Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó và rộng của bộ môn Toán nhưng nhờ các bài tập về bất đẳng thức mà học sinh có thể hiểu kĩ hơn, sâu hơn về giải và biện luận phương trình, bất phương trình; Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức, về mối liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác và trong quá trình giải toán khả năng tư duy sáng tạo của người học được phát triển mạnh. Thực tế khi giải các bài tập về bất đẳng thức học sinh thường gặp nhiều khó khăn vì cách giải chúng không hoàn toàn có một mẫu quy tắc nào như ở một số mảng kiến thức khác.
Trang 1
PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
TRƯỜNG THCS TRẦN
***** *****
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Giáo viên:
Tổ:Toán,lí,hóa,sinh,công nghệ,tin
NĂM HỌC
Trang 2
MỤC LỤC
I/ ĐẶT VẤN ĐỀ (Lý do chọn đề tài) trang 3 II/GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ (Nội dung sáng kiến kinh nghiệm) trang 4
1)Cơ sở lý luận của vấn đề trang 4 2)Thực trạng của vấn đề trang 4 3)Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề trang 5
4)Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm trang 19
III/KẾT LUẬN trang 20
Trang 3CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
***** *****
-Để rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toán cho học sinh ngoài việc trang bị cho học sinh kiến thức cơ bản, người thầy giáo cần giúp các em tổng hợp phân loại các phương pháp giải
và các dạng thường gặp để các em dễ nhớ, dễ vận dụng
- Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó và rộng của bộ môn Toán nhưng nhờ các bài tập về bất đẳng thức mà học sinh có thể hiểu kĩ hơn, sâu hơn về giải và biện luận phương trình, bất phương trình; Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức, về mối liên hệ giữa các yếu tố trong tam giác và trong quá trình giải toán khả năng tư duy sáng tạo của người học được phát triển mạnh Thực tế khi giải các bài tập về bất đẳng thức học sinh thường gặp nhiều khó khăn vì cách giải chúng không hoàn toàn có một mẫu quy tắc nào như ở một số mảng kiến thức khác
-Qua nhiều năm giảng dạy toán ở trường phổ thông, là người thầy, tôi thường trăn trở suy nghĩ, thu thập tài liệu, cố gắng sắp xếp hợp lý một số phương pháp và bài tập về chứng minh bất đẳng thức với mong muốn giúp học sinh tự tin hơn khi đứng trước một số bài toán về bất đẳng thức cụ thể là các bài toán chứng minh bất đẳng thức
- Phạm vi và giới hạn bài viết
Khuôn khổ bài viết có hạn nên tôi muốn tổng hợp phân loại các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và các ví dụ áp dụng dành cho học sinh THCS đặc biệt là học sinh khá giỏi lớp 8; 9
Trang 4II.GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: (Nội dung sáng kiến kinh nghiệm)
1)Cơ sở lý luận của vấn đề:
- Vận dụng tốt phương pháp phù hợp để giải các bất đẳng thức, Học Sinh sẽ tiết kiệm được thời gian, bài giải gọn
- Bất đẳng thức là một kiến thức khó nhưng không thể thiếu trong vốn kiến thức của Học Sinh phổ thông, nhất là học sinh khá giỏi
-Khi vận dụng phương pháp phù hợp , Học Sinh sẽ biến đổi nhanh gọn bất ngờ, đầy hứng thú, kích thích và phát triển tinh thần say mê , thích thú học toán
2)Thực trạng của vấn đề:
- Học Sinh thường gặp những bài toán về bất đẳng thức mà không biết phải sử dụng phương pháp nào để chứng minh nên lúng túng trong biến đổi,tính toán
- Để có cơ sở vận dụng tốt phương pháp chứng minh bất đẳng thức các em cần nắm vững kiến thức cơ bản về bất đẳng thức.Nếu không dễ bị dẫn đến khó khăn ,bế tắc
* Kiến thức cần nắm vững:
A Định nghĩa bất đẳng thức: Với hai số a, b bất kỳ ta nói rằng a ≥ b ⇔a -b ≥ 0
a ≤ b ⇔a -b ≤ 0
B Tính chất:
1 a > b ; b >c ⇒ a > c
2 a >b ⇒ a + c > b + c
3 a > b ; c > 0 ⇒ ac > bc
a > b ; c < 0 ⇒ ac < bc
5 a > b ; c > d ⇒ a + c > b + d
a > b ; c < d ⇒ a - c < b - d
6 a > b ≥ 0 ⇒ ac > bd
7 a > b > 0 ; 0 < c < d⇒
c
a
>
d b
8 a > b > 0 ⇒ an > bn
a > b ⇔ an > bn (n lẻ)
a b〉 ⇔ an > bn ( n chẵn )
9 Nếu m > n >0 thì a >1⇒ am > an
Trang 5a =1⇒ am = an
0 < a < 1 ⇒ am = an
10 a > b , ab > 0 ⇒
a
1
<
b
1
C Các hằng bất đẳng thức:
1 a2 ≥ 0 với mọi a Dấu bằng xẩy ra ⇔ a = 0
2 a ≥ 0 với mọi a Dấu bằng xẩy ra ⇔ a = 0
3 a ≥ a với mọi a Dấu bằng xẩy ra ⇔ a ≥ 0
4 a+ ≤b a + b với mọi a,b Dấu bằng xẩy ra ⇔ ab ≥ 0
5 a− ≥b a - b với mọi a,b Dấu bằng xẩy ra ⇔ ab > 0 và a ≥ b
3)Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề:
-Để học sinh vận dụng tốt các phương pháp chứng minh bất đẳng thức ngoài việc nắm vững
lí thuyết ,các em phải nhớ dạng và phương pháp thích hợp
Học Sinh cần:
o Học thuộc lòng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
o Biết phối hợp với một số kiến thức khác
o Kết hợp với biến đổi, tính toán , rút gọn
-Để học sinh có kết quả tốt thì học sinh cần nắm chắc nội dung và cách giải quyết một số bài toán chứng minh bất đẳng thức sau:
*11 PHƯƠNG PHÁP :Mỗi phương pháp có:1/ Phương pháp giải
2/Ví dụ áp dụng
3/ Bài tập tương tự
1 Phương pháp sử dụng định nghĩa:
1.1 Phương pháp giải: Muốn chứng minh A > B hãy xét hiện A - B Nếu hiện A - B dương thì khẳng định được A > B là bất đẳng thức cần chứng minh
1.2 Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho a,b,c > 0 chứng minh rằng (a + b + c) (
a
1
+
b
1
+
c
1
) ≥ 9
Giải: Xét hiệu H = (a + b + c) (
a
1
+
b
1
+
c
1
) - 9
= (
b
a
+
a
b
- 2) + (
c
a
+
a
c
- 2) + (
c
b
+
b
c
- 2)
bc
c b ac
c a ab
b
a− 2 + − 2 + − 2
Trang 6Do a,b,c > 0 ⇒ H ≥ 0 Theo định nghĩa bất đẳng thức:
⇒ (a + b + c) (
a
1
+
b
1
+
c
1
)≥ 9 Dấu = xẩy ra ⇔ H = 0 ⇔a = b = c
Ví dụ2: Cho a > 0, b > 0 chứng minh rằng:
3 3
3
2
+
≥ +b a b a
Giải: Xét hiệu: A =
3 3
3
2
+
− +b a b a
Bỏ ngoặc, phân tích thành nhân tử ta được: A =
8
3
(a + b) (a - b)2 Vì a > 0 , b > 0 ⇒ a + b > 0 mà (a - b)2 ≥0 ⇒ A ≥0
Theo định nghĩa ⇒
2
3
3 b
a + ≥ 3
+a b
Dấu bằng xẩy ra ⇔ a = b
1.3 Bài tập tương tự:
Bài 1: Chứng minh:
b
a
+
a
b
≥ 2 với ab > 0 Bài 2: Chứng minh: x2 + y2 + z2 ≥ 2xy + 2yz - 2x
Bài 3: Cho a,b,c > 0 chứng minh:
2 2 2
c b
a
+ + 2 2
2
a c
b
+ + 2 2
2
b a
c
+ ≥ b c
a
+ + c a
b
+ + a b
c
+
2 Phương pháp sử dụng tính chất:
2.1 Phương pháp giải: Sử dụng một hay nhiều tính chất đã nêu ở 2.2 để biến đổi Từ đó khẳng định bất đẳng thức cần chứng minh
2.2 Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Cho a, b > 2 Chứng minh ab > a + b
Giải: Ta có: a > 2 , b > 0 ⇒ab > 2b (1) (Tính chất 3)
b > 2 , a > 0 ⇒ ab > 2a (2) (Tính chất 3)
Từ (1) và (2) ⇒ 2ab > 2 (a + b) (Tính chất 4)
⇒ ab > a + b (Tính chất 3)
Ví dụ 2: Cho x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0 Chứng minh rằng:
(x + y) (y + z) (z + x) ≥ 8xyz
Trang 7Giải: Ta có: (x-y)2 ⇒ x2 - 2xy +y2 ≥0
⇒ x2 + 2xy +y2 ≥ 4xy (Tính chất 2)
⇒ (x+y)2 ≥ 4xy (1) Tương tự ta có: (y+z)2 ≥ 4yz (2)
(x+z)2 ≥ 4xz (3) Nhân từng vế (1),(2),(3) ⇒[(x+y)(y+z)(x+z)]2 ≥ (8xyz )2 (Tính chất 6)
⇒ (x+y)(y+z)(x+z) ≥ 8xyz (Tính chất 8) 2.3 Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho a + b > 1 Chứng minh rằng a4 +b4 >
8 1
Bài 2: Chứng minh rằng: 22
b
a
+ 22
c
b
+ 22
a
c ≥
b
c
+
a
b
+
c a
Bài 3: Cho x + y = 2 Chứng minh : x4 + y4 ≥ 2
3 Phương pháp phân tích: ( Biến đổi tương đương)
3.1 Phương pháp giải: Xuất phát từ bất đẳng thức cần chứng minh ta biến đổi nó tương đương với một bất đẳng thức khác mà ta đã biết là đúng từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là đúng
3.2 Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (a + b)2 ≤ 2 (a2 + b2) với mọi a , b
Giải: (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) (1)
⇔a2 +2ab +b2 - 2a2 - 2b2 ≤ 0
⇔-(a2 - 2ab + b2) ≤ 0
⇔-( a - b)2 ≤ 0 (2)
Bất đẳng thức (2) luôn đúng ⇒ bất đẳng thức (1) đúng (đpcm)
Ví dụ 2: Cho 2 số a, b thoả mãn: a + b = 1
Chứng minh: a3 + b3 +ab ≥
2
1
(1)
Giải: (1) ⇔ a3 + b3 +ab -
2
1
≥ 0
⇔(a + b) (a2- ab + b2) +ab -
2 1
≥ 0
Trang 8⇔ a2- ab + b2 + ab -
2
1
≥ 0 (vì a + b = 1)
⇔ a2 + b2 -
2
1
≥ 0 ⇔ 2a2 + 2b2 - 1≥ 0
⇔ 2a2 + 2(1 - a)2 - 1≥ 0 ( vì b = 1 - a)
⇔ 4 (a - ) 0
2
Bất đẳng thức (2) luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương
)
1
(
⇒ đúng Dấu bằng xảy ra ⇒ a =
2
1
= b 3.3 Bài tập tương tự
Bài 1: Với mọi a, b chứng minh a4 + b4 ≥ a3b + ab3
Bài 2: Cho a > 0, b > 0 Chứng minh
a
b b a b
a
−
≥
−
Bài 3: Chứng minh x4 + y4
2
6 2
6
x
y y
x +
≤ với x ≠0,y ≠0
4 Phương pháp tổng hợp:
4.1 Phương pháp giải: Từ một bất đẳng thức đã biết là đúng, dùng các phép biến đổi tương
đương biến đổi bất đẳng thức đó về bất đẳng thức cần chứng minh.
Phương pháp giải này làm cho học sinh thấy khó ở chỗ là không biết nên bắt đầu từ bất đẳng
thức nào nhưng nếu biết phương pháp giải này ngược với phương pháp phân tích thì cũng rất dễ tìm ra bất đẳng thức xuất phát
4.2 Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Cho a, b ≥ 0 Chứng minh a b 2 ab
+
(Bất đẳng thức Côsi)
Giải: Theo giả thiết a, b ≥ 0 ⇒ ab ≥ 0 ⇒ ab xác định.
Ta có: ( a - b)2 ≥ 0
⇔a2 - 2ab +b2 ≥ 0
⇔a2 + 2ab +b2 ≥ 4ab
⇔ ( a - b)2 ≥ 4ab
Trang 9⇔a + b ≥ 2 ab (vì a + b ≥ 0 )
⇔ a+b ≥ ab
2 (đpcm) Dấu “ =” xảy ra ⇔ a = b.
Ví dụ 2: Cho a, b, c, d > 0 Chứng minh rằng:
2 2 2
2 b c d a c b d
a + + + ≥ + + +
Giải: Ta có: (ad - bd)2 ≥ 0
⇔a2d2 - 2adbc + b2c2 ≥ 0
⇔a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + b2d2
⇔a2d2 - 2adbc + b2c2 + a2c2 + b2d2 ≥ a2c2 + 2acbd + b2d2
⇔a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2) ≥ (ac + bd)2
( + )( + )≥
⇔ a2 b2 c2 d2 ac + bd ( vì ac + bd > 0)
⇔a2 + b2 + 2 (a2 +b2)(c2 +d2) + c2 + d2 ≥ 2ac + 2bd + a2 + b2 + c2 +d2
⇔( (a2 +b2)(c2 +d2))2 ≥ (a + c)2 + (b + d)2
⇔ a2 +b2 + c2 +d2 ≥ (a+c) (2 + b+d)2 (đpcm) Dấu “=” xảy ra ⇔
d
c b
a
= Chú ý: với a, b, c, d >0 thì các phép biến đổi trong cách giải trên là tương đương
4.3 Bài tập tương tự: Chứng minh các bất đẳng thức
Bài 1: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca với mọi a, b
Bài 2: (x-y)2+ (y -z)2 + (z -x)2 ≤ 3(x2 + y2+z2) với mọi x, y, z
Bài 3:
3 3
3
2
+
≥ +b a b
a
với a > 0 , b > 0
5 Phương pháp phản chứng:
5.1 Phương pháp giải: Nếu bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A ≥ B
( hoặc A < B) thì ta giả sử A < B (hoặc A ≥ B) Từ điều mà ta vừa giả sử cùng với giả thiết của bài toán ta suy ra một điều mâu thuẫn với giả thiết với các kiến thức đã học Cuối cùng ta khẳng định kết luận của bài toán A ≥ B ( hoặc A < B) là đúng
Giải như vậy gọi là phương pháp phản chứng
Trang 105.2 Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1: Cho a2 + b2 ≤ 2 Chứng minh: a + b ≤ 2
Giải: Giả sử: a + b > 2
⇔ a2 + 2ab + b2 > 4 (1)
Ta có: (a - b)2 ≥0 ⇔ a2 - 2ab + b2 ≥0
⇔ 2ab ≤ a2 + b2
⇔ a2 + b2 + 2ab ≤ 2(a2 + b2) Mặt khác theo giả thiết ta có: a2 + b2 ≤ 2
⇔ 2(a2 + b2) ≤ 4 Suy ra: a2 + b2 + 2ab ≤ 4 (2) mâu thuẫn với (1) Vậy phải có a + b ≤ 2
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Nếu a + b + c > 0; abc >0 , ab + bc + ac > 0
thì a > 0, b > 0, c > 0
Giải: giả sử a ≤ 0
Nếu a = 0 thì abc = 0 trái với giả thiết abc > 0
Nếu a < 0 : do a + b + c > 0 nên b + c > 0
Do abc > 0 nên bc < 0
⇒ a(b + c) + bc < 0
Hay ab + ac + bc < 0 trái với giả thiết ab + ac + bc > 0
Vậy a > 0 Tương tự ta chứng minh được b > 0, c > 0
5.3 Bài tập tương tự:
Bài 1: cho các số a, b, c , m, n, p thoả mãn: ap - 2bn + cm = 0 và ac - b2 = 0
chứng minh mp - n2 ≤ 0
Bài 2: chứng minh rằng: Nếu a ≥3; b ≥ 3; a2 + b2 ≥ 25 thì a + b ≥ 7
Bài 3: Cho a3 + b3 = 2 Chứng minh a + b ≤ 2
6 Phương pháp quy nạp toán học:
6.1 Phương pháp giải: Nếu cả 2 vế của bất đẳng thức phải chứng minh đều phụ thuộc vào đối số
tự nhiên n thì có thể dùng phương pháp quy nạp toán học Khi đó đòi hỏi phải chứng minh:
+ Bất đẳng thức đúng với n = 1 (hoặc đúng với n = n0 là giá trị tự nhiên bé nhất thừa nhận được của n theo yêu cầu của đề bài)
+ Thừa nhận bất đẳng thức đúng với n = k (k > 1 hoặc k > n0) rồi chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1
Trang 116.2 Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 thì 2n > 2n + 1 (1)
Giải: Với n= 3 ta có 23 = 8 ; 2n + 1 = 7 ⇒ 2n > 2n + 1 đúng với n = 3
Giả sử (1) đúng với n = k (k ∈N,k ≥3)
Tức là 2k > 2k + 1 Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1
hay 2k+1 > 2(k+1) +1
hay 2k+1 > 2k+3 (2)
Thật vậy: hay 2k+1 =2.2k mà 2k > 2k +1
⇒ 2k+1 > 2 (2k +1) = (2k+3)+(2k-1) > 2k+3 (vì 2k -1>0)
⇒ (2) đúng với ∀k≥ 3
Vậy 2n > 2n + 1 với mọi n nguyên dương và n ≥ 3
Ví dụ 2: chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 thì (n+1)(n+2)(n+3)….2n > 2n (1) Giải: Với n = 2 thì (1) đúng với n = k (k ∈N, k≥2) tức là(k+1)(k+2)(k+3)….2k > 2k
Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+1 tức là phải chứng minh
(k+2)(k+3)(k+4)…2(k+1) > 2k+1 Hay (k+2)(k+3)(k+4)…(2k+2) > 2k+1
Thật vậy: Theo giả thiết quy nạp ta có:
(k+2)(k+3)(k+4)…2k > 2k
⇒ (k +1)(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1) > 2k
⇒ 2(k +1)(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1) > 2.2k
⇒ (k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2) > 2k+1
Vậy bất đẳng thức (1) đúng với mọi số tự nhiên n >1 nghĩa là:
(n+1)(n+2)(n+3)….2n > 2n 6.3 Bài tập tương tự
Bài 1: Cho a ≥ 0, b≥0, n ∈N Chứng minh rằng
2 2
n n n
b a b
a ≤ +
+
Bài 2: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥3
thì n2 > n + 5 Bài 3: Chứngminh rằng vớimọi số nguyên dương n thì
1 1 3
1
2
1 1
+ + + +
+
n
Trang 127 Phương pháp xét các khoảng giá trị của biến:
7.1 Phương pháp giải: Có những bài toán yêu cầu chứng minh bất đẳng thức A(x) > 0 mà không cho thêm giả thiết nào nữa ta có thể suy nghĩ theo cách giải sau: Nếu biểu thức A(x) viết được về dạng tổng các hạng tử nx(x-a) thì ta xét các khoảng giá trị của biến x chẳng hạn như x ≥ a và x <
a để sử dụng định nghĩa bất đẳng thức x ≥ a ⇔ x−a≥0 hay
x < a ⇔x -a < 0.
Trong trường hợp bất đẳng thức cần chứng minh chưa có dạng A(x) > 0 hay A(x) < 0 trước hết ta chuyển vế để đưa về dạng đó
7.2 Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh x10 -x9 +x4 - x+ 1 >0
Giải:
Xét A = x10 -x9 +x4 - x+ 1
= x9(x-1) + x(x3 -1) +1 (1)
Hoặc A = x10 + x4(1-x5) +(1-x) (2)
+ Nếu x ≥ 1 ⇒ x9 > 0; x-1 ≥ 0; x3+1 ≥ 0
Nên từ (1) ⇒ A > 0
+ Nếu x < 1 ⇒1-x5 > 0; 1-x > 0 mà x10 ≥ 0 và x4 ≥ 0 nên từ (2) ⇒ A > 0.
Ví dụ 2: Chứng minh 12x4 + 8x3 +11x2 +7x+10 >0
Giải: xét B = 12x4 + 8x3 +11x2 +7x+10 (1)
Hoặc B= 10(x4 + x3 +x2 +x+1) + 2x4 +x2 -2x3 -3x (2)
+ Nếu x ≥0 thì từ (1) ⇒B > 0 ( vì x4 + x3 +x2 +x+1 >0 tương tự ví dụ 1 và 2x4 +x2 > 0; -2x3 -3x >
0 ( do x<0)
Vậy B > 0 (đpcm)
7.3 Bài tập tương tự
Bài 1: chứngminh x8 +x4 +1 > x7 + x
Bài 2: Chứngminh x6 - x5 + x4- x3+x2 - x + 1 > 0
Bài 3: Chứng minh x6 - x5 + x4- x3+x2 - x +
4
3
> 0
8 Phương pháp làm trội ( hoặc làm giảm)
8.1 Phương pháp giải: Để chứng minh A < B ta làm trội A thành C (A < C) rồi chứng minh C ≤
B (biểu thức C đóng vai trò trung gian để so sánh A và B)
Trang 13Tương tự đối với phương pháp làm giảm
8.2 Ví dụ áp dụng:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ta có:
A =
4
1 1
3
1 2
1
3 3
3 + + + <
n
Giải: Làm trội mỗi phân số ở A bằng cách giảm mẫu
1 1
1 1
1
2 3
3 < k −k = k k − = k− k k+
k
1
4 3 2
1 3 2 1
1 1
3 3
1 2 2
1
3 3
3 − + − + + n −n = + + + n− n n+
1
4 3 2
1 3
2
1
1
+
− + + +
n n n
= − + − + +( − ) − ( +1)
1 1
1
4 3
1 3 2
1 3 2
1 2 1
1 2
1
n n n n
1 1 2
1 4
1 1
1 2
1
2
+
−
=
+
−
n n n
n
Vậy:
4
1 1
3
1
2
1
3 3
3 + + + <
n
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2 ta có:
− + + +
1 2
1
3
1 2 1
− + + +
+
+ + + +
+ + + +
+
1 2
1
2
1
15
1
9
1 2
1 7
1 6
1 5
1 2
1 3
1 2
1
ở mỗi nhóm trong A ta làm trội bằng cách thay các phân số bởi phân số lớn nhất trong nhóm, ta
1 3
2
1
8 2
1 4 2
1 2 2
1
−
+ + +
+
n = 1 1 1
n
n
+ + + =
1 42 43 Vậy A < n (đpcm)
8.3 Bài tập tương tự
Bài 1: Cho A =
199
200
5
6 3
4 1
2
Chứng minh 14 < A < 20
1 3
1
3
1 2
1 1
+ + + +
+ +
+