Áp dụng BĐT tìm cực trị.doc

CHUYÊN ĐỀ

ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN TÌM CỰC TRỊ

A.Mục tiêu

• Học sinh biết áp dụng bất đẳng thức vào giải một số dạng toán tìm cực trị

• Rèn kĩ năng vận dụng nhận dạng, đưa bài toán vế các dạng cơ bản để thuận tiện cho việc tìm cực trị

• Giáo dục lòng đam mê toán học cho học sinh

B.Chuẩn bị

• Sách “Bất đẳng thức chọn lọc cấp II”

• Sách “ 263 bài toán bất đẳng thức chọn lọc”

• Các loại sách nâng cao THCS và một số tài liệu khác

C.Nội dung

I.Các ví dụ minh họa

 Dạng 1: Đưa về dạng f x( )= ±a g x( )2

Ví dụ 1

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y 22 2x 1

x

+

= + Giải: ta có 2 2 2 2 1 ( 1)2

y

Do đó Maxy=1 khi x=1

Ví dụ 2:

Tìm giá trị nhỏ nhất của y=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6)

Giải: ta có y=[(x-1)(x+6)][(x+2)(x+3)] = (x2+5x-6)(x2+5x+6)

=(x2+5x)2-36≥ -36 Dấu bằng sảy ra khi: x2+5x=0 ↔ x=0 hoặc x= -5

Vậy Miny=-36 khi x=0 hoặc x=-5

Ví dụ 3:

Tìm giá trị lớn nhất của biẻu thức

F(x,y)=xy-x2-y2-2x-3y

Giải: 1/2[(2xy-x2-y2)-(x2+4x+4)-(y2-4y+4)]+4

=4-1/2[(x-y)2+(x-2)2+(y+2)2 ]≤ 4

Vậy f(x,y) đạt giá trị lớn nhất bằng 4 khi y=x=-2

Dạng 2:Dùng tam thức bậc hai (Đưa vềdạng ax2+bx+c)

Ví dụ1: Xác định tham số a,b sao cho mỗi hàm số

ax+b 2

x 1

y=

+ đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng -1

Giải: Vậy ta phải tìm a,b để 1 ax+b 4

2

x 1

− ≤ ≤

+ với mọi x thuộc R

↔

ax+b

4 2

x 1 ax+b

1 2

x 1

 +



 ≥ −

 +



với mọi x thuộc R

↔ 422 ax+4-b 0

x ax+b+1 0

x





↔ 1 22 16(4 ) 0 34

2 4( 1) 0

a

∆ = − − =  =

∆ = − + =



vậy a=4 , b=3 hoặc a=-4 , b=3 thì f(x,y)= ax+b2

x + 1 đạt giá trị lớn nhất bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng -1

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

T= │x-1|+│x-2| + │x-3| +│x-4|

Giải: ta có |x-1| + |x-4|= |x-1|+|4-x| ≥ |x-1+4-x|=3

dấu bằng sảy ra khi (x-1)(4-x)≥0 hay 1≤ x ≤4 (1)

tương tự │x-2|+│x-3|=│x-2|+│3-x| ≥ │x-2+3-x|=1

Dấu bằng sảy ra khi (x-2)(3-x)≥0 hay 2≤x≤3 (2)

Tứ (1) và (2) ta có T= │x-1|+│x-2| + │x-3| +│x-4|≥ 3+1=4 Dấu bằng sảy ra khi 2 ≤x≤3

Vậy min T=4 khi 2≤x≤3

Dạng 3: dựa vào miền xác định của hàm số

- Phương pháp: gọi f(x0)=0 tìm biến f(x0) ≠0 dùng ∆ tính giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Y=2x+1/x2+2 có nghiệm

↔ y0x2+y0-2=2x+1

↔ y0x2-2x+2y0-1=0 có nghiệm (1)

1)Nếu y0=0 ↔ x=-1/2

2)Nếu y0≠0 ↔ (1) có nghiệm ↔ Δ’=1-y0(2y0-1)≥0 ↔

-2y02+y0+1≤0

↔ -1/2≤y0≤1

Vậy Miny=-1/2 và Maxy=1

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

1

x y

+

=

+ + có nghiệm ↔ yx2

+ (y-1)x+y-1=0 có nghiệm (1)

1) Nếu y1=0 ↔ x=-1 (2)

2) Nếu y1≠0 thì (1) có nghiệm

Δ=(y1-1)2-4y1(y1-1)≥0

↔ (y1-1)(-3y1-1)≥0

↔ -1/3≤y1≤1 (3)

Từ (2) và (3) ↔ -1/3≤y≤1

Vậy Miny=-1/3 và Maxy=1

Dạng 4: dùng bất đẳng thức Cauchy và Bunhiacopsky

+với a1,a2,a3,…,an≥0 ta luôn có: a1+a2+ +an n a2.a2 an ≥ n

dầu bằng xảy ra ↔ a1=a2=…=an (cauchy)

+Với 2n số a1,a2,…,an ; b1,b2,…,bn ta luôn có

(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤ (a12+a22+…+an2)( b12+b22+…+bn2)

dấu bằng xảy ra ↔ a1/b1= a2/b2 = …= an/bn

Ví dụ 1: Cho x,y là các số thay đổi sao cho x≤3 , 0≤y≤4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

A= (3-x)(4-y)(2x+3y)

Giải: Ta có A=1/6.2(3-x)3(4-y)(2x+3y)=1/6(6-2x)(12-3y)

(2x+3y)

Áp dụng BĐT cauchy cho 3 số không âm ta được

(6-2x)(12-3y)(2x+3y)≤ [(6-2x)(12-3y)(2x+3y)]2 /3=63

→ A≤36

MaxA=36 ↔ 6-2x=12-3y=2x+3y hay x=0, y=2

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của

S=abc(a+b)(b+c)(c+a) với a,b,c>0 và a+b+c=1

Giải:

Áp dụng BĐT cô si cho 3 số ta có

3 ↔ abc=1/27 (1)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1/3

3 2=(a+b)+(b+c)+(c+a) 3 (a+b)(b+c)(c+a) ≥

↔ (a+b)(b+c)(c+a)≤2/27 (2)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1/2

Từ (1) và (2) ↔ S≤ 8/729

Vậy MaxS=8/729 khi a=b=c=1/3

Ví dụ 3: Cho ab+bc+ac=1 tìm giá trị nhỏ nhất của a4+b4+c4

Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacopsky ta có

1=(ab+bc+ca)2≤ (a2+b2+c2)(a2+b2+c2)= (a2+b2+c2)2 (1)

Áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho ba cặp số (1,1,1) và

a2+b2+c2

Ta có (a2+b2+c2)2≤ 3(a4+b4+c4) (2)

từ (1) và (2) ↔ a4+b4+c4 ≥1/2

Vậy Min(a4+b4+c4)=1/3 ↔ a=b=c= 3

3

±

II.Bài tập áp dụng

1 Tìm Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

F(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)

2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

Y=(4x+3)/(x2+1)

3.Tìm giá trị lớn nhất của

S=x6+y6 biết x2+y2=1

4 Tìm Giá trị nhỏ nhất của

Y=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

5 Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình

x2+2(m-2)x-3m+10=0

Xác định m để x12+x22 đạt giá trị nhỏ nhất

6.Tìm giá trị nhỏ nhất và già trị lớn nhất của

A=a2+b2 với a,b thỏa mãn: (a2-b2+1)2+4a2b2-a2-b2=0

7 Tìm giá trị nhỏ nhất và già trị lớn nhất của

Y=(4x+3)/(x2+1)

8 Tìm GTLN của : A= a3(16-a3) với 0<a3<16