chuyên đề đạo hàm (hot)

Chuyên đề I: Đạo hàm

A- Tóm tắt lý thuyết

I) Hàm số liên tục

+ Cho hàm số y  f (x) xác định trên khoảng a; b Hàm số y  f (x) đợc gọi là liên tục tại x oa;b 

o

x xlimf(x) = f(x o)

+ Chú ý : Hàm số y  f (x) xác định trên khoảng (a;b) liên tục tại x oa;b   

II) Đạo hàm

1) Định nghĩa

+ Cho hàm số y  f (x) xác định trên tập xác định của nó và x o  TXĐ đạo hàm của hàm số y  f (x)tại x okí hiệu ' ( )

o x

y hay ' ( )

o x

' ( )

o x

y = ' ( )

o x

o

x xlim

x

y



 =

o

x xlim

x

x f x x

yy y o f(x)  f(x o) gọi là số gia tơng ứng của h/s tại x o

xx x o gọi là số gia của đối số tại x o

+ Hàm số y  f (x) xác định trên tập xác định của nó và x o  TXĐ    

 



 x x

2

'

1 1

) (u u  u

 





2 ' '

2 ) (

' '



Cosx'  Sinx

x Cos

2 '

2 '

u Tg u

u Cos

u Cotg u

u Sin

u Cotgu     

x a

ln

1 log ' 

' '

ln 

a u

u u

a

ln log '  '

1

; 4 )

khix x

khix x x

0 0

khix x

Cosx khix

5) Đạo hàm của hàm số

5

3 2 2

2 6) Đạo hàm của hàm số 4 3 2 7

x x

A

 2 2

2 '

1

2 4 2

x x

y B

 2 2

2 '

x y

C

 2 2

2 '

1

2 2

x

y D

 2 2

2 '

1

2 2

x y

8) Phơng trình tiếp tuyến của đờng cong y  x3 tại M(1;1) là

0 )

( 2

khix x

x khix e x f

0 )

khix bx

ax

khix e

a x x

f

bx

có đạo hàm tại x=0

b a

b a

(

2

khix b ax

khix x x x

f Tìm a và b để H/s có đạo hàm tại x=1

A 





 1 1

b a

B 





 1 1

b a

b a

C y'= Cosx + Cos2x D y'= Cosx- Cos2x

14) Đạo hàm của H/s y = Cosx.Cos3x tại

x Cos x Sin y

.

2 2

y' 14

 D

x Cos

x

A 0 B 2 C 4 D 8

23) Đạo hàm cấp n của H/s y = lnx là

A n

n n

x

n

1 )

x

n

1 )

C n

n n

)

x Sin

10

)

x Cos

26) Cho H/s

1

2 3

1

2 3

ln

ln

2 2

2 '

x

x x

2 2

2 '

x

x x

2 '

x

x x

2 '

x

x x

x

32) Cho H/s

1 )

y Mệnh đề nào sau đây sai ?

A f(x) liên tục tại x = 0 B f(x) có đạo hàm bên phải x = 0 là 1

C f(x) có đạo hàm tại x = 0 D f(x) xác định khi x   1

33) Cho H/s yf(x)  ln( 1  x) Mệnh đề nào sau đây đúng ?







 1

4 4 2

y ( m là tham số ) dơng x  1 khi và chỉ khi

b a

b a

b a

t u x x

o o

2 1

+ phơng trình đi qua M x ; o y o và có hệ số góc k là :y y o k(x x o) + phơng trình đi qua 2 điểm Ax1; y1 và Bx2; y2 có dạng là

2 1

1 2

1

1

y y

y y x x

x x

với 2 2 0



n m

2 2

2

1 1

1

c y b x a

c y b x a

2

1 1

1

c y b x a

c y b x a

(I) + Nếu (I) có 1 nghiệm thì 1 cắt 2

+ Nếu (I) vô số nghiệm thì 1 trùng 2

+ Nếu (I) vô nghiệm thì 1 song song 2

3- Góc giữa hai đ ờng thẳng

2 1 2 1

.

;

b a b a

b b a a n

n

n n n n Cos

4- Khoảng cách từ một điểm tới một đ ờng thẳng

Cho đờng thẳng  : axbyc 0 với a2 b2  0 và M x ; o y o

 

2 2

;

b a

c by ax M

A 3x+y+9=0 B -x+3y-9=0 C 3x+y-9=0 D x-3y-9=0 3) Đờng thẳng đi qua N(2;-1) và nhận u( 7 ;  6 ) làm véc tơ chỉ phơng có Phơng trình tham số là

t x

7 1 6 2

t x

6 1 7 2

t x

6 2 7 1

t x

7

2

6 1

4) Đờng thẳng đi qua K(- 4;5) và nhận n( 3 ; 2 ) làm véc tơ pháp tuyến có Phơng trình tham số là

t x

3 5

2 4

t x

3 1

t x

3

2 1

t x

2 2 4

B 1

9

6  

y x

7) Phơng trình đi qua 2 điểm M(3;1) và N(2;-2) là

A 3x-y- 8=0 B 3x-y+8=0 C x-3y- 8=0 D 3x+y- 8=0

8) Góc giữa 2 đờng thẳng d1: x+2y+4=0 và d2: x-3y+6=0 là

A cắt nhau B trùng nhau C song song D vuông góc

11) Phơng trình đờng thẳng qua I(-1;-3) và vuông góc với

t x

3 2 1

t x

3 2 1

t x

2 3 1

t x

2

3

1

15) Đờng thẳngnào song song với đờng thẳng 

t x

2 1 3

t x

2 5

t x

2 5

t x

3 3 4

t x

3 3 4

t x

3 3 4

t x

3 8

17) Đờng thẳng nào vuông góc với đờng thẳng 

t x

2 1 1

A 2x+ y +1 = 0 B x + 2y + 1 = 0 C 4x -2y + 1 = 0 D

2

1 1

t x

4 2 5 1

t x

4 2

5 6

A cắt nhau B trùng nhau C song song D vuông góc

20) Xét vị trí tơng đối của cặp đờng thẳng sau

t x

2 2 4 1

và d' : 2x + 4y – 10 = 0

A cắt nhau B trùng nhau C song song D vuông góc

21) Cho hai đờng thẳng song song d1: 5x -7y + 4 = 0

d2: 5x – 7y + 6 = 0

Phơng trình đờng thẳng song song và cách đều d1 và d2

A 5x-7y + 2 = 0 B 5x-7y-3 = 0 C 5x-7y + 3 = 0 D 5x-7y + 5 = 0 22) Phơng trình đờng thẳng qua giao điểm của hai đờng thẳng

d1: x – y – 2 = 0 ; d2: 3x – y – 5 = 0 và vuông góc với đờng thẳng

 : x – 4y – 1 = 0 là

A 4x + y – 11 = 0 B 4x + y – 5,5 = 0

C 4x + y + 5,5 = 0 D 4x +y + 11 = 0

23) Viết phơng trình đờng thẳng qua giao điểm của hai đờng thẳng

x+2y -3 = 0 ; 4x – y + 1 = 0 và đi qua điểm A (2;0)

A 13x + 17y- 26 = 0 B 13x + y +26 = 0

C 13x -17y-26 = 0 D -13x +17y +26 = 0

24) Viết phơng trình đờng thẳng qua giao điểm của hai đờng thẳng

3x -5y + 2 = 0 và 5x -2y + 4 = 0 đồng thời song song với đờng thẳng 2x – y + 4 = 0

A 5x + y -14 = 0 B 4x -3y -13 = 0

C 38x -19y +30 = 0 D 2x-3y -28 = 0

25) Viết phơng trình đờng thẳng qua giao điểm của hai đờng thẳng

2x + y – 3 = 0 và x -2y + 1 = 0 đồng thời tạo với đờng thẳng

t x

7 2 4

t x

7 7 1

t x

2 7 4

t x

2 2 1

1- Cho H/s y = f(x) xác định trên khoảng (a;b)

+ f(x) đồng biến trên (a;b)  x1; x2 (a;b) ;

) ( )

Tồn tại một điểm c (a;b) sao cho ( ) ( ) f ' (c)

a b

a f b f

f không xác định hoặc bằng 0

B Bài tập trắc nghiệm

1) Cho H/s y = x2  2x Tìm mệnh đề đúng

A H/s luôn đồng biến x

B H/s đồng biến khoảng   ; 1 và nghịch biến khoảng 1 ; 

C H/s nghịch biến khoảng   ; 1 và đồng biến khoảng 1 ; 

D H/s nghịch biến khoảng   ; 0 và đồng biến khoảng 2 ; 

2) Khoảng đồng biến của hàm số  2

3 x x

y  là

A (1;3) B   ; 13 ;  C (0;3) D   ; 03 ;  3) Khoảng nghịch biến của hàm số y 2x2  x4 là

A  1 ; 01 ;  B   ;  10 ; 1 C (-1;1) D (0;1) 4) Khoảng nghịch biến của hàm số

3

15 2 2

6

m C m 6 ; 6 D m0 ; 6

7) Tìm m để H/s

3 4 2 2

mx x

y luôn luôn nghịch biến ?

D 2

a a

27

1 ) 2 1 (

2x4   x 4  3) Cho 0 < x < y < 1 Chứng minh rằng: 4 ( )

1

ln 1

x

x y

5) Cho a 6 ; b  8 ; c 3 CMR x 1 ta có x4  ax2  bx c0 6) CMR nếu x + y = 1 thì

8

1 4 4

Chuyên đề II: Phơng trình đờng tròn

Và một điểm M x ; o y o

Phơng tích của M đối với đờng tròn là

P M/(C) = F(x o,y o) x o2 y o2  2ax oby o c + Nếu P M/(C) > 0 thì M nằm ngoài đờng tròn (C)

+ Nếu P M/(C) < 0 thì M nằm trong đờng tròn (C)

+ Nếu P M/(C) = 0 thì M (C)

3- Trục đẳng phơng của hai đờng tròn

Cho 2 đòng tròn

C bB aA

j

r I

M

C B

A

+ Tìm toạ độ M là chân đờng phân giác trong góc A :

AC

AB MC

x   

6- Vị trí tơng đối của đơng tròn với đờng thẳng

Cho đờng thẳng  : Ax + By + C = 0

đờng tròn (C) : x a2 y b2 R2 có tâm I(a;b) bán kính R Tính d = d (I;)

+ Nếu d > R thì  và (C) không có điểm chung

+ Nếu d < R thì  cắt (C) tại 2 điểm

+ Nếu d = R thì  tiếp xúc (C)

(  gọi là phơng trình tiếp tuyến của đờng tròn )

7- Vị trí tơng đối của hai đờng tròn

Cho 2 đờng tròn :

C1 :     2

1

2 1

I1 I2

+ Nếu I1I2 > R1 + R2

hay I1I2 < R1 - R2 Thì C1 không có điểm chung với C2

C (C) đi qua điểm M(2;2) D (C) không đi qua điểm A(1;1)

3) Phơng trình tiếp tuyến tại điểm M(3;4) với đờng tròn

1 4) Cho đờng tròn (C) : 2 2 4 2 0

A  đi qua tâm của (C) B  cắt (C) tại hai điểm

C  tiếp xúc với (C) D  không có điểm chung với (C) 5) Đờng tròn (C) : 2 2 1 0

1

; 2

1

; 2

A m = 3 B m = 5 C m = 1 D m = 0 8) Cho hai điểm A(1;1) và B(7;5) Phơng trình đờng tròn đờng kính AB là

9) Đờng tròn đi qua ba điểm A(0;2) ; B(-2;0) ; C(2;0) có phơng trình là ?

10) Cho điểm M(0;4) và đờng tròn(C) : 2 2 8 6 21 0

Tìm phát biểu đúng trong các phát biểu sau :

A M nằm ngoài (C) B M nằm trên (C)

C M nằm trong (C) D M trùng với tâm của (C)

11) Cho A(1;1) và B(2;3) tập hợp các điểm M thoả mãn

điều kiện 3MA2  2MB2  6 là đờng tròn có bán kính bằng ?

Tâm của (C) nằm trên đờng thẳng nào sau đây ?

15) Phơng trình đờng tròn có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với

đờng thẳng x – 2y + 7 = 0 là ?

A    

5

4 2

C    

25

16 2

Biết rằng tiếp tuyến đi qua A(3;-2)

Biết rằng  song song với đờng thẳng d : 3x – y + 2007 = 0

Biết rằng  vuông góc với đờng thẳng d : 3x – y + 4 = 0

Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau ?

A C1 cắt C2 B C1 không có điểm chung với C2

C C1 tiếp xúc trong với C2 D C1 tiếp xúc ngoài với C2

20) Cho 3 điểm A(2;6) ; B(-3;-4) ; C(5;0)

a) Tìm toạ độ chân của đờng phân giác trong góc A của ABC

3

; 2 b) Tìm toạ độ tâm I của đờng tròn nội tiếp ABC

A I(-2;-1) B I(2;1) C I(-2;1) D I(2;-1)

c) Tìm bán kính r của đờng tròn nội tiếp ABC

A r = 3 B r = 5 C r = 5 D r = 6

Chuyên đề III : Cực đại và cực tiểu của hàm số

A Tóm tắt lý thuyết :

1- Dấu hiệu 1

Cho H/s y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b)

+ Nếu y' đổi dấu từ (+) sang (-) khi x qua x othì x olà một điểm cực đại của hàm số

+ Nếu y' đổi dấu từ (-) sang (+) khi x qua x othì x olà một điểm cực đại của hàm số

2- Dấu hiệu II

Cho H/s y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x o và ' ( ) 0



o x f

'' ( ) 0



o x

f thì x o là một điểm cực trị của hàm số + Nếu f '' (x o)  0 thì x o là điểm cực tiểu

+ Nếu '' ( ) 0



o x

f thì x o là điểm cực đại 3- chú ý :

Nếu hàm số

) (

) (

x v

x u

y  đạt cực trị tại x o thì giá trị

) (

) ( )

o

o

x v

x u x

) ( ' '

x v

x u

m mx x y

y với giá trị nào của k thì hàm số có cực đại và Cực tiểu ( giả sử là 2 điểm M , N) sao cho 3 điểm M,N,O thẳng hàng Trong đó O là gốc toạ độ

2 2

y Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× H/s cã C§ vµ CT Tho¶ m·n ycd.yct 0

11 2

11 2 8

b a

m x m x y

2

6 2 1 2

A m  3 B 



 5 1

m m

m m hay m

17

A

3

2 6 2

3

x m m

3

x m m

3

x m m

3

x m m

Quĩ tích điểm cực tiểu của hàm số khi m thay đổi là đờng cong

2- Bài toán 2: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua Mx1; y1(C)

Giả sử Pt đi qua Mx1; y1 có hệ số góc k có dạng y y1 kx x1

y x x k x f

) (

) (

) (

,

1 1

3- Bài toán 3: Viết phong trình tiếp tuyến biết hệ số góc k

Cách 1: Giả sử Pt tiếp tuyến có dạng : ykxb

Điều kiện tiếp xúc : 







k x f

b kx x

f

) ( ) (

, hệ này có nghiệm Cách 2: Tính f, (x) k giải ra ta tìm đợc tiếp điểm hay làx0  y0

Khi đó phơng trình tiếp tuyến : y y0 kx x0

3

; 0

A tiếp xúc với đồ thị hàm số

2

3 3 2

1 4 2





y Hỏi qua A có mấy tiếp tuyến ?

A có 1 tiếp tuyến B có 2 tiếp tuyến

C có 3 tiếp tuyến D có 4 tiếp tuyến

; 8 65 9

y (C) Tìm a và b để đồ thị hàm số đi qua A(0;-1) và Nhận đờng thẳng (d) : 3x+y +1 = 0 là tiếp tuyến

A 





 2 1

b a

B 





 1 2

b a

b a

 (d3): y x

9

6 4



A chỉ d1 B d2và d3 C cả d1 ;d2 ;d3 D đờng thẳng khác

7) Cho H/s  

m x

m x m y

8) Cho đờng cong (C) :

1

1 2

y Từ điểm M (1;-1) kẻ tới (C) 2 tiếp Tuyến vuông góc với nhau thì hệ số góc k của chúng nhận các giá trị Nào sau đây ?

A -1 và 1 B -2 và

2

1

5 

x m x y

A m  3 B m = 3 C m = - 3 D m = 0

11) Cho hàm số

x

m mx x

a) Hoành độ tiếp điểm : x = -1; x = 2; x 3

b) Tung độ tiếp điểm : y = 5; y = 7

a) Song song với đờng thẳng y = -2x+2

b) Vuông góc với đờng thẳng 3

y (C) CMR từ điểm A(1;-1) luôn kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc đến đồ thị (C)

8) Cho hàm số

1

2 2 2

y (C) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị qua A(1;0)

1

x x

y  (C) Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị đi qua O(0;0)

13) Cho H/s y  x  2x  1 (C) Tìm trên trục tung những điểm kẻ đợc

y (C) CMR không có tiếp tuyến của đồ thị hàm

số đi qua giao điểm I của hai đờng tiệm cận

17) Cho hàm số :

1

1 2

y (C) Tìm trên trục tung những điểm qua đó không kẻ đợc tiếp tuyến đến đồ thị hàm số

(t

g y c x

c là hằng số ; t là tham số + TH 2 M 





c y

t h

t g y

t h x

Cách giải : khử tham số t giữa các toạ độ x và y ta đợc hệ thức độc lập

đối với tham số giữa x và y có dạng y = f(x) chú ý điều kiện nếu có

b

4

; 2 + Tâm đối xứng là giao của 2 tiệm cận

A R = 2 B R = 3 C R = 4 D R = 5 3) Tìm quỹ tích điểm M biết M có toạ độ 

m m y m x

A

1

2 2

y B

1

2 2

C

1

2 2

y D

1

2 2

5) Quỹ tích tâm đối xứng của đồ thị hàm số :

m x

x m x y

a a

B a  3 C 





 1 3

a a

D a  1 b) Tìm quỹ tích I là trung điểm của P và Q

A là phần đồ thị hàm số :

2

5 9 2

x x

C là phần đồ thị hàm số :

2

5 9 2

x x

D là phần đồ thị hàm số :

2

5 9 2

x x

7) Quỹ tích tâm của đờng tròn 2 2 2 ( 1 ) 4 5 0

m x m y

B Không tồn tại tâm đối xứng

C là đờng tròn có phơng trình 2 2 4



y x

D là đờng thẳng có phơng trình x+y- 1 = 0

9) Cho H/s :

5 4

12 3

2 2

m x x

y Tìm phát biểu sai trong các phát biểu sau?

A Hàm số có cực đại và cực tiểu khi m > 0

B Quỹ tích điểm cực đại là parabol y  2x2 với x > 1

C Quỹ tích điểm cực tiểu là parabol y  2x2 với x > 1

D Hàm số xác định khi x 1

Chuyên Đề III : Ba Đờng cônic

A- Tóm tắt lý thuyết

1- Elíp

+ Phơng trình có dạng : 2 1

2 2



b

a ; a2 c2 b2 + Các đặc điểm :

Tiêu điểm F 1( c; 0 ) và F2(c; 0 ) ; Tiêu cực F1F2  2c

Đờng chuẩn

e

a

x  + Phơng trình tiếp tuyến : Cho (E) : 2 1

2 2

- Phơng trình tiếp tuyến Tại M(x o;y o))  (E) là 2  2  1

b

y y a



b

a ; a2 c2  b2 + Các đặc điểm :

Tiêu điểm F 1( c; 0 ) và F2(c; 0 ) ; Tiêu cực F1F2  2c

Độ dài trục thực 2a; Độ dài trục ảo 2b

Toạ độ các đỉnh A 1( a; 0 ) và A2(a; 0 )

Tâm sai   1

a

c e

Đờng chuẩn

e

a

x  Tiệm cận x

a

b

y  + Phơng trình tiếp tuyến : Cho (H) : 2 1

2 2

- Phơng trình tiếp tuyến Tại M(x o;y o))  (E) là 2  2  1

b

y y a

Tiêu điểm ; 0 )

2 ( p



- Phơng trình tiếp tuyến tại M(x o;y o)  (P) là y o yp(x o x)

- Đờng thẳng  : Ax + By + C = 0 là phơng trình tiếp tuyến