Các định lý cơ bản của hình học phẳng

Đườ ng th ng Euler.. Ch ng minh... Đườ ng tròn Euler Bài toán 2... Cho tam giác ABC... Đườ ng tròn Apollonius 6.. Đị nh lý Ptolemy 7.. Các bài toán khác.

CÁC NH LÝ C B N C A HÌNH H C PH NG ĐỊ Ơ Ả Ủ Ọ Ẳ

Nguy n T ng V ễ ă ũ

1 Đườ ng th ng Euler ẳ

Bài toán 1 Trong m t tam giác thì tr ng tâm, tr c tâm và tâm ộ ọ ự

đ ườ ng tròn ngo i ti p ạ ế

cùng n m trên m t đ ằ ộ ườ ng th ng ( ẳ Đườ ng th ng này đ ẳ ượ c g i là ọ

đ ườ ng th ng Euler c a ẳ ủ

tam giác.)

Ch ng minh ứ Cho tam giác ABC, g i G, H, O l n lọ ầ ượt là tr ng tâm, ọ

tr c tâm và tâmự

đường tròn ngo i ti p tam giác ABC.ạ ế

Bài toán 1.1 Cho tam giác ABC có tr ng tâm G, tr c tâm H và tâm ọ ự ngo i ti p O G i ạ ế ọ

P là đi m đ i x ng c a H qua O G i G ể ố ứ ủ ọ 1 , G 2 , G 3 là tr ng tâm c a các ọ ủ tam giác PBC,

PAC và PAB Ch ng minh r ng G ứ ằ 1 A = G 2 B = G 3 C và G 1 A, G 2 B , G 3 C

đ ng quy ồ

H ướ ng d n: ẫ

2

Bài toán 1.2 Cho tam giác ABC n i ti p đ ộ ế ườ ng tròn (O) (J) là đ ườ ng tròn bàng ti p thu c ế ộ

góc A c a tam giác ABC ủ

(J) ti p xúc BC, AB, AC tai M N P ế

Ch ng minh r ng OJ là đ ứ ằ ườ ng th ng Euler c a tam giác MNP ẳ ủ

H ướ ng d n: ẫ

3

Bài toán 1.3 Cho tam giác ABC ngo i ti p đ ạ ế ườ ng tròn (I), v i các ớ

đ ườ ng cao AA’, BB’

và CC’ G i d ọ a , d b , d c là các đ ườ ng th ng Euler c a các tam giác ẳ ủ

AB’C’, BA’C’ và

CA’B’ G i d’ ọ a , d’ b , d’ c là các đ ườ ng th ng đ i x ng v i d ẳ ố ứ ớ a , d b , d c qua

AI, BI và CI.

Ch ng minh d’ ứ a , d’ b , d’ c đôi m t song song ộ

H ướ ng d n: ẫ G i Bọ 1, C1 đ i x ng v i B’, C’ qua AI, khi đó d’ố ứ ớ a là đường

th ng Eulerẳ

c a tam giác ABủ 1C1, mà B1C1 //BC, suy ra d’a song song v i đớ ường

th ng Euler c aẳ ủ

tam giác ABC

Ch ng minh tứ ương t thì d’ự b, d’c song song v i đớ ường th ng Euler c aẳ ủ tam giác ABC

Bài toán 1.4 Cho tam giác ABC có tr c tâm H Khi đó đ ự ườ ng th ng ẳ Euler c a các tam ủ

giác HAB, HAC và HBC đ ng quy ồ

HD: Đồng quy t i trung đi m c a OH.ạ ể ủ

n nay ng i ta v n còn tìm ra nh ng tính ch t thú v liên qua đ n

đường th ng Euler,ẳ

và n m 2006 thì ki n trúc s ngă ế ư ười Hy L m Rostas Vittasko có đ a raạ ư bài toán sau:

Bài toán 1.5 Cho t giác ABCD n i ti p có các đ ứ ộ ế ườ ng chéo c t ắ nhau t i P Khi đó ạ

đ ườ ng th ng Euler c a các tam giác PAB, PBC, PCD, PAD đ ng quy ẳ ủ ồ

2 Đườ ng tròn Euler

Bài toán 2 Trong m t tam giác thì 9 đi m g m: trung đi m c a 3 ộ ể ồ ể ủ

c nh, trung đi m ạ ể

c a các đo n th ng n i t tr c tâm đ n đ nh, chân các đ ủ ạ ẳ ố ừ ự ế ỉ ườ ng cao thì cùng thu c m t ộ ộ

đ ườ ng tròn (Ng ườ i ta g i là đ ọ ườ ng tròn 9 đi m hay đ ể ườ ng tròn Euler)

Ch ng minh ứ

4

Sau đây là m t s tính ch t c a độ ố ấ ủ ường tròn Euler, xem nh bài t p.ư ậ

Bài toán 2.1 Tâm đ ườ ng tròn Euler là trung đi m c a đ an th ng ể ủ ọ ẳ

n i tr c tâm và tâm ố ự

ngo i ti p ạ ế

Bài toán 2.2 Cho tam giác ABC tr c tâm H Tia Hx c t đ ự ắ ườ ng tròn Euler t i M và ạ

đ ườ ng tròn ngo i ti p t i N Khi đó M là trung đi m c a HN ạ ế ạ ể ủ

Bài toán 2.3 Cho tam giác ABC có tr c tâm H Khi đó đ ự ườ ng tròn Euler c a tam giác ủ

ABC c ng là đ ũ ườ ng tròn Euler c a các tam giác HAB, HAC và HBC ủ (T bài toán 2.3 ừ

suy ra bài toán 1.4)

Sau đây là m t đ nh lý r t hay và đ p c a hình h c tam giác.ộ ị ấ ẹ ủ ọ

Bài toán 2.4 ( Đị nh lý Feuerbach) Trong m t tam giác đ ộ ườ ng tròn Euler ti p xúc v i ế ớ

đ ườ ng tròn n i ti p và các đ ộ ế ườ ng tròn bàng ti p ế

Ch ng minh đ nh lý Feuerbach d a trên nh ng công c m nh, phép ứ ị ự ữ ụ ạ ngh ch đ o, tuyị ả

nhiên v n có cách làm s c p h n Sau đây là các b đ dùng đ ẫ ơ ấ ơ ổ ề ể

ch ng minh đ nh lýứ ị

Feuerbach Xem nh bài t p Ta s d ng các ký hi u trong bài toán ư ậ ử ụ ệ 2

Bài toán 2.4.1.Gi s A ả ử 1 A 3 > A 2 A 3 Khi đó đ ườ ng th ng M ẳ 1 T ti p xúc ế

v i đ ớ ườ ng tròn

Euler t i M ạ 1 thì t o v i A ạ ớ 2 A 3 m t góc là ộ α 2 - α 3

5

Bài toán 2.4.2 G i D ọ 1 là giao đi m c a phân giác trong góc A ể ủ 1 v i ớ

A 2 A 3 G i X ọ 1 P là

ti p tuy n đ n đ ế ế ế ườ ng tròn n i ti p (I), X ộ ế 1 P’ là ti p tuy n c a đ ế ế ủ ườ ng tròn bàng ti p góc ế

A (P, P’ là các ti p đi m) Khi đó PX ế ể 1 P’ song song v i M ớ 1 T.

Bài toán 2.4.3 G i Q là giao đi m c a M ọ ể ủ 1 P v i (I), khi đó Q c ng ớ ũ thu c đ ộ ườ ng tròn

Euler.

Bài toán 2.4.4 Hai đ ườ ng tròn Euler và đ ườ ng tròn n i ti p giao ộ ế nhau t i Q Ch ng ạ ứ

minh r ng chúng có chung ti p tuy n ằ ế ế

M t s bài toán liên quan đ n độ ố ế ường tròn Euler

Bài toán 2.5 (VMO 2009) Trong m t ph ng cho hai đi m c đ nh A, ặ ẳ ể ố ị

B (A kh c B) M t ỏ ộ

đi m C di đ ng tr n m t ph ng sao cho ể ộ ờ ặ ẳ ∠ ACB = = const (0 α 0 < < α 1800) Đườ ng

tròn tâm I n i ti p tam giác ABC và ti p xúc v i AB, BC, CA l n l ộ ế ế ớ ầ ươ t

t i D, E, F AI, BI ạ

c t EF l n l ắ ầ ượ ạ t t i M, N.

a) Ch ng minh r ng: MN cú đ dài kh ng đ i ứ ằ ộ ụ ổ

b) Ch ng minh r ng: (DMN) luôn đi qua m t đi m c đ nh khi C l u ứ ằ ộ ể ố ị ư

đ ng ộ

Bài toán 2.6 Cho tam giác ABC trung tuy n AM, O là tâm ngo i ế ạ

ti p Khi đó đ ế ườ ng

th ng qua M vuông góc v i AO ti p xúc v i đ ẳ ớ ế ớ ườ ng tròn Euler c a tam ủ giác ABC.

Bài toán 2.7 Ch ng minh r ng các đ ứ ằ ườ ng th ng d ẳ a , d b , d c trong bài toán 1.3 đ ng quy ồ

t i m t đi m thu c đ ạ ộ ể ộ ườ ng tròn Euler.

Bài toán 2.8 Tam giác ABC có các đ ườ ng cao l n l ầ ượ t là AD, BE và

CF đ ng quy t i ồ ạ

tr c tâm H DE c t CF t i M, DF c t BE t i N G i O là tâm đ ự ắ ạ ắ ạ ọ ườ ng tròn ngo i ti p c a ạ ế ủ

tam giác HBC Ch ng minh OA ứ ⊥ MN.

3 Đườ ng th ng Simson ẳ

6

Bài toán 3 Cho tam giác ABC P là m t đi m trong m t ph ng tam ộ ể ặ ẳ giác không trùng

v i các đ nh c a tam giác G i P ớ ỉ ủ ọ 1 , P 2 , P 3 là hình

chi u c a P trên các c nh BC, AC và AB Khi đó P ế ủ ạ

thu c đ ộ ườ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC khi và ạ ế

ch khi P ỉ 1 , P 2 , P 3 th ng hàng ( ẳ Đườ ng th ng đi qua ẳ

3 đi m P ể 1 , P 2 , P 3 đ ượ c g i là đ ọ ườ ng th ng Simson ẳ

c a tam giác ABC ng v i đi m P) ủ ứ ớ ể

Ch ng minh ứ

Sau đây là m t s tính ch t liên quan đ n độ ố ấ ế ường th ng Simsonẳ

Bài toán 3.1 Cho tam giác ABC n i ti p đ ộ ế ườ ng tròn (O), P là m t ộ

đi m thu c đ ể ộ ườ ng

tròn, l y Q thu c (O) sao cho đ ấ ộ ườ ng th ng CQ và CP đ i x ng nhau ẳ ố ứ qua phân giác góc

C Khi đó CQ vuông góc v i đ ớ ườ ng th ng simson c a tam giác ABC ẳ ủ

ng v i đi m P.

Sau đây là m t s h qu c a bài toán 3.1.ộ ố ệ ả ủ

Bài toán 3.1.1 N u hai đi m đ i x ng nhau qua tâm thì đ ế ể ố ứ ườ ng

th ng simson ng v i ẳ ứ ớ

hai đi m đó vuông góc v i nhau T ng quát h n góc gi a hai đ ể ớ ổ ơ ữ ườ ng

th ng b t kì d ng ẳ ấ ự

trên hai đi m P, Q b ng n a s đo cung nh PQ ể ằ ử ố ỏ

Bài toán 3.1.2 Tam giác t o b i 3 đ ạ ở ườ ng th ng simson d ng trên 3 ẳ ự

đi m thì đ ng ể ồ

d ng v i tam giác t o thành t 3 đi m đó ạ ớ ạ ừ ể

7

Bài toán 3.2 Đườ ng th ng simson ng v i m t đi m chia đôi đo n ẳ ứ ớ ộ ể ạ

th ng n i t đi m ẳ ố ừ ể

đó đ n tr c tâm c a tam giác H n n a trung đi m c a đo n th ng ế ự ủ ơ ữ ể ủ ạ ẳ

đó thu c đ ộ ườ ng

tròn Euler.

Bài toán 3.2.1 Đườ ng th ng simson ng v i hai đi m đ i x ng ẳ ứ ớ ể ố ứ nhau qua tâm thì c t ắ

nhau t i m t đi m thu c đ ạ ộ ể ộ ườ ng tròn Euler.

Bài toán 3.3 Cho t giác ABCD, g i d ứ ọ A , d B , d C , d D là đ ườ ng th ng ẳ simson ng v i các ứ ớ

đi m A, B, C, D c a các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC Ch ng ể ủ ứ minh r ng d ằ A , d B ,

d C , d D đ ng quy ồ

H ướ ng d n ẫ Ch ng minh đo n th ng n i t 1 đ nh đ n tam giác v i ứ ạ ẳ ố ừ ỉ ế ớ

3 đ nh còn l i cùngỉ ạ

đi qua trung đi m I Sau đó ch ng minh để ứ ường th ng simson đi qua I.ẳ Theo bài toán

3.2

M t s bài toán liên quan t i độ ố ớ ường th ng simsonẳ

Bài toán 3.2.(Chuyên Toán PTNK 2007) Cho tam giác ABC n i ộ

ti p đ ế ườ ng tròn (O).

M t đi m M thay đ i trên cung BC không ch a A G i P, Q là hình ộ ể ổ ứ ọ chi u c a A trên ế ủ

MB và MC Ch ng minh r ng PQ luôn đi qua m t đi m c đ nh ứ ằ ộ ể ố ị

Bài toán 3.3 (Nguy n T ng V ) ễ ă ũ Cho tam giác ABC, M là đi m ể thay đ i trên BC G i ổ ọ

D, E là đi m đ i x ng c a M qua AB và AC Ch ng minh r ng trung ể ố ứ ủ ứ ằ

đi m PQ luôn ể

thu c m t đ ộ ộ ườ ng c đ nh khi M thay đ i trên BC ố ị ổ

Bài toán 3.4 (IMO 2007) Xét 5 đi m A, B, C, D, E sao cho ABCD là ể hình bình hành

và B, C, D, E là m t t giác n i ti p G i d là m t đ ộ ứ ộ ế ọ ộ ườ ng th ng qua A ẳ

Gi s d c t ả ử ắ

đo n DC F và BC G Gi s EF = EG = EC Ch ng minh r ng d là ạ ở ở ả ử ứ ằ phân giác góc

Bài toán 3.5 Trên đ ườ ng tròn (O) cho 6 đi m A, B, C, D, E, F Ta g i ể ọ

d E , d D, d F là

đ ườ ng th ng simson ng v i các đi m D,E, F c a tam giác ABC ẳ ứ ớ ể ủ

Ch ng minh r ng ứ ằ

giao đi m các đ ể ườ ng th ng trên t o thành tam giác đ ng d ng v i ẳ ạ ồ ạ ớ tam giác DEF.

4 Đườ ng th ng Steiner ẳ

Bài toán 4 Cho tam giác ABC n i ti p đ ộ ế ườ ng tròn (O), M là m t ộ

đi m thay đ i trên ể ổ

đ ườ ng tròn G i D, E , F là đi m đ i x ng c a M qua BC, AC và AB ọ ể ố ứ ủ

Ch ng minh r ng ứ ằ

8

D, E, F cùng thu c m t đ ộ ộ ườ ng th ng và đ ẳ ườ ng th ng đó luôn qua ẳ

tr c tâm c a tam ự ủ

giác ABC ( Đườ ng th ng này đ ẳ ượ c g i là đ ọ ườ ng th ng Steiner) ẳ

Ch ng minh ứ

Bài toán 4.1 (Lê Bá Khánh Trình) Cho tam giác ABC n i ti p ộ ế

đ ườ ng tròn (O) và hai

đi m P, Q trên (O) Kí hi u P ể ệ a là đi m đ i x ng c a P qua BC và A’ là ể ố ứ ủ giao đi m c a ể ủ

QP a và BC T ươ ng t xác đ nh B’, C’ Ch ng minh r ng A’, B’, C’ th ng ự ị ứ ằ ẳ hàng.

9

5 Đườ ng tròn Apollonius

6 Đị nh lý Ptolemy

7 B t đ ng th c Ptolemy ấ ẳ ứ

8 Đị nh lý Ceva, Menelaus và ng d ng ứ ụ

9 Đườ ng th ng Newton ẳ

10 Đị nh lý con b ướ m

11 Các bài toán khác