7 KHOẢNG CÁCH và điểm đặc BIỆT

Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc C đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất bằng?. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các khoảng cách từ A đến các tiệm cận của C.. Tìm tọa độ điểm

KHOẢNG CÁCH VÀ ĐIỂM ĐẶC BIỆT

A – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

2

y x

= + có đồ thị ( )C Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc ( )C

đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất bằng?

3

2

1

x y x

+

=

− có đồ thị (C) và A là điểm thuộc (C) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các khoảng cách từ A đến các tiệm cận của (C)

1

x y x

−

= + có đồ thị là (C) Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận của (C) Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho độ dài IM là ngắn nhất?

A M1(0 ; 3− ) và M2(−2 ; 5) B M1(1; 1− ) và M2(−3 ; 3)

3

M  − 

  và 2

7

4 ; 3

M − 

;

M  − 

  và 2

5 11

;

2 3

nhất bằng?

Câu 5: Gọi M a b là điểm trên đồ thị hàm số ( ; ) 2 1

2

x y x

+

= + mà có khoảng cách đến đường thẳng

d y= x+ nhỏ nhất Khi đó

A a+2b=1 B a b+ =2 C a b+ = −2 D a+2b=3

Câu 6: Cho hàm số y=x3−3mx2+3(m2−1)x+ −1 m2 Tìm m để trên đồ thị hàm số có hai điểm

đối xứng qua gốc tọa độ

A − ≤1 m≤0 hoặc m ≥1 B − <1 m<0 hoặc m >1

C 1> >m 0 hoặc m < −1 D 1≥ ≥m 0 hoặc m ≤ −1

Câu 7: Cho hàm số y=x3−3mx2+3(m2−1)x+ −1 m2 Tìm m để trên đồ thị hàm số có hai điểm

đối xứng qua gốc tọa độ

A − ≤1 m≤0 hoặc m ≥1 B − <1 m<0 hoặc m >1

C 1> >m 0 hoặc m < −1 D 1≥ ≥m 0 hoặc m ≤ −1

Câu 8: Tọa độ cặp điểm thuộc đồ thị ( )C của hàm số 4

2

x y x

+

=

− đối xứng nhau qua đường thẳng : −2 − = là 6 0

3 1 3

x y x

−

=

−

3

M

A ( )4;4 và(− −1; 1) B (1; 5− )và(− −1; 1)

B – HƯỚNG DẪN GIẢI

2 3 3 2

y x

= + có đồ thị ( )C Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc ( )C

đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất bằng?

3

2

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Điểm 0,3

2

M 

  nằm trên trục Oy Khoảng cách từ M đến hai trục là

3 2

d =

Xét những điểm M có hoành độ lớn hơn 3

2

3 2

⇒ = + >

Xét những điểm M có hoành độ nhỏ hơn 3

2:

< < ⇒ > ⇒ = + >

 Với

− < < > ⇒ = − + + + = + = − <

Chứng tỏ hàm số nghịch biến Suy ra min ( )0 3

2

d =y =

1

x y x

+

=

− có đồ thị (C) và A là điểm thuộc (C) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng các khoảng cách từ A đến các tiệm cận của (C)

Hướng dẫn giải:

1

m

m

+

  Tổng khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận x =1 và 1

y= là

m

+

1

m

−

Chọn A

1

x y x

−

= + có đồ thị là (C) Gọi I là giao điểm của 2 đường tiệm cận của (C) Tìm tọa độ điểm M trên (C) sao cho độ dài IM là ngắn nhất?

C 1 2 ; 1

3

M  − 

  và 2

7

4 ; 3

M − 

;

M  − 

  và 2

5 11

;

2 3

Hướng dẫn giải:

1

m

M m

m

−

  thuộc đồ thị, có I(–1; 1)

2

2

16 1

1

m

2

2

16

1

m

IM nhỏ nhất khi IM =2 2 Khi đó (m + 1)2 = 4 Tìm được hai điểm M1(1; 1− ) và

2 3 ; 3

M −

Chọn B

nhất bằng?

Hướng dẫn giải:

Kết luận MN ngắn nhất bằng 8

Chọn A

Câu 5: Gọi M a b là điểm trên đồ thị hàm số ( ; ) 2 1

2

x y x

+

= + mà có khoảng cách đến đường thẳng

d y= x+ nhỏ nhất Khi đó

A a+2b=1 B a b+ =2 C a b+ = −2 D a+2b=3

Hướng dẫn giải:

Chọn C

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đưa về khảo sát hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất

Hướng dẫn giải:

Điểm

a a

+

3

x y x

−

=

−

3

M

3

M

3 m;3

m

8

3 n;3

n

  m n, >0

2 2

8

MN

Xét hàm số ( ) 3 2 10 11

2

f a

a

=

+ với a≠ − có 2, ( ) ( )

2 2

3 2

f a

a a

Tính các giá trị f( )− =1 4;f( )− = −3 8 và lim2 ( ) ;lim ( )

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số f a bằng ( ) 4⇔ = −a 1

1

a

a b b

= −



⇒ + = −

 = −



Câu 6: Cho hàm số y=x3−3mx2+3(m2−1)x+ −1 m2 Tìm m để trên đồ thị hàm số có hai điểm

đối xứng qua gốc tọa độ

A − ≤1 m≤0 hoặc m ≥1 B − <1 m<0 hoặc m >1

C 1>m>0 hoặc m < −1 D 1≥ ≥m 0 hoặc m ≤ −1

Hướng dẫn giải:

Gọi hai điểm đối xứng nhau qua O là A x y( 0, 0) (,B −x0,−y0)

y =x − mx + m − x + −m và

0

6mx 2 2m 0(*)

Nếu x =0 0 thì 2 2− m2 = suy ra 0 2

y = −m = Vậy A≡ ≡B O

Do đó: đồ thị hàm số có hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

⇔ phương trình (*) có nghiệm khác 0

2

2

0

m

 ≠





Chọn B

Câu 7: Cho hàm số y=x3−3mx2+3(m2−1)x+ −1 m2 Tìm m để trên đồ thị hàm số có hai điểm

đối xứng qua gốc tọa độ

A − ≤1 m≤0 hoặc m ≥1 B − <1 m<0 hoặc m >1

C 1>m>0 hoặc m < −1 D 1≥ ≥m 0 hoặc m ≤ −1

Hướng dẫn giải:

Đáp án B

Giải: gọi hai điểm đối xứng nhau qua O là A x y( 0, 0) (,B −x0,−y0)

y =x − mx + m − x + −m và

Từ đó suy ra: −6mx 2+ −2 2m2=0(*)

Nếu x =0 0 thì 2 2− m2 = suy ra 0 2

y = −m = Vậy A≡ ≡B O

Do đó: đồ thị hàm số có hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

⇔ phương trình (*) có nghiệm khác 0

2

2

0

m

 ≠





Câu 8: Tọa độ cặp điểm thuộc đồ thị ( )C của hàm số 4

2

x y x

+

=

− đối xứng nhau qua đường thẳng

d x− y− = là

A (4;4)và(− −1; 1) B (1; 5− )và(− −1; 1)

Hướng dẫn giải:

Chọn B

Gọi đường thẳng ∆ vuông góc với đường thẳng : 1 3

2

d y= x− suy ra :∆ y= −2x+m Giả sử ∆ cắt ( )C tại hai điểm phân biệt , A B Khi đó hoành độ của , A B là nghiệm của

phương trình

2

( )

4

2

4 0 2

h x

x x

x



≠

+ =

−

Điều kiện cần:

Để ∆ cắt ( )C tại hai điểm phân biệt thì phương trình ( ) h x = có hai nghiệm phân biệt khác 0

2 , tức là

2

m





Điều kiện đủ:

Gọi I là trung điểm của AB , ta có:

3

2

2

2

I

m

I m

+



Để hai điểm ,A B đối xứng nhau qua d x: −2y− = khi 6 0 I∈d

m

⇔ − − = ⇔ = − (thỏa điều kiện (*))

Với m = −3 phương trình 2 1 1

= − ⇒ = −



 Vậy tọa hai điểm cần tìm là (1; 5− ) và (− −1; 1)