Đề thi học sinh giỏi môn toán 9

Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1, x2 với m.. Tính nghiệm kép nếu có của phương trình và giá trị của m tương ứng.. Gọi C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB.. Kẻ hai dây CD và CE cắt d

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2007 - 2008 MÔN: TOÁN

THỜI GIAN: 180 PHÚT Bài 1 ( 5 điểm ): Cho biểu thức:

P(x) = 15 11 3 2 2 3

a) Rút gọn biểu thức P(x).

b) Tính giá trị của x để P(x) =1

2

c) Chứng minh rằng P(x)  2

3 với mọi x ≠ 1 và x  0

Bài 2 ( 5 điểm ):

Cho phương trình có ẩn x (m là tham số): x – mx + m – 1 = 0

1 Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1, x2 với m Tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình

và giá trị của m tương ứng

2 Đặt 2 2

a) Chứng minh B = m 2 – 8m + 8

b) Tính giá trị nhỏ nhất của B và giá trị của m tương ứng.

Bài 3 ( 4 điểm ):

a) tính giá trị của biểu thức: M = x + y, biết: x x22008 y y22008 2008

b) giải hệ phương trình:

1

1 1

1

x y

 







 





Bài 4 ( 3 điểm ):

Cho đường tròn tâm O, dây AB < 2R Gọi C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB Kẻ hai dây CD và CE cắt dây AB lần lượt tại hai điểm M và N Chứng minh rằng:

a) Tứ giác DENM nội tiếp

b) Cho AN = BM Chứng tỏ rằng tứ giác DENM là hình thang.

Bài 5( 3 điểm ):

Cho tam giác nhọn ABC Lấy điểm E AB, điểm DAC Kẻ DF // CE (F AB), kẻ EM // BD (M

AC) Chứng minh rằng: FM // BC

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

Bài 1 (5 điểm):

a) P(x) =    

=

=

1 2 5



= 2 5

3

x x



b) Để P(x) = thì 2 5

3

x x



 -10 - = 3 – 4

Vậy khi x = thì P(x) =

c) Để P(x)  thì 2 5 2

3 3

x x





 2 5 2 0

3 3

x x



 



0

x





16

0

x x





Do x  0 và x  1 nên 3( x + 3) > 0 0,50 đ

Vậy

16

0

x

x





Bài 2 (5 điểm):

Phương trình: x – mx + m – 1 = 0 (*)

1  = (–m)2 – 4.1.(m – 1) = m2 – 4m + 4 0,50 đ

Vậy (*) luôn luôn có nghiệm x1, x2  m 0,25 đ

* phương trình đã cho có nghiệm kép  0

0

a 





 

 (m – 2)2 = 0  m = 2 0,25 đ Nghiệm kép: x1 = x2 = ( ) 2 1

2.1 2 2

 

2 a) Ta có: 2 2

Theo định lí Vi–ét thì:

( ) 1 1

1 1

m

m

 











Thay (2) vào (1) có: B = m2 – 8(m –1) = m2 – 8m +8 (đpcm) 0,50 đ

= (m – 4)2 – 8 0,25 đ

Bài 3 (4 điểm):

a) Ta có: x x22008 y y22008 2008

 x x22008 y y2 2008x x22008 2008x x22008 0,50 đ

 2008y y22008 2008x x22008 0,25 đ

Tương tự ta cũng có:

x = – y + y2 2008 x2 2008 0,25 đ Vậy: x + y = – x + x22008 y22008– y + y22008 x2 2008 0,25 đ  x + y = – x – y

 x + y = – (x + y)

Vậy: với 2   2 

b) Phương trình:

1

1 1

1

x y

 







 





Giải:

Điều kiện: x 0, y 0 0,25 đ Nhân vế theo vế hai phương trình của hệ đã cho ta được:

    



3 0

x

Ta có:

3 0

x

Ta có:  1   

2

(Góc có đỉnh bên trong đường tròn) Và  1 

2

(Tính chất góc nội tiếp)

2

AC DEB DAC

2

AC DE EB DA AC

Nên sd AC DE EB DA AC      3600

Vậy DMB DEN = 1800

Mà DMB và DEN là hai góc đối  tứ giác DENM nội tiếp 0,25 đ

Do AN = BM (gt)

 AM = BN Mà AC CB (gt)

 AC = CB (Quan hệ giữa cung và dây) 0,25 đ

 CAM = CBN (c.g.c) 0,25 đ

 ACM BCN (hai góc tương ứng)

 AD BE (tính chất góc nội tiếp của một đường tròn)

 BAE DEA (tính chất góc nội tiếp) 0,25 đ Mà hai góc BAE và DEA ở vị trí so le trong nên AB // DE

N M

C

O

D

E

N M

C

O

Bài 5 (3 điểm):

Vẽ hình và ghi GT, KL đúng 0,25 đ

Do DF // CE (gt) nên AF AD

AE AC (theo đ/l Ta–let) 0,50 đ

Do EM // BD (gt) nên AE AM

AB  AD (theo đ/l Ta–let) 0,25 đ

Từ (1) và (2)  AF.AC = AM.AB 0,25 đ

 AF AM

 FM // BC (Định lí Ta–lét đảo) 0,50 đ –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––

M F

A

E

D