3.1. Phương pháp phản chứng
Chứng minh một bài toán bằng phương pháp phản chứng gồm ba bước:
- Bước 1: (phủ định kết luận). Ta giả sử rằng kết luận của bài toán là không đúng.
- Bước 2: (đưa đến mâu thuẫn). Từ điều giả sử trên và từ giả thiết của bài toán, ta suy ra một điều mâu thuẫn với giả thiết hoặc mâu thuẫn với một kiến thức đã học.
- Bước 3: (khẳng định kết luận). Vậy kết luận của bài toán là đúng.
Ưu điểm của phương pháp phản chứng là tạo thêm được một giả thiết mới (giả thiết phản chứng) vào giả thiết của bài toán. Chẳng hạn để chứng minh A ≥ B bằng phương pháp phản chứng, ta sử dụng giả thiết phản chứng A < B để chỉ ra điều vô lí.
Ví dụ 1. Cho hai điểm M, N nằm bên trong một đa giác lồi. Chứng minh rằng tồn tại một đỉnh của đa giác sao cho khoảng cách từ đỉnh đó
đến M lớn hơn khoảng cách từ đỉnh đó đến N.
Giải: (h.1). Gọi đa giác đã cho là A1A2ã ã ãAn Giả sử A1M ≤A1N
A2M ≤A2N
ã ã ã ã AnM ≤ AnN
Gọi d là đường trung trực của MN.
Đường thẳng d chia mặt phẳng của
đa giác thành hai nửa mặt phẳng, nửa mặt phẳng chứa M gọi là (I) , nửa mặt phẳng chứa N gọi là (II). Do A1M ≤ A1N nên (A1) ∈ (I), tương tự A2, A3,ã ã ã , An cũng thuộc (I). Mọi đỉnh của đa giác thuộc nửa mặt phẳng (I), còn N thuộc nửa mặt phẳng (II) nên N nằm bên ngoài đa giác, tría giả
thiÕt.
Vậy tồn tại một đỉnh Ak của đa giác sao cho AkM > AkN
3.2. Nguyên lí Đirichle
Dạng đơn giản: Nếu nhốt n+1 thỏ vào n lồng thì tồn tại một lồng có ít nhất 2 thỏ. Tổng quát: nếu nhốt n thỏ vào m lồng mà phép chia n cho m có thương k và còn dư thì tồn tại một lồng chứa ít nhất k+1 con thỏ.
Ví dụ 2: Cho một hình vuông và 13 đường thẳng, mỗi đường đều chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng 2:3. Chứng minh rằng trong 13 đường thẳng đó, có ít nhất bốn đường thẳng cùng đi qua một
®iÓm.
Giải: Gọi d là đường thẳng chia hình vuông ABCD thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng 2:3. Đường thẳng d không thể cắt hai cạnh kề nhau của hình vuông vì khi đó không tạo thành hai tứ giác. Giả sử d cắt hai cạnh AB và CD tại M và N, khi đó nó cắt đường trung bình EF tại I.
Giả sử SAM N D = 2
3SBM N C th× EI + 2 3IF
Như vậy, mỗi đường thẳng đã cho chia đường trung bình của hình vuông theo tỉ số 2:3. Có bốn điểm chia đường trung bình của hình vuông theo tỉ số 2:3 (là các điểm I, K, G, H trên hình 2.
Có 13 đường thẳng,mỗi đường thẳng đi qua một trong bốn điểm. Phép chia 13 cho 4 có thương là 3 và còn dư nên tồn tại một điểm có ít nhất bốn (3+1) đường thẳng đi qua.
Đề 1. Cho 2005 điểm trên mặt phẳng, biết rằng mỗi nhóm 3 điểm bất kì
của các điểm bao giờ cũng chọn ra được 2 điểm có khoảng cách bé hown1. Chứng minh rằng trong các điểm trên có ít nhất 1003 điểm nằm trong một đường tròn có bán kính bằng 1.
Đề 2. Trong hình vuông mà độ dài mỗi cạnh bằng 4 cho trước 33 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Người ta vẽ các đường tròn có bán kính đều bằng √
2 có tâm là các điểm đã cho. Hỏi có hay không 3 điểm trong số các điểm nói trên mà chúng đều thuộc phần chung của 3 hình tròn có các tâm cũng chính là 3 điểm đó?
Đề 3. Cho một hình vuông và 9 đường thẳng, trong đó cứ mỗi đường thẳng
đều chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích là 2
3. Chứng minh rằng trong số 9 đường thẳng đó có ít nhất 3 đường thẳng đồng quy tại một điểm.
Đề 4. Một nước có 80 sân bay, mà khoảng cách giữa hai sân bây nào cũng khác nhau. Mỗi máy bay cất cánh từ một sân bay và bay đến sân bay nào gần nhất. Chứng minh rằng trên bất kì sân bay nào cũng không thể có quá 5 máy bay đến.
Đề 5. Trong hình vuông có các cạnh bằng 1 có 101 điểm tùy ý, chứng minh rằng có ít nhất 5 điểm nằm trong hình tròn bán kính bằng 1
7.
Đề 6. Cho một hình vuông và 13 đường thẳng, mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng 2: 3. Chứng minh rằng trong 13 đường thẳng đó, có ít nhất bốn đường thẳng cùng đi qua một điểm.
Đề 7. Giải bài toán bằng quy nạp: "Cho n đường tròn trong mặt phẳng, hai đường tròn nào cũng cắt nhau tại hai điểm, không có ba đường tròn nào cùng đi qua một điểm. Chứng minh rằng n đường tròn đó chia mặt phẳng thành 2+n(n-1) miền".
Đề 8. Giải bài toán bằng quy nạp: "Chứng minh rằng tổng các góc trong của đa giác lồi n cạnh (n ≥3) bằng Sn = (n−2).180o.
các điểm thẳng hàng, các đường thẳng
đồng quy, các điểm nằm trên đường tròn