ĐÁP án CHI TIẾT ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG góc MP

Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ABC.. Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp cuả tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ABC... đường thẳ

HN – 0969141404 ĐÁP ÁN CHI TIẾT – LUYỆN TẬP: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG VÀ CÁC

DẠNG TOÁN – LỚP TOÁN THẦY HUY SIÊU CẤP ĐZ

A – lý thuyết cần nhớ

ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

I Định nghĩa:

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó

vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó:

d  mp( )   d  a, a    ( )

II Các định lý:

Định lý 1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt

nhau a và b cùng nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với

Định lý 2: (Ba đường vuông góc)

Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P) và đường thẳng b

nằm trong (P) Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b

vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P)

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

Để chứng minh a  b ta thường sử dụng những phương pháp chứng minh sau:

1 Sử dụng các phương pháp Hình học phẳng: Góc nội tiếp, Định lí Pitago đảo,

3 Sử dụng phương pháp tích vô hướng của hai véctơ: nếu a.b 0   a  b

6 Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (P), đường thẳng b

vuông góc với mặt phẳng (P), thì suy ra a  b:

HN – 0969141404 PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG

4) Chứng minh đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (P) , đường

thẳng a song song với b ,suy ra a vuông góc với (P)

5) Chứng minh đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q), mặt phẳng

(P) song song với (Q), nên a vuông góc với (P)

a (Q)

a (P) (Q) / / (P)

 





Hai trụ cột để giải toán của dạng này :

 Muốn chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P), ta phải chứng minh đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng (P)

 Khi đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì đường thẳng d vuông góc với mọi đường thuộc

HN – 0969141404

b Kỹ năng cần có

 Tính góc theo định nghĩa

 Tính góc theo khoảng cách

 Tính góc theo công thức hình chiếu

 Tính góc theo tọa độ

2 Một số mô hình thường gặp

1 Hình chóp S ABC. có SA vuông góc với đáy

Góc giữa

 SA ABC,  

 SB ABC,  

 SC ABC,  

 SC SAB,  

2 Hình chóp tam giác đều S ABC. (hoặc tứ diện đều ) Góc giữa  SA ABC,  

 SB ABC,  

 SC ABC,  

3 Hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là: hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi Góc giữa  SA ABC,  

 SB ABC,  

 SC SAD,  

 SC SAB,  

4 Hình chóp tứ giác đều

HN – 0969141404

Góc giữa

 SA ABC,  

 SB ABC,  

 SC ABC,  

5 Hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thang có góc A vuông và SA vuông góc với đáy Góc giữa  SA ABC,  

 SB ABC,  

 SC ABC,  

 SC SAD,  

 SC SAB,  

B – BÀI TẬP RÈN LUYỆN VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1 (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng  P Chọn khẳng

định đúng?

A Nếu a//  P và ba thì b P B Nếu a //  P và b P thì ba

C Nếu a P và ba thì b //  P D Nếu a//  P và b //  P thì b // a

Lời giải

Theo lí thuyết, ta có nếu a //  P và b P thì ba

Đáp án A sai do chưa đủ cơ sở khẳng định b P (b có thể song song  P hoặc thuộc  P

hoặc cắt  P một góc khác 90 )

Đáp án C sai do b có thể nằm trên  P

Đáp án D sai do chưa đủ cơ sở khẳng định // b a ( b có thể cắt a hoặc a và b chéo nhau)

Câu 2 (Lớp Toán Thầy Huy)Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC là

A Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

B Đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ABC

C Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp cuả tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng

ABC

được gọi là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Câu 3 (Lớp Toán Thầy Huy)Trong mặt phẳng, tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác ABC

là

A tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

B đường thẳng đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ABC

C đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp cuả tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng

ABC

D đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng

ABC

Câu 4 (Lớp Toán Thầy Huy)Tập hợp các điểm cách đều hai đầu đoạn thẳng AB là

A đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB

B đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng AB và vuông góc với AB

C mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB

D trung điểm của đoạn thẳng AB

Câu 5 (Lớp Toán Thầy Huy)Trong không gian cho điểm O và đường thẳng d Qua O có bao nhiêu

Theo tính chất về mối liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc ta chọn C

Câu 7 (Lớp Toán Thầy Huy)Tứ diện ABCD đều Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Tìm mệnh đề

Tứ diện ABCD đều nên ta có tính chất AGBCD suy ra C là mệnh đề đúng

Gọi M là trung điểm của CD Khi ấy B G M, , thẳng hàng và AGBCD nên AGCD

đồng thời BM CD ( BCD đều) suy ra CDABM  ABCD nên B là mệnh đề

đúng

Vì AGBCD nên BG là hình chiếu vuông góc của AB trên BCD do đó góc giữa AB

và mặt phẳng BCD là góc ABG Vậy A là mệnh đề sai

với M là điểm tuỳ ý trong không gian

Câu 9 (Lớp Toán Thầy Huy)Cho tứ diện ABCD đều Gọi G là trọng tâm tam giác BCD Tìm mệnh

đề đúng?

C BDGI với I là trung điểm AD D BC BD3BG

HN – 0969141404

+) Tất cả các cạnh đều bằng nhau

+) Các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau: ABCD , ACBD , ADBC

+) Gọi G là trọng tâm tam giác BCD ta có AGBCD

+) G là trọng tâm tam giác BCD ta có GB GC    GD0

Và MB  MCMD3MG

với M là điểm tuỳ ý trong không gian

Câu 10 (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hình chóp S ABC với ABC không là tam giác cân Góc giữa các

đường thẳng SA SB SC, , và mặt phẳng ABC bằng nhau Hình chiếu vuông góc của điểm S

lên mặt phẳng ABC là

A Tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

B Trực tâm của tam giác ABC

C Trọng tâm của tam giác ABC

D Tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC

Từ giả thiết suy ra SAH SBHSCH SAH  SBH  SCHHAHBHC

Do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC

Câu 11 (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và SA

vuông góc với mặt phẳng ABC Mệnh đề nào sau đây sai?

A BCSA B BCSAB C BC SB D BCSAC

Lời giải

Xét mệnh đề C Do BCSAB chứa SB nên BCSB Vậy mệnh đề C đúng

Xét mệnh đề D Nếu BCSAC thì BCAC Điều này vô lý vì tam giác ABC vuông tại

B Do đó mệnh đề D sai

Ghi nhớ:

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P khi và chỉ khi d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong  P

Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P ta chứng minh d vuông góc với

hai đường thẳng cắt nhau nằm trong  P

Câu 12 (Lớp Toán Thầy Huy)Cho tứ diện ABCD có ABAC, DBDC Khẳng định nào sau đây

là đúng?

A BC AD B CDABD C ABBC D ABABC

Lời giải

HN – 0969141404

Gọi E là trung điểm BC , ta có: ABAC nên ABC cân đỉnh A do đó: BC AE  1 Mặt khác:DBDC nên DBC cân đỉnh D do đó: BCDE  2

Từ  1 và  2 suy ra: BC ADEBCAD

Câu 13 (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác không vuông và SA

vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC Mệnh đề nào sau

Câu 14 (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hình chóp tam giác S.ABC có SASB và CACB Khẳng định

nào sau đây đúng?

A BCSAC B SB AB C SAABC D ABSC

Lời giải

C A

E

Câu 15 (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, ABa

và SB2a Góc giữa đường thẳng SB với mặt phẳng đáy bằng

BC a và hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm cạnh BC

, góc giữa AA và mặt đáy bằng 60 Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng

A

3

33

a

Lời giải

I A

B

C S

Câu 17 (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SAABCD

Gọi F là trung điểm của SC Góc giữa đường thẳng BF và đường thẳng AC có số đo bằng

HN – 0969141404

12

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, do FO SA// và SAABCD nên FOABCD suy

ra FOAC, mặt khác ACBD nên ACFOBBF AC Vậy góc giữa BF và AC

bằng 90

Câu 18 (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và

D ABAD , a CD2a, SD vuông góc với mặt phẳng ABCD Có bao nhiêu mặt bên của hình chóp S ABCD là tam giác vuông

Lời giải

Ta có SDABCDSDAD SD, CD nên các mặt bên SAD SCD là các tam giác vuông ,tại D

Ta có SDABCDSDAB, ABCD là hình thang vuông tại A nên AD AB

 ABSADABSA nên mặt bên SAB là tam giác vuông tại A

Gọi F là trung điểm của CD , ta có ABFD là hình vuông nên 1

2

BFAD a CD  BCD

HN – 0969141404

Ta có SDABCDSDBCBCSBDBCSB nên mặt bên SCB là tam giác

vuông tại B

Câu 19 (Lớp Toán Thầy Huy)Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi một vuông góc với nhau Kẻ

OH vuông góc với mặt phẳng ABC tại  H Khẳng định nào sau đây là khẳng định SAI?

A H là trực tâm tam giác ABC B AH OBC

Câu 20 (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tam giác SAB

đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính sin của góc tạo bởi đường thẳng MD và mặt phẳng SBC, với M là trung điểm của BC

HN – 0969141404

Gọi H là trung điểm của SBthì AHSB

Do SAB  ABCD, SAB  ABCD AB và BCAB nên BCSAB BCAH

AH DM



Câu 21 (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng chiều cao Tính góc tạo

bởi cạnh bên và mặt đáy

Vậy góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là 60

Câu 22 (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh

bên SA vuông góc với ABCD Góc giữa cạnh  SC và mặt phẳng SAD là góc nào sau đây? 

Lời giải

, tức là D là hình chiếu vuông góc của C lên SAD 

Từ , suy ra SD là hình chiếu vuông góc của SC lên SAD

Vậy góc giữa cạnh SC và mặt phẳng SAD là CSD

Câu 23 (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Hai

mặt phẳng SAC ,  SBD cùng vuông góc với đáy Góc giữa đường thẳng  SB và mặt phẳng

ABCD là góc giữa cặp đường thẳng nào sau đây? 

HN – 0969141404

Ta có SAC , SBD cùng vuông góc với  ABCD và  SAC  SBDSO

Suy ra SO  ABCD Do đó BO là hình chiếu vuông góc của BS trên mặt phẳng ABCD 

Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ABCD là góc giữa đường thẳng SB và BD

Câu 24 (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thoi tâm O, SO vuông góc với

mặt phẳng đáy Gọi  là góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng đáy:

A  SDA B  SDO. C   SAD. D ASD

Lời giải

Ta có : SOABCD nên OD là hình chiếu vông góc của SD trên mặt phẳng ABCDSuy ra : SD ABCD;  SD OD; SDO

Câu 25 (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hình chóp đều S ABCD có SAa 5, ABa Gọi M N P Q, , ,

lần lượt là trung điểm của SA SB SC SD, , , Tính cosin của góc giữa đường thẳng DN và mặt phẳng  MQP 

HN – 0969141404

Gọi O là tâm hình vuông ABCD Khi đó SO   ABCD 

Mặt phẳng  MQP  cũng là mặt phẳng  MNPQ 

Vì hai mặt phẳng  MNPQ  và  ABCD  song song với nhau nên góc giữa đường thẳng DN và

mặt phẳng  MNPQ  bằng góc giữa đường thẳng DN và mặt phẳng  ABCD 

Trong mặt phẳng  SBD  gọi H là hình chiếu vuông góc của N lên BD

Khi đó góc giữa DN và  ABCD  là góc NDH

2 2

Câu 26 (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B ,

ABa SA vuông góc với mặt phẳng ABC và SAa Gọi  là góc giữa SB và mặt phẳng

SAC Tính 

A   30 B  60 C  45 D    90

Lời giải

Q P N

HN – 0969141404

Gọi H là trung điểm của AC Do tam giác ABC vuông cân tại B nên BHAC

Ta lại có BHSA nên BH SAC Suy ra H là hình chiếu của B trên mặt phẳng SAC Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng SAC là góc  BSH

22

a BH

Câu 27 (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC a 3

,AC2a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SAa 3 Góc giữa đường thẳng S B

A

C

B

HN – 0969141404

Suy ra: tan SA  a 3  360

Vậy góc giữa đường thẳng S B và mặt phẳng đáy bằng 60

Câu 28 (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a,

76

A S

HN – 0969141404

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Vì hình chóp S ABCD là hình chóp đều nên SOABCD suy ra AO là hình chiếu của AS

trên mặt phẳng ABCD SA,ABCD SA AO; SAO

Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh bằng a suy ra 1 2

SA

  SAO60 Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng đáy bằng 60

Câu 30 (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a ,

6

BB a Hình chiếu vuông góc H của A trên mặt phẳng A B C   trùng với trọng tâm của

tam giác A B C   Côsin của góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

S

AH  A B C   A H là hình chiếu vuông góc của AA lên mặt phẳng A B C  

Vậy  AA H là góc giữa AA và mặt phẳng A B C   

Tam giác AA H vuông tại H

Câu 31 (Lớp Toán Thầy Huy)Tứ diện OABC có OAOBOC và đôi một vuông góc Tan của góc

giữa đường thẳng OA và mặt phẳng ABC bằng

HN – 0969141404 Câu 32 (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , .

Câu 33 (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hình chóp S ABCD đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với

đáy, SA AB  Sin góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng a SBD bằng

Nếu đường thẳng a không vuông góc với  P thì góc giữa đường thẳng a và  P là góc giữa

a và hình chiếu a của a trên  P

Câu 34 (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a

Côsin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng

A 1

2

14

2.4

Lời giải

Vì S ABC D là chóp đều nên ABC là hình vuông cạnh D a, SH (ABCD)

Góc tạo bởi canh bên SAvà mặt đáy (ABCD) là góc SAH Ta có: 

222

a AH SAH

D S

HN – 0969141404 Câu 35 (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hình lập phương ABCD A B C D     Góc giữa đường thẳng AB và

mặt phẳng  ABCD  bằng

Lời giải

Ta có BB    ABCD   B là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng  ABCD 

Suy ra hình chiếu của AB trên mặt phẳng  ABCD  là AB

AB, ABCD  AB AB,  B AB 45

Câu 36 (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Tam

giác SAB cân tại S có SA SB 2a nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD Gọi 

là góc giữa SD và mặt phẳng đáy ABCD Mệnh đề nào sau đây đúng?

C'

A'

D' B'

H

S

Ta có: BB'ABCD nên Blà hình chiếu của B' lên mặt phẳng ABCD

A là hình chiếu của chính nó lên mặt phẳng ABCD

Suy ra: ABlà hình chiếu của AB'lên mặt phẳng ABCD

Do đó góc giữa đường thẳng AB'và mặt phẳng ABCDlà BAB' 45



Câu 38 (Lớp Toán Thầy Huy) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAa 2 và

vuông góc với mặt phẳng đáy Góc giữa cạnh bên SC với mặt phẳng đáy bằng

Lờigiải

Ta có SA ACa 2 SAC vuông cân tại ASC ABCD,  SCA 450

Câu 39 (Lớp Toán Thầy Huy)Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với mặt phẳng (BCD) Biết tam

giác BCD vuông tại C và 6,

2

a

AB  AC a 2,CDa Gọi E là trung điểm của cạnh AC

Góc giữa hai đường thẳng AB và DE bằng

B

D E

A

a a

  HED60

Câu 40 (Lớp Toán Thầy Huy)Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vuông

góc với mặt phẳng đáy và SA2a , gọi M là trung điểm của SC Tính côsin của góc  là góc

Trong SAC kẻ MN/ /SA MN, ACNsuy ra MN ABC tại N

Suy ra N là hình chiếu của M lên mpABC

cos

77

BN BM