Các điểm đặc biệt của đồ thị hàm số và bài toán khoảng cách

Chủ đề 9: CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH I- TỔNG QUAN CÁC DẠNG TOÁN: Dạng toán: TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ TOẠ ĐỘ NGUYÊN Phương pháp: Thông thường, ta

Chủ đề 9: CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

VÀ BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH

I- TỔNG QUAN CÁC DẠNG TOÁN:

Dạng toán: TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÓ TOẠ ĐỘ NGUYÊN

Phương pháp: Thông thường, ta gặp dạng toán này đối với hàm nhất biến và hàm hữu tỷ

+ Với hàm số y ax b, ad bc

cx d



Phân tích:

  1







Gọi M x y 0; 0   C có toạ độ nguyên, khi đó:

0 0

1 ,

bc ad

a

cx d



     





  





 chọn được x y 0, 0

+ Với hàm số 2 ,  ' 0

2

2

1



Gọi M x y 0; 0   C có toạ độ nguyên, khi đó:

 2  

1

a



2

2

2

a a x a b ab









 chọn được x y 0, 0

Dạng toán: BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH

Phương pháp: Để giải các bài toán liên quan đến khoảng cách, ta thường dùng các kết quả

sau:

1) Khoảng cách giữa hai điểm A x y A; A , B x y : B; B AB  (x B x A)2(y B y A)2

2) Khoảng cách từ M x y đến đt 0 0; 0 :axby  : c 0   0 0

0; ax 2by 2 c

d M

 



Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Đặc biêt: :x  a 0 d M 0;  x0 và a :y b  0 d M 0;  y0 b

 Ox d M Ox 0;  y0 và  Oy d M Oy 0;  x0

Lưu ý: Sử dụng các BĐT, phương pháp đạo hàm để giải các bài toán cực trị

Dạng toán: CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐỐI XỨNG

Phương pháp: Điểm M x y  0; 0

+ Điểm đối xứng với M qua Ox là: M x1 0;y0

+ Điểm đối xứng với M qua Oy là: M2x y0; 0

+ Điểm đối xứng với M qua gốc O là / 

0; 0

M  x y

+ Điểm A, B được gọi là đối xứng với nhau qua I khi thoả mãn đẳng thức trung điểm

+ Điểm A, B được gọi là đối xứng với nhau qua    là đường trung trực của AB

II- BÀI TẬP MINH HOẠ:

Bài tập 1: Cho hàm số 2 1

1

x y x





 Tìm trên đồ thị hàm số những điểm có tọa độ là các số nguyên

Bài giải: TXĐ: D  \ 1 Ta có 1

2

1

y

x

 



Điểm M x y trên đồ thị có tọa độ nguyên 0 0; 0 0 0

0

1

 

 

   





là ước của 1

Vậy trên đồ thị có 2 điểm có tọa độ nguyên là M1 0;1 , M 2 2; 3

Bài tập 2: Cho hàm số

2

y

x



 Tìm trên đồ thị hàm số những điểm có tọa độ là các số nguyên

Bài giải: TXĐ: \ 1

6

D  

  

 

 

 

x

    

Điểm M x y trên đồ thị có tọa độ nguyên 0 0; 0

53

x

x

x x

x





0 14

   



      

Vậy trên đồ thị có 2 điểm có tọa độ nguyên là M10;14 , M   2 9; 4

Bài tập tương tự: Tìm tất cả các điểm trên đồ thị (C) của mỗi hàm số sau, sao cho toạ độ

của chúng là các số nguyên:

x y

x





2

x y

x



1 2

x y

x





2

x y

x







Đề 39: Cho hàm số: 3 4

2

x y x





 Tìm điểm thuộc (C) cách đều 2 đường tiệm cận

Bài giải: TXĐ: D  \ 2 

Gọi M x y ; (C) và cách đều 2 tiệm cận x  và 2 y  3



 

2

4 2

2

x

x

x x



  

 



Vậy có 2 điểm thoả mãn đề bài là: M1 1;1 và M2 4;6

Bài tập 2: Cho hàm số C 

2 2 2 1

y

x



 Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất

Bài giải:

TXĐ: D R\  1

1



         là tiệm cận đứng của (C)



* Khoảng cách từ M đến d là 1 h1  x0  1

* Khoảng cách từ M đến d là 2 2 0 0

0

2

h

x



Khi đó: 1 2 0 4 B§T Cauchy 

0

1

x

 nên h1h2 min bằng 4

8 khi

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 2016

4

2

4 0

2











Vậy có 2 điểm thỏa y.c.bt là 4

M    



4

M     



Bài tập 2: (Đề dự bị 2007) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên

đồ thị hàm số (C):

2 4 3 2

y

x



 đến các đường tiệm cận của nó là hằng số

Bài giải: TXĐ: D  \ 2 

Gọi (C ) là đồ thị của hàm số Gọi    ; 2 7

2

x



Ta có:

2

lim

x y



  ;

2



        là tiệm cận đứng của (C)

và lim  2 0



    



            

tiệm cận xiên của (C)

Ta có:

+ Khoảng cách từ M đến tiệm cận xiên là

1

x

 

 + Khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng là d2   x 2

Ta cód d1 2 7 7

 : hằng số (đ.p.c.m)

Bài tập 3: Cho hàm số y x36x2 9x4 C  Tìm trên đồ thị (C) những điểm từ đó

kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị

Bài giải:

TXĐ: D  

0; 0 ( ) 0 0 6 0 9 0 4

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d đi qua M: d y: k x x0 y0

Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

  (1) (2)

0 0 2



Thay (2) vào (1) ta được phương trình:

  2   2

x x  x  x x x  x  

  2  0

2

x

 





 



Để từ đM kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị thì điều kiện là:

0

6

2

x

 

Vậy điểm cần tìm là M2; 2 

Bài tập 4: Cho hàm số C 

2 1

x y x



 Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh của (C) sao cho

độ dài AB ngắn nhất

Bài giải: TXĐ: D  \ 1 

Ta có:

        là tiệm cận đứng của (C)

Gọi A x y A; A , B x y nằm trên hai nhánh của (C) khi: B; B

 

 

1

1

a

b









Khi đó:

  2 2  2 2  2

2 2

2

Theo BĐT Cauchy: a b 2 ab , suy ra:

2 2

a b



Theo BĐT Cauchy: 8ab 4 2 32

ab

  , suy ra AB  2 32 8 8 1  2

Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi

4

1 4

ab ab

 

 



Bài tập 1: Cho hàm số y 2x23x  có đồ thị (P) và đường thẳng 1 :y   Tìm x 5 các điểm M  P , N   sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất

Bài giải: D  

Gọi M m m ;2 23m 1   P , N n n; 5 

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Ta có: MNmn m;2 23m  1 n 5

  2 2  2 2

2m n m 2m 3  2 m 2m 3

2 m 2m 3 2 m 1 2 8 MN 2 2

Đẳng thức xảy ra



Bài tập 1: Cho hàm số

2 4 5 2

y

x



 có đồ thị (C) Tìm trên (C) những điểm M có khoảng cách đến đường thẳng : 3x   nhỏ nhất y 6 0

Bài giải: D  

Gọi 02 0    

0

2

x

Gọi d là khoảng cách từ M đến đường thẳng : 3x   y 6 0

0

0

0

2

x





     



Vậy các điểm cần tìm là 1 3 5; ; 2 5; 5

M   M  

Bài tập 5: Cho hàm số 4 C 

1

1

x

  

 Tìm trên (C) những điểm cách đều hai trục tọa độ

Bài giải: TXĐ: D  \ 1 

0

4

1

x

 Do M cách đều hai trục tọa độ nên

M nằm trên hai đường thẳng y  hoặc y x   , suy ra: x

 

vô nghiệm

0

0

4

1 4 1

1

x

x









Vậy cú một điểm M   thỏa y.c.b.t  3; 3

Bài tập 6: Cho hàm số 1 C 

2

x y x





 Tỡm trờn (C) những điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ

Bài giải: TXĐ: D  \ 2

Gọi M x y1 0; 0, M2 x0; y0 là cặp điểm trờn (C) đối xứng nhau qua gốc tọa độ

Suy ra:

0

2

0

0

2

2

2

x

x

x



Vậy trờn (C) cú hai điểm thỏa y.c.b.t là 1 2;1 2 , 2 2;1 2

Đề 38: (Đề dự bị 2006) Tỡm trờn đồ thị

3

x

c y   x  x hai điểm phõn biệt

M, N đối xứng nhau qua trục tung

Bài giải: TXĐ: D  

     

Gọi M x y1; 1 , N x y2; 2  C đối xứng nhau qua Oy Lúc đó ta có:

0 0

   

3 1

1

3

x

x





Vậy có 2 cặp điểm thỏa y.c.b.t là 16 16 hoặc 16 16

M  N  M  N 

Đề 34: Cho hàm số 2 4

1

x y x





 (C) Tỡm trờn đồ thị (C) hai điểm A, B đối xứng nhau qua đường thẳng MN, biết M3; 0 , N  1; 1

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 2016 Bài giải: TXĐ: D  \ 1

Phương trình đường thẳng MN:x 2y  3 0

Xét hai điểm A, B trên đồ thị (C), ta có ; 2 6 , ; 2 6 , , 1

I

  là trung điểm của đoạn đoạn AB

Theo yêu cầu của bài toán ta có

2

a

 



 

Vậy A 2; 0 ; B0; 4 hoặc  B  2; 0 ; A 0; 4 

Đề 11: (ĐH B-2003) Tìm m để đồ thị hàm số y x33x2  có hai điểm phân biệt đối m

xứng nhau qua gốc toạ độ

Bài giải: TXĐ: D  

Đồ thị hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ

 tồn tại x  sao cho 0 0 y x 0   y x0

 tồn tại x  sao cho 0 0 3 2  3  2

 tồn tại x  sao cho 0 0 2

0

3x m

 m  0

Kết luận: Các giá trị m cần tìm là: 1 0

  

Bài tập 7: Tìm trên đồ thị 2 1

3

x y x





 hai điểm ,A B sao cho A và B đối xứng nhau qua điểm M1; 2 

Bài giải: TXĐ: D  \ 3

Gọi tọa độ hai điểm thuộc đồ thị cần tìm là ;2 1 , ;2 1 ,  , 3

     

Vì ,A B đối xứng nhau qua M1; 2 nên M là trung điểm của AB , do đó: 

 

Vậy các điểm cần tìm là A  4;1 ,B   hoặc 2; 5 A 2; 5 ,  B 4;1

Có thể trình bày cách khác, thông qua bài tập sau:

Bài tập 7: Tìm trên (C):

2 3 6 2

y

x



 tất cả các cặp điểm đối xứng nhau qua

1

;1 2

I 



 

 

Bài giải: TXĐ: D  \ 2 

Gọi M x y ; , M x y' '; '    C , x x, '2 và đối xứng nhau qua 1

;1 2

I 



 

  Khi đó ta có hệ: ' 1 ' 1 ' 1 ;2 

Vì      

2

2

2

; , ' '; '

4 2

1

y

x

y

x

 

  

 

  



2

2

1; 2

Vậy trên (C) có đúng1 cặp điểm là M 2; 4 , M' 3;6 

Bài tập 7: Tìm trên (C):

2 1

x y x



 các điểm A, B đối xứng nhau qua :y   x 1

Bài giải: TXĐ: D  \ 1

A, B đối xứng nhau qua    là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Vì AB   AB y:   x m

Xét phương trình hoành độ giao điểm của AB và (C):

2

2

1

x

Để A, B tồn tại  Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt   1

0

g

g

 



 ; 3 8  3 8; 

m

Khi đó, x A, x là các nghiệm của (1): B

1 2 2

A B

A B

m

m

x x







Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 2016

Gọi I là trung điểm AB 2 1 3; 1

A B I

   



+ Với m  , ta được: 1 2

x







Vậy 2 2; 2 ; 2 2; 2

    là các điểm cần tìm

Bài tập 4: Xác định k để trên (C):

2 2 2 1

y

x



 có 2 điểm P, Q khác nhau thoả mãn điều kiện: P P

Q Q

  



Bài giải: TXĐ: D  \ 1 

Theo giả thiết P, Q thoả mãn: P P P P , :

Do đó, P, Q là 2 giao điểm phân biệt của  và (C)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của  và (C):

2

2

1

x



Để tồn tại P, Q thoả yêu cầu bài toán  Phương trình g x  có 2 nghiệm phân biệt   0 1

x 

2

2

g



 ;1 2 2 1 2 2; 

k

Bài tập 7: Cho hàm số C 

2 6 3

x y x



 Tìm trên (C) những điểm cách đều hai đường tiệm cận của (C)

Bài giải:TXĐ: D  \ 0 

0



     là tiệm cận đứng của (C)

và

2 d



là tiệm cận xiên của (C)

Gọi 0 0 0 0 0  0 

0

x

* Khoảng cách từ M đến d là 1 h1  x0

* Khoảng cách từ M đến d là 2

0

x

Điểm M cách đều 2 đường tiệm cận khi chỉ khi

2

3

3



 Vậy có 1 cặp điểm thỏa y.c.b.t là M1 3; 3 và M 2 3; 3 

Bài tập 7: (ĐH D-2014) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C): y x33x sao cho tiếp tuyến 2 của (C) tại M có hệ số góc bằng 9

Bài giải: TXĐ: D  

Ta có y/ 3x2 3

Gọi M  C M a a ; 33a 2

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M bằng 9y a/  9

2

a

a

 



        

Tọa độ điểm M thỏa yêu cầu bài toán là M 2; 0 hoặc M    2; 4

Bài tập 7: Cho A 0;1 và I  , tìm m để trên m; 1  C m :y 2m x





 tồn tại điểm B

sao cho tam giác ABI vuông cân tại A

Bài giải: TXĐ: D \ m

Xét B b;2m b  C m AB b;m 2b



Ta có I  m; 1 AI    m; 2

Tam giác ABI vuông cân tại AB AI.2 02

A



 





 

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 2016

 

 

2 2

4

mb

    



 2 m b2 24 4 b24 0 b24m24 0 b2     4 b 2

* b  thay vào 2  1 ta được: 4 2 1

4 2

m m

m m

 

* b   thay vào 2  1 ta được: 4 2 1

4 2

m m

m m

  

Vậy m  1, m  là những giá trị cần tìm 4

Bài tập 7: Xác định tất cả những điểm M trên đồ thị  : 2 2

1

x

x





 sao cho đồ thị hàm

số  C tiếp xúc với đường tròn tâm I 1;2 tại M

Bài giải: TXĐ: D  \ 1 

Cách 1: Giả sử 0 0

0

;

1

x

M x

x

  

Phương trình tiếp tuyến tại

   

0 0

2

0 0

4 :

1 1

x

x x







hay

2

4

0

Vectơ chỉ phương của đường thẳng  

 2 0

4 : 1;

1

u

x





Ta có 0

0

4 1;

1

x

  





Mặt khác

 

 

 

0

0 0

3 3; 4 16

1

x





 

Cách 2: Nhận thấy I 1;2 là tâm của hypebol Do đó  C tiếp xúc với đường tròn tâm I

 

2 0

0

0

x

  

Dấu “=” xảy ra 0

0

0 0

3 4

1

1 1

x x

x x

 



        Vậy M 3; 4 ; M  1; 0 thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài tập 7: (ĐH A-2014) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C): 2

1

x y x





 sao cho khoảng cách từ

M đến đường thẳng y   bằng 2 x

Bài giải: TXĐ: D  \ 1 

1

a

a

  

Khoảng cách từu M đến đường thẳng y   là x

2 1 2

a a a d









Theo giả thiết d  2

2 2

2

   



+ a22a   : phương trình vô nghiệm 4 0

2

a

a

 



      Suy ra tọa độ điểm M cần tìm là M0; 2 hoặc  M  2; 0

Bài tập 7: Tìm m để khoảng cách từ 1; 4

2

I 



 

  đến đường thẳng đi qua hai cực trị của

 C m :y mx33mx2 2m1x   là lớn nhất 3 m

Bài giải: TXĐ: D  

Ta có: y'3mx26mx 2m 1

 C m có hai điểm cực trịy' có 2 nghiệm phân biệt đồng thời đổi dấu hai lần qua mỗi 0 nghiệm đó, tức là ta luôn có: 2 0 0

1

m



Với m  hoặc 0 m  thì 1  C m luôn có 2 cực trị, đồng thời hoành độ cực trị thỏa mãn phương trình 3mx26mx 2m 1 0 * 

suy ra 1 2 2  10

3

y    m x  m

  do  * là đường thẳng đi qua 2 cực trị

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 2016

3

Cách 1:  

 

2

2

;

m

d I

m

m m







d I

m

, đẳng thức xảy ra khi 5

2

m 

Vậy với 5

2

m  thì maxd I   ; 2

Cách 2: Dễ thấy  luôn đi qua điểm cố định 1

; 3 2

M 



  với m  

Gọi N là hình chiếu vuông góc của I lên  , khi đó d I ; IN IM, do đó

khoảng cách từ I đến  bằng IM khi và chỉ khi IM   tức là

IM

m

Chú ý: BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH ĐẾN HAI TRỤC TOẠ ĐỘ NGẮN NHẤT

VỚI HÀM SỐ ax b

y

cx d







Có nhiều phương pháp để giải quyết bài toán này, thể hiện qua các bài tập sau:

Bài tập 1: Tìm trên (C): 1

2

x y x





 những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục toạ độ là nhỏ nhất

Bài giải: TXĐ: D  \ 2

Gọi ; 1  

2

x

x

  

  , x 0 2

2

x

x





2

C Oy A  



  và    1; 0   1

2

Hàm số    

/

2

đồng biến trên 0;1

2

 

 

 

  Vậy    

1 0;

2

1

2

x

 

 

  

  , tại điểm 1 0; 1

2

M   



 

x

x





1

x



      

 

/

2

 

 

 

2

2

2 2

x

x

1

; 0 2

 

 

Vậy    

1

;0

2

1

2

x

 

 

  

 

  , tại điểm 1 0; 1

2

M   



 

Vậy điểm cần tìm là 1 0; 1

2

M   



 

Bài tập 2: Tìm trên (C): 1

1

x y x





 những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2

trục toạ độ là nhỏ nhất

Bài giải: TXĐ: D  \ 1

1

m

m

  

  , m   1

1

m

m





Do  C Oy A0; 1 và   C Ox B 1; 0 d A d B  1

1 1

m

m

 



 



m



Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT Quốc gia 2016

  2

1

m

m

 Vậy mind M   2 2 khi 2 1 2

1

m

m

 



Vậy điểm cần tìm là M 21;1 2

III- BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài tập 1: Cho hàm số

2 4 4 1

y

x



 a) Tìm trên đồ thị hàm số những điểm có tọa độ là các số nguyên

b) Tìm trên đồ thị (C) những điểm có tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận nhỏ nhất

Bài tập 1: Cho hàm số 2 3 C 

1

x y x





 Tìm trên (C) những điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ

Bài tập 1: Cho hàm số C 

2

y

x

 



 Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh của (C) sao cho độ dài AB ngắn nhất

Bài tập 1: Xác định m để trên (C):

1

y

x

 



 có 2 điểm P, Q khác nhau thoả mãn điều kiện: P P

Q Q

  



Bài tập 1: Cho hàm số y x33x2 4 C  Tìm trên (C) những điểm cách đều hai trục tọa độ

Bài tập 1: Xác định m để (C): y x3m3x2mxm có 2 điểm đối xứng 5 nhau qua gốc toạ độ

Bài tập 1: Xác định m để (C): y    x3 1 m x 2 4m x  có 2 điểm đối xứng 1 nhau qua gốc toạ độ

Bài tập 1: Xác định m để (C): y x3 mx27x  có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc 3 toạ độ

Bài tập 1: Xác định m để (C):

2

y

x



 có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc toạ

độ

Bài tập 1: Xác định m để (C):

1

y

x



 có 2 điểm đối xứng nhau qua gốc toạ

độ