một véc tơ chỉ phương là un AB P,   1; 2;1với n P1;1;1

Thế tọa độ B1;0;1 vào bốn phương án, chỉ phương án B thỏa mãn

Câu 7953 [2H3-5.18-3] [THPT CHUYÊN BẾN TRE- 2017] Trong không gian với hệ trục Oxyz,

choA1; 4; 2 , B 1; 2; 4và đường thẳng   1 2

:

x y z

MA MB nhỏ nhất

A 1;0; 4 B 1;0; 4  C 1;0; 4 D 0; 1; 4 

Lời giải Chọn C

  1 ; 2 ; 2 

M  M   t t t , f t( )MA2MB2 12t248t76

Ta thấy f t  là hàm số bậc hai có đồ thị là parabol với bề lõm hướng lên nên đỉnh của parabol

là điểm thấp nhất trên parabol f t  đạt giá trị nhỏ nhất khi t2 (hoặc tính đạo hàm f ' t , lập bảng biến thiên)  M1;0; 4

Câu 7955 [2H3-5.18-3] [Cụm 4 HCM- 2017] Cho hai điểm A1; 4; 2, B1; 2; 4 và đường thẳng

x y z

MA MB nhỏ nhất

A 0; 1; 2  B 2; 3; 2   C 1;0; 4 D 1; 2;0 

Lời giải Chọn C

Gọi M1  t; 2 t t; 2 

MA MB   2  2  2  2  2 2

12t 48t 76

12t 48t76 12 t2 2828

MA MB nhỏ nhất bằng 28 khi t2 hay M1;0; 4

Câu 7958 [2H3-5.18-3] [THPT Chuyên Hà Tĩnh- 2017] Trong không gian Oxyz cho điểm

2; 2; 5

:

 Biết N a b c ; ;  thuộc  d và độ dài

MN ngắn nhất Tổng a b c nhận giá trị nào sau đây?

Lời giải Chọn C

  1 2 ; 1 ; 

N d N  t   t t

  2  2 2  2

MN  t  t  t  t  

MN

 ngắn nhất bằng 21 khi t1 khi đó N3;0; 1       a b c 3 0 1 2

Câu 7959 [2H3-5.18-3] [THPT Chuyên Hà Tĩnh- 2017] Cho đường thẳng 1

2

1 2

 



  



   



và

2

:

d     

  Gọi d là đường thẳng vuông góc chung của d1 và d2, M a b c ; ; 

thuộc d, N4; 4;1 Khi độ dài MN ngắn nhất thì a b c  bằng?

Lời giải Chọn B

Gọi P2t; 2  t; 1 2td1 và Q2 4 ; 2 3 ; 2 t  t t

Ta có: a1;1; 2 , b4; 3; 1   và PQ4t     t; 3t t; t 2t 3

t t t t t t

a PQ

b PQ

        

Suy ra P1;1;1 và Q2; 2; 2 PQ1;1;1

Nên

1

1

x t

d y t

z t

 



  



  



Gọi M1t;1t;1t nên NM  t 3;t3;t

NM  t  t  t t  t  t   Đoạn thẳng MN ngắn nhất bằng 6 khi t2

Suy ra M3;3;3   a b c 9

Câu 7973 [2H3-5.18-3] [Cụm 4 HCM- 2017] Cho hai điểm A1; 4; 2, B1; 2; 4 và đường thẳng

x y z

MA MB nhỏ nhất

A 0; 1; 2  B 2; 3; 2   C 1;0; 4 D 1; 2;0 

Lời giải Chọn C

Gọi M1  t; 2 t t; 2 

MA MB   2  2  2  2  2 2

12t 48t 76

12t 48t76 12 t2 2828

MA MB nhỏ nhất bằng 28 khi t2 hay M1;0; 4

Câu 7976 [2H3-5.18-3] [THPT Chuyên Hà Tĩnh- 2017] Cho đường thẳng 1

2

1 2

 



  



   



và

2

:

d     

  Gọi d là đường thẳng vuông góc chung của d1 và d2, M a b c , , 

thuộc d, N4; 4;1 Khi độ dài MN ngắn nhất thì a b c  bằng?

Lời giải Chọn B

Gọi P2t; 2  t; 1 2td1 và Q2 4 ; 2 3 ; 2 t  t t

Ta có: a1;1; 2 , b4; 3; 1   và PQ4t     t; 3t t; t 2t 3

Khi đó:  

t t t t t t

a PQ

b PQ

        

Suy ra P1;1;1 và Q2; 2; 2 PQ1;1;1

Nên

1

1

x t

d y t

z t

 



  



  



Gọi M1t;1t;1t nên NM  t 3;t3;t

NM  t  t  t t  t  t   Đoạn thẳng MN ngắn nhất bằng 6 khi t2

Suy ra M3;3;3   a b c 9

    2  2 2

S x  y  z  ,    2 2  2

S x y  z  Gọi d là đường thẳng đồng thời tiếp xúc với hai mặt cầu trên, cắt đoạn thẳng nối tâm hai mặt cầu và cách gốc tọa độ

O một khoảng lớn nhất Nếu ua; 1;b là một vectơ chỉ phương của d thì tổng S 2a3b

bằng bao nhiêu?

Lời giải Chọn A

 S1 có tâm I13; 2; 2, bán kính R1 2

 S2 có tâm I21; 0; 1, bán kính R2 1

Ta có: I I1 2  3 R1R2, do đó  S1 và  S2 tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm 5 2 4; ;

3 3 3

 

Vì d tiếp xúc với hai mặt cầu, đồng thời cắt đoạn thẳng nối hai tâm I I1 2 nên d phải tiếp xúc với hai mặt cầu tại A d I I1 2

Mặt khác d d O d ; OA dmax OA khi d OA

Khi đó, d có một vectơ chỉ phương là I I1 2,OA  6; 3; 6   u  2; 1; 2

Suy ra a 2, b2

Vậy S2