Toán 11 chuyên đề đạo hàm tiếp tuyến

Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với trục tung thì cho x0 0.. Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với trục h

CHƯƠNG 5 DÃY SỐ, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM

CHUYÊN ĐỀ 4: ĐẠO HÀM PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Khái niệm đạo hàm

Cho hàm số y f x   xác định trên khoảng (a;b) vàx0 a; b Giới hạn hữu hạn nếu có của tỉ số

khi được gọi là đạo hàm của hàm số đã cho tại , kí hiệu hay

   0

0

f x f x

x x



Như vậy ta có:      

0

0

0

  x x x , y f x0   0  x f x0 

Chú ý:

Nếu hàm số f x  có đạo hàm tại điểm x0thì f x  liên tục tại x0

2 Các quy tắc tính đạo hàm

Giả sử u u x ; v v x ; w w x         là các hàm số có đạo hàm, khi đó:

u v  u v u v  u v  ku ku , k 

 uv  u v uv  

2

u u v uv

   

  

 

 

3 Bảng đạo hàm của các hàm số cơ bản

Đạo hàm của hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm của hàm số hợp u u x   

(C là một số)

 C  0

 x   x1 , x 0  

 x 1 x 0 

2 x

 u  u u1  , u 0  

 u u u 0 

2 u



2

x 0



 

 

x 0



 

 

2

u 0

 

 

.u u 0



 

 

s inx cosx

cosx  s inx

2

1

cos x

s inu cosu.u 

cosu  s inu.u 

2

u

cos u



HDedu - Page 119

x k , k

2



2

1

sin x

x k , k  

2



2

u

sin u



u k , k  

 ax  a ln a.x

 ex  e x

1

x.ln a

ln x 1, x 0  

x

 au  a ln a.u u 

 eu e u u 

u

u.ln a



 lnu u , u 0  

u



4 Một số công thức tính đạo hàm nhanh

 2



2

ax bx c adx 2aex be dc





2 2

2

ae bd x 2 af dc x bf ec

ax bx c

    

5 Vi phân

Cho hàm số y f x   có đạo hàm tại x Ta gọi tích f x x   là vi phân của hàm số f x  tại điểm x ứng với số gia x(gọi tắt là vi phân của f tại điểm x) Kí hiệu df x f x x

Nếu chọn hàm số y = x thì dy dx 1 x    x Vì vậy ta thường kí hiệu  x dx và dy f x dx.   Công thức tính gần đúng nhờ vi phân là: f x 0 x  f x0 f ' x x. 0 

6 Đạo hàm cấp cao

Cho hàm số y f x   có đạo hàm f x  Hàm số f x  còn gọi là đạo hàm cấp 1 của hàm số f x  Nếu hàm số f x  có đạo hàm thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp 2 của hàm số f x , kí hiệu là y" hay f " x 

Đạo hàm của đạo hàm cấp 2 được gọi là đạo hàm cấp 3 của hàm số f x , kí hiệu là y hay f x Tương tự, ta gọi đạo hàm của đạo hàm cấp (n – 1) là đạo hàm cấp n của hàm số f x , kí hiệu là y n hay

tức là ta có:

  n  

f x ,

y  y  ; n N, n 1  

Chú ý:

Đạo hàm cấp 2 của độ dời là gia tốc tức thời của chuyền động tại thời điểm t.

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Các quy tắc tính đạo hàm

1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số   Khi đó là kết quả nào sau đây?

4

1

x 0 4



 



 

f 0

4

1 16

1 32

Ví dụ 2: Tìm a, b để hàm số f x  x22 1 khi x 0 có đạo hàm trên

2x ax b khi x 0



 

A a 10, b 11.  B a 0, b  1 C a 0, b 1.  D a 20, b 1. 

Ví dụ 3: Đạo hàm của hàm số sau  7 2 là:

y x x

A y 2 x 7x B y 7x71 x 61 

C y 7x7x x 61  D y 2 x 7x 7x 61 

Ví dụ 4: Cho f x  x2 2x 5 Tính

x 1



 f  1

Ví dụ 5: Đạo hàm của hàm số sau y 2 1 2 là

cos x sin x





cos 2x

cos 2x

cos 2x

cos 2x

 

Ví dụ 6: Đạo hàm của hàm số bằng Tính tổng a + b + c ?

2

2x 4x 1 y

x 3



2 2

ax bx c

x 3



Ví dụ 7: Cho hàm số y x 1 x  2 Tính 2 1 x y 2

Ví dụ 6: Đạo hàm của hàm số y 2x2 4x 1 bằng Tính tổng a + b + c ?

x 3



2 2

ax bx c

x 3



Ví dụ 7: Cho hàm số y x 1 x  2 Tính 2 1 x y 2

HDedu - Page 121

Ví dụ 8: Cho hàm số y cot x Hệ thức nào sau đây là đúng?

2



A y22y 0. B y22y 1 0.  C y2 2y 2 0.  D y22y 1 0. 

2 Bài tập tự luyện

Câu 1 Đạo hàm của hàm số sau y xcosx là:

A y cosx xsinx.   B y xcosx sinx.  

C y cosx xsinx.   D y xcosx sinx.  

Câu 2 Tìm số gia của hàm số y f x  x 3x3 2 2 ứng với số gia   x 0,1 của đối số x tại x0 1

Câu 3 Đạo hàm của hàm số sau y 32 x 2x x là:

3 x

x 2 x



   



   

Câu 4 Cho hàm số y cos3x.sin2x. Giá trị của y bằng:

3

 

 

 

2

2

Đáp án:

Dạng 2: Vi phân, đạo hàm cấp cao

1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y x 2x 3 2 2 Tính vi phân của hàm số tại điểm x0 1, ứng với số gia

x 0,02

 

Ví dụ 2: Cho hàm số y x 3 9x 12x 5.2  Vi phân của hàm số là:

A dy3x 18x 12 dx.2   B dy  3x 18x 12 dx.2  

C dy 3x 18x 12 dx.2   D dy  3x 18x 12 dx.2  

Ví dụ 3: Tính đạo hàm cấp 3 của hàm số sau y cos x. 2

Ví dụ 4: Cho hàm số    3 Giá trị bằng:

f x  x 1  f " 0 

Ví dụ 5: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y sin x n  *?

2

 

   

n

y cos x n

2

 

2

 

n

y cos x

2

 

   

2 Bài tập tự luyện

Câu 1 Cho hàm số y sin x  2 Vi phân của hàm số là:

A dy sin 2xdx B dy sin 2xdx. C dy sin xdx. D dy 2cosxdx.

Câu 2 Tìm đạo hàm cấp n của hàm số y 1 n *.

x 3

n 1

n!

x 3 

n

n 1

n!

x 3 

n 1

n 1 !

x 3 



n

n 1

1

x 3 

Câu 3 Cho hàm số y cos 3x. 2 Tính giá trị biểu thức 18 2y 1 y"  

Đáp án:

HDedu - Page 123

Dạng 2: Vi phân, đạo hàm cấp cao

1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho f x  2x3 x2 3,g x  x3 x2 3. Tập nghiệm của bất phương trình

2

là:

A. ;0  1;  B ;0   1; C ;1 1  2; D  0;1

Ví dụ 2: Cho   3 Tổng các nghiệm của phương trình là:

60 64

Ví dụ 3: Tìm m để các hàm số ym 1 x 3 m 2 x  3    26 m 2 x 1 co ùy' 0, x      

Ví dụ 4: Cho khai triển sau  2 310 30 Giá trị của tổng

1 x x  x a a x a x  

là:

S a 2a 30a   

Ví dụ 5: Một chất điểm chuyển động thẳng theo phương trình S t 3 3t2 4t, trong đó t tính bằng giây (s) và S được tính bằng mét (m) Gia tốc của chất điểm lúc t = 2s bằng:

A 4m / s 2 B 6m / s 2 C 8m / s 2 D 12m / s 2

2 Bài tập tự luyện

Câu 1 Cho hàm số y x 3x 3 29x 5. Phương trình y' 0 có nghiệm là:

A  1;2 B  1;3 C  0;4 D  1;2

Câu 2 Tìm m để các hàm sốy mx3 mx2 3m 1 x 1 có

3

     y 0, x    

Đáp án:

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1 Đạo hàm của hàm số sau y sin 2x 1 3   là:

A y 6sin 2x 1 cos 2x 1   2      B y 3sin 2x 1 cos 2x 1   2     

C y 3cos 2x 1 cos 2x 1   2      D y 3sin 2x 1   2  

Câu 2.Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S 1t4 3t ,2 trong đó t tính bằng giây (s)

2

và S được tính bằng mét (m) Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 4s bằng:

Câu 3 Cho hàm số y cosx . Giá tri của bằng:

1 sinx



6

 

 

 

6

 

 

6

 

  

6

 

 

6

 

  

 

Câu 4 Cho hàm số y f x cos x   2 với f x  là hàm liên tục trên Trong bốn biểu thức dưới đây,  biểu thức nào xác định hàm f x thỏa mãn y' 1 với mọi x  ?

2

2

Câu 5 Đạo hàm của hàm số y x 2x 1 3x 2      bằng ax3bx2cx d. Tính tổng a b c d.  

Câu 6 Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S t 3 3t2 9t 27, trong đó t tính bằng giây (s) và S được tính bằng mét (m) Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc triệt tiêu là:

A 0 m / s 2 B 6 m / s 2 C 24 m / s 2 D 12 m / s 2

Câu 7 Tính đạo hàm cấp n của hàm số y cos2x là:

y 1 cos 2x n

2

  n n

y 2 cos 2x

2

 

C y n 2 cos 2x nn 1 D

2

  n n

y 2 cos 2x n

2

Câu 8 Cho hàm số: y x 3. Tính giá trị biểu thức

x 4





2 y'  y 1 y"?

7 .

x 4





Đáp án:

HDedu - Page 125

CHƯƠNG 5 DÃY SỐ, GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM CHUYÊN ĐỀ 5 PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN PHẦN 1: LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

Phương trình tiếp tuyến của  C : y f x   tại điểm M x ; y 0 0 có dạng:

 0 0 0

y f x  x x y Trong đó k f x  0 được gọi là hệ số góc của phương trình tiếp tuyến

Điều kiện cần và đủ để hai đường  C : y f x1    và  C : y g x2    tiếp xúc nhau là hệ    

   

f x g x

f x g x



  







có nghiệm

PHẦN 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến biết tọa độ tiếp điểm

1 Phương pháp giải

Viết phương trình tiếp tuyến của  C : y f x   tại điểm M x ; y 0 0

Bước 1: Tìm tập xác định Tính f x 

Bước 2: Tính k f x  0

Bước 3: Lập phương trình tiếp tuyến y f x  0 x x 0y0

Chú ý:

Nếu đề bài cho hoành độ x0 thì ta tính y0 f x 0

Nếu đề bài cho tung độ y0 thì giải phương trình y0 f x 0 , tìm ra x0

Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với trục tung thì cho x0 0 Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với trục hoành thì choy0 0

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường cong 2   Viết phương trình tiếp tuyến của tại điểm

y

1

 



A y 2x B y x 2  C y  3x 10 D y  x 6

Ví dụ 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số   2  tại điểm có hoành độ là:

A y  8x 4 B y 9x 18  C y 4x 4 D y 9x 18 

Ví dụ 3: Tiếp tuyến của đồ thi hàm số y x2 3x 1 tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung có

2x 1





phương trình là:

A y x 1  B y x 1  C y x D y x

Ví dụ 4: Cho hàm số y 2x 4 có đồ thị là Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của với

x 3





trục hoành là:

A y 2x 4  B y 3x 1  C y 2x 4 D y 2x

Ví dụ 5: Cho hàm số y 3x 1 1 Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến của

x 1







đồ thị của hàm số  1 tại điểm M 2;5 ?

4

81 2

18 2

3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Cho đường cong  C : y f x  x33x2 Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại điểm

 

0

M l; 2

A y 3x B y  3x 1 C y 2x 1  D y  3x 3

Câu 2 Cho hàm số  C : y l x x2 Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C tại điểm có hoành

độ x0 1

2



2

2

2

Câu 3 Cho đường cong  C : y f x  x33x2 Viết phương trình tiếp tuyến của  C tại giao điểm của với trục hoành

 C

A y x 1, y x 3    B y x, y 9x 27   C y 0, y 9x 27   D y 0, y 9x 27  

Đáp án:

HDedu - Page 127

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc k cho trước

1 Phương pháp giải

Bước 1: Tìm tập xác định Tính f x  Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm

Bước 2: Do phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k, giải phương trình k y x  0 tìm x0

Bước 3: Tính y0 f x 0

Bước 4: Lập phương trình tiếp tuyến y f x  0 x x 0y0

Chú ý:

Hệ số góc k y x  0 của tiếp tuyến thường cho gián tiếp như sau:

Tiếp tuyến //d : y ax b   k a

Tiếp tuyến d : y ax b k 1

a

Tiếp tuyến tạo với trục hoành góc    k tan

Tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A và B  k OB

OA

Tiếp tuyến tạo với d:  y ax b  góc k a tan

1 k.a





2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường cong 2   Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến có hệ

y

1

 



số góc k 1

C Không tồn tại tiếp tuyến D y x 8 

Ví dụ 2: Cho đường cong  C : y 3x 1 Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến song

1 x





song với đường thẳng  d : x 4y 21 0  

4

Ví dụ 3: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y x 33x22, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng:

Ví dụ 4: Cho đường cong  C : y 3x 1 Viết phương trình tiếp tuyến của biết tiếp tuyến vuông

1 x





góc với đường thẳng   : 2x 2y 9 0  

A y x 3, y x 4    B y x 8, y x 4   

C y x 3, y x   D y x 8, y x  

Ví dụ 5: Cho hàm số y 3x34 C  Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng  d : x  3y 6 0  góc 300

3

3 3

Ví dụ 6: Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị  : 2x , biết rằng tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy

x 1

C y 1



lần lượt tại A và B sao cho AB 82.OB

3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Cho hàm số y x 33x29x 5 C   Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị  C , tìm tiếp tuyến

có hệ số góc nhỏ nhất

A y 14x 7 B y 18x 9 C y 2x 4 D y 12x 4

Câu 2 Cho hàm số y x 2 1  Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số , biết tiếp tuyến

2x 3





đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O

A y 2x B y  x 2 C y  3x 2 D y x, y  x 2

Câu 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C : y  x4 x26, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d: y 1x 1

6

A : y 6x 10 B : y 6x 1 C : y 6x 12 D : y 6x 9

HDedu - Page 129

Bước 4: Tính y , k f x0   0 Lập phương trình tiếp tuyến y f x  0 x x 0y0.

2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C : y x 33x2 biết nó đi qua điểm A 1; 4  

A y 4, y x 3  B y x 3, y 3x 1    .

C y 3x 1, y 9x 5    D y 4, y 9x 5 

Ví dụ 2: Cho hàm số y x 33mx2m 1 x1, m là tham số thực Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số tại điểm có hoành độ x 1 đi qua điểm A 1; 2 ?

8

2

Ví dụ 3: Cho hàm số     2 Tìm các điểm M thuộc đường thẳng d: , biết

rằng tiếp tuyến của đồ thị  C đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng x 9y 8 0  

11 11

2

2

11 11

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A cho trước

1 Phương pháp giải

Bước 1: Gọi M x ; y 0 0 là tiếp điểm Tính y0 f x 0 và k y x  0 theo x0

Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại  M x ; y 0 0 là :  y k x x   0y0

Bước 3: Do A(x ; y )A A   yA k(xAx ) y0  0 Giải phương trình ra x0

3 Bài tập tự luyện

Câu 1 Cho đồ thị hàm số y 4x 36x21 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đi qua điểm M 1; 9  

A y x 8  và y 4x 5  B y 24x 15  và y 4x 5 

Câu 2 Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 2m 1x4 m 5 tại điểm có hoành độ

4

vuông góc với đường thẳng d : 2x y 3 0  

4

1 4

7 16

9 16

PHẦN 3: BÀI TẬP TỔNG HỢP

Câu 1 Cho hàm số 1 3 2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại

3

A y 7x 2 B y 7x 2  C y 7x 2  D y 7x 2 .

Câu 2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số  2 tại điểm có hoành độ là

A y  3x 8 B y  3x 6 C y 3x 8  D y 3x 6 

Câu 3 Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị y tan x tại điểm có hoành độ x

4





2

2

Câu 4 Cho đồ thị  C : y 1x4 2x2 9 Viết phương trình tiếp tuyến của tại giao điểm của

với Ox

A y 15x 45, y   15x 45 B y 4x 12, y   4x 12

C y 3x 15, y    3x 15 D y 10x 30, y   10x 30

Câu 5 Cho hàm số y ax b có đồ thị cắt trục tung tại , tiếp tuyến tại A có hệ số góc

x 1





Các giá trị của a và b là:

A a 1, b 1  B a 2, b 1  C a 1, b 2  D a 2, b 2 

Câu 6 Cho hàm số y  x3 3x29x 5 C   Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị  C , tiếp tuyến có

hệ số góc lớn nhất là:

A y 12x 4  B y 10x 2  C y 20x 7  D y 15x 20 

Câu 7 Cho đồ thị  m   tiếp tuyến tại giao điểm của với Ox song song với

3m 1 x m

C : y

x m



đường thẳng d: y  x 5

6

3

3

    

Câu 8 Gọi M  : y 2x có tung độ bằng 5 Tiếp tuyến của tại M cắt các trục tọa độ Ox,

x 1

Oy lần lượt tại A và B Tính SOAB

4

121 8

121 3

121 6

Đáp án:

HDedu - Page 131