4. Diện tích đa giác và tỉ số diện tích
1.2. Một số kiến thức thường dùng
1. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, hình chiếu thường được sử dụng dưới dạng:
- Trong tam giác vuông (có thể suy biến thành đoạn thẳng) có cạnh góc vuông AH và cạnh huyền AB thì AH ≤ AB, xãy ra dấu bằng khi và chỉ khi H trùng với B.
- Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn vuông góc với đường thẳng có độ dài nhỏ nhất.
- Trong các đoạn thẳng nối hai điểm thuộc hai đường thẳng song song,
đoạn thẳng vuông góc với hai đường thẳng song song có độ dài nhỏ nhất.
- Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến cùng một đường thẳng,
đường xiên lớn hơn khi hình chiếu của nó lớn hơn.
Ví dụ 2: Trong hình bình hành có hai đường chéo bằng 6cm, và 8cm,
hình nào có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn nhất đó.
Ví dụ 3: Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy theo thứ tự các điểm E, F, G, H sao cho AE=BF=CG=DH. Xác định vị trí của các điểm E, F, G, H sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.
Ví dụ 4: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a. Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By vuông góc với AB. Qua trung điểm M của AB có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D.
Xác định vị trí của các điểm C, D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất. Tính diện tích nhỏ nhất đó.
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC cóBb là góc tù, điểm D di chuyển trên cạnh BC. Xác định ví trí của điểm D sao cho tổng các khoảng cách từ B và C
đến đường thẳng AD có giá trị lớn nhất.
2. Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc. Quan hệ giữa
đoạn thẳng và đường gấp khúc được sử dụng dưới dạng:
- Víi ba ®iÓm bÊt k× A, B, C ta cã: AC+CB ≥ AB AC+CD=AB ⇔ C thuộc đoạn thẳng AB.
Độ dài đoạn thẳng nối hai điểm A và B ngắn hơn độ dài đường gấp khúc có hai đầu là A và B.
Ví dụ 6: Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó. Xác định điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho OB=OC và tổng AB+AC là nhỏ nhÊt.
Hướng giải: Ta viết tổng AB+AC dưới dạng "thuận lợi" hơn. Chú ý đến
điều kiện OB=OC, ta "quay" tam giác AOB quanh O sao cho OB trùng OC.
H×nh 1
Kẻ tia Om nằm ngoài góc xOy sao cho yOm[ = xOA[. Trên tia Om lấy điểm D sao cho OD=OA'. Các điểm A và D cố định.
∆DOC = ∆AOB (c,g,c) ⇒ CD = AB. Do đó: AC + AB = AC + CD. Ta lại có AC + CD ≥ AD (độ dài AD không đổi Xãy ra đẳng thức khi và chỉ khi C thuộc đoạn thẳng AD.
B thuéc tia Ox sao cho OB=OC.
Nhận xét về phương pháp giải: Trong cách giải trên, đoạn thẳng BA đã
được "đổi phía" đối với Oy thành đoạn CD. Tổng AC+AB được viết dưới dạng AC+CD với A và D cố định. Bất đẳng thức tam giácAC+CD ≥ AD giúp ta giải được bài toán.
3. Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn. Các bất đẳng thức trong
đường tròn được thể hiện trong các định lí:
- Đường kính là dây lớn nhất của đường tròn.
- Trong hai dây của một đường tròn, dây lớn hơn khi và chỉ khi khoảng cách đến tâm nhỏ hơn.
- Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâm lớn hơn.
- Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trương cung lớn hơn.
Ví dụ 7. Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến chung bất kì CBD (B nằm giữa C và D) cắt các đường tròn (O) và (O') tại C và D. Xác định vị trí của cát tuyến CBD để tam giác ACD có chu vi lín nhÊt.
Giải: Ta thấy số đo các góc của tam giác ACD không đổi. Thật vậy sdCb = 1/2sdz }| {
AmB, sdDb = 1/2sdz }| { AnB
H×nh 3
Do nhận xét trên, ∆ACD có chu vi lớn nhất khi có một cạnh của nó, chẳng hạn AC là lớn nhất. Cạnh AC là dây của đường tròn (O). Do
đó AC lớn nhất khi AC là đường kính của đường tròn (O), khi đó AD là đường kính của đường tròn (O'), cát tuyến CBD ở vị trí C'BD' vuông góc với dây chung AB.
Nhận xét về phương pháp giải:
a) Trong cách giải trên ta đã sử dụng nhận xét: Nếu một tam giác có số
đo các góc không đổi thì chu vi của nó lớn nhất khi một cạnh của nó lớn nhÊt.
b) Cũng có thể chứng minh rằng chu vi ∆ACD lớn nhất khi AC lớn nhất bằng cách sau:
∆ACD ∼ ∆AOO0(g.g) ⇒ cvACD
cvAOO0 = AC
Do chu vi AOO' và AO không đổi nên chu vi ACD lớn nhất khi và chỉAO khi AC lín nhÊt.
4. Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai. Các bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai được sử dụng dưới dạng:
A2 ≥ 0;−A2 ≤ 0 Do đó với m là hằng số, ta có:
f = A2 +m ≥m;minf = m ⇔A = 0 f = −A2 +m ≤ m;maxf = m ⇔A = 0
Ví dụ 8. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm. Trên các cạnh AB, BC, CD, Da, lấy theo thứ tự các điểm E, F, G, H sao cho AE=BF=CG=DH.
Tính độ dài AE sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất.
H×nh 1
Dễ thấy HE=EF=FG=GH (tứ giác EFGH còn là hình vuông) nên chu vi EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi HE nhỏ nhất.
Đặt AE=x thì HA=EB=4-x. Xét tam giác HAE vuông theo định lí Pitago:
HE2 =
AE2 + HA2
= x2 + (4−x)2
= x2 + 16−8x+ x2
= 2(x−2)2 + 8 ≥ 8 HE = √
8 = 2√
2⇔ x = 2. Chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất bằng 8√ 2 cm, khi đó AE=2cm.
Nhận xét về phương pháp giải: Bài toán trên có thể giải bằng cách biểu thị chu vi hình vuông EFGH theo OE (O là tâm chung của hai hình vuông EFGH và ABCD) rồi xác định vị trí của E để độ dài OE nhỏ nhất.
5. Sử dụng bất đẳng thức Cô si. Bất đẳng thức Cô si và các hệ quả của nó được sử dụng trong các bài toán cực trị hình học bằng cách biểu thị hai
độ dài thay bởi hai biến x, y.
Bất đằng thức Cô si thể hiện quan hệ giữa tổng của hai số không âm và tích của chúng: Trung bình cộng của hai số không âm không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng.
x+y 2 ≥√
xy hay (x+y)2 ≥4xy
Xảy ra dấu bằng khi và chỉ khi x=y. Bất đẳng thức Cô si thường được dùng dưới dạng sau:
Dạng 1: x2 +y2 ≥ (x+ y)2
2 ≥ 2xy. Dấu bằng xãy khi x=y.
Dạng 2: x2 + y2
xy ≥4; xy
(x+y)2 ≥ 1 4. x2 +y2
(x+y)2 ≥ 1
2;(x+ y)2
x2 +y2 ≥ 2. Xảy ra dấu bằng khi x=y.
Dạng 3: Nếu tổng của hai số không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.
Dạng 4: Nếu hai số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số ấy bằng nhau.
Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy. Vẽ các đường tròn có đường kính MA và MB. Xác định vị trí của điểm M để tổng diện tích của hai hình tròn có giá trị nhỏ nhất.
Giải: Đặt MA=x, MB=y, ta có x+y=AB ()<x,y<AB).
Gọi S và S' theo thứ tự là diện tích của hai hình tròn có đường kính là MA và MB.
Ta cã: S +S0 = π(x
2)2 +π(y
2)2 = π.x2 +y2 4 Ta có bất đẳng thức x2 +y2 ≥ (x+y)2
2 nên:
S +S0 ≥ π(x+y)2
8 = π.AB2 8 .
Xảy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi x=y. Do đó min(S+S')=π.AB2 8 , khi
đó M là trung điểm của AB.
Nhận xét về phương pháp giải: Trong cách giải trên, ta đã sử dụng bất
đẳng thức Cô si dạng 1.