ĐÁP án LIVESTREAM ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG góc MP p1

Bài 3: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác ABC SA, vuông góc với đáy.. a Chứng minh rằng các mặt bên tứ diện .S ABC là các tam giác vuông.. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O t

S

A

D

O

A

D

S

HÌNH HỌC 11 CHỦ ĐỀ: QUAN HỆ VUÔNG GÓC BÀI 1: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG

LIVESTREAM THỰC HIỆN BỞI: GV HỨA NHẬT VI Bài 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SASC Chứng minh rằng

AC  SBD

Lời giải:

Tam giác SAC có SA SC nên là tam giác cân tại đỉnh S

Mặt khác O là trung điểm AC nên SO vừa là đường trung

tuyến vừa là đường cao nên SOAC  1

Ta có BDAC (hai đường chéo của hình thoi)  2

Từ  1 và  2 , ta có AC SO AC SBD

AC BD





 

Bài 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều và SCa 2 Chứng minh rằng BCSAB

Lời giải:

Tam giác SAB đều cạnh a nên SBABa

Xét tam giác SBC , ta có

2 2

SB BC SC

SC a



       

Suy ra tam giác SBC vuông tại B nên BCSB  1

Mặt khác, BCAB (do ABCD là hình vuông)  2

Từ  1 và  2 , suy ra BC SAB

Bài 3: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC SA, vuông góc với đáy Gọi H K, lần lượt là trực tâm

các tam giác ABC và SBC Chứng minh SC BHK và HK SBC

Lời giải:

BH SA

 



Mặt khác, BKSC (theo giả thiết)  2

Từ  1 và  2 , suy ra SC BHK

Do SC BHKSCHK  3

BC SA



Từ  3 và  4 , suy ra HK SBC

P

N

M

K

H

S

C

B

A

K H

S

B

A

Bài 4 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông Gọi H là trung điểm của cạnh AB và

SH ABCD Gọi K là trung điểm của cạnh AD Chứng minh

a) AC SHK

b) CK SD

Lời giải:

Lại có

/ /

Từ 1 và 2 , suy ra AC SHK

b) Dễ thấy AHD DKC suy ra AHD DKC

Mà AHD ADH 90 0 nên

Từ 3 và 4 , suy ra CK SDH CK SD

Bài 5: Cho đường tròn tâm O , đường kính AB nằm trong mặt phẳng  P Trên đường vuông góc với  P

tại A lấy điểm S , trên đường tròn  O lấy điểm C , kẻ AI vuông góc SC và AK vuông góc SB

a) Chứng minh rằng các mặt bên tứ diện S ABC là các tam giác vuông

b) Chứng minh AI  IK và IK SB

Lời giải:

a) Theo giả thiết SAABC nên SAAB và SAAC

Do đó các tam giác SAB và SAC vuông tại A

90

BCA (chắn nửa đường tròn) nên BCAC  1

Mặt khác, từ SAABCSABC. 2

Từ  1 và  2 , suy ra BC SACBC SC

Do đó tam giác SBC vuông tại C

BC SAC

BC AI

AI SAC







Theo giả thiết AI SC  4

Từ  3 và  4 , suy ra AI SBC AI IK

Theo chứng minh trên AI SBC AI SB. 5

Theo giả thiết AKSB  6

Từ  5 và  6 , suy ra SBAIKSBIK

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA OB OC, , đôi một vuông góc với nhau Gọi H là hình chiếu vuông

góc của điểm O trên mặt phẳng ABC 

a) Chứng minh rằng BC OAH,CAOBH,ABOCH

K

H

B

A

C

D

S

H

O

L

K

H

B

A

S

b) Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác ABC

Lời giải:

a) Từ giả thiết ta có OH ABC suy ra OHBC

 1

OA OC



 

 2

Từ  1 và  2 , suy ra BC OAH

Chứng minh tương tự ta được CAOBH,AB OCH

b) Từ kết quả câu a, ta có BC OAH suy ra BCAH  3

Tương tự, từ AC OBH suy ra ACBH  4

Từ  3 và  4 , ta có AH BC

BH AC





 

 suy ra H là trực tâm của ABC

Bài 2 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và

2

SC a Gọi H là trung điểm của cạnh AB Chứng minh rằng SH ABCD

Lời giải:

Vì H là trung điểm của AB và tam giác SAB đều nên

, 2 ,

2

4 4

Suy ra HSC vuông tại H nên SH HC 2

Từ 1 và 2 , suy ra SH ABCD

Bài 3 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với đáy Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD Mặt phẳng AHK cắt SC tại L Chứng minh AL SC

Lời giải:

Từ * và * * , suy ra SC AHK SC AL

N M

C

B

A

S

H

D

C

B

A

Bài 4 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B; AD 2 , a AB BC a; SA

vuông góc với đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm SD, SA Chứng minh rằng

a) Tam giác SCD vuông

b) Tứ giác BCMN là hình chữ nhật

Lời giải:

Gọi I là trung điểm CD Khi đó ABCI là hình vuông nên

2

AD

Tam giác ACD có trung tuyến CI bằng nửa cạnh đáy AD nên tam giác ACD vuông tại C Suy ra CD CA

2

Từ 1 và 2 , suy ra CD SAC CD SC Vậy tam giác SCD vuông tại C

b) Ta có M, N lần lượt là trung điểm SD, SA nên MN

là đường trung bình của tam giác SAD Suy ra MN song song và bằng

2

AD Do đó MN song song và bằng BC Điều này chứng tỏ tứ giác BCMN là

Từ 3 và 4 , suy ra tứ giác BCMN là hình chữ nhật

Bài 5 Cho tứ diện ABCD có AB CD và AC BD Gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng

BCD Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác BCD và AD BC

Lời giải:Vì H là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt phẳng BCD nên AH BCD suy ra AH CD

1

Từ 1 và 2 , suy ra CDABHCDBH

Chứng minh tương tự, ta được BDCH

Từ đó suy ra H là trực tâm của tam giác BCD