Viết công thức tính dân số sau n năm.. Hãy tìm ước số lớn nhất của a, biết ước số đó: a.. Là bình phương của một số tự nhiên.. Là lập phương của một số tự nhiên.. Cho x = a ta được r =
Trang 1PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN
TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
MÔN: GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO LỚP 9
NĂM HỌC: 2010 – 2011
ĐỀ 2
Câu 1(3 điểm)
a Tìm số dư trong phép chia
2 , 2
1 9 8 , 4 5 , 2 7 , 1
−
− +
− +
−
x
x x x
x x
b Tính 2,5% của
85 83 : 2
0,04
câu2(5 điểm)
3
2+ 3
(Chính xác đến 0,01).
b Cho biểu thức B = 3(sin8x – cos8x) + 4(cos6x – 2sin6x) + 6sin4x Chứng minh rằng biểu thức B không phụ thuộc vào x
câu 3 (3 điểm)
Dân số một nước là 80 triệu, mức tăng dân số trong một năm bình quân là 1,2%.
a Viết công thức tính dân số sau n năm
b Viết quy trình bấm phím tính dân số sau 20 năm
c Dân số nước đó sau n năm (n∈Z+) sẽ vượt 100 triệu Tìm số n bé nhất
câu 4 (4 điểm)
Cho số a = 1.2.3…17 (Tích của 17 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 1)
Hãy tìm ước số lớn nhất của a, biết ước số đó:
a Là bình phương của một số tự nhiên
b Là lập phương của một số tự nhiên
Câu 5 (5 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = a =14,25cm; AC = b = 23,5cm AM, AD thứ tự là các đường trung tuyến và phân giác của tam giác
a Tính độ dài đoạn thẳng BD và CD (Chính xác đến 0,0001)
b Tính diện tích tam giác ADM (Chính xác đến 0,0001)
Trang 2PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN
TRƯỜNG THCS THẠCH KHOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
MÔN: GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO LỚP 9
NĂM HỌC: 2010 - 2011
ĐỀ 2
Bài1
:
a Tìm số dư trong phép chia
2 , 2
1 9 8 , 4 5 , 2 7 , 1
−
− +
− +
−
x
x x x
x x
b Tính 2,5% của
85 83 : 2
0,04
3,0đ
Ta có P(x) = Q(x)(x-a) + r, với P(x), Q(x) là các đa thức, r là số dư Cho x = a
ta được
r = P(x), Do đó bài toán tìm số dư trong phép chia đa thức cho đơn thức trở
thành bài toán tìm P(a) của biểu thức P(x)
0,25 đ
Tính P(2,2): 2,2 5 2 1,7 0,5đ
4 2,5 3 4,8 0,5đ
2 9 1
Kq: r = P(2,2) = 85,43712
0,25 đ
đ
Kq: 0,458333333.
0,75 đ
Bài
2:
3
2+ 3
(Chính xác đến 0,01).
b Cho biểu thức B = 3(sin8x – cos8x) + 4(cos6x – 2sin6x) + 6sin4x Chứng minh rằng biểu thức B không phụ thuộc vào x
5,0đ
SHIF
^ +
^
-=
A
Trang 3Với a = 3
2 3
2
3
+
= +
ấn:
1 2
Kq: 0,73
0,5đ
B = 3(sin4x + cos4x)(sin2x + cos2x)(sin2x - cos2x) + 4(cos6x – 2sin6x) +
6sin4x
= 3sin6x + 3 cos4x.sin2x - 3 sin4x cos2x - 3cos6x + 4cos6x - 8sin6x + 6sin4x
0,5đ
= 3 cos4x.sin2x - 3 sin4x cos2x + cos6x - 5sin6x + 6sin4x
= 3 cos4x.sin2x - 3 sin4x cos2x + cos6x + 6sin4x(1 - sin2x) + sin6x 0,5đ
= 3 cos4x.sin2x - 3 sin4x cos2x + cos6x + 6sin4x.cos2x + sin6x
= 3 cos2x.sin2x(cos2x + sin2x) + (cos2x + sin2x)3 - 3 sin2x cos2x(sin2x +
cos2x) = 1
Vậy B = 1 không phụ thuộc vào x
0,5đ
Bài
3:
Bài 3: Dân số một nước là 80 triệu, mức tăng dân số trong một năm bình
quân là 1,2%
a Viết công thức tính dân số sau n năm
b Viết quy trình bấm phím tính dân số sau 20 năm
c Dân số nước đó sau n năm (n∈Z+) sẽ vượt 100 triệu Tìm số n bé nhất
3đ
Gọi số dân ban đầu là a và mức tăng dân số hàng năm là m%
Sau 1 năm tổng số dân sẽ là: a + a.m = a(1 + m)
0,25 đ
đ
Sau 3 năm tổng số dân sẽ là: a.(1 + m)2 + a.(1 + m)2.m = a.(1 + m)3 0,25
đ
đ
b áp dụng bằng số với a = 80.000.000; m = 1,2%; n = 20 ta có:
80.000.000 1 0,012 20
Kq: 101 554 749 người
1đ
c Ta có: a.(1 + m)n = 100 000 000., m = 1,2%
Với n = 19 ta tìm được số dân 100 350 542 người
Với n = 18 ta tìm được số dân 99 160 615 người
0,5đ
Vậy số n (n∈Z+) nhỏ nhất để dân số vượt quá 100 triệu dân là: n = 19 0,5đ
MOD
x
Trang 4Bài 4
Bài 4: Cho số a = 1.2.3…17 (Tích của 17 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số
1)
Hãy tìm ước số lớn nhất của a, biết ước số đó:
a Là bình phương của một số tự nhiên
b Là lập phương của một số tự nhiên
4đ
Số a = 1.2.3…17 chứa các luỹ thừa của 2:
2 x 22 x 2 x 23 x 2 x 22 x 2 x 24 = 215
Vì trong tích a = 1.2.3…17 có mặt các số: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16
0,5đ
Số a chứa các luỹ thừa của 3: 3 x 3 x 32 x 3 x 3 = 36 (vì a chứa các số: 3, 6,
Số a chứa các luỹ thừa của 5: 5 x 5 x 5 = 53 (vì a chứa các số: 5, 10, 15) 0,5đ
a ước số lớn nhất của a là bình phương của một số tự nhiên là:
214 x 36 x 52 x 72 = (27 x 33 x 5 x 7)2 = 1209602 = 14 631 321 600
(Nếu thí sinh chỉ để kết quả 120960 2 vẫn cho điểm tối đa)
1,0đ
b ước số lớn nhất của a là lập phương của một số tự nhiên là:
215 x 36 x 53 = (25 x 32 x 5)3 = 14403 = 2 985 984 000
Kq: a 4 631 321 600; b 2 985 984 000.
1,0đ
Bài 5
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = a =14,25cm; AC = b =
23,5cm AM, AD thứ tự là các đường trung tuyến và phân giác của tam giác
a Tính độ dài đoạn thẳng BD và CD (Chính xác đến 0,0001)
b Tính diện tích tam giác ADM (Chính xác đến 0,0001)
5đ
B
A
0,25 đ
a Ta có: BC2 = AB2+ AC2 = a2 + b2 (Theo Pitago)
Theo tính chất đường phân giác ta có:
AC AB
AB CD
BD
BD AC
AB CD
BD
+
= +
⇒
=
0,25 đ
Trang 5b a
a BC
BD
+
b a
b a a b a
BC a
+
+
= +
2 2
Và CD = BC - BD =
b a
b a b b
a
b a a b a
+
+
= +
+
−
đ
Tính BD:
14,25 23,5
1 4 Kq: 10,3744
cm.
0,25 đ
Tính CD:
14,25 23,5
1 4 Kq: 17,1086
cm.
0,25 đ
Gọi x là diện tích tam giác ADM, S là diện tích tamgiác AMC (và cũng là diện tích tam giác AMB), ta có:
b
a AC
AB CD
BD
S
S
ACD
0,25 đ
SABD = SABM - SADM = S - x; SACD = S + x ; Vậy
b
a x S
x S
= +
−
0,5đ
Mà S =
2
1
SABC =
4
.b
a
b
a x ab x ab b
a x ab
x
ab
=
⇔
= +
−
⇒
4
4 : 4 4 4
⇒
b
a x
ab
x
+
−
4
4
bx ax b a ab ax b a bx
ab2 − 4 = 2 + 4 ⇔ 2 − 2 = 4 + 4
) ( 4
) ( )
( )
(
4
b a
a b ab x a b ab b
a
x
+
−
=
⇔
−
=
+
đ
MOD E
MOD E
MOD E
MOD E
Trang 64 14,25 23,5
1 4
Kq: 20,5139.
0,25 đ
Bài1
:
a Tìm số d trong phép chia 2x5 −1,7x4 +2x,5−x23,2−4,8x2 +9x−1
b Tính 2,5% của
85 83 : 2
0,04
3,0đ
Ta có P(x) = Q(x)(x-a) + r, với P(x), Q(x) là các đa thức, r là số d Cho x = a ta
đ-ợc
r = P(x), Do đó bài toán tìm số d trong phép chia đa thức cho đơn thức trở
thành bài toán tìm P(a) của biểu thức P(x)
0,25
đ
Tính P(2,2): 2,2 5 2 1,7 0,5đ
4 2,5 3 4,8 0,5đ
2 9 1
Kq: r = P(2,2) = 85,43712
0,25
đ
đ
Kq: 0,458333333.
0,75
đ
Bài
2:
3
2+ 3
(Chính xác đến 0,01).
b Cho biểu thức B = 3(sin8x – cos8x) + 4(cos6x – 2sin6x) + 6sin4x Chứng minh rằng biểu thức B không phụ thuộc vào x
5,0đ
a
a a
a a
+
−
=
−
− + +
−
1
1 1
1 3 : 1
1
2
2 2
1đ
SHIF
^ +
^
-=
ab/c
A
MOD
x
Trang 7Với a = 3
2 3
2
3
+
= +
ấn:
1 2
B = 3(sin4x + cos4x)(sin2x + cos2x)(sin2x - cos2x) + 4(cos6x – 2sin6x) +
6sin4x
= 3sin6x + 3 cos4x.sin2x - 3 sin4x cos2x - 3cos6x + 4cos6x - 8sin6x + 6sin4x 0,5đ
= 3 cos4x.sin2x - 3 sin4x cos2x + cos6x - 5sin6x + 6sin4x
= 3 cos4x.sin2x - 3 sin4x cos2x + cos6x + 6sin4x(1 - sin2x) + sin6x 0,5đ
= 3 cos4x.sin2x - 3 sin4x cos2x + cos6x + 6sin4x.cos2x + sin6x
= 3 cos2x.sin2x(cos2x + sin2x) + (cos2x + sin2x)3 - 3 sin2x cos2x(sin2x + cos2x)
= 1
Bài
3:
Bài 3: Dân số một nớc là 80 triệu, mức tăng dân số trong một năm bình quân
là 1,2%
a Viết công thức tính dân số sau n năm
b Viết quy trình bấm phím tính dân số sau 20 năm
c Dân số nớc đó sau n năm (n∈Z+) sẽ vợt 100 triệu Tìm số n bé nhất
3đ
Gọi số dân ban đầu là a và mức tăng dân số hàng năm là m%
đ
đ
Sau 3 năm tổng số dân sẽ là: a.(1 + m)2 + a.(1 + m)2.m = a.(1 + m)3 0,25
đ
đ
b áp dụng bằng số với a = 80.000.000; m = 1,2%; n = 20 ta có:
80.000.000 1 0,012 20
Kq: 101 554 749 ngời
1đ
c Ta có: a.(1 + m)n = 100 000 000., m = 1,2%
Với n = 19 ta tìm đợc số dân 100 350 542 ngời
Vậy số n (n∈Z+) nhỏ nhất để dân số vợt quá 100 triệu dân là: n = 19 0,5đ
MOD
x
Trang 8Bài 4
Bài 4: Cho số a = 1.2.3 17 (Tích của 17 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số …
1)
Hãy tìm ớc số lớn nhất của a, biết ớc số đó:
a Là bình phơng của một số tự nhiên
b Là lập phơng của một số tự nhiên
4đ
Số a = 1.2.3 17 chứa các luỹ thừa của 2:…
2 x 22 x 2 x 23 x 2 x 22 x 2 x 24 = 215
Vì trong tích a = 1.2.3 17 có mặt các số: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16.…
0,5đ
Số a chứa các luỹ thừa của 3: 3 x 3 x 32 x 3 x 3 = 36 (vì a chứa các số: 3, 6, 9,
Số a chứa các luỹ thừa của 5: 5 x 5 x 5 = 53 (vì a chứa các số: 5, 10, 15) 0,5đ
a ớc số lớn nhất của a là bình phơng của một số tự nhiên là:
214 x 36 x 52 x 72 = (27 x 33 x 5 x 7)2 = 1209602 = 14 631 321 600
(Nếu thí sinh chỉ để kết quả 120960 2 vẫn cho điểm tối đa) 1,0đ
b ớc số lớn nhất của a là lập phơng của một số tự nhiên là:
215 x 36 x 53 = (25 x 32 x 5)3 = 14403 = 2 985 984 000
Kq: a 4 631 321 600; b 2 985 984 000. 1,0đ
Bài 5
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = a =14,25cm; AC = b =
23,5cm AM, AD thứ tự là các đờng trung tuyến và phân giác của tam giác
a Tính độ dài đoạn thẳng BD và CD (Chính xác đến 0,0001)
b Tính diện tích tam giác ADM (Chính xác đến 0,0001)
5đ
B
A
0,25
đ
a Ta có: BC2 = AB2+ AC2 = a2 + b2 (Theo Pitago)
Theo tính chất đờng phân giác ta có: CD BD AC AB BD BD CD = AB AB+AC
+
⇒
đ
⇔
b a
a BC
BD
+
b a
b a a b a
BC a
+
+
= +
2 2
Trang 9Vµ CD = BC - BD =
b a
b a b b a
b a a b a
+
+
= +
+
−
®
TÝnh BD:
®
14,25 23,5
1 4 Kq: 10,3744
cm.
0,25
®
TÝnh CD:
®
14,25 23,5
1 4 Kq: 17,1086
cm.
0,25
®
Gäi x lµ diÖn tÝch tam gi¸c ADM, S lµ diÖn tÝch tamgi¸c AMC (vµ còng lµ diÖn tÝch tam gi¸c AMB), ta cã:
b
a AC
AB CD
BD
S
S
ACD
0,25
®
SABD = SABM - SADM = S - x; SACD = S + x ; VËy
b
a x S
x
+
−
0,5®
Mµ S =
2
1
SABC =
4
.b
a
b
a x ab x ab b
a x ab
x ab
=
⇔
= +
−
⇒
4
4 : 4 4 4
⇒
b
a x
ab
x
ab =
+
−
4
4
bx ax b a ab ax b a bx
ab2 − 4 = 2 + 4 ⇔ 2 − 2 = 4 + 4
) ( 4
) ( )
( )
(
4
b a
a b ab x a b ab b
a
x
+
−
=
⇔
−
=
+
®
1 4
Kq: 20,5139.
0,25
®
x
MOD
x
MOD E
MOD E
MOD E
MOD E