Tài liệu Cơ sở lý thuyết về phân tích động học vật rắn không gian ppt

Hình 2.3 Các phép quay quanh trục x, y, z của hệ tọa độ vuông góc Oxyz được gọi là phép quay cơ bản.. Ta tìm ma trận quay của phép quay quanh trục x0 một góc ϕ Hình 2.4... 2.4 Các góc q

CƠ SỞ LÝ THUYẾT CHUNG VỀ PHÂN TÍCH ĐỘNG HỌC VẬT

RẮN KHÔNG GIAN

2.1 Ma trận cosin chỉ hướng

2.1.1 Định nghĩa ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn

Cho vật rắn B và hệ qui chiếu R0={ (0) (0) (0)}

1 , 2 , 3

er er er Trong đó (0)

1

er , (0) 2

er , (0) 3

er

là ba vector đơn vị trên các trục Ox0,Oy0,Oz0 Ta gắn chặt vào vật rắn một hệ

qui chiếu R={e e er r r với 1, ,2 3} er ,1 er ,2 er là ba vector đơn vị trên các trục 3

Ax,Ay,Az (Hình 2.1)

Hình 2.1

Định nghĩa : Ma trận vuông cấp ba

=

A

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

được gọi là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B đối với hệ qui chiếu R0

Nếu ta đưa vào ký hiệu :

(0) cos( (0), )

ij i i i i

a =e er r = er er , (i,j = 1,2 3) (2.2) Thì ma trận cosin chỉ hướng (2.1) có dạng:

=

A

O

e(0)3

(0)

e1

e(0)2

e3

e1

e2

X

Z

Y

X

B A

0

0

Y

Y 1

X 1

Từ định nghĩa trên, trong hệ qui chiếu R0 ta có các hệ thức liên hệ:

e a e a e a e

e a e a e a e

e a e a e a e

(2.4)

Nếu ta ký hiệu ei là ma trận cột gồm các phần tử của vector er trong hệ i

qui chiếu R0

1=

e

11 21 31

a a a

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ , e2 =

12 22 32

a a a

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦ , e3=

13 23 33

a a a

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

Thì ma trận cosin chỉ hướng (2.3) có dạng:

Ma trận cosin chỉ hướng A còn được gọi là ma trận quay của vật rắn

2.1.2 Một vài tính chất cơ bản của ma trận cosin chỉ hướng

a) Tính chất 1: Ma trận cosin chỉ hướng là ma trận trực giao

Theo công thức (2.6) :

A=[e1,e2,e3]

Vậy ma trận cosin chỉ hướng A là ma trận cột có ba cột là ba vector trực

chuẩn Do đó A là ma trận trực giao

Hệ quả: Trong 9 thành phần của ma trận cosin chỉ hướng có 3 thành

phần độc lập

Do tính chất của ma trận cosin chỉ hướng là ma trận trực giao nên

A.A T =E Từ đó nhận được 6 phương trình liên hệ giữa các thành phần của

ma trận cosin chỉ phương như sau:

1 1 1

,

11 12 21 22 31 32

11 13 21 23 31 33

12 13 22 23 32 33

0 0 0

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

Do vậy chỉ có ba thành phần của ma trận cosin chỉ hướng là độc lập

b) Tính chất 2: Định thức của ma trận cosin chỉ hướng det(A)=1

Từ hệ thức A.A T = E ta suy ra:

det(A.A T ) = det(A).det(A T ) = det(E) = 1

c) Tính chất 3 : Ma trận cosin chỉ hướng có ít nhất một trị riêng λ1= 1

2.1.3 Ý nghĩa của ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn

Xét hai hệ qui chiếu R0 và R có cùng gốc O Trong đó hệ qui chiếu R0 ≡

Ox0y0x0 là hệ qui chiếu cố định, hệ qui chiếu R ≡ Oxyz gắn liền với vật rắn

B Lấy một điểm P bất kỳ thuộc vật rắn B Vị trí của điểm P được xác định

bởi vector định vị OP ruuur r= P (Hình vẽ 2.2)

Hình 2.2

Ký hiệu các tọa độ của điểm P trong hệ qui chiếu động Oxyz là xP, yP, zP,

các tọa độ của điểm P trong hệ qui chiếu cố định Ox0y0z0 là (0)

P

x , (0)

P

y , (0)

P

z

Ta có các hệ thức sau :

(0) (0) (0) (0) (0) (0)

Thế các biểu thức (2.4) vào hệ thức (2.8) ta được :

P P

rr = x a er +a er +a er + (0) (0) (0)

P

(0) (0) (0)

P

z a er +a er +a er

Hay :

rr = a x +a y +a z er +

( a x P +a y P +a z e )P r + (2.11) (0)

( a x P +a y P +a z e )P r

e 3

(0)

e 2

(0)

e 1

(0)

e 3

e 1

e 2

Z

Y

Y

X

0

Z0

X0

P

B

Y

X

O

θ

Ψ ϕ

So sánh các biểu thức (2.7) và (2.11) ta suy ra hệ phương trình :

(0)

x =a x +a y +a z

(0)

y =a x +a y +a z (2.12) (0)

z =a x +a y +a z

Hệ phương trình (2.12) có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau :

(0)

(0)

(0)

P P

z

=

⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥

(2.13)

Từ hệ phương trình (2.13) ta rút ra kết luận sau : Ma trận cosin chỉ hướng

A biến đổi các tọa độ của điểm P bất kỳ thuộc vật rắn trong hệ qui chiếu động Oxyz sang các tọa độ của điểm P đó trong hệ qui chiếu cố định Ox0

-y0z0

2.2 Các ma trận quay cơ bản

Ta qui ước hướng quay dương là hướng quay ngược chiều kim đồng hồ như hình vẽ (Hình 2.3)

Hình 2.3

Các phép quay quanh trục x, y, z của hệ tọa độ vuông góc Oxyz được gọi là phép quay cơ bản

Ta tìm ma trận quay của phép quay quanh trục x0 một góc ϕ (Hình 2.4)

Hình 2.4

Theo công thức định nghĩa (2.1) ta có:

0

x A

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

ϕ

r r r r r r (2.14)

0( )ϕ

x

0 sin cos

(2.15)

Ma trận (2.15) được gọi là ma trận quay của phép quay cơ bản quanh trục x0

Bằng cách tương tự, ta xác định được các ma trận quay cơ bản quanh các

trục y0 và z0 (Hình 2.5)

0( )ψ =

y

A

cos 0 sin

sin 0 cos

, A z0( )θ =

−

(2.16)

Từ các công thức (2.15) và (2.16) ta dễ dàng tính được:

detA x ( ) detϕ = A y ( ) detψ = A z ( )θ (2.17)

e2

Z Z

Y

O

0

0

Z

e2(0)

e3 (0)

3

e

ϕ

Hình 2.5

2.3 Các tọa độ thuần nhất và ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất

Khái niệm toạ độ thuần nhất được Denavit Hartenberg đưa ra năm 1955,và

hiện nay đang được dùng rất rộng rãi trong tính toán động học robot

2.3.1 Các toạ độ thuần nhất

Định nghĩa: Cho X={x1,x2, xn} là một điểm trong không gian n chiều Rn Tập

hợp (n+1) phần tử (y1,y2, yn,yn+1) với (yn+1 ≠0) và:

n

y

Gọi là toạ độ thuần nhất của X

Trong kỹ thuật,người ta thường chọn (yn+1=1)

Vậy điểm P(x,y,z) trong toạ độ vật lý R3 được biểu diễn trong toạ độ thuần

nhất R4 như sau:

P=[x,y,z]T ⇔ P=[x,y,z,1]T

Trong R3 Trong toạ độ thuần nhất R4

Nhờ khái niệm toạ độ thuần nhất trong không gian 4 chiều ta có thể chuyển

bài toán cộng ma trận cột trong không gian ba chiều sang bài toán nhân ma trận

trong không gian bốn chiều Cho ar và b r

là hai vector trong không gian ba chiều, ta có:

e e

O

2

θ

1 (0) 1

0

Y Y

2 (0)

O

1 (0)

3 (0)

0

Z

e

Z

X

Ψ

3

e

1

e

a+b=

+

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢+ = + ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ + ⎥

(2.19)

Ta chuyển phép tính cộng (2.19) bằng phép tính nhân hai ma trận như sau:

3

1 0 0

0 1 0

0 0 1

a

+

2.3.2 Ma trận biến đổi toạ độ thuần nhất

Xét vật rắn B chuyển động trong hệ qui chiếu cố định OX0Y0 Z0 Lấy một

điểm A nào đó của vật rắn B và gắn chặt vào vật rắn hệ qui chiếu AXYZ (Hình

2.6) Lấy P là một điểm bất kỳ thuộc vật rắn B Trong hệ toạ độ vật lý OX0Y0

Z0 ta có:

Hình 2.6

rrP = +rrA sr AP (2.21)

Phương trình (2.21) có thể viết dưới dạng ma trận như sau:

r r r

⎠⎝ ⎠

(2.22)

O

X0

Z0

Y0

Y

X

Z

P

3

(0)

e1

e3

(0)

e2

e1

rA

e2

rP

SAP

Trong đó R là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B,s s s là toạ độ x, ,y z

của vectơ sr trong hệ qui chiếu AP A Nếu sử dụng hệ các toạ độ thuần nhất xyz

phương trình (2.22) có thể được viết lại dưới dạng:

(0) (0)

1

x

y

A z P

s

s

z

(2.23)

Định nghĩa: Ma trận

H =

(0)

(0)

(0)

A

A

A

(2.24)

được gọi là ma trận chuyển toạ độ thuần nhất của điểm P từ hệ Axyz sang hệ

Ox0y0z0

Các ma trận quay cơ bản thuần nhất và ma trận tịnh tiến thuần nhất:

Các ma trận quay cơ bản (2.15), (2.16) mở rộng ra trong hệ toạ độ thuần nhất

bốn chiều có dạng như sau:

A x0(ϕ)=

(2.25)

A y0(ψ)=

(2.26)

A z0(θ)=

−

(2.27)

Ngoài ra ta đưa vào khai niệm ma trận tịnh tiến thuần nhất có dạng:

T(a,b,c)=

1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 0 0 1

a b c

(2.28)

Trong đó ta thực hiện chuyển động tịnh tiến theo trục toạ độ x một doạn là a,

theo trục toạ độ y một đoạn b, theo trục toạ độ z một đoạn c

2.4 Các góc quay Euler và ma trận quay Euler

2.4.1 Xác định ma trận cosin chỉ hướng từ các góc Euler

Vị trí của vật rắn B quay quanh điểm O cố định được xác định bởi hệ qui

chiếu động Oxyz (gắn chặt vào vật rắn B) đối với hệ qui chiếu cố định

Ox0y0z0 (Hình 2.7) Giả sử giao của mặt phẳng Ox0y0 và mặt phẳng Oxy là

trục OK Trục OK này được gọi là đường nút

Hình 2.7

Ta đưa vào các ký hiệu sau :

- Góc giữa trục Ox0 và OK là ψ

- Góc giữa trục Oz0 và Oz là θ

- Góc giữa trục OK và Ox là ϕ

Ba góc ψ θ ϕ, , được gọi là góc Euler Như thế, vị trí của vật rắn B đối với

hệ qui chiếu cố định được xác định bởi ba tọa độ suy rộng ψ θ ϕ, , Phương

trình chuyển động của vật rắn quay quanh một điểm cố định có dạng:

(t)

ψ ψ= ; θ θ= (t) ; ϕ ϕ= (t) (2.29)

Từ đó suy ra, vật rắn quay quanh một điểm cố định có ba bậc tự do

K

0 X

X O

Z

Z0

0 Y

Y

θ

Ψ ϕ

Khi xác định vị trí của vật rắn bằng các góc Euler, ta có thể quay hệ qui

chiếu cố định Ox0y0z0 sang hệ qui chiếu động Oxyz bằng ba phép quay Euler

như sau (Hình 2.8):

Hình 2.8

- Quay hệ qui chiếu R0≡ Ox0y0z0 quanh trục Oz0 một góc ψ để trục Ox0

chuyển tới đường nút OK Với phép quay này, hệ Ox0y0z0 chuyển sang hệ

Ox1y1z1 với Oz0≡ Oz1

- Quay hệ qui chiếu R1≡ Ox1y1z1 quanh trục Ox1 ≡ OK một góc θ để trục

Oz0 ≡ Oz1 chuyển tới trục Oz2≡ Oz Như thế hệ qui chiếu Ox1y1z1 chuyển

sang hệ qui chiếu Ox2y2z2 với Ox1≡ Ox2≡ OK

- Quay hệ qui chiếu R2≡ Ox2y2z2 quanh trục Oz2≡ Oz một góc ϕ để trục

Ox2≡ OK chuyển tới trục Ox Với phép quay này hệ qui chiếu Ox2y2z2

chuyển sang hệ qui chiếu Oxyz với Oz2 ≡ Oz

Như thế, bằng phép quay Euler quanh trục Oz0 một góc ψ , quanh trục OK

một góc θ, quanh trục Oz một góc ϕ, hệ qui chiếu Ox0y0z0 chuyển sang hệ

qui chiếu Oxyz

Các ma trận quay ứng với các phép quay Euler có dạng:

0( )ψ =

z A

−

(2.30)

( )θ =

K A

0 cos sin

0 sin cos

(2.31)

X

O

Ψ

Z

ω

0

X 1

0

Y

Y

1

≡ Κ

Ψ

≡ Ζ1

≡ X

ωθ

O

1

Y

Y 0

Z1

Z

2

θ

X

X 2

ϕ

0

( )ϕ =

z A

−

(2.32)

Bây giờ ta xác định ma trận quay hệ qui chiếu Ox0y0z0 sang hệ qui chiếu

Oxyz (cũng là ma trận cosin chỉ hướng của hệ qui chiếu Oxyz đối với hệ qui

chiếu Ox0y0z0) Ta lấy P là một điểm bất kỳ của vật rắn B và ký hiệu AE là

ma trận quay nêu trên

Theo công thức (2.13) ta có :

(0) (0) (0)

P

P

P

x y z

=

E A

P

P

P

x y z

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ (2.33)

Ta ký hiệu ( )i , ( )i , ( )i

P P P

x y z là tọa độ của điểm P trong hệ qui chiếu Ri ≡ Oxiyizi

(i=1,2) Theo công thức (2.13) ta cá các hệ thức sau:

(2)

(2)

(2)

P

P

P

x

y

z

=

( )ϕ

Z

A

P

P

P

x y z

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ ,

(1) (1) (1)

P

P

P

x y z

⎡ ⎤

⎢ ⎥

=

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

( )θ

K A

(2) (2) (2)

P

P

P

x y z

,

(0) (0) (0)

P

P

P

x y z

=

0( )ψ

Z A

(1) (1) (1)

P

P

P

x y z

(2.34)

Từ đó ta suy ra :

(0) (0) (0)

P

P

P

x y z

=

0( )ψ ( )θ ( )ϕ

P

P

P

x y z

⎡ ⎤

⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎢ ⎥ (2.35)

So sánh các biểu thức (2.33) và (2.35) ta suy ra biểu thức ma trận cosin chỉ

hướng :

0( )ψ ( )θ ( )ϕ

=

Hay:

A E=

(2.37)

E

A

cos cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin sin

sin cos cos cos sin sin sin cos cos cos cos sin (2.38)

Ma trận cosin chỉ hướng (3.38) được gọi là ma trận quay Euler

2.4.2 Xác định các góc Euler từ ma trận cosin chỉ hướng

Ma trận cosin chỉ hướng có dạng :

=

A

(2.39)

Ta có:

cos( ) θ = a33,sin( ) θ = ± − 1 a332

cos( ) 23 ,sin( ) 13

sin( ) sin( )

cos( ) 32 ,sin( ) 31

sin( ) sin( )

Khi θ = n.π (n=1,2,3, ) thì cos ( ) 1,sin( ) 02 θ = θ = việc tính toán sẽ rất

khó khăn, vì thế người ta phải tìm cách xác định vật rắn bởi nhiều loại tham

số khác nhau

2.5 Phép quay Roll - Pitch - Yaw

Một phép quay khác cũng thường được dùng là phép quay Roll, Pitch và

Yaw, gọi tắt là phép quay RPY

Hãy tưởng tượng, gắn hệ tọa độ xyz lên thân một con tàu Dọc theo thân

tàu là trục z (Hình 2.9)

Hình 2.9

Roll là chuyển động lắc của thân tàu, tương đương với việc quay thân tàu một góc ϕ quanh trục z

Pitch là sự bồng bềnh, tương đương với góc quay θ quanh trục y

Yaw là sự lệch hướng, tương đương với phép quay một góc ψ quanh trục

x

Xác định thứ tự quay : quay một góc ψ quanh trục x, tiếp theo là quay một góc θ quanh trục y và sau đó là quay một góc ϕ quanh trục z

Theo thứ tự đó có thể biểu diễn phép quay RPY như sau:

A RPY =A Z( )ϕ A Y( )θ A Z( )ψ (2.41) Với :

A X( )ψ

0 sin cos

A Y( )θ =

cos 0 sin

sin 0 cos

A Z( )ϕ =

−

Thay vào công thức (2.41) ta được :

X

Y

Z Yaw

Roll

Pitch

Ψ

ϕ

θ

RPY

A

−

Hay :

=

RPY

A

cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin sin

s s s c c

2.6 Vận tốc góc của vật rắn

2.6.1 Định nghĩa

Vận tốc góc của vật rắn là một trong những khái niệm cơ bản nhất trong

động học

Xét vật rắn B chuyển động đối với hệ qui chiếu R0 như hình vẽ (Hình 2.10) Lấy cr là một vector tùy ý khác không thuộc vật rắn B Do

2

( )cr =const nên đạo hàm theo t biểu thức này ta được c.dc 0

dtr =

r Như thế

dc

dt

r

là một vector vuông góc với vector cr

Hình 2.10 Mặt khác tích có hướng của hai vector có dạng a c br r× = r Trong đó vector

br

vuông góc với mặt phẳng chứa hai vector ar và cr Những nhận xét đó gợi

ý cho chúng ta xây dựng khái niệm vector vận tốc góc của vật rắn như sau

Định nghĩa:

Vận tốc góc của vật rắn B đối với hệ qui chiếu R0 là một vector, ký hiệu là

ωr sao cho :

R X

B

0

0

Y

Z0

c

0

O

R0dcr = ×ωr rc

Chú ý : Vận tốc góc của vật rắn B được định nghĩa bởi biểu thức (2.43) là

duy nhất Thật vậy, giả sử ωr không duy nhất, sẽ tồn tại vector 'ωr mà:

0

'

R dc

c

Lấy biểu thức (2.43) trừ đi biểu thức (2.44) ta được

ωr× − × =r ωr r ω ωr− r × =r (2.45)

Do cr là một vector tuỳ ý khác không thuộc vật rắn B và do phương trình

(2.45) luôn thoả mãn với mọi cr nên ta phải có hệ thức

' 0

ω ωr− r = ⇒ ω ωr= r '

Chú ý :

Hình 2.11

Ta gắn chặt vào vật rắn một hệ qui chiếu {x y z với các vector đơn vị , , }

[ 1, ,2 3]T

er= e e er r r trên các trục x,y,z tương ứng (Hình 2.11)

Sử dụng ký hiệu :

ω = [ω ω ω1, ,2 3]T

, trong đó ω ω ω1, 2, 3 là hình chiếu của vector ωr trên

3 trục x,y,z :

R

e3

e1

e2

X

Z

Y

X

B

0

0

Y

Z0

Ma trận đối xứng lệch của vector ωr có dạng :

%ω=

0 0 0

−

(2.47)

2.6.1 Quan hệ giữa ma trận cosin chỉ hướng và vận tốc góc của vật rắn

Vật rắn B chuyển động trong hệ qui chiếu cố định OX0Y0Z0 Lấy D là một

điểm nào đó thuộc vật rắn B Gắn chặt vào vật rắn B hệ qui chiếu động

DXYZ Lấy P là một điểm bất kỳ thuộc vật rắn B như hình vẽ (Hình 2.12)

Hình 2.11

Gọi vr và P vr là vận tốc của điểm P và điểm D trên hệ cố định R D 0

A là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B đối với hệ R0

Từ hình vẽ ta có:

P D P

Đạo hàm phương trình (2.48) trong hệ qui chiếu cố định R0 ta được:

Theo công thức định nghĩa vận tốc góc của vật rắn B (2.43) ta có:

0

ω

= ×

R P

P

ds

s dt

Thay vào công thức (2.49) :

O

Z

Y

X

B

D

Z0

0

X

0

Y

P

P r

D r

P

S

= + ×r

Biểu diễn (2.50) dưới dạng ngôn ngữ đại số :

Mặt khác ta biểu diễn phương trình (2.48) dưới dạng đại số:

Do A là ma trận cosin chỉ hướng của vật rắn B nên:

0

Đạo hàm phương trình (2.54) theo thời gian t ta được:

0 0

Vì A là ma trận cosin chỉ hướng nên là ma trận trực giao Từ công thức

(2.53) ta suy ra:

−

Thay (2.56) vào (2.55) ta được:

0 = 0 + 0

Với %ω được xác định theo (2.47)

Như vậy nếu biết ma trận cosin chỉ hướng A của vật rắn B và đạo hàm

của nó A&, ta có thể xác định được các thành phần vận tốc góc của vật rắn B

theo công thức (2.58)