3 PT ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN

Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng Lập ptmp α đi qua M và vuông góc với d... Viết phương trình đường thẳng qua cắt lần lượt tại sao cho tam giác cân tại và nhận là đường tr

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG NÂNG CAO

A +B +C > A +B +C >

2 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

1 )Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

1 ) Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng

3 Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Lập ptmp ( ) α đi qua M và vuông góc với d

Tìm tọa độ giao điểm H của mp ( ) α và d

d đi qua M x'( 0';y z0'; '0 ); vtpt a'=(a a a1'; 2'; '3 )

( , ') , ' '

, '

hop day

o o o

B - CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó

Dạng 1 Viết phương trình đường thẳng ( )d đi qua M x y z và có vtcp0( 0; 0; 0) a=(a a a1; 2; 3):

hoặc

• Đường thẳng d đi qua A (hoặc B ) có vtcp a d =AB

• Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d

• Đường thẳng d đi qua A và có vtcp u d =u∆

• Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d

• Đường thẳng d đi qua A và có vtcp u d =nα

• Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d

• Đường thẳng d đi qua A và có vtcp

1, 2

u= u u 

• Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d

• Cách 1: Tìm một điểm và một vtcp

– Tìm toạ độ một điểm A ∈ d: Bằng cách giải hệ phương trình

(với việc chọn giá trị cho một ẩn ta sẽ giải hệ tìm giá trị hai ẩn còn lại)

– Tìm một vtcp của d:u d= n n P, Q

• Cách 2: Tìm hai điểm , A B thuộc d, rồi viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm đó

• Sử dụng dạng 1 để viết phương trình đường thẳng d

• Cách 1: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng ∆ 0

Ta có ⇒H

Khi đó đường thẳng d là đường thẳng đi qua M H (trở về dạng 2) 0,

• Cách 2: Gọi ( )P là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với ∆ ; 0 ( )Q là mặt phẳng đi qua M 0

và chứa

∆ Khi đó d=( )P ∩( )Q (trở về dạng 6)

• Cách 3: Gọi ( )P là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với ∆ 0

- Tìm điểm B=( )P ∩ ∆

- Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm M B (quay về dạng 2) 0,

• Tìm giao điểm M của ∆ và ( )P ⇒M d∈

• d=( )α ∩( )β với mp( )α chứa A và d ; mp ( )1 β chứa A và d (trở về dạng 6) 2

• Tìm các giao điểm A=d1∩( )P B, =d2∩( )P Khi đó d chính là đường thẳng AB (về dạng

2)

P Q

( )( )

• Viết phương trình mặt phẳng ( )P chứa d và d , mặt phẳng 1 ( )Q chứa d vàd 2

- Viết phương trình mặt phẳng ( )P qua A và vuông góc với d 1

- Viết phương trình mặt phẳng ( )Q chứa A và d 2

- Khi đó d=( )P ∩( )Q (trở về dạng 6)

• Cách 3:

- Viết phương trình tham số t của đường thẳng d (nếu chưa có) 2

- Tìm điểm B d= ∩d2( B có tọa độ theo tham số t ) thỏa mãn

1

d 0

AB u =

Giải phương trình tìm được t⇒B

- Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua hai điểm ,A B

- Viết phương trình mặt phẳng ( )β chứa dvà vuông góc với ( )α

- Đường thẳng d' là giao tuyến của ( )α và ( )β (trở về dạng 6)

• Cách 2:

- Xác định A là giao điểm của d và ( )α

- Lấy điểm M≠ A trên d Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua M vuông góc với ( )α

- Tìm tọa độ điểm H là giao điểm của với ( )α

- Đường thẳng chính là đường thẳng AH (trở về dạng 2)

Đặc biệt: Nếu d song song ( )α thì d' là đường thẳng đi qua H và song song với d

∆

d '

Dạng 16 Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau ( )d và 1 ( )d2:

• Cách 1:

- Chuyển phương trình đường thẳng ( ) ( )d1 , d về dạng tham số và xác định 2 u u lần lượt là 1, 2vtcp của ( ) ( )d1 , d 2

- Lấy ,A B lần lượt thuộc ( ) ( )d1 , d (tọa độ ,2 A B phụ thuộc vào tham số)

- Giả sử AB là đường vuông góc chung Khi đó: 1

2

00

Giải hệ phương trình ( )* tìm ra giá trị của tham số Từ đó tìm đượcA B ,

- Viết phương trình đường vuông góc chung AB

- Lập phương trình mặt phẳng ( )P chứa 2 đường thẳng cắt nhau d vàd , bằng cách: 1

+ Lấy một điểm A trên d 1

+ Một vtpt của ( )P là:

1,

- Lập phương trình mặt phẳng ( )P chứa 2 đường thẳng cắt nhau d vàd , bằng cách: 1

+ Lấy một điểm A trên d 1

+ Một vtpt của ( )P là:

1,

• Cách 2:

- Đưa ( )d về dạng tham số Điểm H được xác định bởi:

• Cách 1:

- Tìm hình chiếu H của M trên ( )d

- Xác định điểm M' sao cho H là trung điểm của đoạn MM' (công thức trung điếm)

- Xác định A là giao điểm của d và ( )P

- Lấy điểmM d∈ (M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm /

M đối xứng với M qua ( )P

- Đường thẳng chính là đường thẳngAM'

• TH2: ( ) d / /( )P

- Lấy điểmM d∈ (M bất kỳ) Tìm tọa độ điểm M/đối xứng với M qua ( )P

- Đường thẳng chính là đường thẳng quaM' và song song d

A

1 2

1 20

Phương trình đường thẳng nằm trong sao cho cắt và vuông góc với đường thẳng là

trên ( ) α sao cho mọi điểm của d cách đều 2 điểm , A B có phương trình là

với d và MI =4 14

5;9; 113; 7;13

M M

M M

C ( )

5;9; 113; 7;13

M M

M M

Câu 7: Trong không gian Ox ,yz cho hai mặt phẳng ( )P x: −2y+2z=0,( )Q : 2x+2y z+ − = 1 0

Viết phương trình của đường thẳng d đi qua A(0;0;1 ,) nằm trong mặt phẳng ( )Q và tạo với mặt phẳng ( )P một góc bằng 45 0

mãn CD=2AB và diện tích bằng 27; đỉnh A − −( 1; 1;0 ;) phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là 2 1 3

và mặt phẳng ( )P x: +2y z− + =1 0 Gọi d' là đường thẳng đối xứng với d qua ( )P Tìm

tọa độ điểm B trên d' sao cho AB =9

Viết phương trình đường thẳng qua cắt lần lượt tại sao cho tam giác cân tại và nhận là đường trung tuyến

Câu 13: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, gọi d là đường thẳng đi qua điểm A −( 1;0; 1− ),

trình: Viết phương trình đường thẳng đi qua , vuông góc và cắt

mặt cầu ( )S : (x 2)− 2+ −(y 3)2+ −(z 5)2=100 Đường thẳng ∆ qua A, nằm trên mặt phẳng ( ) α cắt ( )S tại A , B Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng ∆ là:

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ ( )Q x: −2y+2z+ =1 0 gọi d đi qua A(3; 1;1− ), nằm trong

mặt phẳng ( )P x y z: − + − =5 0, đồng thời tạo với : 2

Câu 25: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi , d đi qua điểm A(1; 1;2− ), song song với

( )P : 2x y z− − + =3 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 1 1

2.

1.2

Câu 30: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 1 ,− ) (B 7; 2;3− ) và đường thẳng

cho tổng khoảng cách từ các điểm , , A B C đến d lớn nhất Hỏi đường thẳng d đi qua

điểm nào dưới đây?

là điểm cách đều và trục Khoảng cách ngắn nhất giữa và bằng:

x

d y t z

Câu 36: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm A(2,1,0),

song song với mặt phẳng ( )P x y z: − − =0 và có tổng khoảng cách từ các điểm (0, 2,0 ,) (4,0,0)

M N tới đường thẳng đó đạt giá trị nhỏ nhất? Vector chỉ phương của ∆ là?

A − − ,B − −( 2; 1;1) Gọi C D, là hai điểm phân biệt di động trên đường thẳng ∆ sao

cho tồn tại điểm I cách đều tất cả các mặt của tứ diện ABCD và I thuộc tia Ox Tính độ dài đoạn thẳng CD

, m là tham số thực Giả sử ( )P và ( )P′ là hai mặt

phẳng chứa d, tiếp xúc với ( )S lần lượt tại T và T ′ Khi m thay đổi, tính giá trị nhỏ nhất

của độ dài đoạn thẳng TT ′

12 13

2 11.3

Giải: Gọi M, N là giao điểm của ∆ và d d1, 2

Khi đó M, N thuộc d d1, 2 nên

Vector chỉ phương của ∆ là MN = − +( 3 2 ' 3 ;4 4 ' ; 2t− t + t t− − + −t' 2t )

∆ song song với : 4 5 2

Gọi I là giao điểm của (d) và (P): (1 ;1 ; 2 ),I −t −t t I∈( )P ⇒ = ⇒t 0 I(1;1;0)

(d) có vectơ chỉ phương u = − −( 1; 1;2), (P) có vectơ pháp tuyến n =(1;1;0)

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần tìm là u∆ =   =(-2 ;2 ;0) u v, 

Phương trình mặt phẳng cần tìm là

1 2

1 20

Phương trình đường thẳng nằm trong sao cho cắt và vuông góc với đường thẳng là

m m

trên ( ) α sao cho mọi điểm của d cách đều 2 điểm , A B có phương trình là

với d và MI =4 14.

5;9; 113; 7;13

M M

M M

M M

M M

Câu 7: Trong không gian Ox ,yz cho hai mặt phẳng ( )P x: −2y+2z=0,( )Q : 2x+2y z+ − =1 0

Viết phương trình của đường thẳng d đi qua A(0;0;1 ,) nằm trong mặt phẳng ( )Q và tạo

mãn CD=2AB và diện tích bằng 27; đỉnh A − −( 1; 1;0 ;) phương trình đường thẳng chứa cạnh CD là 2 1 3.

Đường thẳng CD qua M(2; 1;3− ) có vec tơ chỉ phương u =(2; 2;1)

Gọi H(2 2 ; 1 2 ;3+ t − + t +t) là hình chiếu của A lên CD, ta có:

AH u= + t t+ + ⇒ = − ⇒t t H − d A CD =AH =

Từ giả thiết ta có:

thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng ( )P , vuông góc với d đồng thời khoảng cách từ M đến ∆

Vì M = ∩d ( )P ⇒M(1; 3;0− )

Vì ∆ nằm trong ( )P và vuông góc với d nên: VTCP u∆ =u n d; P=(2; 3;1− )

Gọi N x y z( ; ; ) là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ , khi đó: MN =(x−1;y+3;z)

và mặt phẳng ( )P x: +2y z− + =1 0 Gọi d' là đường thẳng đối xứng với d qua ( )P Tìm

tọa độ điểm B trên d' sao cho AB =9

Viết phương trình đường thẳng qua cắt lần lượt tại sao cho tam giác cân tại và nhận là đường trung tuyến

3 6 14 9

t d

Do đó min cos ; (d ∆2)=0 khi t = Nên 0 AM =(2; 2; 1− )

Vậy phương trình đường thẳng d là: 1 1

trình: Viết phương trình đường thẳng đi qua , vuông góc và cắt

Hướng dẫn giải:

Do cắt nên tồn tại giao điểm giữa chúng Gọi

Phương trình tham số của : Do , suy ra

Do nên là vectơ chỉ phương của

Theo đề bài, vuông góc nên ( là vector chỉ phương của ) Suy ra

A

2

1 42

Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên d, đường thẳng ∆ cần tìm là đường thẳng MH

Vì H thuộc d nên H(1 2 ; 1 ;+ t − + −t t)suy ra MH =(2 1; 2t− − + −t t; )

3 6 14 9

t d

∆ =

+ + Xét hàm số ( ) 2 2

Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ

  và vec tơ chỉ phương u = − d ( 1;0;1)

Vậy phương trình của ∆ là

65292

Câu 18: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng , 1 1 2

d đi qua điểm A(2;0; 1− ) và có vectơ chỉ phương a d =n P =(7;1 4− )

Vậy phương trình của d là 2 1

( )

1 2

∆ đi qua điểm A(2;3;3) và có vectơ chỉ phương AB =(0; 1; 1− − )

Vậy phương trình của ∆ là

233

mặt cầu ( )S : (x 2)− 2+ −(y 3)2+ −(z 5)2=100 Đường thẳng ∆ qua A, nằm trên mặt phẳng ( ) α cắt ( )S tại A , B Để độ dài AB lớn nhất thì phương trình đường thẳng ∆ là:

x 2 2t

y 35

Câu 21: Phương trình nào sau đây không phải là phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng

d đi qua điểm B(12;9;1)

Gọi H là hình chiếu của B lên ( )P

( )P có vectơ pháp tuyến n = P (3;5; 1− )

BH đi qua B(12;9;1) và có vectơ chỉ phương a BH =n P=(3;5; 1− )

1 2

2 3 ,3

( ) ( )

d đi qua A(0;0; 2− ) và có vectơ chỉ phương a d'=(62; 25;61− )

Vậy phương trình tham số của 'd là

6225

 Gọi ( )Q qua d và vuông góc với ( )P

d đi qua điểm B(12;9;1) và có vectơ chỉ phương a d =(4;3;1)

( )P có vectơ pháp tuyến n = P (3;5; 1− )

( )Q qua B(12;9;1) có vectơ pháp tuyến n Q =a n d, P= −( 8;7;11)

( )Q :8x−7y−11z−22 0=

 'd là giao tuyến của ( )Q và ( )P

Tìm một điểm thuộc 'd , bằng cách cho y= 0

Câu 23: Trong không gian với hệ tọa độ BH cho đường thẳng

chọn M bất kỳ không trùng với M0(5;0;5); ví dụ: M(1; 2;3)− Gọi A

là hình chiếu song song của M lên mặt phẳng ( )

+/ Điểm A chính là giao điểm của d’ và ( )

Câu 24: Trong không gian với hệ tọa độ ( )Q x: −2y+2z+ =1 0 gọi d đi qua A(3; 1;1− ), nằm trong

mặt phẳng ( )P x y z: − + − =5 0, đồng thời tạo với : 2

23

( )P : 2x y z− − + =3 0, đồng thời tạo với đường thẳng : 1 1

Xét hàm số ( ) ( )

2 2

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(3;0; 1− ) và có VTCP là u =(1; 2;3)

Do ∆ ⊂( )P nên M∈( )P Giả sử VTPT của ( )P là n=(A B C; ; ),(A2+B2+C2 ≠0) Phương trình ( )P có dạng A x( − +3) By C z+ ( + =1) 0

5 12 1014

t sin

Ta có ( )

2

2 2

1.2

Hướng dẫn giải::

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm, n P là VTPT của mặt phẳng ( )P

Gọi M(1 ; ; 2 2+t t + t) là giao điểm của ∆ và d ; là giao điểm của

Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với d, B’ là hình chiếu của B lên (P)

Khi đó đường thẳng ∆ chính là đường thẳng AB’ và u =B'A

Gọi d’ là đường thẳng qua B và song song d’

Cách 2: Không cần viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d

Gọi d’ là đường thẳng qua B và song song d’

Tọa độ M thỏa mãn yêu cầu là: M=(2;0;4 )

Do AB có độ dài không đổi nên chu vi tam giác ABC nhỏ nhất khi AC CB+ nhỏ nhất

cho tổng khoảng cách từ các điểm , , A B C đến d lớn nhất Hỏi đường thẳng d đi qua

điểm nào dưới đây?

Dễ thấy D∈(ABC).Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của , ,A B C trên d

Suy ra d A d( , )+d B d( , )+d C d( , )=AA BB CC'+ '+ '≤ AD BD CD+ + Dấu bằng xảy ra khi

A ≡B ≡C ≡D Hay tổng khoảng cách từ các điểm , , A B C đến d lớn nhất khi d là

đường thẳng qua D và vuông góc với mặt phẳng ( )

Kiểm tra dấu bằng, dễ thấy 1 2 1 1;1; 11

là điểm cách đều và trục Khoảng cách ngắn nhất giữa và bằng:

Ta phát hiện ra 2 đường thẳng đầu đồng phẳng do đó ta viết phương trình mặt phẳng đi qua

2 đường thẳng đó Tiếp đó xác định giao điểm của 2 đường thẳng d d3, 4 với mặt phẳng vừa tìm được và ∆ chính là đường thẳng đi qua 2 giao điểm đó

Câu 36: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm A(2,1,0),

song song với mặt phẳng ( )P x y z: − − =0 và có tổng khoảng cách từ các điểm (0, 2,0 ,) (4,0,0)

M N tới đường thẳng đó đạt giá trị nhỏ nhất? Vector chỉ phương của ∆ là?

A u∆ =(1, 0,1) B u∆ =(2,1,1) C u∆ =(3, 2,1) D u∆ =(0,1, 1− )

Hướng dẫn giải:

Ta gọi ( )Q x y z: − − − =1 0 là mặt phẳng qua điểm

(2,1,0)

A , song song với mặt phẳng ( )P x y z: − − =0

Đồng thời ta phát hiện ra rằng điểm A(2,1,0) là trung

qua A và hai hình chiếu C và D của các điểm M(0, 2,0 ,) (N 4,0,0) tới mặt phẳng ( )Q

A − − ,B(− −2; 1;1) Gọi C D, là hai điểm phân biệt di động trên đường thẳng ∆ sao

cho tồn tại điểm I cách đều tất cả các mặt của tứ diện ABCD và I thuộc tia Ox Tính độ dài đoạn thẳng CD

A 12 17

3 17

, m là tham số thực Giả sử ( )P và ( )P′ là hai mặt

phẳng chứa d, tiếp xúc với ( )S lần lượt tại T và T ′ Khi m thay đổi, tính giá trị nhỏ nhất

của độ dài đoạn thẳng TT ′

Hướng dẫn giải:

Chọn A

1:

IH ≥d I P = ⇒T T ≥