HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN

Lý thuyết điều khiển tự động - hệ thống điều khiển phi tuyến - ĐH BK TP HCM

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Giảng viên: TS Huỳnh Thái Hoàng Bộ môn Điều Khiển Tự Động

Khoa Điện – Điện Tử Đại học Bách Khoa TP.HCM Email: hthoang@hcmut.edu.vn Homepage: http://www2.hcmut.edu.vn/~hthoang/

Môn học

HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN PHI TUYEÁN

Chöông 8

ỉ Khái niệm

Ø Định nghĩa

Ø Đặc điểm của hệ phi tuyến

Ø Các khâu phi tuyến đơn giản

Ø Mô tả toán học hệ phi tuyến

Ø Các phương pháp khảo sát hệ phi tuyến

ỉ Phương pháp tuyến tính hóa

ỉ Phương pháp hàm mô tả

ỉ Phương pháp Lyapunov

Nội dung chương 9

Khái niệm

ỉ Hệ phi tuyến là hệ thống trong đó quan hệ vào – ra không thể mô tả bằng phương trình vi phân/sai phân tuyến tính

ỉ Phần lớn các đối tượng trong tự nhiên mang tính phi tuyến

Ø Hệ thống thủy khí (TD: bồn chứa chất lỏng,…),

Ø Hệ thống nhiệt động học (TD: lò nhiệt,…),

Ø Hệ thống cơ khí (TD: cánh tay máy,….),

Ø Hệ thống điện – từ (TD: động cơ, mạch khuếch đại,…)

Ø Hệ thống vật lý có cấu trúc hỗn hợp,…

ỉ Tùy theo dạng tín hiệu trong hệ thống mà hệ phi tuyến có thể chia làm hai loại:

Ø Hệ phi tuyến liên tục

Ø Hệ phi tuyến rời rạc

Nội dung môn học chỉ đề cập đến hệ phi tuyến liên tục

Khái niệm về hệ phi tuyến

ỉ Hệ phi tuyến không thỏa mãn nguyên lý xếp chồng

ỉ Tính ổn định của hệ phi tuyến không chỉ phụ thuộc vào cấu trúc, thông số của hệ thống mà còn phụ thuộc vào tín hiệu vào

ỉ Nếu tín hiệu vào hệ phi tuyến là tín hiệu hình sin thì tín hiệu ra ngoài thành phần tần số cơ bản (bằng tần số tín hiệu vào) còn có

các thành phần hài bậc cao (là bội số của tần số tín hiệu vào)

ỉ Hệ phi tuyến có thể xảy ra hiện tượng dao động tự kích

Tính chất của hệ phi tuyến

Các khâu phi tuyến cơ bản

)

nếu

D u

D u

0

|

|(

)sgn(

Các khâu phi tuyến cơ bản

0

)

nếu

D u

D u

u D

u

K y

|

|(

|

|(

))sgn(

)

nếu

D u

Ku

D u

|

|(

)sgn(

Các khâu phi tuyến cơ bản

Khâu relay 3 vị trí có trể

)

nếu

D u

u Y

D u

)sgn(

|

|(

)sgn(

&

Khâu relay 2 vị trí có trể

Các khâu phi tuyến cơ bản

Mô tả toán học hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân

ỉ Quan hệ vào – ra của hệ phi tuyến liên tục có thể biểu diễn dưới dạng phương trình vi phân phi tuyến bậc n:

trong đó: u (t) là tín hiệu vào,

y (t) là tín hiệu ra,

g(.) là hàm phi tuyến

t du dt

t u

d t

y dt

t dy dt

t y

d g dt

t y

d

m

m n

n n

n

L L

Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân – Thí dụ 1

a: tiết diện van xả

A: tiết diện ngang của bồn

g: gia tốc trọng trường

k: hệ số tỉ lệ với công suất bơm

C D: hệ số xả

(t ku t

q in =

)(2

)(t aC gy t

trong đó:

⇒ y & ( t ) = 1 (ku ( t ) − aC 2 gy ( t )) (hệ phi tuyến bậc 1)

Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân – Thí dụ 2

J: moment quán tính của cánh tay máy

M: khối lượng của cánh tay máy

m: khối lượng vật nặng

l: chiều dài cánh tay máy

l C : khoảng cách từ trọng tâm tay máy đến trục quay

B: hệ số ma sát nhớt

g: gia tốc trọng trường

u (t): moment tác động lên trục quay của cánh tay máy

θ(t): góc quay (vị trí) của cánh tay máy

)(

)()

()(J + ml2 θ& t + Bθ& t + ml + Ml C g θ = u t

)(

1cos

)(

)

()

()(

)

ml J

g ml

J

Ml

ml t

ml J

B

+

++

+

−+

Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình vi phân – Thí dụ 3

δ: góc bánh lái

ψ: hướng chuyển động của tàu

k: hệ số

τi: hệ số

ỉ Phương trình vi phân mô tả đặc tính động học hệ thống lái tàu

(hệ phi tuyến bậc 3)

1)

(

1

1)

2 1

3 2

1 2

1

t t

k t

t t

τ τ

ψ

ψ τ

τ

ψ τ

Mô tả toán học hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thái

ỉ Hệ phi tuyến liên tục có thể mô tả bằng phương trình trạng thái:

trong đó: u (t) là tín hiệu vào,

y (t) là tín hiệu ra,

x (t) là vector trạng thái,

(

))(),(()

(

t u t h

t y

t u t t

x

x f x&

Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thái – Thí dụ 1

ỉ Đặt biến trạng thái: x1( t ) = y ( t )

(

))(),(()

(

t u t h

t y

t u t t

x

x f x&

) (

) (

2 )

,

A

k A

t gx

aC

x f

) ( ))

( ), ( ( t u t x1 t

A t

y& = − D

Mô tả hệ phi tuyến dùng phương trình trạng thái – Thí dụ 2

ỉ Đặt biến trạng thái:

(

) ( )

( 2

1

t t

x

t t

(

))(),(()

(

t u t h

t y

t u t t

x

x f x&

1 cos

) (

) (

)

( ) (

)

ml J

g ml

J

Ml ml

t ml

+

− +

− +

1 )

( ) (

) (

cos )

(

) (

) ( )

,

(

2 2

2 1

2

2

t

u ml J

t

x ml J

B t

x ml

J

g Ml ml

t x

x f

) ( ))

( ), ( ( t u t x1 t

trong đó:

ỉ Không có phương pháp nào có thể áp dụng hiệu quả cho mọi hệ phi tuyến

ỉ Môn học đề cập đến một số phương pháp thường dùng sau đây:

Ø Phương pháp tuyến tính hóa

Ø Phương pháp hàm mô tả

Ø Phương pháp Lyapunov

Các phương pháp khảo sát hệ phi tuyến

Phương pháp tuyến tính hóa

Điểm dừng của hệ phi tuyến

(

))(),(()

(

t u t h

t y

t u t t

x

x f

x&

ỉ Xét hệ phi tuyến mô tả bởi PTTT phi tuyến:

ỉ Nếu là điểm dừng của hệ phi tuyến thì:(x,u)

0 ))

( ), (

(

, = =

= u ut

u

t

x xx

f

ỉ Điểm trạng thái được gọi là điểm dừng của hệ phi tuyến nếu như hệ đang ở trạng thái và với tác động điều khiển cố định, không đổi cho trước thì hệ sẽ nằm nguyên tại trạng thái đó

x

ỉ Điểm dừng còn được gọi là điểm làm việc tĩnh của hệ phi tuyến

Điểm dừng của hệ phi tuyến – Thí d

(

)()

()

(

)(

2 1

2 1

2

1

t x t

x

u t

x t x t

x

t x

&

&

ỉ Cho hệ phi tuyến mô tả bởi PTTT:

Xác định điểm dừng của hệ thống khi u(t) = u =1

0 ))

( ), (

(

, = =

= u ut

u

t

x xx

=

+

02

01

2 1

2 1

x x

x x

22

22

1

x x

Tuyến tính hóa hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc tĩnh

trong đó:

y t

y t

y

u t

u t

u

t t

(

~

)()

(

~

)()

(

x

)),((y = h x u

(

))(),(()

(

t u t h

t y

t u t t

x

x f x&

ỉ Xét hệ phi tuyến mô tả bởi PTTT phi tuyến:

ỉ Khai triển Taylor f (x,u) và h (x,u) xung quanh điểm làm việc tĩnh

ta có thể mô tả hệ thống bằng PTTT tuyến tính:

~)

(

~)

(

~

)(

~)

(

~)

(

~

t u t

t y

t u t

t

D x

C

B x

A

),

(x u

Tuyến tính hóa hệ phi tuyến xung quanh điểm làm việc tĩnh

) ( 2

1

2 2

2 1

2

1 2

1 1

1

u n

n n

n

n n

x

f x

f x

f

x

f x

f x

f

x

f x

f x

f

, x

M M

L L

) (

2 1

u

n u f u f u f

, x

h x

h x

h

, x

Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 1

(

))(),(()

(

t u t h

t y

t u t t

x

x f x&

)(9465

0)

(3544

.0)

(

)(

2)

,

A

k A

t gx

(),(

2 2

sec/

981

8.0

,.sec/

150

100

,1

cm g

C V

cm k

cm A

cm a

Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 1 (tt)

Tuyến tính hóa hệ bồn chứa quanh điểm y = 20cm:

ỉ Xác định điểm làm việc tĩnh:

20

1 =

x

05

.13544

.0)

,(x u = − x1 + u =

Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 1 (tt)

)(

)(

2)

,

A

k A

t gx

aC

x f

=

0396

0 2

2

) ( 1 )

( 1

x

f

, x ,

x

) ( )

f

, x ,

) (

~ )

(

~

) (

~ 5 1 ) (

~ 0396

0 )

(

~

t t

y

t u t

t

x

x x&

Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 2

(

)) ( ), ( ( )

(

t u t h

t y

t u t t

x

x f x&

Thông số cánh tay máy :

2

2 C

sec/

81.9

,005

0

.02.0 ,

5.0

1.0,

2.0

,5.0

m g

B

m kg J

kg M

kg m

m l

m l

− +

1 )

( ) (

) (

cos )

(

) (

) ( )

,

(

2 2

2 1

2

2

t

u ml J

t

x ml J

B t

x ml

J

g Ml ml

t x

x f

) ( ))

( ), ( ( t u t x1 t

trong đó:

Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 2 (tt)

Tuyến tính hóa hệ tay máy quanh điểm làm việc y = π/6 (rad):

ỉ Xác định điểm làm việc tĩnh:

(

1 )

(

cos )

(

) (

)

,

(

2 2

2 1

− +

+

−

=

u ml J

x ml J

B x

ml J

g Ml ml

1

0 2

u x

Do đó điểm làm việc tĩnh cần xác định là:

1

=

u

Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 2 (tt)

0 ) ( 1

, x

ỉ Xác định các ma trận trạng thái tại điểm làm việc tĩnh:

− +

1 )

( ) (

) (

cos )

(

) (

) ( )

,

(

2 2

2 1

2

2

t

u ml J

t

x ml J

B t

x ml

J

g Ml ml

t x

x f

) (

1 2

) ( 1

2

) (

) (

u

C u

t

x ml

J

Ml ml

x

f a

, x ,

, x

) (

2 )

( 2

2 22

)

B x

f a

, x ,

12 11

a a

a a

A

Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 2 (tt)

ỉ Xác định các ma trận trạng thái tại điểm làm việc tĩnh:

, (

2

B g

Ml ml

t x u

x f

0 ) (

, x

2 )

(

2 2

1

ml J

u

f b

1

b b

B

Tuyến tính hóa hệ phi tuyến – Thí dụ 2 (tt)

ỉ Xác định các ma trận trạng thái tại điểm làm việc tĩnh:

) ( )

, ( u x1 t

1 ) ( 1

, x

[c1 c2]

=

) ( 2

, x

, x

ỉ Vậy phương trình trạng thái cần tìm là:

~)

(

~)

(

~

)(

~)

(

~)

(

~

t u t

t y

t u t

t

D x

C

B x

A x&

1 0

a a

Điều khiển ổn định hóa hệ phi tuyến quanh điểm làm việc tĩnh

ỉ Đưa hệ phi tuyến về miền xung quanh điểm làm việc tĩnh (đơn giản nhất có thể dùng bộ điều khiển ON-OFF)

ỉ Xung quanh điểm làm việc, dùng bộ điều khiển kinh điển thiết kế dựa vào mô hình tuyến tính (phổ biến nhất là bộ điều khiển PID)

u (t)

e (t)

Điều khiển ổn định hóa hệ phi tuyến quanh điểm làm việc tĩnh

điều bộ

chọn

Nếu

OFF -

ON khiển

điều bộ

chọn

hoặc Nếu

max min

min max

) (

) ( )

(

e t

e e

e t

e e

t e

ỉ Thuật toán chọn bộ điều khiển:

u (t)

e (t)

Điều khiển ổn định hóa hệ phi tuyến quanh điểm làm việc tĩnh

thì

Nếu max max

) ( )

(

) ( )

(

u t

u e

t e

u t

u e

t e

ỉ Thuật toán điều khiển ON-OFF:

u (t)

e (t)

Điều khiển ổn định hóa hệ phi tuyến quanh điểm làm việc tĩnh

dt

t de K

d e

K t

e K t

t I P

) ( )

( )

( )

(

0

+ +

u (t)

e (t)

Phương pháp hàm mô tả (Phương pháp tuyến tính hóa điều hòa)

Phương pháp hàm mô tả

ỉ Phương pháp hàm mô tả mở rộng gần đúng hàm truyền đạt của hệtuyến tính sang hệ phi tuyến

ỉ Phương pháp hàm mô tả là phương pháp khảo sát trong miền tần

số có thể áp dụng cho các hệ phi tuyến bậc cao (n>2) do dễ thực

hiện và tương đối giống tiêu chuẩn Nyquist

ỉ Chỉ áp dụng được để khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến gồm có khâu phi tuyến nối tiếp với khâu tuyến tính theo sơ đồkhối như sau:

Đáp ứng của hệ phi tuyến khi tín hiệu vào hình sin

) sin(

) (t ≈ Y1 ωt +ϕ1

y

) sin(

[)

) sin(

)

ỉ Để khảo khả năng tồn tại dao động tuần hoàn không tắt trong hệ,

ở đầu vào khâu phi tuyến ta cho tác động sóng điều hòa:

r (t)=0

+

Đáp ứng của hệ phi tuyến khi tín hiệu vào hình sin

u

B k

Các hệ số Fourier xác định theo các công thức sau:

ỉ Giả thiết G (s) là bộ lọc thông thấp, các thành phần hài bậc cao ởngõ ra của khâu tuyến tính không đáng kể so với thành phần tần số cơ bản, khi đó tín hiệu ra của khâu tuyến tính gần đúng bằng:

) sin(

) (t ≈Y1 ωt +ϕ1

y

Điều kiện có dao động ổn định trong hệ phi tuyến

ỉ Điều kiện để trong hệ có dao động ổn định với tần số ω là:

) sin(

) ( )

( )

Y Phương trình cân bằng biên độ

Phương trình cân bằng pha

) sin(

) (t ≈ Y1 ωt +ϕ1

y

) sin(

Khái niệm hàm mô tả

tín hiệu ra u (t) xấp xỉ thành phần tần số cơ bản (do ta bỏ qua các thành phần hài bậc cao) u(t) ≈ u1(t) = A1sin(ωt) + B1cos(ωt)

ỉ Do khi tín hiệu vào của khâu phi tuyến là tín hiệu hình sin:

) sin(

=

ỉ Tổng quát N (M) là một hàm phức nên ta gọi là hệ số khuếch đại phức của khâu phi tuyến Vì quan hệ vào ra của khâu phi tuyến cóthể mô tả gần đúng bằng hệ số khuếch đại phức N (M) nên N (M)

còn được gọi là hàm mô tả của khâu phi tuyến

ỉ Xét khâu phi tuyến : e(t) = M sin(ωt) N(M) u(t)

Định nghĩa hàm mô tả

ỉ Hàm mô tả (hay còn gọi là hệ số khuếch đại phức) là tỉ số giữa thành phần sóng hài cơ bản của tín hiệu ra của khâu phi tuyến vàtín hiệu vào hình sin

M

jB

A M

Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản

Khâu relay 2 vị trí

Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản

A M

) ( ) sin(

2

0

t d t

Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản

Khâu relay 3 vị trí

Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản

ω π

ω

ω π

ω

ω π

α π α ω

α π α

π

cos

4 )

cos(

2 )

( ) sin(

2 )

( ) sin(

) ( 2

V t

V t

d t V

t d t t

D M

)

Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản

Khâu khuếch đại bão hòa

Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản

Khâu khuếch đại bão hòa (tt)

) ( ) ( sin

α

α

ω ω

0

) ( )

cos(

2

) 2 sin(

2

α ω

α

ω ω

m t

D

M V

Do đó hàm mô tả của khâu khuếch đại bão hòa là:

) (

Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản

Khâu khuếch đại có vùng chết

Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản

Khâu khuếch đại có vùng chết (tt)

)(2

(M A1 jB1 K

)()sin(

])

sin(

[

4 /2

t d t D

t M

)

cos(

2

)2sin(

α

ω

ωω

KM

Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản

Khâu relay 2 vị trí có trể

Hàm mô tả của các khâu phi tuyến cơ bản

Khâu relay 2 vị trí có trể (tt)

4)

V jB

A M

Khảo sát chế độ dao động đều hòa trong hệ phi tuyến

ỉ Điều kiện để hệ thống có dao động là:

0)

()(

1+ N M G jω =

)(

1)

(

M N

ỉ Nếu (M*, ω*) là nghiệm của phương trình (*) thì trong hệ phi tuyến có dao động với tần số ω* , biên độ M*

ỉ Xét hệ phi tuyến có sơ đồ như sau:

r (t)=0

+

Khảo sát chế độ dao động đều hòa trong hệ phi tuyến (tt)

ỉ Về mặt hình học, nghiệm (M*, ω*) là nghiệm của phương trình

(*) chính là giao điểm của đường cong Nyquist G (jω) của khâu tuyến tính và đường đặc tính −1/N(M) của khâu phi tuyến

ỉ Dao động trong hệ phi

tuyến là ổn định nếu đi

theo chiều tăng của đặc

tính − 1/N(M) của khâu

phi tuyến, chuyển từ

vùng không ổn định sang

vùng ổn định của khâu

tuyến tính G (jω)

Trình tự khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến

B1: Xác định hàm mô tả của khâu phi tuyến (nếu khâu phi tuyến không phải là các khâu cơ bản)

B2: Điều kiện tồn tại dao động trong hệ: đường cong Nyquist G (jω)

và đường đặc tính −1/N(M) phải cắt nhau

)(

1)

(

M N

N

Nếu N (M) là hàm thực thì:

• Tần số dao động chính là tần số cắt pha ω−π của khâu tuyến tính G (jω) ∠G ( jω−π ) = −π

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến - Thí dụ 1

ỉ Xét hệ phi tuyến có sơ đồ như sau:

Hàm truyền của khâu tuyến tính là

)12

)(

12

.0(

10)

(

++

=

s s

s

s G

Khâu phi tuyến là khâu relay 2

Hãy xác định biên độ và tần số

dao động tự kích trong hệ (nếu có)

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến - Thí dụ 1

Lời giải

ỉ Hàm mô tả của khâu relay 2 vị trí là:

M

V M

π

4)

ỉ Do đường cong Nyquist

G (jω) và đường đặc tính

−1/N(M) luôn luôn cắt nhau

(xem hình vẽ) nên trong hệ

phi tuyến luôn luôn có dao

động

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến - Thí dụ 1

ỉ Tần số dao động là tần số cắt pha của G (jω) :

π ω

ω ω

ω

π π

)(

1 2

0 (

10 arg

)

(

j j

j

j G

π ω

).(

2 0 ( 1

) 2

( ) 2

.

0

(

π π

π

π

ω ω

ω

ω

0 ) 2

).(

2 0 (

⇔ ω−π ω−π ⇔ ω−π = 1 58 ( rad / sec)

ỉ Biên độ dao động là nghiệm của phương trình:

82

1 )

58 1 2 ( 1 )

58 1 2 0 ( 1 58 1

10 )

( )

× +

=

= G jω−π

M N

82

=

⇒ M

Kết luận: Trong hệ phi tuyến có dao động

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến - Thí dụ 2

ỉ Xét hệ phi tuyến có sơ đồ như sau:

Hàm truyền của khâu tuyến tính là

)12

)(

12

.0(

10)

(

++

=

s s

s

s G

Khâu phi tuyến là khâu relay 3 vị trí

1 Hãy tìm điều kiện để trong hệ

phi tuyến có dao động

2 Hãy xác định biên độ và tần số

dao động khi V m =6, D=0.1

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến - Thí dụ 2

(

M

D M

V M

π

ỉ Hàm mô tả của khâu relay 3 vị trí là:

ỉ Điều kiện để trong hệ

thống có dao động là đường

cong Nyquist G (jω) và

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến - Thí dụ 2

ỉ Tần số cắt pha của G (jω) (xem cách tính ở thí dụ 1)

sec)/

rad( 58.1

1)

58.12(1)

58.12.0(158.1

10)

()

×+

=

≤

M N

55 0 )

D M

D D

V M

D M

V M

ππ

π

21

21

4)

(

2

2

2 2

Khảo sát chế độ dao động trong hệ phi tuyến - Thí dụ 2

ỉ Do đó điều kiện (*) được thỏa mãn khi:

55.0

( )

V m

π

ỉ Khi V m =6, D=0.1, giải phương trình trên ta được: M =13.90

ỉ Vậy dao động trong hệ là: y(t) =13.90sin(1.58t)

Phương pháp Lyapunov

Phương pháp Lyapunov

ỉ Phương pháp Lyapunov cung cấp điều kiện đủ để đánh giá tính ổn định của hệ phi tuyến

ỉ Có thể áp dụng cho hệ phi tuyến bậc cao bất kỳ

ỉ Có thể dùng phương pháp Lyapunov để thiết kế các bộ điều khiển phi tuyến

ỉ Hiện nay phương pháp Lyapunov là phương pháp được sử dụng rộng rãi nhất để phân tích và thiết kế hệ phi tuyến

Giới thiệu

Điểm cân bằng của hệ phi tuyến

ỉ Một điểm trạng thái x e được gọi là điểm cân bằng nếu như hệđang ở trạng thái x e và không có tác động nào từ bên ngoài thì hệsẽ nằm nguyên tại đó

ỉ Dễ thấy điểm cân bằng phải là nghiệm của phương trình:

f x&

ỉ Hệ phi tuyến có thể có nhiều điểm cân bằng hoặc không có điểm cân bằng nào Điều này hoàn toàn khác so với hệ tuyến tính , hệtuyến tính luôn luôn có 1 điểm cân bằng là x e = 0

),(x u

f

x& =

ỉ Xét hệ phi tuyến mô tả bởi phương trình trạng thái sau: