KHÓA LUẬN các ĐỊNH lý cơ bản của hàm KHẢ VI

Trong chương trình toán tại bậc học phổ thông, khái niệm hàm số khả vi một biến thực được đưa vào giảng dạy.. Đến bậc học đại học, sinh viên lại tiếp tục được nghiên cứu lại một cách hệ

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài khóa luận

Lớp hàm khả vi là một lớp hàm quan trọng của giải tích Trong chương trình toán tại bậc học phổ thông, khái niệm hàm số khả vi một biến thực được đưa vào giảng dạy Đến bậc học đại học, sinh viên lại tiếp tục được nghiên cứu lại một cách hệ thống và đầy đủ hơn về khái niệm này trong nội dung giải tích cổ điển (giải tích một biến thực) đối với sinh viên ngành toán hay trong nội dung toán cao cấp đối với sinh viên các khối ngành y, kinh tế, kỹ thuật, nông lâm,… Hơn thế nữa, khái niệm hàm khả vi còn được mở rộng và khái quát thành một trong những đối tượng nghiên cứu chính của giải tích hiện đại (hàm khả vi phức, hàm khả vi trong không gian Banach…), đồng thời nhiều lĩnh vực và chuyên ngành toán học liên quan đến hàm khả vi cũng ra đời như: phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, đa tạp khả vi…

Xuất phát từ ý nghĩa khoa học và vai trò quan trọng của hàm khả vi đối với nhiều kì thi học sinh giỏi toán, người ta thường đề cập đến những bài toán liên quan đến các kiến thức về hàm khả vi một biến thực Số lượng và các thể loại bài toán này rất phong phú, đa dạng và được nhiều người đánh giá là khó Chúng ta cũng có thể một phần thấy được để giải quyết những bài toán đó người ta phải đồng thời kết hợp các phép toán đại số, các tính chất về giới hạn, tính liên tục, tính khả vi… Nhưng kết hợp vận dụng như thế nào để đạt hiệu quả? Đây là một bài toán khó, chính vì vậy không ít sinh viên ngành Toán nói chung và sinh viên Sư phạm Toán nói riêng còn lúng túng khi gặp các bài toán áp dụng các định lý về hàm khả vi trong thực hành giải toán Để làm được điều này, yêu cầu người học phải có tư duy toán học phát triển, đồng thời áp dụng các định lý này ở mức độ cao hơn, phải biết sử dụng và kết hợp một cách khéo léo các kiến thức trong bộ môn giải tích để hỗ trợ và phát triển ứng dụng đó Đối với mỗi dạng bài, chúng ta sẽ xây dựng phương pháp

chung dựa vào các định lí hàm khả vi, trên cơ sở các phương pháp đó đưa ra

hệ thống bài tập nhằm cụ thể hóa các định lí trong nhiều trường hợp

Với mong muốn tìm hiểu một cách hệ thống và cụ thể hơn về hàm khả vi,

cùng nhiều ứng dụng quan trọng của lớp hàm này, tôi chọn đề tài: “Các định

lí về hàm khả vi và một số ứng dụng” cho khóa luận tốt nghiệp của mình.

2 Mục tiêu khóa luận

- Trình bày chi tiết và hệ thống những định lí về hàm khả vi và một số ứng dụng của chúng trong giải toán Qua đó làm rõ hơn mối quan hệ giữa tính khả vi của hàm thực một biến với hàm trong các không gian tuyến tính định chuẩn, đưa ra những tính chất về tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị hàm đa thức, làm rõ hơn tính khả vi hàm trị tuyệt đối của đa thức, đưa ra hệ thống phương pháp và bài tập ứng dụng các định

lí về hàm khả vi

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu khái niệm, các tính chất hàm khả vi

- Nghiên cứu các định lí liên quan đến tính đơn điệu của hàm khả vi

- Nghiên cứu các định lí liên quan đến cực trị của hàm khả vi

- Nghiên cứu các định lí liên quan đến tính lồi, lõm của đồ thị hàm khả vi

- Nghiên cứu các định lí về giá trị trung bình

- Nghiên cứu các định lí về khai triển hàm khả vi

4 Phương pháp nghiên cứu

Để hoàn thành khóa luận này chúng tôi chủ yếu sử dụng phương pháp nghiên cứu lí luận, cụ thể là:

- Trên cơ sở định nghĩa đã có chúng tôi phân tích làm rõ hơn mối quan

hệ giữa tính khả vi của hàm thực một biến với tính khả vi của hàm trong các không gian tuyến tính định chuẩn

- Xuất phát từ định nghĩa và cách xác định tâm đối xứng, trục đối xứng đã biết, chúng tôi sử dụng đạo hàm và công thức khai triển hàm khả vi để làm rõ hơn những tính chất về tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị hàm đa thức.

- Dựa trên tính khả vi của một số lớp hàm, chúng tôi áp dụng làm rõ hơn tính khả vi của hàm trị tuyệt đối của đa thức

- Từ nội dung và ý nghĩa của những định lý về hàm khả vi, chúng tôi khai thác đưa ra một số ứng dụng của chúng trong giải toán và hệ thống bài tập áp dụng

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng: Hàm khả vi

- Phạm vi: Khóa luận tập trung nghiên cứu những định lý về hàm khả vi một biến thực lấy giá trị trong tập số thực

6 Ý nghĩa khoa học

- Từ việc nghiên cứu những định lý về hàm khả vi, khóa luận đã trình bày một cách có hệ thống những định lý về hàm khả vi và một số ứng dụng của chúng trong giải toán, trong đó chúng tôi làm rõ hơn: mối quan hệ giữa tính khả vi của hàm thực một biến với tính khả vi của hàm trong các không gian tuyến tính định chuẩn; những tính chất về tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị hàm đa thức được trình bày trong phần 1.2 Ý nghĩa đại số của đạo hàm; tính khả vi của một số lớp hàm tại một

số điểm đặc biệt, đặc biệt là hàm trị tuyệt đối của đa thức được nêu trong phần 1.4 Điều kiện khả vi của một số lớp hàm Trên cơ sở nội dung và ý nghĩa của những định lý về hàm khả vi, chúng tôi khai thác đưa ra một số ứng dụng của chúng trong giải toán và hệ thống bài tập áp dụng

7 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia thành ba chương:

Chương 1 Một số tính chất của đạo hàm

Chương 2 Những định lí về hàm khả vi

Chương 3 Một số ứng dụng của các định lí về hàm khả vi

CHƯƠNG 1: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ĐẠO HÀM

Chương này bao gồm các kiến thức cơ bản về đạo hàm của hàm thực một biến Trong chương này chúng tôi làm rõ hơn: mối quan hệ giữa tính khả

vi của hàm thực một biến với tính khả vi của hàm trong các không gian tuyến tính định chuẩn; những tính chất về tâm đối xứng, trục đối xứng của đồ thị hàm đa thức; tính khả vi của một số lớp hàm tại một số điểm đặc biệt, đặc biệt là hàm trị tuyệt đối của đa thức

1.1 Khái niệm đạo hàm

1.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 1.1 [9, tr 185] Giả sử ( )f x là hàm số xác định trên khoảng

( , )a b ⊂¡ , x là một điểm thuộc khoảng đó Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ 0

− khi x dần đến x được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại 0

điểm x , kí hiệu là 0 f x hoặc '( )0 y x , nghĩa là: '( )0 f x ='( )0

0

0 0

2) Số x∆ không nhất thiết chỉ mang dấu dương

3) Số x∆ và y∆ là những kí hiệu, không nên nhầm lẫn rằng: x∆ là tích của ∆ với x, y∆ là tích của ∆ với y

Khi đó ta nói rằng hàm f khả vi tại x 0

Định nghĩa 1.4 [7, tr 133] Cho U là một tập hợp mở trong ¡ , hàm số f : U

→¡ là một hàm xác định trên U Hàm f được gọi là khả vi trên U nếu f

khả vi tại mọi điểm của U Khi đó hàm số ': f U →¡

xa f x'( )

được gọi là đạo hàm của hàm số f trên U.

Nếu f’ liên tục trên U thì ta nói rằng f khả vi liên tục trên U hay f thuộc lớp

(*) được viết dưới dạng quen thuộc

Trong đó ( , , , )1 2 n

n

h= h h h ∈¡ .

Ánh xạ f khả vi tại mọi điểm của Ω được gọi là khả vi trên Ω

Nhận xét 1.6 Xét trường hợp n = 1, ta có Ω =( , )a b ⊂¡ ; E F= =¡ tức là

f : ( , ) a b →¡ là hàm một biến số thực Theo định nghĩa 1.4 hàm f khả vi tại điểm x0∈( , )a b nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính S:¡ →¡ sao cho

( ) ( )lim

Như vậy S chính là vi phân của f tại x0∈( , )a b

Giả sử E E= × ×1 E n là không gian định chuẩn, F là không gian Banach và :

f Ω →F với Ω⊂E là mở Với mỗi 0 0 0

1

( , , )n

x = x x ∈Ω và mỗi 1 i n≤ ≤ , xét ánh xạ λi xác định trên một lân cận của 0

Định lí 1.8 [4, tr 239] Nếu f khả vi tại x thì nó có tất cả các đạo hàm riêng 0

Ma trận Jacobi của f tại x [4, tr 240]:0

Giả sử E E= × ×1 E n là không gian định chuẩn, F là không gian Banach và

Định lí 1.9 [4, tr 241] Giả sử E E= × ×1 E n là không gian định chuẩn,

F = F1× × F m và G là các không gian Banach Cho : f U →V g V, : →G

là hai ánh xạ với U, V là các tập mở trong E và F tương ứng Giả sử f có đạo

hàm riêng theo x tại i x0∈U và g khả vi tại y0 = f x( )0 Khi đó g f có đạo 0

hàm riêng theo x tại i x0∈U và 0 0 0

∂

=

0 1

'( )( )[ ( ) ( )]

1

0

( )( )[ ( ) ( )]

( )( )

i i

m

m

i i

f

x h x

Tương tự, xét hàm số :(a x, 0] →¡ Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

f x tại x và được ký hiệu là 0 f−'( )x hoặc 0 f x Các đạo hàm này gọi là t '( )0

đạo hàm một phía của f tại x 0

Nhận xét 1.11 Điều kiện cần và đủ để hàm số ( ) f x có đạo hàm tại x là 0

các đạo hàm một phía của hàm số ( ) f x tại x tồn tại và bằng nhau Khi đó:0

1.1.3 Đạo hàm cấp cao

Định nghĩa 1.13 [7, tr 144] Cho U là một tập mở trong ¡ Nếu tại x0∈U

hàm ':f U →¡ khả vi thì ta gọi đạo hàm của f’ tại x là đạo hàm cấp hai của 0

hàm f tại x và kí hiệu là 0 f x''( ) : ''( ) ( ')'( )0 f x0 = f x0

Hàm f có đạo hàm cấp hai tại x còn gọi là khả vi cấp hai tại 0 x 0

Một cách tổng quát, giả sử tồn tại đạo hàm cấp n-1 của f trên U, khi đó xác

Hàm f có đạo hàm cấp n tại x còn gọi là khả vi cấp n tại đó 0

(Ta dễ dàng chứng minh được bằng quy nạp)

1.1.4 Đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm ngược

Định lý 1.15 [7, tr 134] Cho các tập mở U, V trong ¡ , các hàm : f U →V

và : g V →¡ Giả sử f khả vi tại x0∈U và g khả vi tại y0 = f x( )0 ∈V Khi

đó hàm hợp g f khả vi tại 0 x và 0 (g f x0 )( )0 =g'[f(x )]0 f x '( )0

Mở rộng ta có:

Định lí 1.16 [4, tr 236] Giả sử E là không gian định chuẩn, F và G là các

không gian Banach và U⊂ E , V F⊂ là tập các tập mở Giả sử x0∈U và

f U →V g V →G là khả vi tại x và 0 y0 = f x( )0 thì g f U0 : →G khả vi tại x và 0 (g f0 )'( )x0 =g f x'( ( )) '( )0 f x0

Ví dụ 1.17 Tính đạo hàm của hàm số: y = + (1 x3 100)

Lời giải Ta có thể khai triển hàm số này theo công thức Newton và tính được

đạo hàm của nó Tuy nhiên ta có thể tính bằng cách đơn giản hơn Trong trường hợp này, nếu ta coi y = + (1 x3)100 như một hàm số hợp:

Định lí 1.18 [7, tr 135] Nếu hàm số f thỏa mãn:

i) : ( , ) f a b →¡ liên tục và đơn điệu thực sự trong khoảng (a, b).

ii) f có đạo hàm f x'( ) 00 ≠ tại x0∈( , )a b

Khi đó hàm ngược g = f−1 của hàm f có đạo hàm tại điểm y0 = f x( )0 và

0

0 0

x

x

=+

1.2 Ý nghĩa đại số của đạo hàm

1.2.1 Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số

• Nếu y0 = f x thì tâm đối xứng ( )0 I x y thuộc đồ thị (C).( ; )0 0

• Nếu y0 ≠ f x thì tâm đối xứng ( )0 I x y không thuộc đồ thị (C).( ; )0 0

Như vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số có thể nằm trên đồ thị hoặc nằm ngoài đồ thị hàm số đó

Định lí 1.21 [2, tr 37] Điểm ( ; ) I a b được gọi là tâm đối xứng của đồ thị hàm

số y = f x( ) khi và chỉ khi với phép biến đổi tọa độ: X x a x X a

+

=

− nhận điểm (1 ; 1)

I làm tâm đối xứng.

Lời giải Với phép biến đổi tọa độ: 1 1

Do đó điểm ( , )I α β là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f x( ) khi và chỉ

khi Y là một hàm lẻ Từ khai triển (2) ta thấy Y là hàm lẻ khi và chỉ khi

( )k ( ) 0

f α = với mọi k chẵn và ( ) f α =β

Nhận xét 1.23 Đồ thị hàm đa thức y= f x( ) nhận I( , )α β là tâm đối xứng

khi và chỉ khi ( ) f α =β và f( )k ( ) 0α = với mọi k chẵn

Mệnh đề 1.24

i) Tâm đối xứng của đồ thị hàm đa thức thuộc đồ thị hàm số đó.

ii) Đồ thị hàm đa thức bậc chẵn không có tâm đối xứng.

1.2.1.3 Dấu hiệu nhận biết tâm đối xứng của đồ thị hàm số

Cho y= f x( ) là một hàm số lẻ khả vi mọi cấp trên khoảng ( , )a b và 0 ( , )∈ a b

Khi đó (f − = −x) f x( ) ∀ ∈x ( , )a b

'( ) '( )

⇒ − = − − ⇒ −f x"( )= f "(−x) ⇒ f ''(0) 0=

Tổng quát: f( )k (0) 0= với mọi k chẵn

Nếu ( )f x có khai triển thành chuỗi lũy thừa:

0

n n

f C

f x ∞ C + x +

=

2 1 0

lim

n

k k n

α ∈ , giả sử ( )f x có đạo hàm mọi cấp Khi đó (C) nhận ( , )α β làm tâm

đối xứng, với phép đổi trục : α α

Nhận xét 1.26 Hoành độ tâm đối xứng của đồ thị thuộc tập xác định của

hàm số thì tâm đối xứng đó phải thuộc đồ thị hàm số ( hàm phân thức không có tính chất đó).

Giả sử ( )f x có khai triển thành chuỗi lũy thừa tại lân cận α :

Từ đó ta có các dấu hiệu nhận biết:

• Đồ thị hàm lẻ (C): y = f (x) nhận gốc tọa độ O(0; 0) làm tâm đối xứng.

• Đồ thị hàm bậc ba (C):f x( ) a= x3 +bx2 +cx d+ (a≠0) nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

Điểm M(α α; ( )f ) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số ( )f x

  là tâm đối xứng của đồ thị hàm số ( )f x

Ví dụ 1.28 Xác định tâm đối xứng của đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số này có: Tiệm cận đứng: d

x c

= − , tiệm cận ngang: a

y c

Thật vậy, với phép đổi tọa độ:

=+ , chứng minh rằng đồ thị này nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

Lời giải Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận ⇒ −I( 1 ; 1) Ta chứng

minh I là tâm đối xứng của đồ thị Thật vậy, với phép đổi tọa độ:

x d

= − vì xlime

d

y

→− = ∞Tiệm cận xiên: a b

Tiệm cận xiên: y = x vì lim( x y x) 0

→∞ − =( 1; 1)

I

⇒ − − là giao điểm của hai đường tiệm cận

Điểm I a f a là tâm đối xứng của đồ thị hàm số khi và chỉ khi: ( ; ( ))

2 (4)

Vậy đồ thị hàm số đã cho không có tâm đối xứng

1.2.2 Xác định trục đối xứng của đồ thị hàm số

1.2.2.1 Định nghĩa.

Định nghĩa 1.32 [8, tr 424] Đường thẳng (d) là trục đối xứng của đồ thị (C):

( )

y = f x khi và chỉ khi với mọi điểm M ∈( )C luôn tồn tại M' ( )∈ C sao cho

M và M’ đối xứng nhau qua (d)

Định lí 1.33 [2, tr 43] Đường thẳng x=α là trục đối xứng của đồ thị hàm số

Lời giải Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng là x a=

Với phép biến đổi tọa độ: X x a x X a

= +a

y x b ( có dạng = −1 +

a ) nếu cắt đồ thị tại A và B thì trung điểm I

của AB phải thuộc đường thẳng y= +ax b

Ví dụ 1.36 [2, tr 45] Cho hàm số = −

+

11

x y

A và B thì trung điểm I của AB phải thuộc đường thẳng y x= +2 Ta có:

Hoành độ giao điểm A và B là các nghiệm của phương trình:

22

y x Vậy đường thẳng y x= +2 là trục đối xứng của đồ thị hàm số

1.2.2.2 Trục đối xứng của đồ thị hàm đa thức

n

f x = +a a x a x+ + +a x có đồ thị (C)

i) Với n = 0 hay deg(f) = 0 thì ( )f x có dạng : y a= 0 nên đồ thị của ( )f x là

đường thẳng song song với trục hoành, do đó nhận mọi đường thẳng song

song với trục tung Oy làm trục đối xứng và chỉ có các đường này thỏa mãn làm trục đối xứng.

ii) Với n = 1 hay deg(f) = 1 thì ( )f x có dạng : y a= +0 a x1 (a1≠0) nên đồ

thị của nó nhận đường vuông góc (d) làm trục đối xứng, (d) có dạng

1

x m a

− + .iii) Với n > 1, (C) không có trục đối xứng theo phương xiên và không có trục đối xứng theo phương ngang Thật vậy:

Vì lim ( ) ( )

→∞ − + = ∞ và lim ( )

→∞ − = ∞ nên (C) nằm phía trên

hoặc phía dưới các đường thẳng: 1

2

::

 với x đủ lớn.

Nếu (C) nhận các đường này làm trục đối xứng thì cả hai phía ( hai nửa mặt phẳng nhận ∆ ∆1, 2làm bờ) đều phải chứa phần đồ thị (C)

Nhận xét 1.37 Đồ thị hàm đa thức y = 2

mới IXY ( I( ;0)α ) khi và chỉ khi ( )f x là một hàm chẵn, tức là hàm

y= f X +α là hàm số chẵn.

Từ (2) ta thấy Y là hàm chẵn khi và chỉ khi f( )k ( ) 0α = với mọi k lẻ.

Nhận xét 1.38 Đồ thị hàm số y= f x( )nhận x=α là trục đối xứng khi và chỉ khi f( )k ( ) 0α = với mọi k lẻ Hàm đa thức lẻ bậc lớn hơn hoặc bằng 3

không có trục đối xứng vì nếu n lẻ thì

Tổng quát: Cho y= f x( ) là hàm số chẵn, khả vi mọi cấp trên ( , ),a b giả sử

0 ( , )∈ a b Vì y= f x( ) chẵn nên ( )

(0)

f x = − ⇒f x f = ∀k lẻ

Nếu y= f x( ) có dạng khai triển thành chuỗi lũy thừa tại 0 ( chuỗi Maclorin)

với bán kính hội tụ R≥0 là:

(0)( )

(2 )!

n

n n

(0)lim

(2 )!

k n

k

f

x k

Lời giải Ta có: '( ) 2 f x = ax b+ , ''( ) 2f x = a Đường thẳng x=α là trục đối

xứng của đồ thị hàm số khi và chỉ khi '( ) 0

2

b f

−

= là trục đối xứng của đồ thị hàm đã cho

Ví dụ 1.41 Xét sự tồn tại trục đối xứng của đồ thị hàm đa thức :

f x = x + x −

Lời giải Ta có: f x'( ) 6= x2 +6x, "( ) 12f x = x +6, '''( ) 12f x =

Đồ thị hàm đã cho nhận x=α là trục đối xứng khi và chỉ khi

2

f α = α + α = và '''( ) 12f α = =0 ( vô lí )

Vậy đồ thị hàm đã cho không có trục đối xứng

1.2.2.3 Dấu hiệu nhận biết trục đối xứng [8, tr 424].

• Đồ thị (C) : y= f x( )là hàm chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

• Đồ thị (C) : y = f x( ) ax= 4 +bx2 +c a( ≠0) Đây là một hàm số chẵn nên đồ thị hàm này nhận trục tung là trục đối xứng

• Đồ thị (C) : y= f x( ) ax= 2 +bx c a+ ( ≠0) nhận

2

b a

x= − làm trục đối xứng

• Đồ thị (C) : = = + +

2 2

ax( )mx

bx c

y f x

nx p với

00

Ví dụ 1.42 Xác định trục đối xứng của đồ thị hàm số y x= 4 −2x2 +1

Lời giải Ta có: y' 4= x3 −4 , " 12x y = x2 −4, "' 24y = x

Đồ thị hàm đã cho nhận x=α là trục đối xứng khi và chỉ khi

Vậy x = 0 là trục đối xứng của đồ thị hàm đó cho

Kờ́t luọ̃n: Đụ̀ thị hàm sụ́ lẻ nhọ̃n gụ́c tọa đụ̣ làm tõm đụ́i xứng Đụ̀ thị hàm sụ́

chẵn nhọ̃n trục tung làm trục đụ́i xứng.

1.3 ý nghĩa hình học của đạo hàm

Để nờu rừ ý nghĩa hỡnh học của đạo hàm, ta xét bài toán: Cho hàm số

y = f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M o (x 0 ; f(x 0 )).

Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị (C) , với điểm M ≠ M0 và M∈(C):

M(xM;yM), gọi kM là hệ số góc của cát tuyến M0 M Giả sử tồn tại 0 lim0

Ví dụ 1.44 [9, tr 188] Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 tại

Vậy phơng trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 3(x + 1) - 1 = 3x + 2

1.4 Điều kiện khả vi của một số lớp hàm

Đối với những hàm sơ cấp ta dễ dàng tớnh được đạo hàm nhờ cỏc quy tắc tớnh đạo hàm, tuy nhiờn đối với một số lớp hàm đặc biệt thỡ việc tớnh đạo hàm khụng đơn giản, và khụng phải mọi hàm số đều cú đạo hàm Dưới đõy ta xột điều kiện cú đạo hàm của một số hàm đặc biệt:

Vớ dụ 1.45 [10, tr 53] Cho ( ) (f x = −x a) ( )ϕ x với ( )ϕ x là hàm liờn tục khi

Vì ( )ϕ x là hàm liên tục khi x = a nên '( ) f a = ( )ϕ a

Ví dụ 1.46 [8, tr 99] Cho hàm số:

b) Chứng tỏ rằng đạo hàm 'f không liên tục khi x = 0.

b) Chứng tỏ rằng đạo hàm 'f không liên tục khi x = 0.

Vì hàm số cos1

x không có giới hạn khi x→0 nên không tồn tại giới hạn'( )

f x khi x→0 Vậy hàm 'f ( x ) không liên tục khi x = 0

Nhận xét 1.47 Để xét tính khả vi của hàm số y= f x( ) tại điểm x0 ta có thể chọn một trong hai cách sau:

Cách 1:Thực hiện theo các bước

Bước 1:Tại x0 cho x một số gia x∆ , ta có:

0

( ) ( )'( ) lim

Ví dụ 1.48 Cho hàm số:

+ > Tìm a, b để hàm số có

đạo hàm tại điểm x = 1.

Lời giải Để hàm số đã cho có đạo hàm tại điểm x = 1, trước hết nó phải liên

tục tại điểm x = 1, do đó: lim ( ) lim ( )1 1 (1) 1

≥ Để tính đạo hàm

hoặc xác định giá trị của tham số để hàm số có đạo hàm tại điểm x0, ta thực

hiện theo các bước:

Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0.

Bước 2: Tính đạo hàm bên trái của hàm số y = f x( ) tại điểm x0:

0

0 0

Ví dụ 1.50 [10, tr 53] Cho hàm f x( )= −x a ( )ϕ x với ( )ϕ x là hàm liên tục

và ( ) 0ϕ a ≠ Chứng minh rằng hàm ( )f x không có đạo hàm tại điểm x = a.

Lời giải Xét các đạo hàm một phía của ( ) f x tại x = a:

Do đó f x( ) khả vi tại x = x0.

Trường hợp 2: x0 là nghiệm của ( )p x với p x( ) (= −x x Q x0) ( ) Khi đó

Vậy f x( ) khả vi tại x = x0 khi và chỉ khi x0 là nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2 của ( )p x

Kết luận:

i) Nếu x0 không là nghiệm của ( )p x thì f x( ) khả vi tại x = x0.

ii) Nếu x0 là nghiệm đơn của ( )p x thì f x( ) không khả vi tại x = x0.iii) Nếu x0 là nghiệm bội lớn hơn hoặc bằng 2 của thì f x( ) khả vi tại

x = x0.

CHƯƠNG 2: NHỮNG ĐỊNH LÍ VỀ HÀM KHẢ VI

Chương này bao gồm kiến thức về nội dung và ý nghĩa hình học của những định lý giá trị trung bình: bổ đề Phecma, định lý Rolle, định lý Lagrange, định lý Cauchy; những định lý về tính đơn điệu của hàm khả vi; những định lý về cực trị hàm khả vi; những định lý về tính lồi, lõm của đồ thị hàm khả vi; những định lý về khai triển hàm khả vi Đồng thời từ những định lý rút ra những hệ quả, chú ý và ví dụ minh họa

2.1 Những định lí về giá trị trung bình

Bổ đề 2.1 ( Bổ đề Fermat) [7, tr 139] Cho tập mở U ⊂¡ và hàm số

:

f U →¡ Nếu điểm c U∈ là điểm cực trị của hàm f và nếu tồn tại '( ) f c thì

'( ) 0

f c =

Ý nghĩa hình học [3, tr 230]: Tiếp tuyến duy nhất tại các điểm cực trị luôn

song song với trục hoành

y

x b c+h

c c-h a

O

Định lý 2.2 ( Định lí Rolle) [7, tr 139] Nếu hàm số :[ , ] f a b →¡ liên tục

trên đoạn [ , ] a b , khả vi trong khoảng ( , ) a b và ( ) f a = f b( ) thì tồn tại ít nhất một điểm c∈( , )a b sao cho '( ) 0 f c =

Ý nghĩa hình học [3, tr 230]: Ở giữa hai điểm cùng một độ cao của một

đường cong bao giờ cũng có ít nhất một điểm mà tại đó tiếp tuyến của đường cong nằm ngang; với giả thiết là tại mỗi điểm của phần đường cong cho biết ở trên đều tồn tại tiếp tuyến

3) Nếu ( ) f x có đạo hàm trên ( , ) a b và '( ) f x có nhiều nhất n nghiệm ( n là

số nguyên dương) trên ( , ) a b thì ( ) f x có nhiều nhất n+1 nghiệm trên

a b

Các hệ quả trên được suy ra trực tiếp từ định lý Rolle và nó vẫn đúng nếu các nghiệm là nghiệm bội ( khi ( )f x là đa thức).

Định lý 2.4 ( Định lí Lagrange) [7, tr 140] Cho hàm số :[ , ] f a b →¡ liên

tục trên [ , ] a b và khả vi trong khoảng ( , ) a b thì tồn tại ít nhất một điểm

y= f x phải tồn tại ít nhất một điểm ( , ( ))C c f c mà c∈( , )a b sao cho tiếp

tuyến với đường cong tại điểm đó song song với dây cung AB với ( , ( )) A a f a

và ( , ( ))B b f b Định lý Lagrange cho phép ta ước lượng tỉ số f b( ) f a( )

f(a)

BC

A

x b

c a

O y

Hình 2.3

1) Giả sử hàm số f xác định trên ¡ và liên tục trên [ , a b ], có đạo hàm trên ( , a b ) Khi đó, nếu '( ) 0 f x = với ∀ ∈x ( , )a b thì f lấy giá trị không đổi trên [

f x nghịch biến trên [ , a b ] suy ra f a'( ) f b( ) f a( ) f b'( )

Định lý 2.6 (Định lý Cauchy) [7, tr 141] Nếu các hàm , :[ , ] f g a b →¡ đều

liên tục trên đoạn [ , ] a b , khả vi trong khoảng ( , ) a b và '( ) 0g x ≠ tại mọi điểm

x trong khoảng đó thì tồn tại ít nhất một điểm c∈( , )a b sao cho:

g x = ∀ ∈x x a b thì định lý Cauhy là đưa về định lý Lagrange.

2.2 Những định lí về tính đơn điệu của hàm khả vi.

Định nghĩa 2.7 [3, tr 235]

i) Hàm số ( )f x được gọi là tăng ngặt trong khoảng ( , )a b khi và chỉ khi với

i) :[ , ] f a b →¡ liên tục trên đoạn [ , ] a b

ii, f khả vi trong khoảng ( , )a b

iii, ∀ ∈x ( , ), '( ) 0a b f x =

thì f không đổi trên [ , ] a b

Định lí 2.9 [11, tr 164] Cho : f I →¡ liên tục trên đoạn [ , ] a b , khả vi trong khoảng ( , )a b Khi đó f tăng ( giảm ) trên [ , ] a b khi và chỉ khi

( , ) : '( ) 0

∀ ∈ ≥ ( '( ) 0)f x ≤

Chú ý 2.10 [11, tr 166].

1) Trường hợp riêng, nếu f khả vi trên [ , ] a b và nếu ∀ ∈x [ , ]: '( ) 0a b f x > thì

f tăng nghiêm ngặt trên [ , ] a b

2) Có thể xảy ra trường hợp f khả vi trên [ , ] a b , tăng nghiêm ngặt trên [ , ] a b

và f’ triệt tiêu ít nhất tại một điểm thuộc [ , ] a b , ví dụ : 3

1 '( )

Định lý 2.11 [8, tr 121].

i) Nếu ( ) f x đồng biến trên [ a, b] thì x a bmin ( )∈[ , ] f x = f a( ); max ( )x a b∈[ , ] f x = f b( )

ii) Nếu ( ) f x nghịch biến trên [ a, b] thì x a bmin ( )∈[ , ] f x = f b( ) và

0 0