Đại cương vè đường thẳng

Hình biểu diễn của một hình không gian Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian , ta dựa vào những qui tắc sau : * Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳ

§1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

I Khái niệm mở đầu

1) Mặt phẳng

Để kí hiệu mặt phẳng, ta thường dùng chữ cái in hoa hoặc chữ cái Hi Lạp đặt trong dấu ( ).

Ví dụ : mặt phẳng (P ), mặt phẳng ( Q ), mặt phẳng (α), mặt phẳng (β) hoặc viết tắt là mp( P ), mp( Q ), mp (α) , mp ( β) , hoặc ( P ) , ( Q ) , (α) , ( β),

2 Điểm thuộc mặt phẳng

Cho điểm A và mặt phẳng (P)

* Điểm A thuộc mặt phẳng (P) ta nói A nằm trên (P) hay (P) chứa A, hay (P) đi qua A và

kí hiệu A ∈ ( P)

* Điểm A không thuộc mặt phẳng (P) ta nói điểm A nằm ngoài (P) hay (P) không chứa A

và kí hiệu A ∉ ( P)

3 Hình biểu diễn của một hình không gian

Để vẽ hình biểu diễn của một hình trong không gian , ta dựa vào những qui tắc sau :

* Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.

* Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.

* Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.

* Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường nhìn thấy và nét đứt đoạn biểu diễn cho đường

bị che khuất.

ii Các tính chất thừa nhận

1 Tính chất 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

2 Tính chất 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

Kí hiệu: mp ( ABC) hoặc ( ABC )

3 Tính chất 3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó

* Nếu mọi điểm của đường thẳng d đều thuộc mặt phẳng (P ) thì ta nói đường thẳng d nằm

P

A

C

trong mặt phẳng ( P ) Hay ( P ) chứa d và kí hiệu d ⊂ ( P ) hay ( P ) ⊃ d

4 Tính chất 4 : Tồn tại bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng

Nếu có nhiều điểm cùng thuộc một mp thì ta nói những điểm đó đồng phẳng

5 Tính chất 5 : Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một

điểm chung khác nữa.

* Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy.

* Đường thẳng chung d của hai mặt phẳng phân biệt ( P ) và ( Q ) được gọi là giao tuyến của ( P) và ( Q )

kí hiệu d = ( p) ∩ ( Q )

6 Tính chất 6 : Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.

iii Cách xác định một mặt phẳng

1 Ba cách xác định mặt phẳng

* Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng.

* Qua một điểm và một đường thẳng không chứa điểm đó ta xác định duy nhất một mặt phẳng Kí hiệu mp(A,d) hay ( A,d)

* Hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng Kí hiệu mp ( a, b) hay ( a,

b )

Vấn đề 1 : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG α VÀ β :

Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) ta đi tìm hai điểm chung

I ; J của α và( β )  ( α ) ∩ ( β ) = I J

Khi tìm điểm chung ta chú ý :

 Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát hiện điểm chung

 M ∈ d và d ⊂ α  M ∈ α









β

⊂ α

⊂

=

∩

b

; a

M b

a trong (P)

 M là điểm chung

Chứng minh A; B; C thẳng hàng :

Chỉ ra A ; B ; C ∈ α

Chỉ ra A ; B ; C ∈ β

Kết luận : A; B; C ∈ α ∩  β  A; B; C thẳng hàng

Chứng minh a ; b ; MN đồng quy :

Đặt a  ∩ b = P

Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng

Kết luận :MN ; a ; b đồng quy tại P

BÀI TẬP

1 1: 1) Cho tứ diện ABCD cĩ E là trung điểm

α

β

I J

• •

α

β

• B • •

M N

•

•

a

b P

của AB Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ;

(BCD) ; (ACD)

2) Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng trong (ABC) cắt đoạn AB; BC tại J ; K Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I,d)

với các mặt phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC)

1 2: 1) Cho tứ giác lồi ABCD sao cho AB ≠ CD ;AD ≠ BCvà điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác Tìm giao tuyến của :

a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD) c) (SAD) và (SBC)

1 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi; M là điểm trên cạnh CD Tìm giao tuyến của

các mặt phẳng :

a)(SAM) và (SBD)

b)(SBM) ; (SAC)

1 5: Cho tứ diện ABCD M nằm trên AB sao cho AM =

4

1

MB ; N nằm trên AC sao cho AN = 3NC; điểm I nằm trong ∆BCD Tìm giao tuyến của :

a) (MNI) và (BCD)

b) (MNI) và (ABD)

c) (MNI) và (ACD)

1 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J lần lượt là trung điểm của AD; BC

a) Tìm giao tuyến của : (IBC) và (JAD)

b)M là điểm trên AB; N là điểm trên AC Tìm giao tuyến của (IBC) và (DMN)

2 1: Cho hai mặt phẳng α và β cắt nhau theo giao tuyến d Trên α lấy hai điểm A ; B nhưng không thuộc d

O là điểm ở ngoài hai mặt phẳng Các đường

thẳng OA ; OB lần lượt cắt β tại A’ ; B’ AB cắt d tại C

a) Chứng minh O; A; B không thẳng hàng ?

b) Chứng minh A’ ; B’ ; C thẳng hàng ? Từ đó

suy ra AB ; A’B’; d đồng quy

2.6 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD

và G là trọng tâm ∆SAD Tìm giao tuyến của :

a) (GMN) và (SAB)

b) (GMN) và (SCD)

c) Gọi giao điểm của AB và CD là I ; J là giao điểm của hai giao tuyến của câu a và câu b

Chứng minh S ; I ; J thẳng hàng?