Lý thuyết điều khiển tự động - Mô tả toán học hệ thống điều khiển rời rạc - ĐH BK TP HCM
Trang 1LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Giảng viên: TS Huỳnh Thái Hoàng Bộ môn Điều Khiển Tự Động
Khoa Điện – Điện Tử Đại học Bách Khoa TP.HCM Email: hthoang@hcmut.edu.vn Homepage: http://www2.hcmut.edu.vn/~hthoang/
Môn học
Trang 2MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
Chương 6
Trang 3ỉ Khái niệm
ỉ Phép biến đổi Z
ỉ Hàm truyền
ỉ Phương trình trạng thái
Nội dung chương 6
Trang 4Khái niệm
Trang 5ỉ “Máy tính số” = thiết bị tính toán dựa trên cơ sở kỹ thuật vi xử lý (vi xử lý, vi điều khiển, máy tính PC, DSP,…).
ỉ Ưu điểm của hệ thống điều khiển số:
Ø Linh hoạt
Ø Dễ dàng áp dụng các thuật toán điều khiển phức tạp
Ø Máy tính số có thể điều khiển nhiều đối tượng cùng một lúc
Hệ thống điều khiển dùng máy tính số
Máy tính số D/A Đối tượng
A/D
c ht (kT)
Cảm biến
Trang 6ỉ Hệ thống điều khiển rời rạc là hệ thống điều khiển trong đó có tín hiệu tại một hoặc nhiều điểm là (các) chuỗi xung.
Hệ thống điều khiển rời rạc
Xử lý rời rạc Khâu giữ Đối tượng
Lấy mẫu
c ht (kT)
Cảm biến
Trang 7Lấy mẫu dữ liệu
T x(t)
)
(
k
kTs e
kT x
s X
ỉ Biểu thức toán học mô tả quá
trình lấy mẫu:
c
f T
f = 1 ≥ 2
ỉ Định lý Shannon
ỉ Nếu có thể bỏ qua được sai số lượng tử hóa thì các khâu chuyển
Trang 8Khâu giữ dữ liệu
ỉ Khâu giữ dữ liệu là khâu chuyển tín hiệu rời rạc theo thời gian thành tín hiệu liên tục theo thời gian
ỉ Khâu giữ bậc 0 (ZOH): giữ tín
hiệu bằng hằng số trong thời
gian giữa hai lần lấy mẫu
ỉ Hàm truyền khâu giữ bậc 0
s
e s
(
ỉ Nếu có thể bỏ qua được sai số lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi D/A chính là các khâu giữ bậc 0 (ZOH)
Trang 9Phép biến đổi Z
Trang 10Định nghĩa phép biến đổi Z
Trong đó:
− (s là biến Laplace)
− X (z) : biến đổi Z của chuỗi x(k) Ký hiệu:
Ts
e
z =
)()
(k X z
x ←→Z
ỉ Miền hội tụ (Region Of Convergence – ROC)
ROC là tập hợp tất cả các giá trị z sao cho X(z) hữu hạn
()
(
k
k z k x k
x z
x z
ỉ Cho x(k) là chuỗi tín hiệu rời rạc, biến đổi Z của x(k) là:
Trang 11Ý nghĩa của phép biến đổi Z
ỉ Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian, lấy mẫu x(t)
với chu kỳ lấy mẫu T ta được chuổi rời rạc x(k) = x(kT).
)
(
k
kTs e
kT x
s X
ỉ Biểu thức lấy mẫu tín hiệu x(t)
(
k
k z k x z
X
ỉ Biểu thức biến đổi Z chuỗi x(k) = x(kT).
ỉ Do nên vế phải của hai biểu thức lấy mẫu và biến đổi Z là như nhau, do đó bản chất của việc biến đổi Z một tín hiệu
Ts
e
z =
Trang 12Tính chất của phép biến đổi Z
Cho x(k) và y(k) là hai chuỗi tín hiệu rời rạc có biến đổi Z là:
x − = −k
Z
ỉ Tỉ lệ trong miền Z: Z {a k x(k)}= X (a−1z)
dz
z
dX z k
Trang 13Biến đổi Z của các hàm cơ bản
0
0
1)
(
k
k k
0
0
1)
(
k
k k
Trang 14Biến đổi Z của các hàm cơ bản
{ }
( )2
1
) (
−
=
z
Tz k
0
0
)
(
k
k
e k
z k
−
=)(
0
0
T)
(
k
k
k k
Trang 15Hàm truyền của hệ rời rạc
Trang 16Tính hàm truyền từ phương trình sai phân
Hệ rời rạc c(k)
r(k)
ỉ Biến đổi Z hai vế phương trình trên ta được:
=+
++
+ − ( ) − ( ) ( ))
)()
(
)()
b m + m− + + m− + m
=+
++
+
−+
++ ) ( 1) − ( 1) ( )
)()
1(
)1(
)
b + + + − + + m− + + m
trong đó n>m, n gọi là bậc của hệ thống rời rạc
ỉ Quan hệ vào ra của hệ rời rạc có thể mô tả bằng phương trìnhsai phân
Trang 17Tính hàm truyền từ phương trình sai phân
ỉ Lập tỉ số C(z)/R(z) , ta được hàm truyền của hệ rời rạc:
n n
n n
m m
m m
a z
a z
a z
a
b z
b z
b z
b z
R
z
C z
G
+ +
+ +
+ +
0
1
1 1
0
) (
)
( )
(
n n
n n
m m
m m
m n
z a z
a z
a a
z b z
b z
b b
z z
R
z
C z
−
−
− +
+ +
+ +
1 1
1 1 0
) (
]
[ )
(
)
( )
(
ỉ Hàm truyền trên có thể biến đổi tương đương về dạng:
Trang 18Tính hàm truyền từ phương trình sai phân - Thí dụ
ỉ Tính hàm truyền của hệ rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân:
)()
2(
2)
(3)
1(
5)
2(
2)
(2
)(3)
(5
)(2
)
3
z R z
R z z
C z
zC z
C z z
C
35
2
12
)(
)
()
2
+
−+
+
=
=
z z
z
z z
R
z
C z
G
⇒
3 2
1
2 1
35
21
)2
()
(
)
()
+
=
=
z z
z
z z
z R
z
C z
G
⇔
Trang 19Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối
ỉ Cấu hình thường gặp của các hệ thống điều khiển rời rạc:
ỉ Hàm truyền kín của hệ thống:
) ( )
( 1
) ( ) ( )
(
)
( )
(
z GH z
G
z G z G
z R
z
C z
G z
Trang 20Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối Thí dụ 1
ỉ Tính hàm truyền kín của hệ thống:
=
T
2
3)
z
G( ) (1 1)Z ( )
Giải:
))(
1(
)1
(2
3)1
5 0
2 1
z
e
z z
))(
1(
)1
()
aT
e z
z
e z
a s
0
948
0)
3)
1
s s
z Z
Trang 21Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối Thí dụ 1
ỉ Hàm truyền kín của hệ thống:
) ( 1
)
( )
(
z G
z
G z
Gk
+
=
368
0
948
0 1
368
0
948
0
− +
−
=
z z
580
0
948
0 )
Trang 22Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối Thí dụ 2
ỉ Tính hàm truyền kín của hệ thống:
3
3)
Biết rằng:
ỉ Giải:
Hàm truyền kín của hệ thống:
) ( 1
)
( )
(
z GH
z
G z
Gk
+
=
Trang 23Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối Thí dụ 2
z
G( ) (1 ) ( )
))(
1(
)1
()
1
5 0
3 2
z
e
z z
z
aT
aT
e z
z
e z
a s
s
a
))(
1(
)1
()
0 (
777
0 )
−
=
z z
z G
3)
1
( 1
s s
e z
s
Z
) 3 (
3 )
G
s
Trang 24Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối Thí dụ 2
G z
z
GH( ) (1 ) ( ) ( )
))(
)(
1(
)
()
1(
e z
z
B Az
z z
z
) (
) 1
( )
1 (
) (
) 1
( )
1 (
) )(
)(
1 (
) (
) )(
(
1
a b ab
e be
e ae
B
a b ab
e a
e b
A
e z e
z z
B Az
z b
s a s s
aT bT
bT aT
bT aT
bT aT
−
)1)(
3(
3)
1
( 1
s s
s
e z
s
Z
) 1 (
1 )
(
) 3 (
3 )
s
e s
G
s
0346
0)
31(3
)1
()
1(3
0673
0)
31(3
)1
(3)
1(
5 0 3 5
0 5
0 5
0 3
5 0 5
0 3
e
e B
e
e A
⇒
) 607
0 )(
223
0 (
104
0 202
.
0 )
z
z z
GH
Trang 25Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối Thí dụ 2
ỉ Hàm truyền kín của hệ thống:
) ( 1
)
( )
(
z GH
z
G z
Gk
+
=
) 607
0 )(
223
0 (
104
0 202
.
0 1
) 223
0 (
777
−
=
z z
z
z
z z
) 607
0 )(
223
0 (
104
0 202
.
0 )
(
) 223
0 (
777
0 )
z
z z
GH
z z
z G
⇒
104
0 202
0 135
0 83
0
) 607
0 (
777
0 )
+ +
z z
z z
Gk
Trang 26Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối Thí dụ 3
ỉ Tính hàm truyền kín của hệ thống:
2
2 0
5)
(
s
e s
2)
(10)
(k = e k − e k −
u
Trang 27Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối Thí dụ 3
ỉ Giải:
Hàm truyền kín của hệ thống:
) ( )
( 1
) ( )
( )
(
z GH z
G
z G z
G z
2)
(10)
(k = e k − e k −
u
)(2
)(10)
(
)
()
( = = − z−
z E
z
U z
G C
⇒
Trang 28Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối Thí dụ 3
) 1 (
1
0 )
z z
(
s
e z
s
Z
2
2 0
5)
(
s
e s
e e
z
z
z z T s
2 0
3
2 3
)1(
2
)1(
G z
(1
2
) 1 (
) 1 (
01
0 )
z z
GH
⇒
3
2 1
1
)1(
2
)1(
)2.0
()
1(5
z
Trang 29Tính hàm truyền của hệ rời rạc từ sơ đồ khối Thí dụ 3
ỉ Hàm truyền kín của hệ thống:
) ( )
( 1
) ( )
( )
(
z GH z
G
z G z
G z
) 1 (
01
0
2
10 1
) 1 (
) 1 (
1
0
2 10
z z
z z
z
z z
z z
z
2 1
) 1 (
01
0 )
(
) 1 (
) 1 (
1
0 )
(
2 10
) (
GH
z z
z z
G
z z
GC
⇒
02 0 08
0 1
1 2
2 0 8
.
0 )
2
− +
z z
z
z z
Gk
Trang 30Phương trình trạng thái
Trang 31)()
()
1(
k k
c
k r k
k
d
d d
x C
B x
A x
n
n n
d
a a
a
a a
a
a a
a
K
MM
M
KK
2 1
2 22
21
1 12
)(
)()
1
k x
k x
k x k
n
M
x
Trang 32Thành lập PTTT từ phương trình sai phân (PTSP)
ỉ Trường hợp 1: Vế phải của PTSP không chứa sai phân của tín hiệu vào
)()
()
1(
)1(
)
a + + + − + + n− + + n =
ỉ Đặt biến trạng thái theo qui tắc:
Ø Biến đầu tiên đặt bằng tín hiệu ra:
Ø Biến thứ i (i=2 n) đặt bằng cách làm
sớm biến thứ i−1 một chu kỳ lấy mẫu
)1(
)(
)1(
)(
)1(
)(
)()
(
1
2 3
1 2
k x
k x k
x
k x k
x
k c k
x
n n
M
Trang 33)()
()
1(
k k
c
k r k
k
d
d d
x C
B x
A x
2 0
1 0
10
00
01
00
00
10
a
a a
a a
a a
d
KK
MM
MM
KK
0
00
a b
)(
)()
1
k x
k x
k x k
n
M
x
Trang 34) (
) 1 (
) (
) ( )
(
2 3
1 2
1
k x k
x
k x k
x
k c k
2 2
1 0
0
0 1
0 1
0 0
0 1
0
0
1 0
2 0
3
a
a a
a a
0 0
Thí dụ trường hợp 1
ỉ Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTSP sau:
) ( 3 )
( 4 ) 1 (
5 ) 2 (
) 3 (
(
) ( )
( )
1 (
k k
c
k r k
k
d
d d
x C
B x
A x
Trang 35Thành lập PTTT từ PTSP
ỉ Đặt biến trạng thái theo qui tắc:
Ø Biến đầu tiên đặt bằng tín
hiệu ra
Ø Biến thứ i (i=2 n) đặt bằng
cách làm sớm biến thứ i−1
một chu kỳ lấy mẫu và trừ 1
lượng tỉ lệ với tính hiệu vào ( ) ( 1) ( )
)()
1(
)(
)()
1(
)(
)()
(
1 1
2 2
3
1 1
2 1
k r k
x k
x
k r k
x k
x
k r k
x k
x
k c k
x
n n
−+
=
−+
++
+
−+
++ ) ( 1) − ( 1) ( )
)()
1(
)2(
)1
b + − + + − + + n− + + n−
Trang 36)()
()
1(
k k
c
k r k
k
d
d d
x C
B x
A x
2 0
1 0
10
00
01
00
00
10
a
a a
a a
a a
d
KK
MM
MM
KK
ββ
ββ
1
2 1
)(
)()
1
k x
k x
k x k
n
M
x
Trang 372 1
1 1
0
1 2 2
1 2
3
0
1 1
1 2
0
0 1
a
a a
a b
a
a a
b a
a b
a b
n n
n
n n
β β
β β
β
β β
β β
Trang 38− +
=
=
) ( )
1 (
) (
) ( )
1 (
) (
) ( )
(
2 2
3
1 1
2 1
k r k
x k
x
k r k
x k
x
k c k
2 2
1 0
0
0 1
0 1
0 0
0 1
0
0
1 0
2 0
3
a
a a
a a
ββ
Thí dụ trường hợp 2
ỉ Viết PTTT mô tả hệ thống có quan hệ vào ra cho bởi PTSP sau:
) ( 3 ) 2 (
) ( 4 ) 1 (
5 ) 2 (
) 3 (
(
) ( )
( )
1 (
k k
c
k r k
k
d
d d
x C
B x
A x
Trang 39Thành lập PTTT từ PTSP
Thí dụ trường hợp 2 (tt)
ỉ Các hệ số của vector Bd xác định như sau:
02
5.05)
25.0(13
25
02
5.010
5
02
1
0
1 2 2
1 2
3
0
1 1
1 2
0
0 1
a
a a
b a
a b
a b
β
β β
β β
0
25.0
5.0
d
B
⇒
Trang 40Thành lập PTTT từ PTSP dùng phương pháp tọa độ pha
ỉ Xét hệ rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân
=+
++
+
−+
++ ) ( 1) − ( 1) ( )
)()
1(
)1(
)
b + + + − + + m− + + m
ỉ Đặt biến trạng thái theo qui tắc:
Ø Biến trạng thái đầu tiên là nghiệm của phương trình:
)()
()
1(
)1(
)
0
1 0
1 1
x a
a n
k
x a
a n
k
x + + + − +L+ n− + + n =
)1(
)(
)1(
)(
)1(
)(
1
2 3
1 2
k x
k x k
x
k x k
x
n n
M
Ø Biến thứ i (i=2 n) đặt bằng cách làm sớm biến thứ i−1 một
chu kỳ lấy mẫu:
Trang 41Thành lập PTTT từ PTSP dùng phương pháp tọa độ pha
(
)()
()
1(
k k
c
k r k
k
d
d d
x C
B x
2 0
1 0
10
00
01
00
00
10
a
a a
a a
a a
d
KK
MM
MM
KK
00
)(
)()
1
k x
k x
k x k
n
M
x
Trang 42Thí dụ thành lập PTTT từ PTSP dùng PP tọa độ pha
2 2
1 0
0
0 1
0 1
0 0
0 1
0
0
1 0
2 0
3
a
a a
a a
1 0
b a
) ( 4 ) 1 (
5 ) 2 (
) 3 (
(
) ( )
( )
1 (
k k
c
k r k
k
d
d d
x C
B x
A x
Trang 43Thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục
ỉ Thành lập PTTT mô tả hệ rời rạc có sơ đồ khối:
(
)()
()
(
t t
c
t e t
Cx
B Ax
x&
)]
([)
(t = 1 Φ s
Φ L−
( − )-1
=Φ
với
Trang 44Thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục
)(
)(
)(
])1[(
kT kT
c
kT e
kT T
k
d
R d d
x C
B x
A x
B A
0
)(
)(
τ τ
)(
)(
)(
])1[(
kT kT
c
kT r
kT T
k
d
d d
d d
x C
B x
C B A
x
Trang 45Thí dụ thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục
ỉ Thành lập PTTT mô tả hệ rời rạc có sơ đồ khối:
Trang 46Thí dụ thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục
c (t)
e R (t)
s
12
1+
X1( ) = 2( )
2
)
( )
(
2 = s +
s
E s
) ( )
( )
0)
(
)(2
0
10
)(
)(
2
1 2
1
t
e t
x
t x t
)
(0
10)
(10)
(
2
1 1
t x
t
x t
x t
c
321
C
Trang 47Thí dụ thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục
ỉ Bước 2: Tính ma trận quá độ
2 0
1 2
0
1 0
1 0
0
1 )
=
2
1 0
) 2 (
1 1
0
1 2 )
2 (
1
s
s s
s s
s s
) 2 (
1 1
2
1 0
) 2 (
1 1
)]
( [ )
(
1
1 1
1 1
s
s s s
s
s s s
s t
L
L
L L
( 2
1 1 )
(
⇒
Trang 48Thí dụ thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục
ỉ Bước 3: Rời rạc hóa
PTTT của hệ liên tục
(
) ( )
( ]
) 1 [(
kT kT
c
kT e
kT T
k
d
R d d
x C
B x
A x
316 0 1 0
) 1
( 2
1 1 0
) 1
( 2
1 1 )
(
5 0 2
5 0 2
2
2
e
e e
e T
T t t
t d
e
e d
e
e d
( 2
1 1
0 0
) 1
( 2
1 1 )
τ
τ τ
τ
B B
092 0
2
1 2
2
1 2
2
5 0
2
2 2
5 0 2
2 2
5 0 2
0 2
2 2
τ
Trang 49Thí dụ thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục
ỉ Bước 4: PTTT rời rạc mô tả hệ kín
)(
)(
)(
])1[(
kT kT
c
kT r
kT T
k
d
d d
d d
x C
B x
C B A
x
)
(316
0
092
0)
(
)(368
.0160
.3
316
0080
.0)
1(
)1(
2
1 2
1
k
r k
x
k x k
(k x1 k c
ỉ Vậy phương trình trạng thái của hệ rời rạc cần tìm là:
0160
.3
316
0080
00
10316
.0
092
0368
.00
316
0
1
d d
A
với
Trang 50)()
()
1(
k k
c
k r k
k
d
d d
x C
B x
A x
ỉ Hàm truyền của hệ rời rạc là:
d d
d z z
z z
(
)
()
Trang 51Thí dụ tính hàm truyền từ PTTT
ỉ Giải: Hàm truyền cần tìm là
d d
d z z
(
)()
()
1(
k k
c
k r k
k
d
d d
x C
B x
A x
.0
.07
.0
10
10
0
10
1
1
z
2)
(z =
G
⇒
