sang kien kinh nghiem Phương pháp giải toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Trong to¸n häc, kh¸i niÖm gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, lµ mét kh¸i niÖm ®¬n gi¶n. Lµ mét ph¹m trï kiÕn thøc hÑp. Nh­ng nh÷ng bµi tËp cã liªn quan tíi gi¸ trÞ tuyÖt ®èi l¹i lµ mét vÊn ®Ò phøc t¹p, t­¬ng ®èi tr×u t­îng. ThÕ nh­ng nã l¹i gãp phÇn trong qu¸ tr×nh gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n phøc t¹p sau nµy. Khi gÆp c¸c bµi to¸n cã dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi kh«ng Ýt häc sinh lóng tóng, kh«ng biÕt ph¶i b¾t ®Çu tõ ®©u, h­íng gi¶i quyÕt thÕ nµo.

Các kiến thức và phơng pháp toán còn giúp các em phát triểnnhững năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh khảnăng t duy tích cực, độc lập sáng tạo Giáo dục cho học sinh t t-ởng và đạo đức, thẩm mỹ của con ngời mới.

Trên thực tế còn nhiều học sinh học yếu toán Những họcsinh lời học không nắm vững kiến thức cơ bản đã đành Cònnhững học sinh chịu khó học bài, thuộc bài nhng vẫn khônglàm đợc và làm sai bài tập Làm thế nào để giúp các em họcsinh trung học cơ sở học tốt môn toán Đây là điều trăn trở củacác thầy giáo, cô giáo và các bậc phụ huynh

Để giúp các em học sinh học tốt hơn môn toán Ngời thầygiáo, cô giáo ngoài việc giúp các em nắm đợc những kiến thức

lý thuyết toán, thì việc bồi dỡng cho các em về mặt phơngpháp giải các loại toán là rất quan trọng Nó giúp các em nhậndạng, tìm tòi đờng lối giải một cách nhanh chóng, hình thành

kỹ năng phát triển t duy ngày càng sâu sắc hơn và qua đócác em yêu toán hơn, tự tin hơn trong cuộc sống tơng lai

Trong toán học, khái niệm giá trị tuyệt đối, là một kháiniệm đơn giản Là một phạm trù kiến thức hẹp Nhng nhữngbài tập có liên quan tới giá trị tuyệt đối lại là một vấn đề phứctạp, tơng đối trìu tợng Thế nhng nó lại góp phần trong quátrình giải quyết các bài toán phức tạp sau này Khi gặp các bài

toán có dấu giá trị tuyệt đối không ít học sinh lúng túng,không biết phải bắt đầu từ đâu, hớng giải quyết thế nào.

Điều đó cũng dễ hiểu, trong chơng trình phần lý thuyết

đơn giản Bài tập không nhiều, không bao quát hết đợc cácdạng Bài tập phần này không có sức lôi cuốn sự kích thíchhăng say học tập của các em

Trong những năm giảng dạy ở cấp trung học cơ sở ở cảbốn khối lớn Tôi thấy các em phần đa gặp khó khăn khi giảicác bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối Với trách nhiệm của ng -

ời thầy giáo, tôi thấy mình cần giúp các em học tốt hơn trongphần này Tôi đã dành thời gian đọc tài liệu, nghiên cứu thực

tế giảng dạy của bản thân và một số đồng nghiệp Qua sựtìm tòi thử nghiệm, đợc sự giúp đỡ của các bạn đồng nghiệp

Đặc biệt là những bài học sau những năm học ở trờng s phạm.Cùng với sự hớng dẫn tận tình chu đáo của thầy giáo Tống TrầnHoàn giảng viên khoa toán - tin trờng Đại học s phạm I Hà Nội

Tôi mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài: Phơng pháp giải một

số bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

2 - Mục đích nghiên cứu:

- Đề tài này phần nào giúp các em học sinh học tập môn toántốt hơn nóichung và giải các bài tập cha dấu giá trị tuyệt đối nóiriêng Trang bị cho các em học sinh một số phơng pháp giải cácbài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối Bổ sung cho học sinh một sốkiến thức về giá trị tuyệt đối còn thiếu hụt Giúp các em có công

cụ trong việc giải quyết một số bài toán có liên quan

- Gây hứng thú cho học sinh khi làm các bài tập sách giáokhoa, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải đợc một số bài tập

3 - Nhiệm vụ của đề tài:

- Trong đề tài này đa ra một số kiến thức cơ bản về giá trịtuyệt đối phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh trung họccơ sở

tuyệt đối

- Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải toán chứadấu giá trị tuyệt đối áp dụng để làm bài tập

- Rút ra một số nhận xét, chú ý khi áp dụng từng phơngpháp giải

- Chọn lọc, hệ thống một số bài tập hay gặp cho từng

5 - Đối t ợng nghiên cứu:

Đề tài này áp dụng có tác dụng nhất đối với học sinh lớp 8, lớp

9 và trong các buổi ôn tập cuối năm, bồi dỡng học sinh giỏi, ôn tậptốt nghiệp và thi vào phổ thông trung học Đối với các lớp 6, lớp 7

7 - Dự kiến kết quả đề tài:

Khi cha thực hiện đề tài này: Học sinh chỉ giải đợc một sốbài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối đơn giản, hay mắc sai lầm,bài làm thiếu chặt chẽ Ngại làm các bài tập có chứa giá trị tuyệt

đối

Nếu thực hiện đợc đề tài này thì các em có hứng thúhơn khi giải các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối Có phơngpháp phù hợp với từng loại toán này

Hạn chế đợc những sai lầm thờng gặp khi giải toán chứadấu giá trị tuyệt đối Đặc biệt các em tự tin hơn vào bảnthân.

x x x x

;02

x x x

x

A (x) nÕu A(x)  0-A (x) nÕu A(x) < 0

21

min (f(x); g(x)) = [f(x) + g(x) - f(x) - g(x)]

2 Hệ quả:

1) x 0 mọi x  IR; x = 0  x = 02) -x = x

3) -x  x  x; x = x  x  04) x   > 0  x   hoặc x  - 5) x  ( > 0 )  -   x  6) x.y= x.y

7) 8) x2 = x29)

3 Tính chất cơ bản về giá trị tuyệt đối:

x



x

x2 

x - y  x - y  x + y

II - Ph ơng pháp biến đổi các biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối:

1 Mục đích biến đổi:

Biến đổi các biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối là nhằmthay đổi chúng bằng những biểu thức tơng đơng không chứagiá trị tuyệt đối, nói cách khác là nhằm loại trừ các dấu giá trịtuyệt đối khỏi các biểu thức để có thể tiến hành các phéptính đại số quen biết Thông thờng, ta sẽ đợc các biểu thứckhác nhau (không chứa dấu giá trị tuyệt đối) trong nhữngkhoảng khác nhau

2 Ph ơng pháp biến đổi:

Muốn biến đổi các biểu thức có chứa giá trị tuyệt đốinhằm loại bỏ các dấu giá trị tuyệt đối thì nhất thiết phải căn cứvào:

a) Định nghĩa của giá trị tuyệt đối và hệ quả đã nêu ởtrên.

b) Quy tắc về dấu của các nhị thức bậc nhất và các tamthức bậc hai nh sau:

* Nhị thức ax + b (a  0) cùng dấu với a khi x> - , và tráidấu với a khi

x <

-Thật vậy: Gọi x0 là nghiệm của nhị thức ax + b thì x0 = Xét:

-Nếu x > x0 thì x - x0 > 0  > 0  ax + b cùng dấuvới a

Nếu x< x0 thì x - x0 < 0  < 0  ax + b trái dấuvới a

* Tam thức bậc hai ax2 + bx + c (a  0) trái dấu với a trongkhoảng giữa hai nghiệm (nếu có), cùng dấu với a trong mọi tr-ờng hợp khác

0

x x a

b x a

b ax

222

2

x y

y x xy y

x xy

B

a b

a b

22

y x

xy  

tuyệt đối

Tính B12 ta đợc:

Suy ra: B1 = x + y

Vậy B = x + y - (x+y)

Mặt khác do xy  0 nên x, y cùng dấu, suy ra x + y = x+ y

44

2 2 2

2 2

1

y x xy xy y xy x xy

xy xy y xy x y x xy

2 2

2

2

)(2

22

xy y

x y

44

x A

21

32

)2(

x

x x

A

13

2

233

2

21

x x

A

2

3,

2

1 x  x 

32

13

2

21

x x

A

132

323

2

21

x x

A





  1 1

Tãm l¹i: nÕu x  1

nÕu 1 < x < 2

nÕu x  2Bµi 3: Rót gän:

x

3x23

x1x2

3x1x3

x1x2

3x1xB

4bb)

(ab)

(ab

a

2bb)

2(a

b

ab)2(a

ba

2 2

2 2

3x2b

a

2bb)

b)(a2(a

b)4b(a)

b2(a

4b4ab

bc ac c

b a bc

ac c

b a

b a

c b a c

b a

b a c b a

c b

a c c b a

172

2520

4 2    

A

2 2

2 16x 64 2 x 8x 16 x x

23

2

23

x x C

65

x x D

126821

22

2x x  x  x

3

a) Tìm đoạn [a, b] sao cho A(x) có giá trị không đổi trên

x b

a x

21

a a

a a

b B

12

11

14

12

1

14

12

2

2

z xy

x

y xy

x y z

xy

x

y xy

x y

; 25 10

252

x

x x

x y

252

x z

Để giải phơng trình bậc nhất tuỳ ý có chứa giá trị tuyệt

đối Ta biến đổi nó thành một phơng trình tơng đơng khôngcòn chứa dấu giá trị tuyệt đối

Đối với phơng trình bậc nhất dạng A = B trong đó A, B làcác nhị thức bậc nhất thì ta tiến hành giải theo cách sau:

a) Nếu B < 0 thì kết luận phơng trình vô nghiệm

b) Nếu B  0 thì đa về phơng tình A = B hoặc A = -B

c) Nếu cha biết rõ dấu của B thì biến đổi nh sau:

023

2313

023

x x

x

x x

x x

x x

0

x x

0

130

x x x

01

13

01

x x

x

x x

01

02

01

x x x

m x

231

02

x

m x

231

02

1232

m x

m x

m x

m x

3

22

36

3

22

12

28

633

24

21

m m

m m

Đối với phơng trình bậc nhất dạng A = B trong đó A, B

là những nhị thức bậc nhất đối với ẩn số Muốn loại bỏ dấu giá trịtuyệt đối thì phải biến đổi phơng trình đã cho thành phơngtrình tơng đơng sau đây:

m

7

40

m

1

40

m

43

0

m mx

m

70

x x

20052

20052

220052005

20032003

x x

43215

34215

x x

4515

1415

x

x x

x

4115

014

1415

014

x x x x

045

4515

045

x x

x

x x

x x x

NÕu 2  x  3 Do1  4 nªn ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.

NÕu x >3 ph¬ng tr×nh (1)  2x - 5 = 4 2x = 9  x =(tho¶ m·n x > 3)

VT(2) - 7 2x-3 4x - 5 7

NÕu x  - 2 Do -7  2005 nªn ph¬ng tr×nh (2) v« nghiÖm

21

29

2

1

29

tuyệt đối

Nếu-2 < x < 1 phơng trình (2)  2x - 3 = 2005  2x =2008

 x = = 1004 (không thoảmãn)

Nếu 1 x < 3 phơng trình (2)  4x-5 = 2005  4x= 2010 x= =

(Không thoảmãn)

Với mọi m  2; m < 1 hoặc m > 2

- Nếu -2  x  0 thì (m - 1) (-x + x +2) = 3m - 4

Khi m  1 thì nên m = 2 phơng trình vô sốnghiệm

- Nếu x > 0 thì (m - 1) (2x + 2) = 3m - 4

Khi m  1 thì x = đúng với mọi m  2; m < 1hoặc m > 2

22008

4

2010

21005

22

65

21

43







m m

022

D - Ph ¬ng tr×nh quy vÒ ph ¬ng tr×nh bËc nhÊt:

Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh:

a) xx + 3 - x2 + x+ 1 = 1 b) x3 - 3x + 2 =0

 2x = 2  x = 1 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®ang xÐt)

NÕu x < - 3 ph¬ng tr×nh (1)  x(-x-3) = x2 + x + 2  -x2 3x = x2 + x + 2

 (t3 - t) - 2(t - 1) = 0  t (t2 - 1) - 2 (t - 1) = 0

 t (t - 1) (t + 1) - 2 (t - 1) = 0  (t - 1) (t2 + t - 2) = 0

 (t - 1) (t2 + 2t - t - 2) = 0  (t - 1) [t (t + 2) - (t + 2) = 0

04

32

14

34

12.2

0)100(

)100(

2

2

x x

x

x x

1(

0)100)(

1(

2

2

x x

x x

116

101

14

14

1    



113

211

3213

12

0)13

(2

x

31

1

21

x

211

12

5

113

12

x x

83

1

312

x

11113

31

x

Giải: Muốn giải hệ phơng trình trên ta xét các trờng hợp sau

để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối đa về hệ bậc nhất hai ẩn số rồigiải chúng

Xem y là tham số, ta lập bảng biến đổi các giá trị tuyệt

(loại) (loại) Thuộc phạm vi

khoảng xét

Vậy với Ta có 5y - 4 = -2x + 7

 5y - 4 = -2x + 7 hoặc 5 y - 4 = 2x - 7

612

1312

1       



83

4 4 5 3 2

y x

y x

7



 x

 5y + 2x = 11 (1) hoÆc 5y - 2x = -3 (2)L¹i cã: 2y = 3x-7  2y = 3x - 7 hoÆc 2y = -3x + 7

 3x - 2y = 7 (3) hoÆc 3x + 2y = 7 (4)KÕt hîp (1) vµ (2) víi (3) vµ (4) Ta cã 4 hÖ ph¬ng tr×nh t¬ng

115

2

2

73

7

723

115

2

2

73

7

)

(

y x

y x x

y x

y x x

352

2

73

7

723

352

2

73

7

y x

y x x

y x

y x x

73

7

11

5

;11292

73

711132

73

7

1

;32

73

7

x

y x

x x x

y x

x

; 3

y x

y x

88 1

5 7 2 3

5 ) (

y x

y x

3

88 2

21 2

3 5 3

6 1 5

88 1

5 7 2 3

5 )

(

y x

x x

x y

y x

3

88 )

2 ( 21 )

2 3

( 5

y x

x x

5 3

36 36

y

x y

x x

2 3

3

88 ) 2 ( 21 ) 2 3 ( 5

y x

x x

6

56 7

5 3

56 6

3

88 ) 2 ( 21 ) 2 3 ( 5

y x

x x

35 7

5 3

140 36

y

x y

x x

2

; 1

y x

y x

tuyệt đối

G - Hệ ph ơng trình có chứa tham số:

Bài 1: Giải và biện luận hệ phơng trình với tham số m

(1)(2)

Giải: Từ phơng trình (1)  2y = x - m thay vào phơngtrình (2) Ta có:

mx + 2 (x - m) = 1

 mx + 2x = 2m + 1a) Nếu x  0 Ta có: mx + 2x = 2m + 1

 (m + 2) x = 2m + 1 (3)Khi m = -2 phơng trình (3)  0x = -3 (vô lý) do đó hệ vônghiệm

Khi m  -2  Để giá trị này là nghiệm của phơngtrình

b) Nếu x < 0 Ta có - mx + 2x = 2m + 1

 (2 - m) x = 2m + 1 (4)Khi m = 2 phơng trình (4)  0.x = 5 (vô lý) do đó hệ vônghiệm

Khi m  2  x = Do x < 0  < 0  m > 2hoặc

2)

(

y x

m

m y x

A

2

12

2

10

2

12

12

m

m



2

12

m m x

Bµi 2: Cho ph¬ng tr×nh víi tham sè m.

2

m m

m x y

m

m x

x m y x

y x

1

121

y

) 1 ( ) 2 (

tuyệt đối

1) Giải phơng trình đã cho:

2) Phải cho m giá trị nào để có x = 36

3) Tìm những giá trị nguyên của m để có nghiệm x thuộckhoảng (0; 8)

Bài 3: Giải các phơng trình.

1) x3 + x2 + x = x2) x5 + x4 + x3 + x2= 2(x + 1)3)

5

113

4

3x x x

11

51

43

681

23

6,01

11

y x

y x

50075

y x y x

y x

21

-Phơng pháp chung để giải một bất phơng trình bậc nhất

có chứa A trong đó A là biểu thức bậc nhất đối với ẩn số làchuyển tất cả sang vế trái vế phải là số không Tiếp theo là biến

đổi A thành biểu thức tơng đơng không còn dấu giá trị tuyệt

đối, theo quy tắc:

A nếu A  0

-A nếu A < 0Sau đó giải các bất phơng trình không còn có chứa giá trịtuyệt đối trong các khoảng chia Cuối cùng tổng hợp các kết quả

đạt đợc để có toàn bộ nghiệm của bất phơng trình

Trong một số trờng hợp, có thể giải nhanh hơn cách dùng

ph-ơng pháp chung nói trên bởi các biến đổi tph-ơng đph-ơng sau:

1 a) Với a là số dơng, ta có A(x) < a  - a < A(x) < a

Cách 2: Vì hai vế của bất phơng trình đều dơng nên ta bình phơng hai vế của bất phơng trình.

 3x - 2 < 4  (3x - 2)2 < 42

 (3x - 2)2 - 42 < 0

 (3x - 6) (3x + 2) < 0

3x - 6 > 0 3x - 6 < 03x + 2 < 0 3x + 2 > 0

Vậy bất phơng trình có nghiệm là: x (- ; 2)

Bài 2: Giải bất phơng trình:

2x - 1< x + 3Cách 1: Bất phơng trình

32

32





hoặchoặc

tuyệt đối

Cách 2: Bất phơng trình  2x - 1 - x - 3 < 0 (1)Lập bảng biến đổi:

x -  1/2

+ 

VT (1) -2x + 1 -x - 3 2x - 1 - x - 3BPT (1) -3x - 2 < 0 x - 4 < 0

Bài 1: Giải bất phơng trình: x - 1 + x + 2 < 5

Vậy bất phơng trình có nghiệm là: x  (-3; 2)

Bài 2: Giải bất phơng trình: x - x + 2  2 x - 4

 x - 2x - 4 - x + 2  0 (1)

Lập bảng biến đổi:

x - 2x + 8 - x +

2BPT 0x - 6  0 2x - 6  0 -2x + 10  0

Vậy nghiệm của bất phơng trình đã cho là: x  3 và x  5

C - Bất phơng trình có chứa ẩn số ở mẫu thức:

(2)

(2) 2x - 1 > 2x-1 2x - 1 - 2x - 1 > 0Lập bảng biến đổi:

x -  1/2 1

+

2x - 1  1 - 2x 0 2x -1 2x -1

-2x - 1 2x - 2 2x - 2 0 -2x + 2(2)  -1 > 0 4x - 3 > 0 1 > 0

Nghiệm Vô nghiệm 4/3 < x < 1 Luôn đúngVậy bất phơng trình có nghiệm là T = (3/4 ; 1)  (1; +)

D Bất phơng trình có tham số:

Nhắc lại lý thuyết cơ bản:

2 1

1 2







x x

tuyệt đối

1) Để giải và biện luận một bất phơng trình bậc nhất với

ẩn số x có tham số m ta thực hiện những biến đổi tơng

đ-ơng để đa bất phđ-ơng trình về dạng ax > b (ax < b) trong đó

a, b là những biểu thức phụ thuộc vào tham số m Muốn chiahai vế của bất phơng trình nói trên cho a thì phải biết dấucủa a vì vậy phải xét các trờng hợp a > 0; a < 0; a = 0

2) Để loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối thì vẫn phải dựa vàoviệc biến đổi các biểu thức theo quy tắc:

A nếu A  0 -A nếu A < 0Trong những trờng hợp phức tạp có nhiều giá trị tuyệt đốithì nên dùng phơng pháp lập bảng biến đổi

Bài 1: Giải và biện luận bất phơng trình (m - 1)x

+ Nếu m < 1  m - 1 < 0 và (2)  x> = - (m +1)

 x > - (m + 1) hoặc x < m + 1Vậy bất phơng trình (1) có tập nghiệm là:

m

m



1

12

{A} =



m > 1

m < - 1

1

431

431

43

m m

m x

m

m x m

m m

m x

431

43

 A =

T =

2 1

tuyệt đối

x2 - 3x - 1 + 2x - 1= 0

x2 - 3x - 1 + 2x - 1 = 0 nếu x  x2 - x - 2 = 0nếu x 

 t2 + 4t + 4 - 2(m-1)t - 4(m-1) + 2m - mt = 0

 t2 - 2(m-3) t + 8 - 2m - m t = 0 (*)

(I)

2

1

21

2

1

21

5

;021

2

;1

x

x x

x

x x

m

t 2

02

2)

1(2

m

t m

(a) (II) (b) Phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khiphơng trình (*) có nghiệm duy nhất.

Xét phơng trình (b) của hệ (II):

Rõ ràng t = -2 < 0 là nghiệm của phơng trình (*) nên đểphơng trình (*) có nghiệm duy nhất thì cần phải có:

* Nếu m = 2 thì phơng (a) trở thành t2 + 4 = 0 phơngtrình này vô nghiệm nên hệ (I) vô nghiệm Do đó phơngtrình (*) có nghiệm duy nhất và m = 2 là một giá trị cần tìm

* Nếu m  4 thì phơng trình (a) có một nghiệm không âm,vì P = 8 - 2m  0, nên hệ (I) có một nghiệm t  0 mà hệ (II) vẫn cónghiệm t = - 2 Từ đó suy ra phơng trình (*) có hai nghiệmphân biệt nên các giá trị m  4 không phải là các giá trị cầntìm Vậy các giá trị cần tìm là m = 0; m = 2

B - Phơng trình dạng: ax 2 + + bx + c + A+B = 0

Bài 1: Giải phơng trình: x2 3x + 1 + x + 1 2 3x = 0 (1)

-a) Nếu x  -1 (1)  x2 - 3x + 1 - x - 1 + 3x - 2 = 0

 x2 - x - 2 = 0

 x = - 1; x = 2Chỉ có x = -1 là thoả mãn

)4)(

2()(

m t

t m

t t

4

24

m

m m

m