đại cương về hàm số

HÀM SỐ “Nếu một đại lượng y phụ thuộc vào một đại lượng thay đổi x sao cho với một giá trị của x ta luôn xác định được chỉ duy nhất một giá trị tương ứng của y thì y được gọi là hàm số

1 KHÁI NIỆM HÀM SỐ

ÔN TẬP

a) Hàm số

Định nghĩa:

Ví dụ:

CHƯƠNG II: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

Bài 1 HÀM SỐ

“Nếu một đại lượng y phụ thuộc vào một đại lượng thay đổi x sao cho với một giá trị của x ta luôn xác định được chỉ duy nhất một giá trị tương ứng của y thì y được gọi

là hàm số của x, và x được gọi là biến số.”

R

Hàm số f xác định trên D là một quy

tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc D

với một và chỉ một số, kí hiệu f(x),

số f(x) đó gọi là giá trị của hàm số f tại x.

Tập D gọi là tập xác định (hay

miền xác định), x gọi là biến số hay đối số của hàm số f

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Ví dụ 3

Hàm số cho bằng bảng

Bảng tiêu thụ xăng của một ôtô lọai nhỏ

Quãng đường đi (km)

0 10   20   30   40   50  

  Xăng tiêu thụ

(lit)

Hàm số cho bằng công thức Hàm số cho bằng công thức Hàm số cho bằng đồ thị

f(x)=2x^2+1 Tập hợp 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x

y

(-2,9)

(1,3) (0,1)

b) Hàm số cho bằng biểu thức

Nếu f(x) là một biểu thức của biến x thì với mỗi giá trị của x, ta tính được một giá trị tương ứng duy nhất của f(x) (nếu nó xác định) Do đó, ta có hàm số y = f(x) Ta nói hàm số đó được cho

bằng biểu thức f(x).

Khi cho hàm số bằng biểu thức ta quy ước rằng:

Nếu không có giải thích gì thêm thì tập xác định của

hàm số y = f(x) là tập hợp các số thực x sao cho giá trị

của biểu thức f(x) xác định.

Ví dụ

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1 nếu x < 0

2 nếu x = 0

3 nếu x > 0

c) Đồ thị của hàm số

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D Ta đã biết:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ (x;f(x)) với x D, gọi là ⋲ đồ thị của hàm số f Nói cách

khác,

M(x 0 ,y 0 ) D x ⋲ ⇔ 0 D và y ⋲ 0 = f(x 0 ).

Qua đồ thị của một hàm số, ta có thể nhận biết được nhiều tính chất của hàm số đó.

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8 9

x

y

Đồ thị hàm số y = 2x2 – 8 trên đoạn [-2,3]

(-2,0)

(3,10)

(2,0)

(2,-6) (-2,-6)

(0,-8)

2 SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

a) Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến

Cho hàm số f xác định trên K.

Hàm số f gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu

∀ x 1 , x 2 K, x ⋲ 1 < x 2 f(x ⇒ 1 ) < f(x 2 );

Hàm số f gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu

∀ x 1 , x 2 K, x ⋲ 1 < x 2 f(x ⇒ 1 ) > f(x 2 ).

( K có thể là khoảng ( nửa khoảng, đoạn))

Định nghĩa:

Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên;

Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống.

( khi nói đồ thị đi lên hay đi xuống, ta luôn kể theo

chiều tăng của đối số, nghĩa là từ trái sang phải).

Tổng quát, ta có:

T ập hợp 1

-3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

x

y

(0,1) (-1,2)

(-2,5) (-3,10)

(1,2)

(3,10)

(2,5)

CHÚ

Ý

Nếu f(x 1 ) = f(x 2 ) với mọi x 1 và x 2 thuộc K, tức là f(x) = c

với với mọi thuộc K (c là hằng số) thì ta có hàm số

không đổi ( còn gọi là hàm hằng) trên k.

Chẳng hạn, hàm số y = 2.

T ập hợp 1 y=2

-3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

(-5,2) (-4,2) (-3,2) (-2,2) (-1,2) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)

y = 2

b)Khảo sát sự biến thiên của hàm số

Khảo sát sự biến thiên của hàm số là xem xét hàm số

đồng biến, nghịch biến, không đổi trên các khoảng (nửa khoảng hay đoạn) nào trong tập xác định của

nó

Ta có thể sử dụng định nghĩa hoặc nhận xét sau để khảo sát sự biến thiên của hàm số:

Hàm số f gọi là đồng biến trên K khi và chỉ khi

∀ x 1 , x 2 K, x ⋲ 1 ≠ x 2 ,

Hàm số f gọi là nghịch biến trên K khi và chỉ khi

∀ x 1 , x 2 K, x ⋲ 1 ≠ x 2 ,

Như vậy, để khảo sát sự biến thiên của hàm số f trên

K, ta có xét dấu tỉ số trên K

Người ta thường ghi lại kết quả khảo sát sự biến

thiên của một hàm số bằng cách lập bảng biến thiên của nó

Trong bảng biến thiên, mũi tên đi lên thể hiện tính

đồng biến, mũi tên đi xuống thể hiện tính nghịch

biến của hàm số

3 HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ

a) Khái niệm hàm số chẵn, hàm số lẻ

Định nghĩa:

Cho hàm số y = f(x) trên tập xác định D

Hàm số f gọi là hàm số chẵn với mọi x thuộc D, ta có –x cũng thuộc D và f(-x) = f(x)

Hàm số f gọi là hàm số lẻ với mọi x thuộc D, ta có –x cũng thuộc D và f(-x) = -f(x)

Ví dụ:

Chứng minh các hàm số sau là các hàm số chẵn:

Chứng minh các hàm số sau là các hàm số lẻ:

a) b)

c) d)

b) Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ

Định lý:

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng

Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

f(x)=x^2-5 f(x)=11 f(x)=4 f(x)=-1

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x

y

(-4,11)

(-3,4)

(-2,-1)

(0,-5) (2,-1) (3,4)

(4,11)

f(x)=x^3 Tập hợp 1 f(x)=x f(x)=4x

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

x

y

f(x)=x+1

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

x y

Sơ lược về tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ

a)Tịnh tiến một điểm

1 2 3 4 5 6 7

x

y

M 0

M 1

M 2

M 5

2 2

2 2

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-1

1 2 3 4 5 6

x

y

b)Tịnh tiến đồ thị

Ví dụ khác:

’

3

3 3

3

3

3 3 3

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1

1 2 3 4 5 6 7

x

y

Cho (G) là đồ thị dưới đây biểu thị cho hàm số y =

trên, xuống dưới, sang trái và sang phải 1 đơn vị

Định lý:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đồ thị (G) của

hàm số y = f(x); p và q là hai số dương tùy ý Khi đó:

1)Tịnh tiến (G) lên trên q đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f(x) + q;

2)Tịnh tiến (G) xuống dưới q đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f(x) – q;

3)Tịnh tiến (G) sang trái p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f(x + p);

4)Tịnh tiến (G) sang phải p đơn vị thì được đồ thị của hàm số y = f(x - p).