D13 toán max min liên quan đến mặt cầu muc do 4

Gọi  S là mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt cầu trên.. Mặt cầu 6 có bán kính nhỏ nhất là A... Mặt cầu nhỏ nhất tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu nói trên có bán kính bằng A.. Gọi M N, lầ

Câu 32 [2H3-2.13-4] (SỞ GD VÀ ĐT THANH HÓA-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Ozyz cho các mặt cầu  S1 ,  S2 ,  S3 có bán kính r1 và lần lượt có tâm là các điểm A0;3; 1 , B2;1; 1 ,

4; 1; 1

C   Gọi  S là mặt cầu tiếp xúc với cả ba mặt cầu trên Mặt cầu 6 có bán kính nhỏ nhất là

A R2 2 1 B R 10 C R2 2 D R 10 1

Lời giải Chọn D

Ta có AB 8, AC 32, BC 40 nên tam giác $ABC$ vuông tại A Gọi I là trung điểm của

$BC$, khi đó IM INIP 10 1 Do đó mặt cầu  S thỏa mãn đề bài là mặt cầu có bán kính

10 1

R 

Câu 45: [2H3-2.13-4] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018 - BTN) Trong không

gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu     2  2 2

S x  y  z  Gọi M là điểm thuộc mặt cầu  S sao cho biểu thức A2x M y M 2zM đạt giá trị lớn nhất, giá trị biểu thức

Bx y z bằng

Lời giải Chọn D

Ta có A2x M y M 2zM 2x M  1 y M  2 2 z M  3 6

 2 2 2    2  2 2

Dấu bằng xảy ra khi

1 2

3 2

M

M

M

 





 



, thay vào phương trình

 S ta được: 4 2 2 4 2 16 4

3

t  t t   t Do đó 11 2 17; ;

3 3 3

  và Bx M y M z M 10

Câu 45: [2H3-2.13-4] (THPT Hoàng Hóa - Thanh Hóa - Lần 2 - 2018) Trong không gian với hệ

tọa độ Oxyz, cho mặt cầu     2  2 2

S x  y  z  Gọi M là điểm thuộc mặt cầu

 S sao cho biểu thức A2x M y M 2zM đạt giá trị lớn nhất, giá trị biểu thức

Bx y z bằng

Lời giải Chọn D

Ta có A2x M y M 2zM 2x M  1 y M  2 2 z M  3 6

 2 2 2    2  2 2

Dấu bằng xảy ra khi

1 2

3 2

M

M

M

 





 



, thay vào phương trình

 S ta được: 4 2 2 4 2 16 4

3

t  t t   t Do đó 11 2 17; ;

3 3 3

  và Bx M y M z M 10

Câu 48: [2H3-2.13-4] (THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 2 -2018) Trong không

gian, cho bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là 2,3,3,2(đơn vị độ dài) tiếp xúc ngoài với nhau

Mặt cầu nhỏ nhất tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu nói trên có bán kính bằng

A 5

3

7

6 11

Lời giải Chọn D

Cách 1:

Gọi A B C D, , , là tâm bốn mặt cầu, không mất tính tổng quát ta giả sử AB4,

5

ACBDADBC Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AB CD, Dễ dàng tính được

2 3

MN  Gọi I là tâm mặt cầu nhỏ nhất với bán kính rtiếp xúc với bốn mặt cầu trên Vì

,

IAIB ICID nên I nằm trên đoạn MN

Đặt IN x, ta có 2 2

2

Từ đó suy ra  2

11

       , suy ra

2

    

Cách 2

Gọi A B, là tâm quả cầu bán kính bằng 2 C D, là tâm quả cầu bán kính bằng 3 I là tâm quả cầu bán kính x

Mặt cầu  I tiếp xúc ngoài với 4 mặt cầu tâm A B C D, , , nên IAIB x 2, ICID x 3 Gọi  P ,  Q lần lượt là các mặt phẳng trung trực đoạn AB và CD

 

       1



Tứ diện ABCD có DADBCACB5 suy ra MN là đường vuông góc chung của AB và

CD, suy ra MN    P  Q (2)

Từ  1 và  2 suy ra IMN

Tam giác IAM có 2 2  2

IM  IA AM  x  Tam giác CIN có 2 2  2

IN  IC CN  x  Tam giác ABN có NM  NA2AM2  12

11

x   x    x

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A1; 2;7, 5; 10 13;

B  

  Gọi  S là mặt cầu tâm I đi qua hai điểm A, B sao cho OI nhỏ nhất M a b c ; ;  là điểm thuộc  S , giá trị lớn nhất của biểu thức T2a b 2c là

Lời giải Chọn A

Tâm I mặt cầu  S đi qua hai điểm A, B nằm trên mặt phẳng trung trực của AB Phương trình mặt phẳng trung trực của AB là  P :x2y3z140

OI nhỏ nhất khi và chỉ khi I là hình chiếu vuông góc của O trên mặt phẳng  P

Đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng  P có phương trình 2

3

x t





 



 



Tọa độ điểm I khi đó ứng với t là nghiệm phương trình

2.2 3.3 14 0 1 1; 2;3

t t t    t I

Bán kính mặt cầu  S là RIA4

Từ T2a b 2c2a b 2c T 0, suy ra M thuộc mặt phẳng  Q : 2x y 2z T 0

Vì M thuộc mặt cầu nên:

 

 ; 

d I Q R

 2

2.1 2 2.3

4

T

     6 T 12   6 T 18

độ Oxyz, cho mặt cầu     2  2 2

S x  y  z  và M x y z 0; 0; 0   S sao cho

0 2 0 2 0

Ax  y  z đạt giá trị nhỏ nhất Khi đó x0y0 z0 bằng

Lời giải Chọn B

Tacó:Ax02y02z0 x02y02z0 A 0 nên M P :x2y2z A 0,

do đó điểm M là điểm chung của mặt cầu  S với mặt phẳng  P

Mặt cầu  S có tâm I2;1;1 và bán kính R3

Tồn tại điểm M khi và chỉ khi     | 6 |

3

A

d I P  R      A

Do đó, với M thuộc mặt cầu  S thì Ax02y02z0  3

Dấu đẳng thức xảy ra khi M là tiếp điểm của  P :x2y2z 3 0 với  S hay M là hình chiếu của I lên  P Suy ra M x y z 0; 0; 0 thỏa:

0 0

0 0

0 0

1 2

1

1 2

1

1 2



x

y

z

Vậy   x0 y0    z0 1

tọa độ Oxyz, cho ba điểm A1;0;0, B0; 2;0 và C0;0;3 Mặt cầu  S luôn qua A, B, C

và đồng thời cắt ba tia Ox , Oy, Oz tại ba điểm phân biệt M , N , P Gọi H là trực tâm của

tam giác MNP Tìm giá trị nhỏ nhất của HI với I4; 2; 2

Lời giải Chọn A

Gọi M m ;0;0, N0; ;0n , P0;0;p 

Gọi E là tâm mặt cầu  S , R là bán kính mặt cầu  S

Gọi K là trung điểm AM, ta có : EKAM

Ta có : OM OA OKKMOKKA  OKKMOKKM OK2 KM2

OE KE KM OE R

Chứng minh tương tự ta có: 2 2

ON OBOE R , OP OC OE2R2

OM OA ON OB OP OC

   m.1 n.2  p.3

Ta có : phương trình mặt phẳng MNP: x y z 1

m  n p hay x 2y 3z 1

m m  m 

x y z m

      vectơ pháp tuyến của MNP là  n1; 2;3

Vì tứ diện OMNP có 3 cạnh từ O đôi một vuông góc nên OHMNP

 phương trình đường thẳng  :

x y z

OH   (cố định)

Vậy HI nhỏ nhất khi H là hình chiếu của I lên OH

Khi đó :

Phương trình mặt phẳng qua I và vuông góc OH là : x 2y 3z 14  0,

 H1; 2;3 IH  10

Câu 48: [2H3-2.13-4] (Sở Quảng Bình - 2018 - BTN – 6ID – HDG)Trong không gian Oxyz, cho

điểm I3; 4;0 và đường thẳng : 1 2 1

x y z

 Phương trình mặt cầu  S có tâm I

và cắt  tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 12 là

A   2 2 2

x  y z  B   2 2 2

x  y z 

C   2 2 2

x  y z 

Lời giải Chọn D

Đường thẳng  đi qua điểm M1; 2; 1  và có véc-tơ chỉ phương u1;1; 4 

Ta có IM     2; 2; 1 IM u, 9; 9;0  IM u,  9 2

Khoảng cách từ I đến đường thẳng  là

18

IM u

d I

u

Diện tích tam giác IAB bằng 12 nên

8

IAB

S AB

d I

Bán kính mặt cầu  S là

2

2

AB

R   d I     

Phương trình mặt cầu  S cần lập là

x  y z 