Thủy lực đại cương - Chương 2

Thủy lực học là ngành kĩ thuật nghiên cứu về các vấn đề mang tính thực dụng bao gồm: lưu trữ, vận chuyển, kiểm soát, đo đạc nước và các chất lỏng khác.Thủy lực có phương pháp nghiên cứu dựa

CHƯƠNG 2

THỦY TĨNH

***

I Khái niệm áp suất thuỷ tĩnh - áp lực

II Các tính chất của áp suất thuỷ tĩnh

Tính chất 1

Tính chất 2

III Phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng đứng cân bằng

IV Sự cân bằng của chất lỏng trọng lực

1 Định luật bình thông nhau:

2 Định luật Pascal

3 Áp suất tuyệt đối, áp suất dư, áp suất chân không

V Ý nghĩa hình học và năng lượng của phương trình cơ bản của thủy tĩnh

1 Ý nghĩa hình học

2 Ý nghĩa năng lượng

VI Biểu đồ áp lực

VII Aïp lực chất lỏng lên thành phẳng có hình dạng bất kỳ

1 Trị số của áp lực

2 Vị trí tâm áp lực

VIII Aïp lưc chất lỏng lên thành phẳng hình chữ nhật có đáy đặt nằm ngang

1 Xác định trị số của P

2 Điểm đặt của áp lực

IX Aïp lực của chất lỏng lên thàng cong

1 Xác định trị số

2 Điểm đặt của lực

3 Một số trường hợp cần lưu ý

BÀI TẬP THỦY TĨNH HỌC

CHƯƠNG 2 THỦY TĨNH

Thủy tĩnh học nghiên cứu các vấn đề về chất lỏng ở trạng thái cân bằng, tức là không có sự chuyển động tương đối giữa các phần tử chất lỏng → không có sự xuất hiện của ma sát nhớt Do đó những kết luận về chất lỏng lý tưởng cũng đúng cho chất lỏng thực

I.Khái niệm áp suất thuỷ tĩnh - áp lực

- Khối chất lỏng W đang cân bằng

W ω

- Giả sử cắt bỏ phần trên, ta phải tác dụng vào mặt cắt đó bằng một hệ lực tương đương thì phần dưới mới cân bằng như cũ

- Trên tiết diện cắt quanh điểm 0 ta lấy một diện tích ω, gọi P

là lực của phần trên tác dụng lên ω

Ta có các khái niệm sau:

- P : là áp lực thuỷ tĩnh (hoặc tổng áp lực) tác dụng lên diện tích ω (N, KN )

- Tỷ số : P/ω = ptb : là áp suất thủy tĩnh trung bình trên diện tích ω

- ω

→ ω

P lim

0 : áp suất thủy tĩnh tại 1 điểm (hay còn gọi là áp suất thủy tĩnh)

- Đơn vị của áp suất: N/m2; 2

.s m

kg

, atmosphere + Trong kỹ thuật, áp suất còn đo bằng atmosphere:1at =9,81.104

N/m2=1KG/cm2

+ Trong thuỷ lực, áp suất còn đo bằng chiều cao cột chất lỏng:1at =10m H2O

II Các tính chất của áp suất thuỷ tĩnh

Tính chất 1 (phương và chiều):

Aïp suất thủy tĩnh tác dụng thẳng góc với diện tích chịu lực và hướng vào diện tích ấy

P t Chứng minh: Bằng phản chứng

p n

p p

Ta có: , nhưng có (do chất lỏng cđn bằng) Nín: , hướng vào trong vì chất lỏng chỉ chịu được sức nén, không chịu kéo

Tính chất 2 (trị số):

- Không phụ thuộc vào hướng đặt của diện tích chịu lực

- Aïp suất thuỷ tĩnh chỉ phụ thuộc vào vị trí của điểm I nghĩa là p = f (x, y, z)

Chứng minh:

dP'=p'.dw'

dP=p.dw

dw'

dw

- Lấy một phân tố hình trụ , một đầu hình trụ có diện tích dw và có tâm I; đáy kia

của hình trụ có diện tích dw’ và có tâm I’, đáy này có hướng bất kỳ xác định bởi góc α

- Gọi p, p’ là những áp suất, chúng vuông góc với những mặt tương ứng

Theo định nghĩa: Mặt dw chịu lực là dp = pdw

Mặt dw’ chịu lực là dp’ = p’dw’ Chiếu lực mặt theo phương nằm ngang (bỏ qua lực khối-vi phân bậc cao)

dP’cos α - dP=0 ⇔ p’ dw’cos α -pdw=0 ⇔ p' = p

Ví dụ:

Xác định phương, chiều của áp suất thủy tĩnh tại điểm A trong hình vẽ sau đây:

+ Hướng của lực:

y

2

x x

p

∂

∂ + 2

x x

p

∂

∂

−

δz

p

M

δy

δx

O

z

(1)

A

(2)

pA (1)

1A (2) p

x

( ) ( ):Hướng vào mặt

p

vào Hướng :

mặt p

A

A

2

1 2

1

⊥

⊥ + Trị số: p1A= pA2

III Phương trình vi phân cơ bản

của chất lỏng đứng cân bằng

Xét một khối hình hộp chất

lỏng vô cùng bé đứng cân bằng có

các cạnh δx, δy, δz Tâm M(x, y,

z) chịu tác động áp suất p(x, y, z)

Hệ tọa độ như hình vẽ

Điều kiện cân bằng: Tổng hình chiếu lên các trục của lực mặt và lực thể tích tác dụng

lên khối phải bằng không

Bằng khai triển Taylor, bỏ qua vi phân bậc cao, lấy số hạng thứ nhất:

Khi đó: Aúp suất tại trọng tâm mặt trái là :

2

x

x

p

∂

∂

−

Aúp suất tại trọng tâm mặt phải là:

2

x

x

p

∂

∂

Lực thể tích tác dụng lên một đơn vị khối lượng chất lỏng theo phương Ox là Fx

Theo điều kiện cân bằng ta có :

- Xét theo phương x :

0

1 :

0

0 2 2

0 ) 2 (

)

2 (

=

∂

∂

−

= +

∂

∂

−

⇒

= +

∂

∂

−

⇔

= +

∂

∂ +

−

∂

∂

−

x

p F

Hay

F x p

z y x F z y x x p

z y x F z y x x

p p z y x x

p p

x x

x

x

ρ ρ

δ δ δ ρ δ δ δ

δ δ δ ρ δ δ

δ δ

δ δ

- Tương tự theo phương y và z ta có hệ sau:

0

1 : F − gradp=

Hay

ρ

r

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪

⎪

⎪

⎨

⎧

=

∂

∂

−

=

∂

∂

−

=

∂

∂

−

0 1

0 1

0 1

z

p F

y

p F

x

p F

z y x

ρ ρ

ρ

Đây là hệ phương trình vi phân cơ bản của chất lỏng đứng cân bằng hay hệ phương trình Euler

Phương trình này biểu thị sự phụ thuộc của áp suất thủy tĩnh theo tọa độ: p= p(x,y,z)

Áp dụng đối với trường hợp

→

→

= g F Khi lực thể tích tác dụng vào chất lỏng chỉ là trọng lực thì chất lỏng được gọi là chất lỏng trọng lực Trong hệ tọa độ vuông góc mà trục Oz đặt theo phương thẳng đứng hướng lên trên, thì đối với lực thể tích F tâc dụng lín một đơn vị khối lượng của chất lỏng trọng lực, ta có: Fx = 0; Fy = 0; Fz = - g

• Đối với Fx = 0

Từ 1 =0

∂

∂

−

x

p

F x

1

∂

∂

−

x

p

∂

∂ x

p tức p không phụ thuộc vào x

• Đối với Fy = 0

Tương tự như Fx ta được: =0

∂

∂ y p

• Đối với Fz = -g

∂

∂

−

z

p

F z

ρ , mà Fz = -g => 1 =0

∂

∂

−

−

z

p g

ρ => ∂p=−ρ.g.∂z

Cần xác định hằng số C

Tại mặt thoáng z = zo, thì p = po

po = -ρ.g.zo + C => C= po + ρ.g.zo

x δz

h

p 0

z 0 z

O

z

Thay vào (2.2) ta được:

p = po + ρ.g (zo-z)

Mà h = zo-z

p = p o + γh (2.4):

(2.4) là phương trình cơ bản của thuỷ tĩnh học

Kết luận: Áp suất thuỷ tĩnh tại một điểm có độ sâu h bất kỳì trong chất lỏng sẽ bằng áp suất tại mặt thoáng cộng với tích của trọng lượng đơn vị của chất lỏng đó với độ sâu h

Từ (2.3) viết dạng khác: z + p γ = z 0 + p γ = const 0 (2.5)

(2.5) là phương trình cơ bản thuỷ tĩnh dạng 2

Từ (2.4) ta thấy : Ứng với một giá trị h ta có một giá trị p, tức áp suất tại những điểm cùng nằm trên mặt phẳng vuông góc với z sẽ bằng nhau hay chúng đều nằm trên mặt đẳng áp

Tính chất của mặt đẳng áp

- Mặt đẳng áp là mặt có áp suất bằng nhau

- Mặt đẳng áp của chất lỏng trọng lực là những mặt song song và thẳng góc với trục

oz Nói cách khác chúng là những mặt phẳng nằm ngang

Nhận xét:

- Những điểm cùng độ sâu thì áp suất sẽ bằng nhau đối với cùng một loại chất lỏng

- Những điểm ở sâu hơn thì áp suất thuỷ tĩnh sẽ lớn hơn và ngược lại

Ví dụ 1:

- Trong hình vẽ sau ba điểm A, B, C có cùng độ

sâu h cùng áp suất mặt thoáng như nhau thuộc ba hình

thì có áp suất bằng nhau (trong trường hợp lộ ra khí trời

áp suất mặt thoáng p0 bằng pa = 98100N/m2 - áp suất khí

trời)

C

B A

Ví dụ 2:

Tìm áp suất tại một điểm ở đáy bể đựng nước sâu 4m Biết trọng lượng đơn vị của nước γ = 9810N/m3, áp suất tại mặt thoáng p0 = pa = 98100N/m2

Giải:

Aïp suất tại điểm ở đáy bể có chiều sâu 4m là:

p = p0 + γh = 98100 + 9810x4 = 137340N/m2 = 14000KG/m2

IV Sự cân bằng chất lỏng trọng lực

γ1

γ2

p 0

p2

B A

p1

p0

h2

h1

1 Định luật bình thông nhau:

Nếu hai bình thông nhau đựng chất lỏng khác nhau

có áp suất mặt thoáng bằng nhau, độ cao của chất lỏng

mỗi bình tính từ mặt phân chia hai chất lỏng đến mặt

thoáng sẽ tỉ lệ nghịch với trọng lượng đơn vị của chất lỏng

tức:

1

2

2

1 γ

γ

= h

h

Chứng minh:

Vì p1 = p2 (Tính chất mặt đẳng áp)

Suy ra: p0 + γ1.h1 = p0 + γ2.h2 => γ1.h1 = γ2.h2 =>

1

2

2

1 γ

γ

= h h

Nhận xét: Nếu chất lỏng chứa ở bình thông nhau cùng một loại (γ1 = γ2) thì mặt tự do của chất lỏng ở hai bình cùng trên một độ cao tức h1= h2

0 Aïp suất tại điểm A nào đó là: pI = p0 + γh p0 p

Nếu ta tăng áp suất tại mặt thoáng lên ∆p thì áp suất tại

điểm A đó sẽ là: pII = (p0 + ∆p) + γh

Vậy tại A áp suất tăng: pII - pI = ∆p, như vậy:

h

“Độ biến thiên của áp suất thủy tĩnh trên mặt giới hạn

của một thể tích chất lỏng cho trước được truyền đi

nguyên vẹn đến mọi điểm của thể tích chất lỏng đó”

A

A

Nhiều máy móc đã được chế tạo theo định luật

Pascal như: Máy ép thủy lực, máy kích, máy tích năng, các bộ phận truyền động v.v Xét một ứng dụng máy ép thủy lực:

Máy gồm hai xy lanh có diện tích khác nhau thông với nhau, chứa cùng một chất lỏng và có pittông di chuyển Pittông nhỏ gắn vào đòn bẩy, khi một lực F nhỏ tác dụng

lên đòn bẩy, thì lực tác dụng lên pittông nhỏ sẽ tăng lên và bằng P 1 và áp suất tại xylanh nhỏ bằng:

1

1

P

Theo định luật Pascal, áp suất p 1 nầy sẽ truyền tới mọi điểm trong môi chất lỏng, do đó sẽ truyền lên mặt piton lớn ω2 , như vậy, tổng áp lực P 2 tác dụng lên pittông ω 2 :

2 1

1 2 1

ω

p

Trong đó: ω2 - diện tích mặt pittông lớn

Nếu coi ω1 , p 1 là không đổi, khi muốn tăng P 2 thì phải tăng ω 2

ω2

p1

ω1

P2

P1

p1

F

3 Áp suất tuyệt đối, áp suất dư, áp suất chân không

3.1 Định nghĩa các loại áp suất

a Aïp suất tuyệt đối p tuyệt :

Người ta gọi áp suất tuyệt đối hoặc áp suất toàn phần là áp suất p xác định bởi công

thức cơ bản (2.4):

p = p0+ γh = ptuyệt

b Aïp suất tương đối (áp suất dư): p dư

Nếu từ áp suất tuyệt đối ptuyệt ta bớt đi áp suất khí quyển thì hiệu số đó gọi là áp suất

dư p dư hay áp suất tương đối:

p dư = p tuyệt - p a (2-6)

Nếu áp suất tại mặt thoáng là áp suất khí quyển p a thì: p dư = γh

Như vậy áp suất tuyệt đối biểu thị cho ứng suất nén thực tế tại điểm đang xét, còn áp suất dư là phần áp suất còn dư nếu trong trị số của áp suất tuyệt đối ta bớt đi trị số áp suất không khí Áp suất tuyệt đối bao giờ cũng là một số dương, còn áp suất dư có thể dương hoặc âm

p dư > 0 khi p tuyệt > p a

p dư < 0 khi p tuyệt < p a

c Aïp suất chân không: p ck

Trong trường hợp áp suất dư âm thì hiệu số của áp suất khí quyển và áp suất tuyệt

đối gọi là áp suất chân không p ck = p a - p tuyệt = - p dư (2-7)

Như vậy: p ck = - p dư

Phần áp suất tuyệt đối nhỏ hơn áp suất khí trời gọi là áp suất chân không

Một số nhận xét:

- Nói đến áp suất chân không có nghĩa là áp suất tuyệt đối nhỏ hơn áp suất không khí, chứ không có nghĩa là không còn phần tử chất khí nào ở đó

- Khi po = pa thì pdư = γh

Trong kỹ thuật qui ước: pa = 98100N/m2 = 1 at

3.2 Biểu diễn áp suất bằng cột chất lỏng

- Aïp suất tại một điểm có thể đo bằng chiều cao cột chất lỏng (nước, thuỷ ngân, rượu ) kể từ điểm đang xét đến mặt thoáng chất lỏng đó

- Ta có thể biểu diễn áp suất bằng cột chất lỏng như sau:

Ptuyệt biểu thị bằng

γ

= tuyet tuyet

p h

pdư biểu thị bằng

γ

= dư dư

p h

pck biểu thị bằng

γ

= ck ck

p h

− a

p

γ0

p

←

↑

p 0

p 0

d

h

ck

h

z

- Ống kín ← : hút hết không khí

ht: cột nước biểu thị áp suất tuyệt đối tại A

- Ống hở ↑: hở ra khí trời

hd: cột nước biểu thị áp suất dư tại A

- Ống hở →: mức nước trong ống thấp hơn điểm A

hck: cột nước biểu thị áp suất chân không tại điểm A

Ví dụ: Xác định áp suất tại mặt thoáng p0, áp suất tuyệt đối và áp suất dư thuỷ tĩnh tại

A của bình đựng nước như hình vẽ

Giải: - Ống đo áp hở ra khí trời, đó là ống đo áp suất dư

- Chênh lệch 1m là do chênh lệch giữa áp suất mặt thoáng p0 với áp suất khí trời

- p0 = pa + γh = 98100 + 9810.1 = 109710 (N/m2)

- ptA = pa + γh = 98100 + 9810.3 = 127530 (N/m2)

- pdA = ptA - pa = 127530-98100 = 29430 (N/m2)

V Ý nghĩa hình học và năng lượng của phương trình cơ bản của thủy tĩnh

A

P0

1m 2m

1 Ý nghĩa hình học: Ta có: z p =H=const

γ

+

- z là độ cao hình học của điểm đang xét với mặt chuẩn nằm ngang

- γ

p độ cao áp suất

- H gọi là cột nước thủy tĩnh, nó là độ cao đo áp tuyệt đối (nếu p là áp suất tuyệt) hoặc dư (nếu p là áp suất dư)

Vậy: Phương trình cơ bản thủy tĩnh học nói rằng: Trong một môi trường chất lỏng đứng cân bằng, cột nước thủy tĩnh đối với bất kỳ một điểm nào là một hằng số

γ

B t p γ

A t p

B d

h

A d

h

0 0

z A

z B

p 0

• B

E d

H T

E T

2 Ý nghĩa năng lượng (ý nghĩa vật lý):

z : Vị năng đơn vị, hoặc gọi tỷ vị năng

h =

γ

p : Aïp năng đơn vị, hoặc gọi tỷ áp năng

H = (z +

γ

p ) : Thế năng đơn vị, hoặc gọi tỷ thế năng

Vậy: Thế năng đơn vị của chất lỏng đứng cân bằng là một hằng số đối với mọi điểm trong chất lỏng

VI Biểu đồ áp lực:

Phương trình cơ bản của thủy tĩnh học chứng tỏ rằng đối với một chất lỏng trọng lực nhất định, trong điều kiện áp suất tại mặt tự do po cho trước, áp suất p là hàm số bậc nhất của độ sâu h

Như vậy trong hệ tọa độ (p, h), phương trình (2.4) được biểu diễn bằng một đường thẳng Để giản đơn việc trình bày ta giả thiết po = pa khi đó pdư = γh

Ta chọn hệ trục tọa độ có trục h thẳng đứng hướng xuống dưới và trục p đặt nằm ngang Sự biểu diễn bằng đồ thị hàm số trong hệ tọa độ nói trên gọi là đồ phân bố áp suất thủy tĩnh theo đường thẳng đứng tức là theo những điểm trên đường thẳng đứng đó

Trước tiên ta xét đến đường biểu diễn áp suất dư pdư = γh theo đường thẳng đứng; đường biểu diễn này là một đường thẳng, do đó chỉ cần xác định hai điểm là vẽ được

Với h = 0 (ở mặt tự do), ta có: pdư = 0 nên O(0, 0)

Với h = h1 ta có: pdư = hγ 1 nên: A’(h1, hγ 1 )

Ta được hai điểm O và A’ , tam giác OAA’ chính là đồ phân bố áp suất dư

Dùng đồ phân bố áp suất dư, ta có thể xác định áp suất dư p tại một điểm có độ sâu h bất kỳ

Muốn có đồ phân bố áp suất tuyệt đối ta chỉ cần tịnh tiến đường OA’ theo phương thẳng góc với Oh một đoạn po và được đường O’A’’ Đồ phân bố áp suất tuyệt đối là hình thang vuông góc OO’A’’A

Chú ý:

1 Ta có thể thay trục nằm ngang p bằng

trục , khi đó cả hai trục đều là đơn

vị độ dài, áp suất lúc đó có thể biểu thị độ dài

cột nước Trong thực tiễn, ta cũng thường vẽ

biểu đồ phân bố với tọa độ như vậy để tính áp

lực Đồ phân bố với tọa độ như thế gọi là biểu

đồ áp lực

2 Do tính chất áp suất tại một điểm phải

thẳng góc với mặt chịu áp lực tại điểm đó, nên đồ phân bố áp suất cũng như đồ áp lực đối

với một đường thẳng bao giờ cũng là một tam giác vuông hoặc hình thang vuông

Trong trường hợp vẽ biểu đồ áp lực trên đường thẳng nghiêng hoặc đường thẳng gãy cũng không gì khó khăn vì trong trường hợp này đồ áp lực cũng là tam giác vuông hoặc hình thang vuông

3 Còn vẽ đồ phân bố áp suất trên đường cong ta phải biểu diễn bằng đồ thị trị số

áp suất tại từng điểm theo phương trình cơ bản rồi nối lại thành đường cong của đồ phân bố

p/γ =

γ

p0 = pa

γ

= d

h γ

= p h

h

VII Aïp lực chất lỏng lên thành phẳng có hình dạng bất kỳ

Trường hợp thành rắn là mặt phẳng, thì áp suất tác dụng lên thành rắn đều song song với nhau, do đó chúng có một hợp lực hay còn gọi là áp lực tổng hợp P duy nhất Ta

nghiên cứu trị số của P, điểm đặt và xác định phương chiều của lực

p o

1 Trị số của áp lực

O

- Cần xác định áp lực P của chất

h

h C

đặt nằm nghiêng góc α so với mặt

- Aïp lực tác dụng lên vi phân diện

dP = p.dω (vì dω nhỏ nên p phân

y

D

z

∫

∫

ω ω

ω γ +

=

- Trên thành phẳng chọn hệ tọa độ Ozy như hình vẽ, ta có:

h = z.sinα

∫

∫

ω

ω

ω α γ + ω

=

ω α γ

+

=

d z sin p

d sin z p P 0 0