Hinh hoc phang & Hinh hoc Khong gian

Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC b.. Lập phơng trình các đờng trung trực các cạnh của tam giác ABC c.. Lập phơng trình các đờng cao của tam giác ABC Tơng tự Bài 3+4 Bài 6 a...

tu x x

2 0

1 0

t∈R

=> ptct − = − ⇒

2

0 1

0

u

y y u

x x

• Cho đờng thẳng d có phơng trình Ax+By+C = 0 hoặc y =ax+b

- Đờng thẳng //d có dạng Ax+By+M = 0 hoặc y = ax+m

- Đờng thẳng ⊥d có dạng Bx+Ay+N = 0 hoặc y= -– x n

Bài 2 Viết phơng trình tham số, phơng trình chính

tắc của đờng thẳng có phơng trình TQ : 3x-5y+11= 0

=

− +

* phơng trình BC : (4: )1 (2 )1 0 2 3 0

)4, 2(

Bài 4 : Viết phơng trình trung trực các cạnh một tam giác

biết trung điểm các cạnh là M(-2;1), N(3,-4), P (5,2)

Gọi tam giác đã cho là ABC ,

Giải

M;N;P lần lợt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC

PT trung trực của AB (2: )2 (6 )1 0 3 1 0

)6, 2(

Tơng tự cho các trờng hợp còn lại

Bài 5 : Cho trung điểm 3 cạnh của tam giác ABC là M(2,1), N(5,3), P(3,-4)

a Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC

b Lập phơng trình các đờng trung trực các cạnh của tam giác ABC

c Lập phơng trình các đờng cao của tam giác ABC

( Tơng tự Bài 3+4) Bài 6

a Viết phơng trình đờng thẳng qua A(1,-2) và //d : 4x-3y+5 = 0

b Viết phơng trình đờng thẳng qua giao điểm :

=

−

+

0 13 8:

0 2 7 4:

2

1

y x d

y x

Thay A(1,-2) vào (*) ta đợc M = -10

Vậy phơng trình đờng thẳng cần tìm là : 4x-3y-10 = 0

b Toạ độ giao điểm B của d1, d2 là nghiệm của hệ : )

52

36

; 52

89 ( 52 36 52

89

013 8

x yx yx

Phơng trình đờng thẳng qua B và // ∆ có dạng : x-2y+N = 0 (*)

Thay toạ độ của B vào (*) ta đợc N = -161/52

Vậy phơng trình đờng thẳng cần tìm là : 52x-104y-161=0

Bài 7 Cho tam giác ABC có đỉnh A(2;2) và phơng trình 2 đờng cao kẻ từ B, C

lần lợt là :

d1: 9x-3y- 4 = 0 ; d2 : x+y-2 = 0

a/ Viết phơng trình các cạnh của tam giác

b/ Lập phơng trình đờng trung tuyến của tam giác

a/ Ta thấy A không thuộc 2 đờng cao

gọi d1, d2 lần lợt xuất phát từ B và C

• Lập phơng trình AB : Qua A(2;2) và ⊥d2 có dạng :

x-y+M= 0 (*) Thay A(2;2) vào (*) đợc M = 0

*Lập phơng trình AC : Qua A(2;2) và ⊥ d1 có dạng -3x-9y+M = 0 (**)Thay A(2;2) vào (**) đợc M = 24

2 ( 3/2

3/2 043 9

0

B y

x yx

y x

7

; 3

5 (

) 3

;1 (

BC vtcp

1

B

B A

1 2

1

C

C B

B A

1 2

1

C

C B

B A

A

=

=

• d 1⊥ d 2  A 1 A 2 +B 1 B 2 = 0

* Đờng thẳng qua giao điểm d 1 và d 2 có dạng :

m(A 1 x+B 1 y+C 1 ) + n(A 2 x+B 2 y+C 2 ) = 0

Bài 1: Với a, b ? thì các đờng thẳng

2

a b a

2

a b

a

d d1 ⊥d2  2.4+a.6 = 0  a= -4/3

Bài 2 Tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3)

a Biết 2 đờng cao có phơng trình :

BH : 5x+3y-25= 0; CR : 3x+8y-12 = 0 Viết phơng trình đờng cao AL

b Viết phơng trình đờng thẳng BC nếu biết đờng trung trực của BC là :

- Đờng thẳng BC thuộc chùm AG và đờng trung trực của BC => phơng trình

Bài 3 Các cạnh tam giác ABC cơ phơng trình

AB : 2x+3y – 5 = 0; BC ; x-2y+1 = 0 ; CA: -3x+4y-1 = 0 Viết phơng trình ờng cao AH của tam giác ABC

đ-Hớng dẫn

- AH thuộc chùm AB và CA có dạng ?

2 1

2 1

2 1 2 1

.

|

|

B A B A

B B A A

+ +

1 2

k k

b Qua 2 điểm A(4;-1) và B(-2;7)

Bài 2 : Viết ptts, ptct của đờng thẳng có phơng trình tổng quát là :

3x-2y+5 = 0

Bài 3 : Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;5) và 2 đờng cao

có phơng trình : 2x+3y+7 = 0 và x-11y+3 = 0

Bài 4 :

a Viết phơng trình đờng thẳng qua A(3;-4) và // x+4y-2 = 0

b Viết phơng trình đờng thẳng qua giao điểm của 2 đờng thẳng :

3x-5y+2=0 và 5x-2y+4 = 0 đồng thời // với đờng thẳng 2x-y+4 = 0

Bài 5 : Lập phơng trình các đờng trung trực các cạnh một tam giác biết trung

Bài 3 : Lập phơng trình đờng tròn qua A(2,0), B(0,1), C(3,0)

Gọi phuơng trình đờng trò là x 2 +y 2 – 2ax – 2by + c = 0 (C)

Vì A,B,C thuộc (C) nên ta có:

2/5 12

a cb

2/ Phơng tích của một điểm đối với một đờng tròn

Cho x 2 +y 2 2ax 2by + c = 0 (C) với a– – 2 +b 2 > c và M 0 (x 0 , y 0 ) ta có :

3/ Trục đẳng phơng của hai đờng tròn

Cho : x 2 +y 2 2ax 2by + c = 0 (C)– –

x2+y2 – 2x – 2y -10 = 0 (C1)

x2+y2 – 4x – 2y +4 = 0 (C2)

Tìm trục đẳng phơng của hai đờng tròn

4/ Phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn

Cho : x 2 +y 2 2ax 2by + c = 0 (C) và điểm M(x– – 0 , y 0 )

Hãy lập phơng trình đờng thẳng đi qua điểm

M(x 0 , y 0 ) và tiếp xúc (C)

• Nếu điểm M(x 0 , y 0 ) nằm trên (C) thì phơng

trình tiếp tuyến là :

(x 0 -a)(x-x 0 ) + ( y 0 -b)(y-y 0 ) = 0

• Nếu điểm M(x 0 , y 0 ) nằm ngoài đờng tròn lập

phơng trình đờng thẳng d đi qua điểm M(x 0 , y 0 ) ĐK để d là tiếp tuyến là

d (M 0 , d) = R

Ví dụ : Cho đờng tròn (C) : x2 + y2 -4x+8y -5 = 0

a/ Lập phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (-1;-8)

b/ Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) đi qua điểm A(-1,0)

c/ viết phơng trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đờng thẳng 3x-4y+5=0

Bài 2 : Lập phơng trình đờng tròn trong các trờng hợp sau :

a/ Tâm I(2,-3) và đi qua điểm M(3,5)

b/ Đờng kính AB biết A(2, 3) , B(4,1)

c/ Tâm I(-1,2) và tiếp xúc với đờng thẳng x-2y+7 = 0

Bài 3 : Lập phơng trình đờng tròn đi qua 3 điểm

a/ A(1,2), B(5,2), C(1,-3)

Trôc lín 2a, nöa trôc lµ a

Trôc nhá 2b, nöa trôc b

Cho ∆ cè dÞnh vµ F ∈ ∆ , MH ⊥

∆

F – Tiªu ®iÓm cña (P)

∆ - §êng chuÈn cña (P)

Elíp (E) Hypebol (P) Parabol (P)

b/ Độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự 8

c/ Độ dài trục lớn là 12, tâm sai e = 1/2

Ví dụ 3 :Lập phơng trình chính tắc của (E) trong các trờng hợp sau :

a/ (E) đi qua các điểm M(0;3), N (3;-12/5)

b/ (E) có một tiêu điểm F1( 3;0), M(1; 3)

c/ Độ dài trục nhỏ 10, tâm sai e = 12/13

d/ Khoảng cách giữa các đờng chuẩn là 16, độ dài

trục lớn 8

e/ Khoảng cách giữa các đờng chuẩn là 32, tâm sai

e=1/2

a/ a =5, b=3 =>ptct ?b/ a =5, b =4 =>ptct ?c/ a =13, b =5 => ptct ?d/ a = 4, b = 12 => ptct ?e/ a = 8, b = 48 => ptct ?

Bài 2

a/ Viết phơng trình chính tắc của (E) có tiêu cự 8, tâm sai e =4/5

b/ Viết phơng trình tiếp tuyến của (E) xuất phát từ M(0,15

Bài 4 : Lập phơng trình chính tắc của (E) biết (E) nhận hai đờng thẳng

F2(3;0) Viết ptct của (E)

a +b = vẽ đờng thẳng vuông góc với trục

Ox, cắt (E) tai hai điểm A,b Tìm độ dài AB

a +b = một điểm M sao cho MF1 =2MF2, trong đó F1,

F2 là các tiêu điểm của (E)

Bài 8 : Cho (E) :

Bài 9 : Tìm tâm sai của (E) trong các trờng hợp sau :

a/ Các đỉnh trên trục bé nhìn hai tiêu điểm dới góc vuông

b/ Độ dài trục lớn bằng k lần trục bé (k > 1)

c/ Khoảng cách từ một đỉnh trên trục lớn tới một đỉnh nằm trên trục bé bằng tiêu cự

Bài 10 :Viết phơng trình tiếp tuyến của (E) :

Bài tập về hypebol

Ví dụ1 : Lập phơng trình chính tắc của (H) biết :

a/ Nửa trục thực 4, tiêu cự 10

b/ Tiêu cự bằng 2 13 , một tiệm cận là y =2x/3

c/ Tâm sai e= 5 , (H) qua điểm M( 10,6 )

Ví dụ 2 : Lập ptct của (H) biết :

a/ Trục thực 10, trục ảo 8

b/ Trục thực 8, tâm sai 5/4

c/ Tiêu cự 20, một tiệm cận có phơng trình 4x+3y=0

d/ Trục ảo 6 và hai tiệm cận vuông góc nhau

e/ Đi qua M(6,4), mỗi tiệm cận tạo với Ox một góc 300

A(2;0)

a/ Lập phơng trình chính tắc của (H) qua A và có tiêu điểm F1, F2

b/ Tìm toạ độ điểm M trên (H) sao cho MF2 = 2MF1

Ví dụ 4 : Lập ptct của (H) biết :

a/ Trục thực 10, trục ảo 8

b/Tiêu cự 20, một tiệm cận phơng trình 4x+3y = 0

c/ Độ dài trục ảo 6 và hai tiệm cận vuông góc nhau

Bài tập về nhà

Bài 1 : Viết phơng trình chính tắc của (H) biết :

a/ Tiêu cự 10, trục ảo 8

b/ Trục thực 16, tâm sai 5/4

c/ Khoảng cách các đờng chuẩn 50/13, tiêu cự 26

d/ Khoảng cách giữa các đờng chuẩn 104/5, tiệm cận y = ±3x/4

b/ Ta thÊy M thuéc (H) => ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i M lµ : 2 5x 2y 8 0− − =

Bµi 3 : LËp ptct cña (H) víi Ox lµ trôc thùc, tæng hai b¸n trôc lµ a+b =7, ph¬ng

5 − 4 = biÕt tiÕp tuyÕn ®i qua

5x-6y-16=0; 13x-10y-48=0 ViÕt ph¬ng tr×nh (H)

Đờng thẳng, mặt phẳng trong không gian

A/ Mục đích yêu cầu

, b→]

• Nếu A,B,C không thẳng hàng thì n→=[ ABuuur, ACuuur] là vtpt của (ABC)

• Từ phơng trình Ax+By+Cz+D = 0 (A2+B2+C2 ≠0 ta có :

- Nếu D = 0 mặt phẳng qua gốc toạ độ

- Nếu A = 0 mặt phẳng chứa hoặc //Ox

- Nếu B = 0 mặt phẳng chứa hoặc //Oy

- Nếu C = 0 mặt phẳng chứa hoặc //Oz

Ví dụ 1: Viết phơng trình mặt phẳng qua A(1,-2,3) và // 3x+2y-5z+1 = 0 (P)

b/ Viết phơng trình mặt phẳng qua A,B và //CD

c/ Viết phơng trình mặt phẳng qua C,D và //AB

phẳng, khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.

Cho (P) : Ax+By+Cz +D = 0 và (Q) : A’x+B’y+C’z+D’ = 0

• Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0;z0) đến (P) là : d(M0,(P)) = |Ax+By+Cz +D |2 2 2

Bài 4 Viết phơng trình mặt phẳng trong các trờng hợp sau :

a/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng x+2y-4=0 và x+y-z-3 = 0 đồng thời // 2=0

x+y+z-b/ Qua giao tuyến của hai mặt phẳng 3x-y+z-2=0 và x+4y-5=0, đồng thời vuông góc với mặt phẳng 2x-z+7 = 0

c/ Đi qua M(2;1;-1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng x-y+z-4=0 và 1=0

3x-y+z-Bài 5 :

a/ Cho 4 điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1)

b/ Trong không gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật có các đỉnh A(3,0,0), B(0,4,0), C(0,0,5), O(0,0,0) Xác định toạ độ đỉnh D Viết phơng trình mặt phẳng (ABD) Tính k/c từ C tới (ABD)

ĐS :

a/ (ABC) : y+2 = 0; h=(d,(ABC))=3

b/ Ta có : ODuuur=OAuuur+OBuuur+OCuuur=(3;4;5)

phơng trình mặt phẳng qua A(3;0;0) nhận n→ =[ ABuuur, ADuuur]=(20;15;12) làm vtpt có phơng trình : 20x+15y-12z-60=0

Kho¶ng c¸ch tõ C tíi (ABD) lµ 120

Bài 1 Viết phơng trình tham số, ptct, phơng trình tổng quát của đờng thẳng :

a/ Qua A(2,0,-1) và có vtcp →

u (1,-3,2)b/ Qua A(2,0,-3), B(4,1,2)

Bài 2 Tìm phơng trình đờng thẳng trong mỗi trờng hợp sau đây :

a/ Đi qua A(4,3,1) và // d :



 + + =



Bài 4 Viết pttq của đờng thẳng dới dạng giao của hai mặt phẳng //với Ox và Oy

khi biết ptts của nó :

(1,-1,-Theo giả thiết : d b a b a, n (2,5, 3)

Bài 9 : Trong không gian Oxyz cho (P) qua 3 điểm A(1,3,2), B(1,2,1), C(1,1,3)

Viết ptts của đờng thẳng d qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó

a/ mặt phẳng //Oz chứa đờng thẳng đã cho có phơng trình : 3x-2y-7=0

Vậy phơng trình hình chiếu vuông góc của d trên Oxy là : 3x-2y-7=0

4/ Vị trí t ơng đối của hai đ ờng thẳng đ ờng thẳng và mặt phẳng

a/ Vị trí t ơng đối của đ ờng thẳng

⊕ d chéo d’  u,u' M M ' 0r r uuuuuuur 0 0 ≠

b/ Vị trí t ơng đối của đ ờng thẳng và mặt phẳng

⊕ Khoảng cách 2 đờng thẳng d chéo d’ là : d(d,d’) = u,u' M M '0 0

⊕ Góc giữa hai đờng thẳng d, d’ là : cos

b/ CMR d cắt ( α ) Tìm toạ độ giao điểm

Bài 2 : Viết phơng trình đờng thẳng // d :

(với (P) chứa d1 và (Q) chứa d2)

Bài 2 Viết phơng trình mặt phẳng chứa đờng thẳng

a/ CM hai đờng thẳng chéo nhau

b/ Viết phơng trình đờng vuông góc chung của chúng

M’

Bài 14 : Lập phơng trình đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng (Oxz) và cắt hai

đ-ờng thẳng d:

x=ty=-4+t

qua M(0,1,1) vuông góc với đờng thẳng ∆ M

* §uêng trßn trong kh«ng gian cã ph¬ng tr×nh :

d/ Qua 4 ®iÓm A(1,-2,-1), B(-5,10,-1), C(4,1,1), D(-8,-2,2)

Bµi 2 ViÕt ph¬ng tr×nh mÆt cÇu tiÕp xóc víi c¸c mÆt ph¼ng

6x-3y-2z-35=0 (P) , 6x-3y-2z+63 =0 (Q) vµ víi mét trong hai mÆt ph¼ng Êy t¹i

Theo gthiết d (I,(P)) = d (I,(Q)) 

Thay x,y,z ở (1) vào ta đợc x=-1; y = 2; z =1 => I(-1,2,1); R = 7

Vậy phơng trình mặt cầu : (x+1)2+(y-2)2+(z-1)2 = 49

b/ Gọi I(x,y,z) là tâm mặt cầu Gọi h là k/c

từ I tới mặt phẳng đã cho Theo gt ta có :

h = x+2y+2z+3 3 | x+2y+2z+3|=9 x+2y+2z+3= 9

* Trờng hợp x+2y+2z+3 = -9 ( làm tợng tự )

Bài 6 : Trong không gian Oxyz cho A(3,-2,-2), B(3,2,0), C(0,2,1), D(-1,1,2)

a/ Viết phơng trình mặt phẳng (BCD) suy ra ABCD là một tứ diện

b/ Viết phơng trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD) Tìm toạ độ tiếp

điểm

Bài 7 Trong không gian Oxyz cho A(-2,0,1), B(0,10,3), C(2,0,-1), D(5,3,-1)

a/ Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua 3 điểm A,B,C

b/Viết phơng trình đờng thẳng qua D và vuông góc (P)

c/ Viết phơng trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc (P)