7 chuyên đề đạo hàm

Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị Cbiết tiếp tuyến tạo với đường thẳng y3x một góc 0x biết rằng tiếp tuyến cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB cân

7 CHUYÊN ĐỀ

ĐẠO HÀM

LỚP 11

Bài 1 Tìm số gia của hàm số 2

yx x, tương ứng với sự biến thiên của đối số từ x0 2 đến

x y x





2 1'







c)

4

2

14

5 2

1

11

Suy ra   1

02

d) y (x 1)(x2)(x3) e) 22

1

x y x



5 31

x y

x y

x y



y x x  x

CHUYÊN ĐỀ 3: TÍNH ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI x0

Phương pháp:

Cách 1: Sử dụng định nghĩa tính đạo hàm tại x0 là:      

0

0 0

Bài 3 Tính đạo hàm (bằng định nghĩa) của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a) 2

yx x tại x0 1 b) y x tại x0 1 c) 21

1

y x

 

 



 0   0 0

 

 



 0   0 0

 

 



 0   0 0

 

 



 0   0 0

 

 



 0   0 0

Bài 7 Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm x0:

x y x

CHUYÊN ĐỀ 4: ĐẠO HÀM CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC

u

 

  1  sinn u  n.sinn u sinu 

  1  cosn u n.cosn u cosu 

tann un.tann1u tan u

2) Ta có: y 2 sin 5 x1  sin 5x 1 10 cos 5xsin 5x1

3) Ta có: y sinx.cos 4xsin cos 4x xcos cos 4x x4sin sin 4x x

Bài 2 Tính đạo hàm của hàm số :

4) sin( ) cos

y x   x

x x x

x y

1 t 2

x y

x y



2sincos

x y

2

1 tan

1 tan

x y

d) ysin 3 cos 5x x e) y 1 2 tan x f) ytan 3xcot 3x

g) y4sinx3cosx h) y4sin2 x3cos4x i)

1 cos

x y

Tính đạo hàm rồi thay x0 vào

BÀI TẬP MẪU

Bài 1 Tính đạo hàm của hàm số sin 2

cos 3

x y

x

 tại

4

x

Hướng dẫn

Ta có: yx.cos 2xx cos 2 xcos 2x2 sin 2x x

Khi đó : '

12

Ta có y 5sinx3cosx5 sin x3 cos x5.cosx3sinx

Ta có y2sin 3 cos 5x xsin 8xsin 2x

 ysin 8xsin 2x'8cos 8x2 cos 2x

Ta có

2cos

22

2sin cos tan cot sin 2 tan cot

sin 1 2 cos cos 3sin cos

sin 1 2 cos cos 1 2sin

sin cos 2sin cos 2sin cos

Bài 3 Cho hàm số ycot 2x Chứng minh: y 2y2 2 0

2

cos.tan

sin cos sin sin cos cos

1 cos

x y

1 cos

x y

x

   

 

4 '

4

2 2

1

1

1sin

cos 2 cos 3 sin 2sin 3

2 cos 3cos 2sin 3sin

  Vậy y' không phụ thuộc vào x

IV Giải phương trình – Bất phương trình liên quan đạo hàm của hàm lượng giác

Bài 2 Giải phương trình f x( )0 trong các trường hợp sau

a) f x( )sin 3x3sinx4 b) f x( )cos 2x2sinx3 c) f x( )  3 cosxsinx1

Hướng dẫn

a) f x( )sin 3x3sinx 4 f x 3cos 3x3cosx

  0 3cos 3 3cos 0 cos 3 cos 

b) f x( )cos 2x2sinx 3 f x  2sin 2x2 cosx

  0 2sin 2 2 cos 0 cos  2sin 1 0

Phương trình y  0 (m1) cosxmsinx(m2)

Điều kiện phương trình có nghiệm là 2 2 2

Bài 9 Cho hàm số y 1 sinx1 cos x , giải phương trình y 2(cosxsin )x

   

2 2

Ta có : y 4sin 2 cos 2x x2sin 2x,

nên y  0 2sin 2 cos 2x xsin 2x 0 sin 2x2 cos 2x 1 0

2sin 2 0

22

1

cos 2

32

Ta có : y msinx2 cosx3, khi đó y  0 msinx2 cosx3 1 

Phương trình y 0 có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm khi và chỉ khi :

Bài 1 Giải phương trình f ' x g x  biết   3  

Bài 2 a) Cho ysin 2x2cosx Hãy giải phương trình y 0

b) Cho y3sin 2x4cosx12x Hãy giải phương trình y 2

Bài 3 Giải phương trình y 0 trong mỗi trường hợp sau:

a) ysin 2x2cosx b) y3sin 2x4cos 2x10x

CHUYÊN ĐỀ 5: ĐẠO HÀM HÀM KÉP – ĐIỀU KIỆN TỒN TẠI ĐẠO HÀM

I Tính đạo hàm của hàm số   1    0

khi khi

Bài 3 Tính đạo hàm của hàm số



 liên tục tại x 0 nhưng không có đạo hàm tại 0

x

x f

Vì f ' 0   f ' 0  nên hàm số không có đạo hàm tại x 0

Bài 3 Tính đạo hàm của hàm số 3 2

khi 1 1

x x

f  f 

       f x( ) không có đạo hàm tại x 1

 1

1

1lim

1

x

x x

Bài 9 Cho   sin 3 0

x khi x

a) Chứng minh rằng f x liên tục tại   x0 0

b) Tính đạo hàm (nếu có) của f x tại điểm   x0 0

Bài 11 Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số

 có đạo hàm tại điểm x1

Bài 14 Cho hàm số: ( ) cos sin 0

Bài 17 Cho  

2 2

0

x khi x

a) Chứng minh rằng f x  liên tục tại x0 0

b) Tính đạo hàm (nếu có) của f x  tại điểm x0 0

a) Tính đạo hàm của hàm số tại mỗi x

b) Chứng tỏ rằng đạo hàm f x không liên tục tại điểm x0 0

Bài 21 Xét sự tồn tại đạo hàm của các hàm số sau trên :

khi x x

1

y

khi x x

CHUYÊN ĐỀ 6: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO

9

3lim



  ĐS:

1.3



2

1

1lim

1 215

x x x

y x  x  x Gọi S là tập hợp tất cả các nghiệm nguyên của bất

phương trình y 0 Tổng tất cả các phần tử của S bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn

42





   Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S   ;1  2019;

b) f ' x 0 có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

c) Trong trường hợp f ' x 0 có hai nghiệm Tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài 5 Giải phương trình f ' x 0 biết   22 3 4

b) f x có hai nghiệm phân biệt cùng dấu

c) Chứng minh rằng trong trường hợp f x có hai nghiệm (hai nghiệm có thể trùng nhau) thì

các nghiệm này thỏa mãn một hệ thức độc lập với m





 d)

221

y

x

 

 g) y–x44x2 h) 4 2

Bài 1 Cho hàm số y x x21 Chứng minh: y 1 x2  y 0

y x



 ,

21

3 2

x y x

CHUYÊN ĐỀ 7: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ

Dạng 1 Phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm M x y 0; 0

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm tọa độ tiếp điểm M x y 0; 0

- Bước 2: Tính y' f ' x , rồi suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là f ' x0

- Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C tại M x y 0; 0 là: y f '  x0 xx0 y0

BÀI TẬP MẪU

Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 3

y  x  x tại : a) Điểm M1; 2 

b) Tại điểm có hoành độ bằng 2

c) Tại điểm có tung độ bằng 1

Bài 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

41

y x

Theo giả thiết ta có x0  1 nên y0  2  tiếp điểm M 1; 2

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M 1; 2 là :

 x0   1 y( 1) 0 Phương trình tiếp tuyến: y3

Bài 5 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị

Giao điểm M của đồ thị với trục tung : x0  0 y0  1

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là : k  y' 0 1

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là :

Bài 6 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 3

1

x y

Đạo hàm:

 2

1.1

Bài 8 Gọi M là giao điểm của đồ thị hàm số 2 1

2

x y x

Tiếp tuyến này đi qua A2; 1  nên có: 1   m 6 3m 1 m 2

Vậy, m  2 là giá trị cần tìm

Bài 10 Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số 3 2

y x  m x  m x và (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x 2 Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d)





 biết hoành độ tiếp điểm là x0 0

Bài 2 Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị y  x2 biết tung độ tiếp điểm là y0 2

Bài 3 Cho hàm số yx33x21 có đồ thị là (C) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) :

1 Tại điểm M1; 3 ; 2 Tại điểm có hoành độ bằng 2 ;

3 Tại điểm có tung độ bằng 1 ; 4 Tại giao điểm (C) với trục tung ;

Bước 2: Giải phương trình f ' x  k x0  y0

Bước 3: Phương trình tiếp tuyến là: y k x. x0 y0

Chú ý:

Nếu đường thẳng song song với y axb thì k a

Nếu đường thẳng vuông góc với y axb thì k 1

a

  Nếu đường thẳng tạo với trục Ox một góc  thì k tan

Nếu đường thẳng tạo với đường thẳng  d góc  thì tan

Nếu đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thì tanOAB OB

OA

  , trong đó hệ số góccủa d được xác định bởi y' x  tanOAB

Cách 1: Gọi M x y 0; 0 là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến  t và đồ thị  C của hàm số Khi

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  6x1  4 6x10

110

x x

y  x  x có đồ thị là (C) Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp

tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng 1 2

y  x

Hướng dẫn

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên R

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm M khi đó x0 là nghiệm của phương trình

+) Với M(2;0) phương trình tiếp tuyến là y9x18

+) Với M( 2; 4)  phương trình tiếp tuyến là y9x14

Bài 4 Cho hàm số yx33x2 1 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)

song song với đường thẳng : 9x  y 6 0

Với x3, phương trình tiếp tuyến là y9(x   3) 1 y 9x26( thỏa mãn )

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y9x6

x biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d x: 2y 2 0

Với x1, phương trình tiếp tuyến là: y 2(x     1) 5 y 2x 7

Với x 3, phương trình tiếp tuyến là: y 2(x     3) 3 y 2x 9

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là: d1:y  2x 7;y  2x 9

x có đồ thị (C)và điểm I(2;1) Viết phương trình tiếp tuyến d của

(C)tại điểm M sao cho IM d

Hệ số góc của tiếp tuyến (d) tại M của đồ thị (C): 1 0

0

1'( )

x (C) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C)biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng y3x một góc 0

x biết rằng tiếp tuyến cắt trục

hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB cân tại O với O là gốc tọa

Tam giác OAB vuông cân tại O nên suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k1 hoặc k  1

Khi đó hoành độ tiêp điểm x0 là nghiệm của phương trình:

2

2

0 0

2 0

x

Với x0   1 y0 1 , phương trình tiếp tuyến là y x (loại vì cắt trục tung và trục hoành tại

O nên A B O)

Với x0   2 y0 0 , phương trình tiếp tuyến là y  x 2 (thỏa mãn)

Vậy tiếp tuyến cần tìm là y  x 2

Bài 9 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2

x biết rằng tiếp tuyến cắt trục

hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho tam giác OAB cân tại O với O là gốc tọa

11

k y x  x  x   x    

mink 12,đạt được khi: x0   1 y0 21

Vậy trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số, tiếp tuyến tại M 1;16 có hệ số góc nhỏ nhất

2 Vuông góc với đường thẳng (d ): 27x3y20190

3 Song song với đường thẳng (d’ ) : 24x y 20200

Bài 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 1 3 2

23

y   x x  biết tiếp tuyến song song

Phương trình tiếp tuyến là:  2    3 2

y  x  x xx x  x  (1) (Các em chú ý 3 2

Đường thẳng  d đi qua điểm A1;3có hệ số góc là k có dạng : y k x 13

Để  d là tiếp tuyến của đồ thị thì hệ phương trình      

C y f x  x  x  Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị

 C biết tiếp tuyến đi qua điểm 19; 4

Với x   1 k 0 phương trình tiếp tuyến là: y4

Với x  2 k 12 phương trình tiếp tuyến là: 12 19 4 12 15

A kẻ được 3 tiếp tuyến tới  C

Bài 3 Có hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2  

Đường thẳng d đi qua điểm A 9; 0 với hệ số góc k có phương trình yk x 9

Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị  C khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm

   

3 2

9 11

1

21

x

k x x

k x

Gọi k là hệ số góc của đường thẳng d đi qua A a a ; 2 1

41

x

x

k x

a a

A A

Vậycó 4 điểm thỏa mãn yêu cầu đầu bài

Bài 5 Tìm số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y4x36x21, biết tiếp tuyến đó đi qua điểm

 1; 9 

M

Hướng dẫn

TXĐ: R

Ta có: 2

Phương trình đường thẳngđi qua M 1; 9 có dạng:   :yk x  1 9

là tiếp tuyến của đồ thị khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

yx  x có đồ thị  C và điểm M m ; 0 sao cho từ M vẽ được ba tiếp

tuyến đến đồthị  C , trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau Tìm giá trị của m ?

Hướng dẫn

TXĐ: R

Ta có y 3x26x

Đường thẳng d đi qua M m ; 0 có hệ số góc k có phương trình : yk x m  

d là tiếp tuyến của  C khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

Khi x0 ta có phương trình tiếp tuyến y0

Đối với đồ thị hàm số không có tiếp tuyến nào vuông góc với y0 nên yêu cầu bài toán tương đương phương trình  1 có hai nghiệm x1 và x2 khác 0 thỏa y x   1 y x 2  1

Bài 7 Cho hàm số 4 2

yx  x  có đồ thị  C Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C

biết tiếp tuyến đi qua điểm A 0; 2 ?

Đường thẳng d đi qua điểm A 0; 2 có hệ số góc k có dạng: ykx2

Để đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị  C khi và khi hệ phương trình sau có nghiệm:

Bài 9 Từ điểm (1;3)A có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị hàm số 2 1

1

x y x

23

1

a

a a

là hai nghiệm của (*)

Để tiếp điểm của hai tiếp tuyến nằm về hai phía đối với trục hoành thì y y1 2 0

Mặt khác, hai tiếp tuyến này vuông góc với nhau nên ta có k k1 2  1

Yêu cầu bài toán (2) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn : 1 2

0

04

(1) 0

a

a b

 có đồ thị (C) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m

để từ điểm (0;1)A không kẻ được bất kì tiếp tuyến nào đến đồ thị ( )C

TH1: m   3 0 m 3 ta có 0 1

2

x   nên m3 không thỏa mãn TH2: m3 (*) vô nghiệm     ' 0 m 1

TH3: (*) có nghiệm x0  1 suy ra 2 0 (vô lý )

Vậy m1 thì không có tiếp tuyến nào của đồ thị ( )C đi qua A

Bài 13 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3

Bài 14 Cho hàm số y 4x33x2 có đồ thị ( )C Tìm trên đường thẳng y3 các điểm mà trên đó kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị ( )C

Vậy từ các điểm ( ;3)A m thỏa mãn ( ; 1) 1; \ 1





 có đồ thị (C) và điểm (1; 2)I Tìm điểm M thuộc đồ thị ( )C

có hoành độ lớn hơn 2 sao cho tiếp tuyến tại M vuông góc với đường thẳng IM





 có đồ thị  C và điểm A 0;a Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị

nguyên của a trong đoạn 2018; 2018 để từ điểm A kẻ được hai tiếp tuyến đến  C sao

cho hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành?

x

  



Đường thẳng d đi qua điểm A 0;a , hệ số góc k có phương trình: ykxa

Để d là tiếp tuyến của  C thì hệ phương trình

 

2

*1

k x

2

;1

2

;1

a

x x a





 Hai tiếp điểm nằm về hai phía của trục hoành khi: 1 2

a a

nên trên đoạn 2018; 2018 số giá trị nguyên của a thỏa

yêu cầu bài toán là 2018

Bài 18 Gọi S là tập hợp các điểm thuộc đường thẳng y2 mà qua mỗi điểm thuộc S đều kẻ

đượchai tiếp tuyến phân biệt tới đồ thị hàm số

2

1

x y x



 đồng thời hai tiếp tuyến đó vuông

góc với nhau Tính tổng hoành độ T của tất cả các điểm thuộc S

Gọi điểm A a   ; 2  d :y2 Đường thẳng d đi qua A có dạng yk x a   2

Điều kiện tiếp xúc:

21

x

k x a x

k x

a a

Bài 1 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 2

y  x biết tiếp tuyến qua A0; 1 

Bài 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị 3 2

1

x x y

Bài 4 Tìm m để đường thẳng y mx1 tiếp xúc 3 2

4

y  x x  x

Bài 5 Tìm m để đường thẳng y  7 x tiếp xúc

2

1

y x

( ) :C yx và hai điểm A 1; 1 và B1 x;1 y trên ( )C

a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB với x lần lượt là 0,1 và 0, 01

b) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với ( )C tại A

Bài 2 Cho hàm sốy f x( ) 1

x

  có đồ thị ( )C Viết phương trình tiếp tuyến với ( ) C , biết:

a) tiếp điểm có hoành độ bằng 2 b) Tiếp điểm có tung độ bằng 3

c) Hệ số góc của tiếp tuyến k –4 d) Tiếp tuyến song song với :d x9y2017e) Tiếp tuyến vuông góc với :d x4y2017 f) Tiếp tuyến qua điểm A8; 0

Bài 3 Cho Parabol yx2và hai điểm A2; 4 và B(2 x; 4 y) trên parabol đó

a) Tính hệ số góc của cát tuyến AB biết x lần lượt bằng 1; 0,1 và 0, 001

b) Tính hệ số góc của tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm A

Bài 4 Tìm hệ số góc của cát tuyến MN với đường cong  C , biết:

Bài 5 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số yx3, biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ bằng – 1

b) Tiếp điểm có tung độ bằng 8

c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3

Bài 6 Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol y 1

c) Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1

4



Bài 7 Cho đường cong  C :y x Viết phương trình tiếp tuyến của  C :

a) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1

b) Biết tiếp tuyến song song với : – 4x y 3 0

Bài 8 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

a) Tiếp tuyến của  C tại điểm có x có hệ số góc bằng 1

b) Tiếp tuyến của  C tại các điểm có các hoành độ

Bài 14 Tìm giao điểm của hai đường cong   2

rằng hai đường cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng

( ) :P yx Viết phương trình tiếp tuyến với  P , biết:

a) Tiếp tuyến song song với đường thẳng :d y4x3

b) Tiếp tuyến đi qua điểm A0;1

Bài 16 Viết phương trình tiếp tuyến của: