Phương pháp giải toán Hình học THCS

Đây là bộ tài liệu ôn thi HSG hình học lớp 8, 9 đã được soạn theo chuẩn kiến thức, kĩ năng. Giúp các thầy cô dẽ dàng ôn luyện theo yêu cầu chung nhất của các nhà trường. Đặc biệt tài liệu được làm theo định dạng pdf nên nên sẽ không bị sai font chữ cũng như định dạng hình vẽ. Do đó quý thầy cô có thể tải và yên tâm sử dụng.

1 các dạng toán thường gặp 4

1 các bài toán về đa giác 4

1.1 Tam giác 4

1.2 Hình thang 8

1.3 Hình bình hành 11

1.4 Hình chữ nhật 14

1.5 Hình thoi và hình vuông 17

2 Tam giác đồng dạng 22

2.1 Định lí Ta -let trong tam giác 22

2.2 Tam giác đồng dạng 26

3 Hệ thức lượng trong tam giác - Các bài toán về diện tích 31

3.1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông 31

3.2 Tỉ số lượng giác của góc nhọn 34

4 Diện tích đa giác và tỉ số diện tích 35

4.1 Tính diện tích đa giác 35

4.2 Tính diện tích đa giác bằng phương pháp đại số 36

4.3 Một số áp dụng của tỉ số diện tích 38

2 các bài toán về cực trị hình học 39 1 Phương pháp giải bài toán cực trị 39

1.1 Bài toán cực trị 39

1.2 Một số kiến thức thường dùng 40

2 Các bài toán về cực trị hình học 44

2.1 Đa giác 44

2.2 Tam giác đồng dạng 46

2.3 Đường tròn 46

3 Phương pháp phản chứng, nguyên lí diirrichle 47 3.1 Phương pháp phản chứng 47

3.2 Nguyên lí Đirichle 48

3 các điểm thẳng hàng, các đường thẳng

đồng quy, các điểm nằm trên đường tròn 51

1 định lí về tỉ số và áp dụng 51

1.1 Các định lí 51

1.2 Các phương dạng toán 53

2 Chứng minh các điểm thẳng hàng 54

2.1 Các phương pháp chứng minh 54

2.2 Các dạng toán 54

3 Chứng minh các đường thẳng đồng quy 54

3.1 Các phương pháp chứng minh 54

3.2 Các phương dạng toán 54

4 Chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định 55 4.1 Các phương pháp chứng minh 55

4.2 Các phương dạng toán 55

5 Chứng minh nhiều điểm nằm trên đường tròn 56 5.1 Các phương pháp chứng minh 56

5.2 Các phương dạng toán 56

2 Trong tam giác ABC:

• Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằngnửa cạnh ấy

• Ba đường cao đồng quy tại một điểm gọi là trực tâm của tam giác

•Ba đường trung trực đồng quy tại điểm O gọi là tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác

• Ba đường phân giác đồng quy tại điểm I gọi là tâm đường tròn nộitiếp tam giác

• Ba đường trung tuyến đồng quy tại một điểm G gọi là trọng tâm củatam giác và AG=2GM (với M là trung điểm của BC)

Các dạng toán

Đề 1 Cho tam giác ABC Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác

vuông cân tại A là ABD và ACE Chứng minh rằng đường cao AHcủa tam giác ABC đi qua trung điểm I của đoạn DE

Hướng dẫn:

Gọi I là giao điểm của AH và DE.

Qua D kẻ DD0 ⊥ AH Qua E kẻ

EE0 ⊥ AH Hai tam giác vuông

ABH và DAD' có \ABH = \DAD0,

AB=AD, suy ra DD'=AH(1) Tương

tự tam giác AHC=tam giác EE'A suy

ra EE'=AH(2) Từ (1) và (2) suy ra

DD'=EE'

Hai tam giác vuông DD'I và EE'I

(DD'=EE' và [IDD0 = IEE[0 (so le

trong) bằng nhau suy ra DI=EI, tức là

I là trung điểm của DE

Đề 2 Cho tam giác ABC vuông tại B, trên tia đối của tia BA, lấy điểm D

sao cho AD=3AB Đường thẳng vuông góc với CD tại D cắt đườngthẳng vuông góc với AC ở E Chứng minh tam giác BDE cânHướng dẫn:

Gọi N, I, M lần lượt là trung điểm

của CE, AD, BD Từ AD =3AB suy

ra I là trung điểm của BM Ta có

AN=DN=1/2CE (do tam giác ACE và

DCE vuông) ⇒ IN ⊥ AD Gọi J là

giao điểm của NI kéo dài với BE thì NJ

là đường trung bình của ∆ BCE Suy ra

IJ là đường trung bình của ∆ BME do

đó ME // IJ ⇒ ME ⊥ BD Tam giác

BED cân tại E

Đề 3 Xác định các góc của tam giác ABC, biết rằng đường cao AH và

trung tuyến AM chia góc [BAC thành 3 phần bằng nhau

tam giác vuông KMC là nửa tam giác

đều cạnh MC, đường cao CK

Do đó C = 30b o, suy ra Mc3 = 60o Ta có Mc1 = cM2 (do ∆AHM =

∆AKM) nên Mc1 = cM2 = 1/2HKM = 60o , ⇒ Ac1 = cA2 = cA3 =

30o Vậy ∆ABC vuông tại A và có B = 60b o; bC = 30o

Đề 4 Cho tam giác ABC, kẻ đường cao AH Gọi C' là điểm đối xứng của

H qua AB; B' là điểm đối xứng của H qua AC Gọi giao điểm củaB'C' với AC và AB theo thứ tự là I và K Chứng minh rằng BI, CK

là các đường cao của tam giác ABC

phân giác của góc [KHI Vậy

BH là phân giác ngoài của

tam giác HKI

Từ định lí ba đường phân giác suy ra BI là phân giác trong của gócHIK ⇒ BI ⊥ IC (hai đường phân giác trong và ngoài thì vuônggóc) Vậy BI là đường cao của tam giác ABC Tương tự CK là đườngcao tam giác ABC

Đề 5 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b và đường phân

giác trong AD = d Chứng minh:

√2

Ta có \AC0K = \AHK (do tính đối xứng); [AHI = [AB0I Mà

\

AC0K = [AB0I (tam giác C'AB' cân) suy ra \AHK = [AHI ⇒ AH

là phân giác của góc [KHI Vậy BH là phân giác ngoài của tamgiác HKI

Đề 6 Cho tam giác ABC đều và điểm M ở trong tam giác Gọi A', B', C'

lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh BC, CA, AB.Chứng minh rằng:

b) Qua M kẻ các đoạn thẳng song song với các cạnh của tam giác

Dễ thấy các tam giác MIJ, MKL, MPQ đều có các đường cao tươngứng là MA', MB', MC' Gọi x, y, z lần lượt là cạnh của tam giác đềuMIJ, MKL, MPQ, ta có:

Đề 7 Cho tam giác ABC, trên tia đối của tia BA, CA lần lượt lấy điểm P,

Q sao cho BP=CQ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn

BC, PQ Đường thẳng MN cắt đường thẳng AB và AC theo thứ tựtại B', C' Chứng minh rằng tam giác B'AC' cân

Hướng dẫn:

Gọi I là trung điểm đoạn BQ Khi đó IM là đường trung bình củatam giác BCQ Suy ra IM // CQ và IM = 1/2CQ (1)

Mặt khác NI là đường trung bình của tam giác BPQ, suy ra IN // BC

và IN = 1/2BP (2)

Theo giả thiết BP=CQ nên từ (1) và (2) suy ra IM=IN

Do đó tam giác IMN cân và \IM N = \IN M (3)

Theo (1) ta có IM // AQ, suy ra \IM N = cC20 (đồng vị) Mà cC10 = cC20

do đó \IM N = cC10 (4)

Theo (2) ta có IN // AP, suy ra \IN M = \AB0C (so le trong) (5)

Từ (3), (4), (5) suy ra cC10 = \AB0C0 Do đó tam giác B'AC' cân.1.2. Hình thang

kiến thức cần nhớ

• Tứ giác ABCD là hình thang ⇔ AB//CD ∨ AD//BC

•Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên được gọi là đường trung bìnhhình thang

•Đường trung bình hình thang song song với hai cạnh đáy và có độ dàibằng nửa tổng độ dài hai đáy

• Hình thang cân là hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau

• Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân và ngượclại

Các dạng toán

Đề 1 Chứng minh rằng nếu đoạn thẳng nối các trung điểm của cặp cạnh

đối diện của một tứ giác bằng nữa tổng hai cạnh kia thì tứ giác đó

là hình thang

Hướng dẫn:

Cách 1: Giả sử M, N lần lượt

là trung điểm của hai cạnh đối

AD và BC của tứ giác ABCD

và MN = AB + CD

2 , tachứng minh AB // CD

Gọi I là trung điểm AC Ta có

MI là đường trung bình của

tam giác ADC nên MI // CD

và MI = CD

2 (1)Tương tự NI // AB và NI = AB

Đề 2 Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ ba đỉnh của một tam giác

đến một đường thẳng nằm ngoài tam giác bằng ba lần khoảng cách

từ trọng tâm tam giác đến đường thẳng đó

Hướng dẫn: Gọi E là trung điểm của AC; G là trọng tâm của ∆ABC; M là trung điểm BG Gọi A', B', C', G', M, E' lần lượt là hìnhchiếu vuông góc của A, B, C, G, M, E trên đường thẳng xy Khi đó

ta có: AA' // BB' // CC' // GG' // MM' // EE' (vì chúng cùng vuônggóc với đường thẳng xy) Ta phải chứng minh AA'+BB'+CC'=3GG'.Theo tính chất trọng tâm ta có G là trung điểm ME Ta có GG',EE', MM' lần lượt là đường trung bình của các hình thang vuôngMM'E'E, AA'C'C, BB'G'G.

Do đó theo tính chất đường trung bình của hình thang ta có:

Đề 3 Cho hình thang cân ABCD (BC // AD) Gọi M, N lần lượt là trung

điểm BC, AD Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kì PN cắt BDtại Q Chứng minh MN là phân giác của góc \P M Q

Từ (1) và (2) suy ra tam giác IMK cân tại M MN là đường cao nên

MN cũng là phân giác của ∆ IMK Vậy MN là phân giác của góc

\

P M Q

Đề 4 Chứng minh rằng nếu các góc ở đáy của hình thang không bằng

nhau thì đường chéo phải xuất phát từ đỉnh góc nhỏ sẽ lớn hơn

đường chéo xuất phát từ đỉnh góc lớn

Hướng dẫn: Giả sử A < D Chứng minh AC>BD

Dựng tia AE sao cho \DAE = \ADC để được hình thang cân ADCE

Ta có [AEC = \DCE và AC=DE

Ta lại có : EBD > DCB > DEB ⇒ ED > BD ⇒ AC > BD

Đề 5 Cho hình thang ABCD có tổng các góc ở đáy bằng 90o Chứng minh

rằng đoạn nối trung điểm của hai đáy bằng nửa hiệu hai cạnh đáy.Hướng dẫn: Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và AD; I là giao

điểm của AB và CD kéo dài

Ta có A + bb D = 90o ⇒ [AID = 90o

Chứng minh I, E, F thẳng hàng và IE = BC

2 ; IF =

AD2

⇒ EF = IF − IE = AD − BC

2 1.3. Hình bình hành

kiến thức cần nhớ

• Tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi các cạnh đối bằng nhau

• Tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi các góc đối bằng nhau

• Tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi có một cặp cạnh đối songsong và bằng nhau

• Tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi hai đường chéo cắt nhau tạitrung điểm của mỗi đường.

Để chứng minh một tứ giác là hình bình hành ta chứng minh tứ giác cómột trong các tính chất sau:

1 Hai cặp cạnh song song

2 Các cạnh đối (hay góc đối) bằng nhau

3 Một cặp cạnh đối song song và bằng nhau

4 Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

các dạng toán

Đề 1 Cho tam giác ABC Dựng về phía ngoài tam giác hai tam giác đều

ABE và ACF Dựng hình bình hành AEDF Chứng minh tam giácBDC là tam giác đều

Hướng dẫn: Ta có AC=AF=ED (giả thiết) và AB=BE

Ta lại có [BAC + [EAF = 360o − (60o+ 60o = 240o (1)

Mà \BED + [EAF = 60o+ \AED + [EAF = 60o+ 180o = 240o (2)

AC = ED

⇒ ∆ABC = ∆EBD (c,g,c) ⇒ BC = BD (3)

Tương tự ta cũng có ∆ABC = ∆F DC ⇒ BC = DC (4)

Từ (3) và (4) suy ra tam giác BDC đều

Đề 2 Cho tứ giác ABCD, E và F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB

và CD M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn à, CE, BF và

DE Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành

Hướng dẫn: Ta chứng minh hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tạitrung điểm của mỗi đường Ta sử dụng đường chéo EF làm trunggian Xét tứ giác có hai đường chéo EF và NQ là ENFQ, tứ giác này

có FQ // NE và FQ=NE (vì FQ là đường trung bình của tam giácDCE), do đó ENFQ là hình bình hành

Vậy NQ và EF cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (1).Tương tự, xét tứ giác có hai đường chéo MP và EF là EPFM tứ giácnày có EP // MF và EP=MF (EP là đường trung bình của tam giácBAF), do đó nó là hình bình hành

Vậy MP và EF cũng cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường (2)

Từ (1) và (2) suy ra MP và NQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi

đường Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành

Đề 3 Chứng minh rằng trong một tam giác, nếu hai trung tuyến vuông

góc với nhau thì trung tuyến còn lại sẽ là cạnh huyền của một tamgiác vuông mà một cạnh góc vuông có độ dài bằng độ dài của mộttrong hai trung tuyến kia

Hướng dẫn: Giả sử tam giác ABC có hai trung tuyến AD và BEvuông góc với nhau Trên tia ED lấy điểm I sao cho DE=DI Khi đó

tứ giác BECI là hình bình hành vì có hai đường chéo BC và EI cắtnhau tại trung điểm D của mỗi đường Do đó IC // BE và IC=BE.Mặt khác: ED // AF và ED=AF (vì ED là đường trung bình của tamgiác ABC), do đó DI // AF và DI=AF Suy ra tứ giác AFID là hìnhbình hành

Từ đó suy ra FI // AD và FI=AD Từ (1) và (2), kết hợp với giả thiết

AD ⊥ BE, ta được FI ⊥ IC và FI=AD; IC=BE

Vậy FIC là tam giác vuông ở I và hai cạnh góc vuông IF và IC tươngứng bằng hai trung tuyến AD và BE của tam giác ABC

Đề 4 Cho hình bình hành ABCD M, N là trung điểm của các cạnh BC

và CD Chứng minh rằng AM và AN chia đường chéo BD thành baphần bằng nhau

3BD1.4. Hình chữ nhật

kiến thức cần nhớ

Đề 1 Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với AC Gọi M, K lần

lượt là trung điểm của AD và HC Chứng minh rằng BK vuông gócvới KM

Hướng dẫn: Trong tam giác AKB kẻ đường cao KI cắt BH tại E thì

E là trực tâm của ∆ AKB Suy ra AE ⊥ BK Ta có KI // AD và KI// BC (vì KI ⊥ AB), suy ra KE là đường trung bình của ∆ HBC

Đề 2 Chứng minh rằng các đường phân giác trong của một hình bình hành

cắt nhau tạo thành một hình chữ nhật có đường chéo bằng hiệu haicạnh kề của hình bình hành

Hướng dẫn: Ta chứng minh tứ giác MNPQ có 3 góc vuông vàMP=AB-AD.

Vậy MP=EB hay MP=AB-AD (vì AD=AE)

Đề 3 Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vuông góc với AC Gọi K, M lần

lượt là trung điểm của AH và CD Chứng minh B, K, M, C nằm trênmột đường tròn

Hướng dẫn: Chứng minh BK ⊥ KM Gọi I là trung điểm của BMthì KI=CI=MI=BI Vậy 4 điểm B, K, M, C nằm trên đường tròn tâm

I đường kính BM

1.5. Hình thoi và hình vuông

kiến thức cần nhớ

1 Hình thoi

- Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau

- Hình bình hành là hình thoi khi có hai đường chéo vuông góc với nhauhoặc một đường chéo là đường phân giác của một góc

Dấu hiệu nhận biết hình thoi:

1 Tứ giác có 4 cạnh bằng nhau

2 Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau

3 Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc

2 Hình vuông

- Hình vuông là hình chữ nhật có hai cạnh bằng nhau

- Hai đường chéo của hình vuông bằng nhau và vuông góc với nhau.Dấu hiệu nhận biết hình vuông:

- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau

- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc

- Hình chữ nhật có một đường chéo là phân giác của một góc

- Hình thoi có một góc vuông

Đề 1 Cho hình thoi ABCD có góc A = 60o Trên các cạnh AD và CD lấy

các điểm M và N sao cho AM + CN = AD

a) Chứng minh rằng tam giác BMN đều

b) Gọi P là điểm đối xứng của N qua BC Chứng minh MP songsong với CD

Hướng dẫn:

a) Ta có AM+CN=AM+MD ⇒ CN=MD và AM=DN Tam giácABD cân tại A và có A = 60b o nên tam giác ABD đều, do đó

BD=AB=BC và \ADB = 60o Xét hai tam giác BMD và BCN có

Đề 2 Cho tam giác ABC Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông

ABDE và ACGH Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của EH,

EB, BC, CH Chứng minh rằng:

a) BH = CE; BH ⊥ CE

b) Tứ giác MNPQ là hình vuông

Hướng dẫn:

a) Chứng minh BH=CE và BH ⊥ CE

Xét hai tam giác BAH và EAC ta có:

AC = AH cạnh hv ACGHSuy ra ∆ BHA=∆ EAC (c.g.c) Suy ra BH=EC

Gọi O, I lần lượt là giao điểm của EC với AB và BH Ta cóOb1 = bO2(đối đỉnh), Eb1 = bB1 (∆ BHA = ∆ EAC)

Mà Eb1 + bO1 = 90o nên Bb1+ bO2 = 90o, suy ra [BIO = 90o hay BH

⊥ CE (đcm)

b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.

là hình thoi có một góc vuông Vậy MNPQ là hình vuông

Đề 3 Cho cạnh hình vuông ABCD có độ dài là 1 Trên các cạnh AB, AD

lấy các điểm P và Q sao cho chu vi tam giác APQ bằng 2 Chứngminh rằng [P CQ = 45o

Hai tam giác CEQ và CQP có:

EC=PC; PQ=QE và QC chung Vậy ∆

Đề 4 Cho hình vuông ABCD có độ dài đường chéo bằng 1 Tứ giác MNPQ

có các đỉnh nằm trên các cạnh của hình vuông Chứng minh chu vi

bài tập tự luyện mục 1

Đề 1 Cho tam giác ABC Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác

vuông cân tai A là ABD và ACE Chứng minh rằng đường cao AHcủa tam giác ABC đi qua trung điểm I của đoạn DE

Đề 2 Cho tam giác ABC có C = 90o Trên cạnh góc vuông BC ta lấy các

điểm D và E sao cho BD=DE=EC Chứng minh rằng nếu BC=3ACthì tổng các góc AEC, ADC và ABC bằng 90o

Đề 3 Chứng minh rằng nếu các góc ở đáy của một hình thang không

bằng nhau thì đường chéo phải xuất phát từ đỉnh góc nhỏ sẽ lớn hơn

đường chéo xuất phát từ đỉnh góc lớn

Đề 4 Dựng một hình thang biết một góc, hai đường chéo và đường trung

bình

Đề 5 Cho hình thang ABCD (AD // BC), các đường phân giác trong của

góc C và D cắt nhau ở N Chứng minh rằng độ dài đoạn MN bằngnửa hiệu của tổng độ dài hai đáy với tổng độ dài hai cạnh bên

Đề 6 Chứng minh rằng nếu một tứ giác có giao điểm hai đường chéo trùng

với giao điểm các đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối diện thì

tứ giác đó là hình bình hành

Đề 7 Cho tam giác ABC và một điểm O tùy ý trong tam giác Gọi M,N,P

lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA và I, L, K lần lượt là trung

điểm của OA, OB, OC Chứng minh các đường thẳng ML, KP, IN

đồng quy

Đề 8 Cho hình bình hành ABCD M, N là trung điểm các cạnh BC, CD

Chứng minh rằng AM và AN chia đường chéo BD thành 3 phầnbằng nhau

Đề 9 Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vuông góc với AC Gọi K, M lần

lượt là trung điểm của AH và CD Chứng minh B, K, M, C nằm trênmột đường tròn

Đề 10 Dựng một hình chữ nhật, biết:

a) Đường chéo và tổng hai cạnh kề nhau

b) Đường chéo và hiệu hai cạnh kề nhau

Đề 11 Gọi O là giao điểm các đường chéo của hình bình hành ABCD

Chứng minh rằng giao điểm các đường phân giác trong của các tamgiác OAB, OBC, OCD, và OAD là các đỉnh của một hình thoi

Đề 12 Chứng minh rằng nếu các góc ở đáy của một hình thang không

bằng nhau thì đường chéo phải xuất phát từ đỉnh góc nhỏ sẽ lớn hơn

đường chéo xuất phát từ đỉnh góc lớn

Đề 13 Dựng một hình thang biết một góc, hai đường chéo và đường trung

bình

Đề 14 Cho hình thang ABCD (AD // BC), các đường phân giác trong của

góc C và D cắt nhau ở N Chứng minh rằng độ dài đoạn MN bằngnửa hiệu của tổng độ dài hai đáy với tổng độ dài hai cạnh bên

Đề 15 Chứng minh rằng nếu một tứ giác có giao điểm hai đường chéo trùng

với giao điểm các đoạn thẳng nối trung điểm các cạnh đối diện thì

tứ giác đó là hình bình hành

Đề 16 Cho tam giác ABC, trên AB và AC, về phía ngoài tam giác dựng hai

hình vuông ABDE, ACMN Chứng minh trung tuyến qua A kéo dàicủa tam giác AEN là đường cao của tam giác ABC

Đề 17 Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB, BC, CD, DA, ta dựng ra

phía ngoài các hình vuông lần lượt có tâm là O1, O2, O3, O4 Chứngminh rằng tứ giác O,O,O,O4 là hình vuông

Đề 18 Gọi E là điểm thuộc miền trong của hình vuông ABCD sao cho tam

giác AEB cân tại E và góc ở đáy bằng 15o Chứng minh rằng tamgiác DEC đều

2 Tam giác đồng dạng

2.1. Định lí Ta -let trong tam giác

kiến thức cần nhớ

- Định lí Ta -lét trong tam giác: Cho tam giác ABC, B', C' lần lượt trên

AB, AC Nếu B'C' // BC thì:

Đảo lại nếu AB0

Đề 1 Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD và E là trung điểm của CD

Gọi M là giao điểm AE và BD, N là giao điểm của BE và AC Chứngminh rằng MN // AB và tính MN, biết AB=a, CD=b

Hướng dẫn:

Xét ∆ AMB ta có: AB // DE nên theo

định lí Ta-lét: M E

M A =

EDAB

Mà ED=EC nên M E

M A =

EC

AB (1)Xét ∆ ANB, có AB // EC, nên N E

N B =EC

Xét ∆ AEC, có MN // EC nên M N

EC =

AN

AC (3)Xét ∆ ANB, có AB // EC nên AN

N C =

ABEC

So sánh (3) và (4) ta có M N

EC =

2a2a + b Mà EC=b

2 nên MN= ab

2a + b

Đề 2 Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng l cắt AB ở E, AD ở F

và cắt đường chéo AC ở G Chứng minh rằng: AB

BM // EF và DN // EF, với M, N trên AC

Đề 3 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Một đường thẳng l qua trọng

tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại B' và C'.Chứng minh rằng: AB

AB0 +

AC

AC0 = 3

Hướng dẫn: Qua B kẻ đường thẳng song song với l cắt AM tại I.Qua C kẻ đường thẳng song song với l cắt AM tại J Ta có ∆ BMI

Đề 4 Cho tứ giác lồi ABCD có các đỉnh A, B cố định, các đỉnh C và D

thay đổi sao cho giao điểm O của hai đường chéo AC và BD luôn có

tỉ số OA

OC = k, OB

OB0 = k

0 (k, k' là hai số khác 1 cho trước) Chứngminh rằng nếu k 6= k0 thì đường thẳng CD luôn đi qua một điểm cố

định

Hướng dẫn: Với k 6= k0 thì OA

OC 6= OB

OD khi đó CD không songsong với AB Gọi M là giao điểm của các đường thẳng AB và CD

AC.BOAO.BD =

Đề 5 Cho tam giác ABC có AB=c, BC=a, CA=b Gọi x, y, z là độ dài các

đường phân giác trong của tam giác ABC Chứng minh rằng:

đường thẳng qua B song song với AD và đường thẳng AC Ta có[

ABE = \BAD (so le trong), [BEA = \DAC (đồng vị)

Vì \BAD = \DAC nên ABE = BEA, suy ra tam giác EAB cân tại

Đề 6 Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD Chứng minh rằng đường

thẳng nối giao điểm của hai đường chéo với giao điểm của hai đườngthẳng chứa hai cạnh bên thì đi qua các trung điểm của hai đáy.Hướng dẫn:

Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng AB

và Cd; O là giao điểm của hai đường chéo

AC và BD; M, N là giao điểm của OI với BC

và AD Ta chứng minh BM=CM, AN=DN

Xét ∆ IAN, có BM // AN nên BM

AN =

IM

IN Xét ∆ IDN, có MC // DN nên M C

Đề 7 Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G Từ điểm O khác G ở trong

tam giác, kẻ các đường thẳng OG cắt các đường thẳng BC, CA, ABlần lượt tại A', B', C' Tính OA0

G xuống các cạnh của tam giác ABC Gọi I, M, N lần lượt là chân

đường vuông góc kẻ từ O xuống các cạnh của tam giác ABC ĐặtAH=h, AB=BC=CA=a Ta có:

SOAB + SOAC + SOBC = SABC ⇒ 1

B0C0 thì ∆ ABC đồng dạng với ∆ A'B'C'.

- Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông: Cho hai tam giácvuông ABC và A'B'C' với A = A0 = 90o ∆ ABC đồng dạng với ∆ A'B'C'nếu một trong các trường hợp sau đây được thỏa mãn:

- Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng thì bằng tỉ số đồng dạng

Đề 1 Cho tam giác ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC,AC

Gọi O, H, G lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm và trọngtâm của tam giác ABC Chứng minh rằng:

Từ đó suy ra \BAH = \OM N và \ABH = \ON M (hai góc nhọn cócạnh tương ứng song song)

Vậy ∆ ABH đồng dạng ∆ MNO, tỉ lệ 1

2 (vì M N

AB =

1

2.b) Xét hai tam giác AHG và MOG, có \HAG = \GM O (so le trong)(1); GM

c) Ta có ∆ MOG đồng dạng ∆ AHG nên \AGH = \M OG Mà A,

G, M thẳng hàng nên H, G, O thẳng hàng và GH

GO =

AH

OM = 2.Chú ý: Đường thẳng đi qua trực tâm, trọng tâm và tâm đường trònngoại tiếp được gọi là đường thẳng Euler (ơ-le)

Đề 2 Cho tam giác đều ABC Gọi M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh

AB và BC sao cho BM=BN Gọi G là trọng tâm của tam giác BMN

và I là trung điểm của AN Tính các góc của tam giác GIC

Hướng dẫn: Ta có BMN là tam giác đều nên G là tâm của ∆ BMN.Gọi P là trung điểm của MN thì GP

GN =

1

2 (tính chất trọng tâm tamgiác đều)

Gọi K là trung điểm GC thì ∆ GIK đều trên IK = GC điều đó