Phương pháp hàm truyền đạt chuyển quan hệ phương trình vi phân thành quan hệ phân thức đại số nhờ phép biến đổi Laplace, trong khi đó phương pháp không gian trạng thái biến đổi phương[r]
Trang 1LÝ THIẾT
ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
GVTH: Võ Văn Định
NĂM 2009
Trang 2CHƯƠNG 2: MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU
KHIỂN LIÊN TỤC
2.1 Khái niệm
2.2 Hàm truyền đạt và đại số sơ đồ khối
2.3 Sơ đồ dòng tín hiệu
2.4 Phương pháp không gian trạng thái
2.5 Tóm tắt
Trang 3dạng và có bản chất vật lý khác nhau như hệ thống điều
khiển động cơ, lò nhiệt, máy bay, phản ứng hóa học …
Tổng quát quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ
thống tuyến tính có thể biểu diễn bằng phương trình vi
phân bậc cao Việc khảo xác hệ thống dựa vào phương
trình vi phân bậc cao thường gặp nhiều khó khắn
Do đó, cần có cơ sở để phân tích, thiết kế các hệ thống
điều khiển có bản chất vật lý khác nhau, cơ sở đó chính là
toán học
Trang 42.1 KHÁI NIỆM
Có hai phương pháp mô tả toán học hệ thống tự động
giúp cho việc khảo sát hệ thống dễ dàng hơn là:
- Phương pháp hàm truyền đạt
- Phương pháp không gian trạng thái
Phương pháp hàm truyền đạt chuyển quan hệ phương
trình vi phân thành quan hệ phân thức đại số nhờ phép
biến đổi Laplace, trong khi đó phương pháp không gian
trạng thái biến đổi phương trình vi phân bậc cao thành hệ
Trang 5Cho f(t) là hàm xác định với mọi t 0, biến đổi Laplace của f(t) là:
( ) ( ) (2.1) )
(
0
s
Trong đó:
s: là biến phức (biến Laplace) s = + j
L : là toán tử biến đổi Laplace
F(s): là ảnh của hàm f(t) qua phép biến đổi laplace
Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân ở biểu thức ở biểu thức
định nghĩa (2.1) hội tụ
a Định nghĩa:
Trang 6 Tính tuyến tính
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
a1 f1( t ) a2 f2( t ) a1 F1( s ) a 2 F2( s ) (2.2)
L
b Tính chất của phép biến đổi Laplace
Nếu hàm f 1 (t) có biến đổi Laplace là L{f 1 (t)} = F 1 (s) và hàm f 2 (t)
có là L{f 2 (t)} = F 2 (s)
Trang 7 Ảnh của đạo hàm
(2.3)
) 0 ( )
(
)
f s
sF dt
t df
L
b Tính chất của phép biến đổi Laplace
Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace là L{f(t)} = F(s) thì:
Trong đó f(o + ) là điều kiện đầu
Nếu điều kiện đầu bằng 0 thì:
(2.4)
) (
)
(
s
sF dt
t
df
L
Trang 8 Ảnh của tích phân
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
(2.5)
)
( )
(
s
F d
f
t
L
b Tính chất của phép biến đổi Laplace
Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace là L{f(t)} = F(s) thì:
Trang 9 Định lý chậm trễ
f ( t T ) eTs L f ( t ) eTs.F(s) (2.6) L
b Tính chất của phép biến đổi Laplace
Nếu f(t) được làm trễ một khoảng thời gian T, ta có f(t-T), khi đó:
f(t)
t
f(t-T)
T
t
Trang 10 Định lý giá trị cuối
2.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
(2.7)
) ( lim
) (
lim
t
f
s
t
b Tính chất của phép biến đổi Laplace
Nếu hàm f(t) có biến đổi Laplace là L{f(t)} = F(s) thì:
Trang 11c Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
Khi khảo sát hệ thống tự động người ta thường đặt tín hiệu vào là các tín hiệu cơ bản
Các tín hiệu cơ bản là: hàm nấc, hàm mũ, hàm sin…
Trang 122.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
c Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
Hàm xung đơn vị (hàm dirac)
Hàm xung đơn vị thường được sử dụng
để mô tả nhiễu tác động vào hệ thống
dt t
(t)
0
t
Trang 13c Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
Hàm xung đơn vị (hàm dirac)
Hàm xung đơn vị thường được sử dụng
để mô tả nhiễu tác động vào hệ thống
0
0
0 )
(
t khi
t
khi t
dt t
thỏa
(t)
0
t
Theo định nghĩa:
0
0
0 0
0 0
dt
e t dt
e t dt
e t
L
( ) 1
Trang 142.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
c Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
Hàm nấc đơn vị
Trong các hệ thống điều khiển ổn định hóa, tín hiệu vào có dạng hàm nấc đơn vị
(2.10)
0
0
0
1 )
(
t khi
t
khi t
u
Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace:
u(t) 1 0
t
Trang 15c Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
Hàm dốc đơn vị
Hàm dốc đơn vị thường sử dụng làm tín hiệu vào để khảo sát hệ thống điều khiển theo dõi
(2.12)
0
0
0
)
( )
(
t khi
t khi
t t
u t t
f
Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace:
0
2 0
0
1
.
).
( )
(
s s
e s
e
t dt
e t dt
e t f t
f
st st
st st
L
12 (2.13)
s f(t)
L
f(t) 1 0
t 1
Trang 162.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.1 Phép biến đổi Laplace
c Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
Hàm mũ
(2.15)
0
0
0
)
( )
(
t khi
t khi
e t
u e
t
f
at at
Theo định nghĩa phép biến đổi Laplace:
e a s t
1
) (
L
f(t) 1 0
t
Trang 17c Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản
Hàm sin
(2.17)
0
0
0
t
sin )
( ).
(sin )
(
t khi
t
khi t
u t t
Theo định nghĩa ta có:
0
1 1
2
1
2
) ( ).
(sin
s j
s j
s j
dt
e j
e
e t
u
t j t
j
L
2 2 (2.18)
s f(t)
L
Từ công thức Euler ta có:
j
e
e t
t j t
j
2 sin
f(t)
0
t 1
Trang 182.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
a Định nghĩa:
1
d c t d c t dc t
Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống tuyến tính bất biến lên tục đều có thể mô tả bởi phương trình vi phân hệ số hằng:
Hệ thống
Tín hiệu vào Tín hiệu ra
Trang 19a Định nghĩa:
Hệ thống được gọi là hợp thức nếu n m, hệ thống được gọi là không hợp thức nếu n < m chỉ có các hệ thống mới tồn tại trong thực tế
Trong đó các hệ số ai = (0n) và bj= (0m) là thông số của hệ thống (a0 0; b0 0); n là bậc của hệ thống
Khảo sát hệ thống dựa vào phương trình vi phân (2.19) rất khó khăn, nhờ vào phép biến đổi Laplace ta khảo sat hệ thống một cách dễ dàng
Trang 202.2 HÀM TRUYỀN ĐẠT VÀ ĐẠI SỐ SƠ ĐỒ KHỐI
2.2.2 Hàm truyền đạt
a Định nghĩa:
) ( )
(
) ( )
(
1
1 1
0
1
1 1
0
s R b
s b
s b s
b
s C a
s a
s a s
a
m m
m m
n n
n n
Giả sử điều kiện đầu bằng 0, biến đổi Laplace hai vế phương
trình (2.19) ta được:
m m
b s
b s
b s
b s
C ( ) 1