Thủy lực đại cương - Chương 4

Thủy lực học là ngành kĩ thuật nghiên cứu về các vấn đề mang tính thực dụng bao gồm: lưu trữ, vận chuyển, kiểm soát, đo đạc nước và các chất lỏng khác.Thủy lực có phương pháp nghiên cứu dựa

CHƯƠNG IV

CHUYỂN ĐỘNG THẾ & LỚP BIÊN

***

⇓4.1 CHUYỂN ĐỘNG THẾ

I Khái niệm về lưu số

II Các tính chất cơ bản của chuyển động thế

III Nguyên lý JU-CỐP-SKI

IV Thế phức

V Một vài ví dụ hàm phức trong dòng chảy thế phẳng

⇓4.2 LỚP BIÊN

I Sức cản do ma sát

II Sức cản do độ chênh áp suất

III Sức cản do ma sát và áp suất

IV Phương trình lớp biên của Prandtl

⇓4.1 CHUYỂN ĐỘNG THẾ

I Khái niệm về lưu số:

B Cho trường vectơ Vr(u,v,w)

, người ta định nghĩa

vr

M

A

lưu số vectơ dọc theo đường bất kỳ (C) nối liền

điểm A và điểm B bởi tích phân :

∫

= Γ

c s c

ds V s d

V rr

c

) dz w dy v dx u ( Tích phân nầy có thể tính toán, đặc biệt đối với những

đường vòng khép kín

Ví dụ dòng chảy có đường dòng đồng tâm, vận tốc V = ω r

D

r1 αA

→

v

A

B

C (C1)

r2

Lưu số dọc theo đường (C1) là :

2 1 1

1

1 2 2

r r

r ds V ds V

=

Như vậy: Γ1 tăng theo bình phương bán kính

Lưu số dọc theo đường ABCD là :

) r r w r r w r r w

ABCD

2 1

2 2 1

1 2

2 α − α = α −

= Γ

Chú ý: Giá trị Γ đổi dấu khi đổi chiều đường cong (C)

II Các tính chất cơ bản của chuyển động thế

- Trong trường hợp tổng quát, tích phân Γ=∫

c

s d

v rr phụ thuộc đường đi từ A đến B Để tích phân nầy chỉ phụ thuộc điểm A và B thì biểu thức u.dx + v.dy + w.dz là vi phân toàn phần của hàm số ϕ nào đó, điều nầy dẫn đến : r ort V =0 (4.1)

- Dòng chảy thỏa tính chất nầy gọi là dòng chảy không xoáy và hàm số thỏa mãn tính chất :

z w , y v , x

u

∂

∂ϕ

=

∂

∂ϕ

=

∂

∂ϕ

= (4.2) Hay : Vr =grardϕ (4.3)

Dòng chảy còn được gọi là dòng chảy có thế vận tốc hay dòng chảy thế, và chúng ta sẽ có:

(4.4)

=

A

A

B(x,y,z) (x,y,z) s

d

V rr Khi đường cong khép kín thì Γ = 0

Đối với chất lỏng không nén, từ phương trình liên tục divV = 0, ta có được :

2 0

2 2

2 2

2

=

∂

ϕ

∂ +

∂

ϕ

∂ +

∂

ϕ

∂

=

ϕ

∆

z y

Hay : ∆ϕ = 0

Vậy hàm số ϕ thỏa phương trình Laplace hay ϕ là hàm số điều hòa

Trong chuyển động phẳng thì: dϕ = ux.dx + uy.dy = dy

y dx

∂ϕ +

∂

∂ϕ

Nếu ϕ = const, thì: dϕ = 0 và =0

∂

∂ϕ +

∂

∂ϕ

dy y dx

Đây là phương trình đường đẳng thế lưu tốc trong chuyển động phẳng Ta lại có phương trình đường dòng trong chuyển động phẳng :

ux.dy - uy.dx = 0 (4.7)

Nếu tìm được hàm Ψ(x,y) sao cho :

x , u

∂

∂ψ

=

∂

∂ψ

(4.8) Thì phương trình đường dòng của chuyển động phẳng sẽ là :

0

=

∂

∂ϕ +

∂

∂ψ

dy y dx

x , hoặc dΨ = 0 (4.9)

Do đó Ψ(x,y) = const, nên trị đường dòng không đổi dọc theo mỗi đường dòng

Từ (4.2) và (4.8) ta có mối liên hệ :

y

∂

∂

= và

x

∂

∂

−

= (4.10)

Do đó :

y

y x

∂ψ

∂

∂ϕ

=

∂

∂ψ

∂

∂ϕ

(4.11) Điều nầy có nghĩa là hai họ ϕ và Ψ trực giao nhau trong chuyển động thế phẳng và được gọi là những hàm số liên hiệp

Biểu thức (4.10) là điều kiện Cosi - Riemann cho phép ứng dụng hàm phức để nghiên cứu chuyển động thế

Mặt khác, ta có lưu lượng : dQ = ux.dy - uy.dx (4.12)

Mà ux =

x

u

∂

∂

Nên dQ = = ψ

∂

∂ψ +

∂

∂ψ

d dx x dy

y (4.13)

Do đó : 2 1 (4.14)

2

1 2

1 =ψ∫ ψ =ψ −ψ

ψ ψ

−

Q

Điều nầy có nghĩa hiệu số những trị số hàm số dòng cho ta lưu lượng chất lỏng chảy giữa hai đường dòng đó Đó là ý nghĩa của hàm số dòng

3 Nguyên lý Ju-cốp-ski

Để dẫn đến nguyên lí Ju-cốp-ski , ta xét một cửa chớp có mặt cắt ngang như hình vẽ, các

chớp cách nhau đoạn t cho rằng dòng chảy qua cửa chớp là ổn định, phẳng, không xoáy, trực giao với đường sinh cửa chớp

Y

B

A

X

X

D

O

t

t

V1

U1=u2

⎩

⎨

⎧

→ 2

2 2

v

u V

C

⎩

⎨

⎧

→ 1

1 1

v

u V

vm

V2

- Aïp dụng định lý động lượng đối với mặt bao ABCD có độ dày đơn vị các cạnh AB,CD đủ xa cửa chớp, để có áp suất và vận tốc không đổi Chiếu phương trình động lượng lên trục ox , ta có:

ρ.Q(v2 - v1 ) = (ρ.t.u2 ).u2 - (ρ.t.u1).u1 (4.15)

ΣF = -X + (p1 - p2 ).t (4.16)

Nên : ρ.t.(u22 -u12 ) = -X + (p1 - p2 ).t (4.17)

Dòng chảy ổn định nên: t.u1 = t.u2 ⇒ u1 = u2 (4.18)

Như vậy : X = (p1 - p2).t (4.19)

Chiếu phương trình động lượng lên trục oy ta có :

(ρ.t.u2 ).v2 - (ρ.t.u1).v1 = - Y (4.20)

Và vì u1 = u2 nên : Y = ρ.t.u1(v1- v2) (4.21)

Mặt khác từ phương trình Becnoulli ta có:

2 2

2 2 2

2

p V

ρ

(4.22)

Hay :

2 2

2 2

2 2 2

2 1

2 1 1

) v u ( p ) v u (

(4.23)

Nên :

2

2 1

2 2 2

1

) v v (

p

(4.24) Khử p1 - p2 giữa phương trình (4.19) và (4.24) được các thành phần của lực R (của chất lỏng tác dụng lên cửa chớp):

2

2 1 2

1 v ).(v v ) v

.(

t

−

Y=ρ u1(v1 −v2)

Ta có lưu số Γ dọc ABCD theo chiều mũi tên:

Γ = -t.v1 + ΓBC + t.v2 + ΓDA

Vì : ΓBC = ΓAD = - ΓDA, nên Γ = t.(v2 - v1)

Nên: X =ρv +v Γ

2

2

1 (4.25)

Y = - ρ.u1.Γ (4.26)

Đặt

2

2

1 V V

Vm

r r

= , có : um = u1; vm =

2

2

1 v

v +

Nên : X = ρ.vm Γ (4.27)

Y = -ρ.u1.Γ (4.28)

Ta thấy: Rr

trực giao với Vrm (do có tích vô hướng bằng không) và modun: R = ρ.V

m.Γ

Từ đó, ta có nguyên lý Kutta - Ju-cốp-ski:

Khi ta để cố định một lá cửa chớp và đưa các lá khác ra xa vô cùng, sự lệch góc do dòng chảy là bằng không (Vr1 Vr2)

=

t = ∞ thì : v1 = v2

u1 = u2 = V

Lưu số Γ = t.(v2 - v1) không xác định, giả sử nó có giá trị hữu hạn thì lực luôn luôn thẳng góc với vectơ thành phần X triệt tiêu

Rr

m

Vr

Rr Lực nâng lên cửa chớp lăng trụ trên đơn vị chiều dài là :

R = ρ.V.Γ (4.29)

Định lý Kutta - Ju-cốp-ski

• Nếu một vật lăng trụ đặt trong dòng chảy phẳng, ổn định có đường sinh thẳng góc với dòng chảy,

• Dòng chảy là không xoáy bên ngoài vật nầy,

• Vận tốc V ở vô cùng có cường độ và phương cố định,

• Lưu số vectơ vận tốc quanh vật có giá trị Γ

Vật nầy sẽ bị tác dụng lên một hợp lực R bởi chất lỏng có đặc tính:

Hướng của Rr nhận được bằng cách quay vectơ một góc

Vr

2

π theo chiều ngược với lưu sô,ú

Độ lớn là ρ.V.Γ.L, với L là chiều dài vật

4 Thế phức

- Chúng ta xét trường hợp dòng chảy phẳng dừng của chất lỏng lý tưởng không nén Tất cả các đường dòng song song với một mặt phẳng nào đó, ta gọi là mặt phẳng (x,y) cho nên ϕ chỉ phụ thuộc x và y:

y

v x

∂

∂ϕ

∂

= , (4.30) Khi đó bài toán tìm trường tốc độ đơn giản đi rất nhiều nhờ ứng dụng được hàm biến phức Chúng ta lấy hàm phức: W = Ψ + iϕ phụ thuộc vào biến số phức nào đó:

z = x + iy ⇒ W = W(z)

- Các biến số x và y là độc lập, vì vậy trong trường hợp tổng quát giá trị đạo hàm dz

dW

có thể phụ thuộc vào vấn đề các vi phân dx và dy trong biểu thức dz = dx + idy, tức là phụ thuộc vào chiều của vectơ dz trong mặt phẳng phức Hàm W(z) gọi là giải tích, nếu như đạo hàm

dz

dW

không phụ thuộc vào chiều của dz

Đi làm sáng tỏ những điều kiện phải áp đặt cho Ψ và ϕ trong trường hợp đó

Chúng ta viết vi phân dW trong các điều kiện x,y không đổi :

dx )

x

i x ( ) dW

∂

∂ϕ +

∂

∂ψ

=

dy )

y

i y ( ) dW

∂

∂ϕ +

∂

Ψ

∂

= (4.31)

- Để cho giới hạn

dz

dW tồn tại và không phụ thuộc vào x và y (riêng biệt nhau), điều cần thiết là các hệ số trước dx và idy cũng như trước idx và dy trong các vi phân (4.31) bằng nhau

y x

, y

Ψ

∂

−

=

∂

∂ϕ

∂

∂ϕ

=

∂

Ψ

∂

(4.32) ( Đây chính là điều kiên Cauchy - Riemann )

Nếu như các điều kiện đó thỏa mãn thì :

)dz

y

i y ( dz )

x

i x ( ) idy dx ).(

x

i x ( dW

∂

Ψ

∂

−

∂

∂ϕ

≡

∂

∂ϕ +

∂

Ψ

∂

= +

∂

∂ϕ +

∂

Ψ

∂

tức là tồn tại giới hạn đơn giá:

dz

dW Khử Ψ khỏi (4.32), ta tìm thấy : 2 0

2 2

2

=

∂

ϕ

∂ +

∂

ϕ

∂

y

Thành thử hàm ϕ có thể được chọn làm hàm thế cho dòng chảy phẳng Đối với hàm Ψ cũng vậy

Từ điều kiện Cauchy - Riemann chúng ta nhận được hệ thức sau :

∂

Ψ

∂

∂

∂ϕ +

∂

Ψ

∂

∂

∂ϕ

y

y x

x (4.34)

- Điều đó có nghĩa là các Gradient của ϕ và Ψ vuông góc với nhau Khi đó các đường đẳng trị của ϕ và Ψ cũng vuông góc với nhau, thành ra ∇ϕ hướng theo đường Ψ = const và

∇Ψ hướng theo ϕ = const Như vậy trên mặt thành vách cứng phải có Ψ = const, vì khi đó vectơ ∇ϕ = 0 không có thành phần pháp tuyến đối với vách

- Lưới các đường thẳng vuông góc với nhau x = const, y = const được ánh xạ qua lưới các đường cong ϕ = const, Ψ = const; nhưng các đường cong nầy cũng vuông góc với nhau

Vì vậy phếp biến đổi W = W(z) gọi là bảo giác, tức là vẫn giữ nguyên hình dạng của các phần tử vô cùng nhỏ các mặt phẳng ánh xạ

- Chúng ta nhận xét rằng ϕ và Ψ có thể đổi chỗ cho nhau, tức coi các đường Ψ = const là các đường đẳng thế, còn ϕ = const là các đường dòng Điều nầy tương ứng với thay đổi điều kiện biên

Dòng chất lỏng nhớt khi chảy qua vật cản rắn, có thể khác rất nhiều với dòng chảy thế

mô tả ở đây Nhưng trong chất lỏng siêu chảy Heli, tính chất thế nghiêm ngặt vẫn được thực hiện Ngoài ra tại một số vùng của dòng chảy chất lỏng thực, bức tranh gần giống như dòng chảy thế

Một vài ví dụ hàm phức trong dòng chảy thế phẳng

a - Dòng chảy song phẳng

Xét hàm W(z) = ϕ + iΨ = V.z = V ( x + iy )

Ở đây V = const

Ta có ϕ = V.x

Ψ = V.y

Đường đẳng thế ϕ = const ⇒ x = const, đó là những đường song song trục y

Đường dòng Ψ = const ⇒ y = const, đó là những đường song song trục x

b - Điểm nguồn và điểm tụ

Điểm nguồn là điểm mà từ đó chất lỏng chảy đi theo phương bán kính, còn điểm tụ là điểm mà chất lỏng từ mọi hướng chảy về theo phương bán kính

Xét hàm phức : W(z) = ϕ + iΨ = Clogz

W(z) = C.Logreiθ= C ( Logr + i.θ ), với C số thực

Ta có ϕ = C.Logr = C Log x +2 y2

x

y arctg C

Cθ=

=

Ψ

Vậy: Những đường đẳng thế ϕ = const là những đường vòng tròn đồng tâm có r = const Những đường dòng là những đường có const

xy = đi qua tâm các đường tròn Đây là dòng chảy theo phương bán kính của điểm nguồn hay điểm tụ

Vận tốc

r

C dr r

dr C r

∂

Lưu lượng tổng cộng : qv = 2.π.r.V = 2.π.C Do đó : C =

π 2

v

q

Nếu C > 0 thì q > 0, ta có điểm nguồn

C < 0 thì q < 0, ta có điểm tụ

Hàm giải tích sẽ là : W(z) = q v .Logz

⇓4.2 LỚP BIÊN

I Khái niệm

Khi dòng chảy bao quanh vật rắn, do ảnh hưởng ma sát với thành rắn, hình thành lớp mỏng sát thành, có chiều dày rất bé, gradient vận tốc lớn, gọi là lớp biên; miền còn lại có lưu tốc lớn hơn gradient vận tốc bé, thường là chảy rối, gọi là dòng ngoài (Hình 3.4)

Chiều dày lớp biên δ thường gồm lớp mỏng chảy tầng δ t rất sát với thành rắn và lớp mỏng chuyển tiếp δct từ chảy tầng sang chảy rối:

δ = δt + δct (3.34) Dòng chảy bao vật rắn, ngoài sức cản do ma sát, còn có sức cản gây ra do độ chênh lệch áp suất trước và sau vật cản (Hình 3.5), hoặc hỗn hợp giữa lực ma sát và độ chênh áp suất (Hình 3.6)

O

τ

→

V

t

δ

→ V O

τ t

c

c

P1

Hình 3.4 Hình 3.5

0

τ

0

τ

→

V

P2 < P1

Trong lớp biên δ gradient vận tốc có trị số lớn, lưu tốc thay đổi rất nhanh từ trị số zero trên mặt vật rắn, đến vận tốc V ∞ của dòng ngoài đi tới, tại khoảng cách đủ xa vật, chưa bị nhiễu động bởi vật Chiều dày lớp biên δ được tính từ mặt vật rắn đến điểm trong dòng bao có lưu tốc u =

δ

u = 0,99V Bên ngoài lớp biên ảnh hưởng của lực ma sát có thể bỏ qua, chất lỏng xem như không nhớt, giống chuyển động thế (Hình 3.7)

Hình 3.6

Profile vận tốc dòng

δ d

δ d τ Profile vận tốc lớp biín Hình 3.7

y

x

t

Đường viền của lớp biín

Bề dăy lớp biín

Trong lớp biên chảy tầng δt , ứng suất ma sát trong chất lỏng là do tính nhớt gây ra:

dn

du

µ

τ = ( 3.35 ) Trong lớp biên chảy rối δct, ứng suất chủ yếu do mạch động rối của dòng chảy (Hình 3.8):

dn

du

.ε ρ

τ = ( 3.36) với: µ.,ε được gọi hệ số nhớt động lực và hệ số nhớt rối động học

Vì dòng chảy từ trái qua phải nên chiều dày lớp biên mở rộng dần

Lớp biín rối

→

∞

V

→

∞

V

→

∞

u

Bề dăy lấn dòng

∗

δ δ

*

δ

Lớp mỏng sât thănh

y

V

→

Lớp biín chảy tầng

Chuyển tiĩp

∞

∞

V

Hình 3.8 Hình 3.9

a/ Bề dày dịch chuyển δ *:

Xét dòng chảy nhớt, không nén (Hình 3.9), do ảnh hưởng của lớp biên mà đường dòng bị lệch khỏi phương ban đầu và lấn vào dòng ngoài một đoạn * theo phương trục y δ

Vì thế bề dày dịch chuyển δ * còn được được gọi là chiều dày lấn dòng; nó được tính từ cân bằng khối lượng:

0 u.dy * Udy U(Y )

Ta rút ra:

dy U

u 1 dy

U

u dy dy

U

u

0 Y

0

Y 0 Y

0

*

∫

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

−

=

−

= δ

Hay viết ở dạng khác: dy

V

u 1

0

x

*

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

δ ( 3.37 )

δ * đặc trưng cho phần lưu lượng bị hụt đi trong lớp biên dày δ do tác dụng hãm của lớp biên

Bề dày động lượng, hay tổn thất động lượng cho bởi công thức:

V

u 1 V

u

0

x x

*

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

δ ( 3.38 )

δ ** đặc trưng cho phần động lượng của chất lỏng bị hụt đi trong lớp biên, do tác dụng hãm của lực ma sát trên mặt vật rắn

II Phương trình lớp biên phẳng

Từ phương trình Navier -Stocks thiết lập cho bài toán trong mặt phẳng xoy chuyển động dừng (ổn định), bỏ qua lực khối, và sau khi đơn giản bằng cách so sánh bậc của các số hạng trong hệ phương trình nầy, Prandtl nhận được hệ thống phương trình lớp biên phẳng chảy tầng như sau:

0

y

u x

∂

∂ +

∂

∂

(3.39)

2 x

y x x

y

u x

p 1 y

u u x

u u

∂

∂ ν +

∂

∂ ρ

−

=

∂

∂ +

∂

∂

(3.40) Hệ phương trình (3.39) và (3.40) phải thỏa mãn điều kiện sau:

- Trên mặt vật rắn cố định: y = 0 , ux = uy = 0

- Trong dòng ngoài: y → , u∞ x = V

Hệ phương trình nầy không khép kín, do đó muốn giải cần phải thành lập thêm phương trình bổsung

Ví dụ:

Cho ống thép có bán kính R = 200 mm có hệ số ma sát f = 0,025 dẫn lưu lượng Q = 1 lít/giây Hãy tính bề dày dịch chuyển δ * và bề dày động lượng ** của dòng chảy trong ống nầy

δ

Giải:

Ta có bề dày dịch chuyển δ * tính theo công thức:

dy u

u 1 dy

V

u

0

mê

x 0

x

*

∫

∫ ⎜⎝⎛ − ⎟⎠⎞ = ⎜⎜⎝⎛ − ⎟⎟⎠⎞

=

Mặt khác ta có:

1

max R

y u

u

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

025 , 0

1 f

1

mm 27 1 3 , 6

200 1

n

R R

1 n

n R R

y 1 n

n y dy u

u 1

R

0 n 1 n ) 1 n (

R 0

mê

x

+

= +

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

=

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛ +

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

δ

+

∫

Bề dày động lượng ** tính theo công thức: δ

dy u

u u

u dy

u

u 1 u

u dy

V

u 1 V

0

2

mê mê

mê

R 0 mê 0

x x

*

∫

∫

∫

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

=

R

0 n 2 n ) 2 n (

n 1 n ) 1 n (

R 0

*

R

y 2 n

n R

y 1 n

n dy

R

y R

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛ +

−

⎟

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎜

⎝

⎛ +

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

δ

+ +

∫

R ) 2 n )(

1 n (

n R

2 n

n R 1 n

n

*

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ +

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

+

− +

=

δ

mm 13 , 0 mm 200 ) 2 3 , 6 )(

1 3 , 6 (

3 , 6

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+ +

=

δ