2 Chứng minh rằng không có 3 đường thẳng nào của họ dm đồng qui.. 3 Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đường thẳng của họ dm đi qua b Xác định vị trí của M để tam giác AH
Trang 1Sở giáo dục và đào tạo
hải dương Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS
Môn thi : Toán Mã số: .
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ ( )1;1 và điểm A di động A m;0( )
1) Viết phương trình họ đường thẳng ( )dm vuông góc với AB tại A
2) Chứng minh rằng không có 3 đường thẳng nào của họ ( )dm đồng qui
3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đường thẳng của họ ( )dm đi qua
b) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất
b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định
Trang 2Sở giáo dục và đào tạo
hải dương Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS
Môn thi : Toán Mã số: .
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
2) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất
3) CMR: Khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định
Trang 3Sở giáo dục và đào tạo
hải dương Kì thi chọ học sinh giỏi lớp 9 THCS
Môn thi : Toán Mã số: .
Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề
Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ ( )1;1 và điểm A di động A m;0( )
1) Viết phương trình họ đường thẳng ( )dm vuông góc với AB tại A
2) Chứng minh rằng không có 3 đường thẳng nào của họ ( )dm đồng qui
3) Tìm các điểm trên mặt phẳng Oxy sao cho chỉ có 1 đường thẳng của họ ( )dm đi qua
2) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất
3) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định
Trang 4ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
a Xác định giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất
b Giả sử (x,y) là nghiệm duy nhất của hệ Tìm hệ thức liờn hệ giữa x,y độc lập với m
a Chứng minh: IA.IC = IB.ID
b Vẽ đường kính CE Chứng minh ABDE là hình thang cõn, suy ra :
Trang 5Ubnd huyện gia lộc
Phũng giỏo dục& ĐT
đê
đề thi học sinh giỏi lớp 9 vũng 2
Năm học: 2008-2009Mụn: Toỏn
Thời gian: 150 phỳt (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 17/01/2009 Cõu 1:(1,5 điểm)
Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của n sao cho n ≤ 100 và Sn cú giỏ trị nguyờn
b Cho a,b,c là cỏc số thực thoả món điều kiện: abc = 2009 Chứng minh rằng:
Chứng minh rằng với với mọi số nguyờn dương n ta cú xn + yn = an + bn
b Chiều cao của một tam giỏc bằng 3; 4; 5 Tam giỏc này cú phải là tam giỏc vuụng khụng?
hoặc: Cho hỡnh vuụng ABCD với M và N lần lượt là trung điểm của cỏc cạnh BC và CD Tớnh cosMAN?
Cõu 4 (3điểm):
Cho (O;R) và (O’;R’) tiếp xỳc nhau tại C Kẻ đk COA và CO’D; tiếp tuyến chung ngoài
EF với F thuộc (O) và E thuộc (O’) Gọi H là giao điểm của AF và DE
a) Chứng minh gúc AHD vuụng Từ đú suy ra HC là tiếp tuyến chung của hai đường trũn b) Kẻ tiếp tuyến chung ngoài thứ hai BI với B thuộc (O), I thuộc (O’)
Trang 6Trường THCS Lê Lợi Thời gian: 150’
Chứng minh rằng với với mọi số nguyên dương n ta có xn + yn = an + bn
Bài 3(2 điểm).Trong tam giác ABC có chu vi 2p = a+ b + c (a, b, c là độ dài ba cạnh).
Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì?
Bài 4 (3 điểm) Cho đường tròn(O; r), dây cung BC = a không đổi A là một điểm trên cung lớn
AB sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Các đường cao AD, BE, CK cắt nhau tại H
1) Trong trường hợp BHC BOC · = · , tính AH theo a
2) Tìm vị trí của A để tích DH.DA nhận giá trị lớn nhất
Bài 5 (1 điểm) Cho đa giác đều (H) có 14 đỉnh Chứng minh rằng trong 6 đỉnh bất kì của (H)
luôn có 4 đỉnh là các đỉnh của hình thang
Hết
sở gd&đt HảI Dương
Phòng gD&ĐT huyện Gia Lộc
Trang 7a) Chứng minh rằng số A = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) không thể là số chính phương với mọi n là số nguyên dương Tìm tất cả các số nguyên n sao cho A là số chính phương.
b) Cho số tự nhiên n > 1 và n + 2 số nguyên dương a1, a2, , an+2 thoả mãn điều kiện
Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm B cố định có tọa độ (1; 1) A di động A(m; 0)
a) Viết phương trình họ đường thẳng (dm) vuông góc với AB tại A
b) Chứng minh rằng không có 3 đường thẳng nào của họ (dm) đồng qui
c) Tìm các điểm trên mặt phẳng tọa độ sao cho chỉ có 1 đường thẳng của họ (dm) đi qua
Câu 5: (4điểm)
Cho tam giác vuông cân ABC (vuông ở A), AD là trung tuyến thuộc cạnh huyền, M là điểm thay đổi trên đoạn AD Gọi N và P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh
AB, AC; H là hình chiếu của N xuống đường thẳng PD
a) Xác định vị trí của M để tam giác AHB có diện tích lớn nhất
b) Chứng minh rằng khi M thay đổi, đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định
-Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9
(Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề)
x =
Bài 4(5điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A.Phân giác AD (D∈BC)
§Ò 8
Trang 8a-Chứng minh rằng: 2 1 1
AD = AB + AC
b-Nếu AD là phân giác góc ngoài thì kết quả trên thay đổi như thế nào?
Bài 5 (3 điểm)
Cho a,b dương sao cho a+b≤1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1
Q a b
a b
= + + +
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
UBND HUYỆN CHÂU THÀNH
Phòng Giáo dục & Đào tạo CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2008 – 2009
Môn thi: TOÁN 9
Thời gian: 90 phút (không kể thời gian phát đề)
(Học sinh không phải chép đề vào giấy thi)
Bài 1: (3đ) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì:
Cho tam giác ABC (AB < AC), M là 1 điểm trên cạnh BC vẽ BI ⊥ AM, CK ⊥ AM
Xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC để tổng BI + CK lớn nhất
Bài 6: (4đ)Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a Đường thẳng qua đỉnh C cắt các cạnh AB và
AD kéo dài tại F và E
ĐỀ CHÍNH THỨC
§Ò 9
Trang 9a/ Chứng minh rằng: Tích DE.BF không đổi.
b/ Chứng minh rằng: DE AE22
BF = AF
-* -Phòng GD&ĐT Lâm Thao
Trường THCS Lâm Thao Kỳ Thi Giáo viên giỏi vòng trường năm học 2008-2009Đề thi Môn Toán
(Thời gian làm bài 90 phút)
Câu1 (2 điểm) Đồng chí hãy hướng dẫn học sinh giải bài tập sau
Tìm số tự nhiên sao cho tổng số đó với các chữ số của nó bằng 2018
Câu 2 (3 điểm) Tìm x,y,z trong các trường hợp sau
a/ x=2y=3z và x2+y2+z2=441
b/ x2+y2+z2+4032948 ≤ 4(14x+5y+1004z)
Câu 3( 2 điểm) Cho a,b,c thoả mãn a3+b3+c3=3abc và a+b+c=6024.
Tính giá trị của biểu thức P=(a-2007)28+(b-2008)10+(c-2009)2008
Câu 4(3 điểm) Cho tam giác ABC có diện tích S không đổi Điểm M;N;P
thuộc AB,BC,CA sao cho
k
PA
CP NC
BN MB
Trang 10Câu 1 : (2 điểm ) a) Tính A = 2+ 12+ 3 + 2− 12− 3
b) So sánh : 2008 2009
2009 + 2008 và 2008+ 2009
Câu 2 : (2 điểm ) a) Giải phương trình : x2 + x + 12 x+ 1= 36
b) Tìm các số nguyên x , y sao cho : y= x2 + 4x+ 5
Câu 3 : (2 điểm )
a) Biết a , b , c là số đo 3 cạnh của một tam giác Chứng minh phương trình :
x2 + ( a - b - c )x + bc = 0 vô nghiệm
b) Cho M = x2 + y2 + 2z2 + t2 ; với x , y , z , t là số tự nhiên
Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị tương ứng của x,y,z,t biết rằng:
= +
−
101 4
3
21
2 2 2
2 2 2
z y x
t y x
Câu 4 : (3 điểm)
Cho đoạn thẳng AB=2a , trên AB lấy một điểm C tuỳ ý Vẽ đường tròn tâm I đường kính
AC và vẽ đường tròn tâm K đường kính BC MN là tiếp chung ngoài của hai đường tròn (M
) (
),
(I N∈ K
∈ ) ; Cx là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn
a) Chứng minh các đường thẳng AM,BN,Cx đồng quy tại một điểm D
b) Xác định vị trí của điểm C trên AB sao cho tứ giác DMCN có diện tích lớn nhất Câu 5 : (1 điểm)
Chứng minh rằng nếu a +b > 2 thì phương trình sau có nghiệm
2ax2 + bx +1 - a = 0
Môn Toán 9 – Thời gian 150 phút
ĐỀ BÀI:
Bài 1: (2đ) Rút gọn biểu thức A= x+2 x− +1 x−2 x−1
Bài 2 (3đ) Cho biểu thức
§Ò 12
Trang 11Hãy tính tổng x y z+ + .
Bài 6 (3đ) Cho ∆ABC AB AC( 〈 ) Gọi I là tâm đường trịn nội tiếp ∆ABC Đường thẳng AI cắt đường trịn ngoại tiếp ∆ABC tại D
a/ Tìm tâm đường trịn ngoại tiếp ∆BIC
b/ Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của đường trịn nội tiếp ∆ABC với các cạnh AB, BC K là hình chiếu vuơng gĩc của C xuống đường thẳng AI Chứng minh M, N, K thẳng hàng
Bài 7 (3đ) Cho ∆ABC Một đường thẳng song song với cạnh BC cắt AB tại D và cắt AC tại E Chứng minh rằng với mọi điểm P trên canh BC, ta luơn cĩ diện tích ∆P ED khơnh lớn hơn 1
4diện tích ∆ABC
Đường thẳng DE ở vị trí nào thì diện tích ∆P ED đạt giá trị lớn nhất
Trang 12Bài 4: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác
Tương tự như vậy, ta cĩ và
Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên rồi rút gọn, ta được:
Trang 13Hay là
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, tức tam giác đã cho là tam giác đều
Bài tốn được chứng minh
Bài 5: Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng a Một gĩc 450 quay xung quanh đỉnh A và nằm bên trong hình vuơng cắt cạnh BC, CD lần lượt tại M và N
a) Chứng minh rằng a(BM + DN) + BM.DN = a2
b) Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD tại E Chứng minh
Lời giải:
a) Trên tia đối của tia DC lấy điểm F sao cho FD = BM
Dễ dàng nhận thấy ABM = ADF(cạnh, gĩc, cạnh)
AF = AM
Mặt khác:
NAF = NAD + DAF = NAD + MAB = BAD – MAN = 900 – 450 = 450
Từ đĩ suy ra: MAN = FAN(cạnh, gĩc, cạnh)
MN = FN =BM + DN
Xét tam giác vuơng CMN, ta cĩ: MN2 = CM2 + CN2
(BM + DN)2 = (a – BM)2 + (a – DN)2 (1)
Khai triển (1) rồi rút gọn, ta được: a(BM + DN) + BM.DN =a2 ĐPCM
b)Ta cĩ: EAF = MAN + NAF = 450 + 450 = 900
EAF là tam giác vuơng
(Hệ thức lượng trong tam giác vuơng)
Một số Đề luyện thi vào chuyên Toán 9
Bài 1 (1 đ): Cho : M = x2 + y2+xy-3x-3y+2011 Với giá trị nào của x,y thì M đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó?
Trang 14Bài 4 (0,5 đ): Chứng minh rằng x, y, z, x + y + z đều là các số hữu tỉ thì x , y, z cũng
a/ Chứng minh rằng đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định với mọi m
c/ Tính giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng là lớn nhất
Bài 6 (2,5 đ): Cho tam giác OAB (OA = OB) Vẽ đường cao OH, AK biết OA = a, ·AOH =α
a/ Tính các cạnh tam giác AKB theo a và α
b/ Tính các cạnh của các tam giác OKA và AKB theo a và 2α Từ đó biểu diễn sin2α , cos2α theo sin
3
1 Viết phơng trình các tiếp tuyến của (P), biết các tiếp tuyến này đi qua điểm A(2;1)
2 Gọi d là đờng thẳng đi qua điểm A(2;1)và có hệ số góc m Với giá trị nào của m thì đờng thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt M và N, khi đó tìm quĩ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN khi m thay đổi
3 Tìm quĩ tích các điểm M0 từ đó có thể kẻ đợc hai tiếp tuyến của parabol (P) và hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau
Cho nửa đờng tròn đờng kính AB cố định C là một điểm bất kì thuộc nửa đờng tròn ở phía ngoài tam giác ABC, vẽ các hình vuông BCDE và ACFG Gọi Ax, By là các tiếp tuyến của nửa đờng tròn
1 Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho thì đờng thẳng ED luôn đi qua một điểm cố định và đờng thẳng FG luôn đi qua điểm cố định khác
2 Tìm quĩ tích của các điểm E và G khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho
3 Tìm quĩ tích của các điểm D và F khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho
§Ò 15
§Ò 14
Trang 15Cho đờng tròn tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau E là điểm bất kì trên cung AD Nối EC cắt OA tại M, nối EB cắt OD tại N
1 Chứng minh rằng tích OM ON
AM DN× là một hằng số Suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng
AM +DN , khi đó cho biết vị trí của điểm E ?
2 Gọi GH là dây cung cố định của đờng tròn tâm O bán kính R đã cho và GH không phải là đờng kính K là điểm chuyển động trên cung lớn GH Xác định vị trí của K để chu vi của tam giác GHK lớn nhất
Hết
Bài 1: (8 điểm)
Cho phơng trình 2x2−2mx m+ 2− =2 0 (1)
4 Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng phân biệt
5 Tìm các giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thoả mãn hệ thức 3 3
1 2
5 2
Trang 16Cho tam giác ABC có ·ABC=60 ;0 BC a AB c= ; = (a c, là hai độ dài cho trớc), Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC đợc gọi là hình chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.
1 Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó
2 Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thớc kẻ và com-pa Tính diện tích của hình vuông đó
CD và tiếp xúc ngoài với đờng tròn (O1) Tính bán kính của các đờng tròn (O1), (O2), (O3), (O4) theo R
Trang 17a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 4 5 3 3 5 5 3 3 5 5 3
59
3 11
+ +
− +
+ + +
+ +
2 2
2
z y z x
z x M
−
+ +
1
z y
− + +
a x
x x x a
1 6
2 x + x+ = x+ + x− với mọi x không âm;
−
= +
0 1 1
1 5
4 4
2
x x
x x x
c) Giải phương trình: 10 −x2 − 5 x2 − 3x− 10 + 3x= 0
Bài 2 (2 điểm):
a) Tìm ba số nguyên tố liên tiếp a, b, c sao cho a2 +b2 +c2 cũng là số nguyên tố?
Trang 18b) Cho hai số x, y thoả món: x + 9y − 4xy= 2xy−x− 3 Hóy tớnh giỏ trị của biểu thức
2
2 :
16 8
16
2 2
−
−
=
y y
y x x x
Hóy tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức P= 16y x + 2006 x y ?
Bài 5 (2,5 điểm): Cho đường trũn (O) đường kớnh BC=2R và điểm A thay đổi trờn (O) (A
khụng trựng với B, C) Đường phõn giỏc trong gúc A của tam giỏc ABC cắt (O) tại K (K khỏc A) Hạ AH vuụng gúc với BC
a) Đặt AH=x Tớnh diện tớch S của tam giỏc AHK theo R và x Tỡm x sao cho S đạt giỏ trị lớn nhất
b) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH2+HK2 luụn là một đại lượng khụng đổi Tớnh
số đo gúc B của tam giỏc ABC biết
Phũng Giỏo dục bỡnh xuyờn
trường thcs lý tự trọng
Đề 20
đề khảo sát chất lợng HSG lớp 9 Môn: Toán
Thời gian làm bài 150 phút
= +
−
=
−
a y x y x
y x y
6 ( )2 ( )
(a là tham số và a>0)
Cõu 4:
Cho hỡnh vuụng ABCD ngoại tiếp đường trũn (O;R) và M là một điểm trờn đường trũn
đú Gọi độ dài MA, MB, MC, MD lần lượt là a, b, c, d
Chứng minh rằng: a2b2 +b2d2 =10R4
Trang 19Phũng Giỏo dục bỡnh xuyờn
trường thcs lý tự trọng
Đề 21
đề khảo sát chất lợng HSG lớp 9 Môn: Toán
Thời gian làm bài 120 phú.t
Câu 1:
a) Giải phơng trình 2 3 − 3 = x 3 − y 3 trờn tập hợp cỏc số hữu tỉ
b) Giải hệ phương trinh
= + +
+
4 1
42
xy y x
y x xy x
≥
−
+
y x
y x
b) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc thoả món a+b+c=2 Chứng minh:
2 2
2 2
2 +b +c + abc<
a
Cõu 4: (trựng đề 2 thay bằng bài hỡnh thoi)
Cho đường trũn (O) đường kớnh BC=2R và điểm A thay đổi trờn (O) (A khụng trựng với B, C) Đường phõn giỏc gúc A của tam giỏc ABC cắt (O) tại K (K khỏc A) Hai AH vuụng gúc với BC
a) Đặt AH=x Tớnh diện tớch S của tam giỏc AHK theo R và x Tỡm x sao cho S đạt giỏ trị lớn nhất
b) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH2 +HK2 luụn là một đại lượng khụng đổi Tớnh
số đo gúc B của tam giỏc ABC biết = 53
HK
AH
. -HT -Phũng Giỏo dục bỡnh xuyờn
trường thcs lý tự trọng
Đề 22
đề khảo sát chất lợng HSG lớp 9 Môn: Toán
Thời gian làm bài 120 phú.
1 a, Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho
Trang 20abc
với n là số nguyờn lún hơn 2
b, Tỡm cỏc số x, y, z nguyờn dương thoả món đẳng thức:
x x
+
3
3 3
3
2 2 2
−
=
− +
= + +
14 1 6
2 2
x
zx yz xy
z y x
4 Cho tam giỏc đều ABC cạnh a ngoại tiếp đường trũn (0) Một tiếp tuyến của đường trũn cắt cạnh AB, AC thứ tự ở D, E Đặt AD=x; AE=y; DE=z
Chứng minh rằng : a, x2 +y2 −xy=z2
b, DB AD+EC AE khụng đổi khi tiếp tuyến DE thay đổi
Phũng Giỏo dục bỡnh xuyờn
-HT -trường thcs lý tự trọng
Đề 23
đề khảo sát chất lợng HSG lớp 9 Môn: Toán
Thời gian làm bài 150 phú.
a y
x3
(a, b là tham số)
Xỏc định b để hệ luụn cú nghiệm (x; y) với mọi a
2) Viết phương trỡnh đường thẳng đi qua điểm M(2; 3), cắt trục hoành và trục tung tại cỏc điểm A(a; 0) và điểm B(0; b) sao cho a, b là cỏc số nguyờn tố
Cõu 2: Cho đường trũn tõm O nội tiếp tam giỏc ABC, tiếp xỳc với cỏc cạnh BC, CA, AB lần
lượt tại D, E, F Vẽ DH vuụng gúc với EF (H∈EF)
Chứng minh rằng A BˆH =A CˆH
Cõu 3: 1) Chứng minh rằng F(n) = 4n + 15n – 1 luụn chia hết cho 9 với mọi n nguyờn dương
2) Tỡm tất cả cỏc cặp số nguyờn (x; y) thoả món x3 = y3 +2y2+1
Cõu 4: Cho a, b, c≥−1 và a3+b3+c3 = 6