Bài tập tích phân thực tế

Chú ý: Nếu một chất điểm chuyển động với vận tốc v= f t phụ thuộc vào thời gian thì quãng đường nó đi được từ thời điểm t1→t2 là: 2... Câu 5: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi t

BÀI 6_TÍCH PHÂN THỤC TIỂN

Áp dụng công thức 2 ( ) ( )

1

4 2

Quãng đường mà máy bay đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là:

Câu 3: Một ô tô đang chạy với vận tốc 10m/s thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động

chậm dần đều với vận tốc v t( )= − +5t 10(m s/ ), trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây,

kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Lời giải Chọn C

Lúc bắt đầu đạp phanh v= − +5t 10=10 =t 0;

tại thời điểm ô tô dừng hẳn thì v t( )= − +5t 10=  = 0 t 2

Khi đó quãng đường cần tìm là 2 ( ) 2( )

s=v t dt= − + t dt= Chú ý: Nếu một chất điểm chuyển động với vận tốc v= f t( ) (phụ thuộc vào thời gian) thì quãng đường nó đi được từ thời điểm t1→t2 là: 2 ( )

Vậy 4 3

23

s= t +

Câu 5: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian được tính bởi công thức v t( )= + , 3t 2

thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật đi được tính theo đơn vị m Biết tại thời điểm

2

s t =v t t= t+ t = t + +t C +) Tại thời điểm t =2s ta có s( )2 =12 =C 2

Suy ra ( ) 3 2

2

s t = t + + t

Vậy tại thời điểm t=30s thì vật đi được quãng đường là s( )30 =1412 m

Câu 6: Một vật chuyển động với vận tốc v t( ) (m s/ ), có gia tốc ( ) 1 ( 2)

/1

t

=+ Vận tốc ban đầu

của vật là 8 (m s/ ) Hỏi vận tốc (m s của vật sau 9 giây bằng bao nhiêu? / )

A ln10 8− (m s/ ) B ln10 8+ (m s/ ) C ln11 8+ (m s/ ) D ln10 (m s / )

Lời giải Chọn B

30 m s/ Tính quãng đường vật đó di chuyển được sau 2 giây ( m là mét, s là giây)

A 48 m B 46 m C 47 m D 49 m

Lời giải

424m

3

Lời giải Chọn D

Câu 10: Một vật chuyển động với vân tốc là 10 m/s theo thời gian t là a t( ) 3t t2.Tính quãn đường

vật đi được trong khoảng 10s kể từ khi tăng tốc

chuyển trong khoảng thời gian từ thời điểm t=0(s) đến thời điểm vật dừng lại

Câu 12: Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh,từ thời điểm đó,ô tô chuyển động chậm dần đều với

vận tốc v(t)= -12t+24 (m/s),trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây,kể từ lúc bắt đầu đạp phanh.Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn,ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

A 2304m B 2424m C 720m D 3576m

Lời giải Chọn B

Ta có ( )= + 2 ( )= ( + 2)  ( )= +2 1 3+

v' t 2t t v t 2t t dt v t t t C

3 Vì v 0( )=10 nên ( )= +2 1 3+

t 1 Vận tốc ban đầu của vật là 6m / s Tính vận tốc của vật sau 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

A v=8 m / s ( ) B v=13 m / s ( ) C v=10 m / s ( ) D v=15 m / s ( )

10 3

t 1 và vận tốc ban đầu của vật là v 0( )=6m / s Tính vận tốc v 10 của vật sau ( ) 10 giây (làm tròn đến hàng đơn vị)

A v 10( ) (=7 m / s ) B v 10( )=24 m / s ( ) C v 10( )=13 m / s ( ) D v 10( )=24 m / s ( )

Lời giải Chọn C

a t = t +t Vận tốc ban đầu của vật

là 2(m/s) Hỏi vận tốc của vật sau 2s

Câu 17: Một ôtô đang chạy đều với vận tốc 15m/s thì phía trước xuất hiện chướng ngại vật nên người lái

đạp phanh gấp Kể từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần đều với gia tốc 2

m/s

a Biết ôtô chuyển động thêm được 20m thì dừng hẳn Hỏi a thuộc khoảng nào dưới đây

15 202

at

at t

at t

Câu 18: Hai ô tô xuất phát tại cùng một thời điểm trên cùng đoạn đường thẳng AB, ô tô thứ nhất bắt

đầu xuất phát từ A và đi theo hướng từ A đến B với vận tốcv t( ) 2t 1 k( m )/h ; ô tô thứ hai

xuất phát từ O cách A một khoảng 22kmvà đi theo hướng từ A đến B với vận tốc10 km/h, sau một khoảng thời gian người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô thứ hai chuyển động chậm dần đều với vận tốc v t0( ) 5t 20 km/h( ) Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu kể từ khi xuất phát hai ô tô đó gặp nhau

Lời giải

Chọn C

Khoảng thời gian kể từ lúc hai xe xuất phát đến lúc đạp phanh là t 2 h

Quãng đường các xe đi được trong khoảng thời gian trên:

+)Xe thứ nhất đi từ A đến C nên thì đoạn đường AC có độ dài

Vậy sau khoảng thời gian 6 hkể từ lúc xuất phát thì hai xe gặp nhau

( )

2

2

0 0

a t = − t m s , trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ôtô bắt đầu chuyển

động Hỏi quãng đường ôtô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ôtô đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu mét?

2

0

S= t−t t= m

Câu 21: Một vật chuyển động với vận tốc v t( )= −1 2sin 2t m s( / ) Tính quãng đường vật di chuyển trong

khoảng thời gian từ thời điểm t =0( )s đến thời điểm 3 ( )

3

4 0 0

t

=+ Vận tốc ban đầu

của vật là 6(m s/ ) Hỏi vận tốc của vật sau 10 giây là bao nhiêu?

A 3ln11 6+ (m s/ ) B 3ln 6 6+ (m s/ ) C 2 ln11 6+ (m s/ ) D 3ln11 6− (m s/ )

Lời giải Chọn A

Theo bài ta có v0 =6(m s/ ) nên thay v( )0 =  = 6 C 6 v t( )=3lnt+ + 1 6

Vận tốc của vật sau 10 giây là: v( )10 =3ln11 6+

Câu 23: Một vật chuyển động với vận tốc 10(m s thì tăng tốc với gia tốc / ) ( ) 2( 2)

a t = +t t m s Tính quãng đường vật đi được trong khoảng 10 giây kể từ lúc vật bắt đầu tăng tốc

Câu 24: Tại một nơi không có gió một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162(mét) so với mặt đất đã

được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật ( ) 2

Gọi thời điểm khí cầu bắt đầu chuyển động là t = , thời điểm vật bắt đầu tiếp đất là 0 t=t1 Khi

đó, quãng đường khí cầu đi được từ thời điểm t = đến thời điểm 0 t=t1 là:

1

3 3

1 0

10 giây đầu tiên

Lời giải Chọn A

Quãng đường mà M di chuyển được trong 6 giây đầu là:

S =v t dt= dt= = m

Vận tốc của vật sau 6 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động là v( ) (6 =2 m s/ )

Suy ra quãng đường mà M di chuyển trong 4 giây tiếp theo là: 4.2=8 m( )

Vậy quãng đường mà M di chuyển trong 10 giây đầu tiên là: 6 8 14 m+ = ( )

/2

Lời giải Chọn A

1 0

sin1

0, 318312

sin1

0,318312

Câu 27: (THPTQG-2017-101-4) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v km h phụ thuộc vào ( / )

thời gian t h có đồ thị của vận tốc như hình bên Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt ( )đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I( )2;9 và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành Tính quãng đường S mà vật di chuyển được trong 3 giờ ( kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

A S 23, 25 km B S =21,58( )km C S 15,50 km D S =13,83( )km

Lời giải Chọn B

Trong khoảng thời gian từ t1=0h→ =t2 1h vật chuyển động với vận tốc:

( )( )2

c b a

c a b

v= km h

Suy ra trong khoảng thời gian từ t2 =1h→ =t3 3h vật chuyển động với vận tốc 31( )

/4

v= km h Vậy quãng đường vật đi được trong 3 giờ là:

Câu 28: (THPTQG – 2017 – 102 – 38) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc

vào thời gian t ( h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I( )2;9 và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ

v=at + + =bt c f t (km/h) Do đồ thị đi qua điểm ( )0; 6 và có đỉnh I( )2;9 , suy ra:

Câu 29: (THPTQG – 2017 – 103 – 35) Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc

vào thời gian t (h) có đồ thị của vận tốc như hình bên Trong khoảng thời gian 3 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh I( )2;9 và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song với trục hoành Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ đó

Câu 30: (THPTQG – 2017 – 104 – 35) Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc

vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh 1;8

2

I 

  và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy

( )2

v=at + + =bt c f t (km/h) Do đồ thị đi qua điểm O( )0; 0 và có đỉnh 1;8

321

8

c

c b

khi bơm phụ thuộc vào thời gian bơm nước theo một hàm số h=h t( ) trong đó h tính bằng cm

Câu 34: Trong một phòng thí nghiệm, người ta quan sát một đám vi trùng ban đầu có 250000 (con), tới

ngày thứ n thì số lượng vi trùng trong đám ấy là f n( ) con, với ( ) 4000

A x 264000 B x 264334 C x 14334 D x 14000

Lời giải Chọn B

h t = at +bt và ban đầu bể không có nước Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150m3

, sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 1100m3 Tính thể tích của nước trong bể sau khi bơm được 20 giây

Ta có:

Câu 37: Trong Vật lý, công được hình thành khi một lực tác động vào một vật và gây ra sự dịch chuyển,

ví dụ như đi xe đạp Một lực F x( ) biến thiên, thay đổi, tác động vào một vật thể làm vật này di chuyển từ x=a đến x=b thì công sinh ra bởi lực này có thể tính theo công thức ( )

b

a

W =F x dx Với thông tin trên, hãy tính công W sinh ra khi một lực ( ) F x = 3x− tác động vào một vật thể 2làm vật này di chuyển từ x =1đến x =6

Lời giải Chọn D

p t = +e− đơn vị/giờ Giả sử người đó bắt đầu làm việc từ 8 giờ sáng Hỏi người đó sẽ sản xuất được bao nhiêu đơn vị từ 9 giờ sáng đến 11 giờ trưa?

A 200−2e−0.5−2e−1.5 B 200+2e−0.5+2e−1.5 C 200 2− e−0.5+2e−1.5 D 200+2e−0.5−2e−1.5

Lời giải Chọn D

Chọn mốc thời gian là 8 giờ thì 9 giờ ứng với t =1và 11 giờ ứng với t =3

3 3

Câu 39: Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía

trên là một Parabol Giá 2

1(m ) cửa rào sắt là 700000 đồng Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền

để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn)

A 6.417.000 đồng B 6.320.000 đồng C 6.520.000 đồng D 6.620.000 đồng

Lời giải Chọn A

Vậy số tiền ông An phải trả để làm cái cửa sắt là T =S.(700.000)6.417.000 (đồng)

Câu 40: Trên quả địa cầu, vĩ tuyến 30 độ Bắc chia khối cấu thành 2 phần ( khoảng cách từ tâm của quả

cầu tới mặt cắt bằng nửa bán kính) Tính tỉ số thể tích giữa phần lớn và phần bé của khối cầu đó

Tại điểm có hoành độ xR h R− ; dựng mặt phẳng ( )a vuông góc Ox cắt mặt cầu (O R theo ; )một đường tròn có bán kính r x

Gọi S x( )là diện tích hình tròn này Khi dó thể tích khối chỏm cầu có chiều cao h của khối cầu

Câu 41: Ông An có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng10m

Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m2 Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.826.000đồng D 7.128.000 đồng

Lời giải

Chọn B

Giả sử elip có phương trình

2

2 1

56481

5

64 25

64 8

Câu 42: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 4 5 (m) Trên đó người thiết kế hai

phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn

và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng 4(m), phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản

Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 100.000 đồng/m2 Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

A 2.388.000 (đồng) B 3.895.000 (đồng) C 1.194.000 (đồng) D 1.948.000 (đồng)

Lời giải

Chọn D

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó phương trình nửa đường tròn là

Vậy số tiền cần có là S trongxo100000 1.948.000 (đồng)

Câu 43: Người thợ gốm làm cái chum từ một khối cầu có bán kính 5 dm bằng cách cắt bỏ hai chỏm cầu

đối nhau Tính thể tích của cái chum biết chiều cao của nó bằng 6 dm (quy tròn 2 chữ số thập

phân)

A 135, 02 dm3 B 104, 67 dm3 C 428, 74 dm3 D 414, 69 dm3

Lời giải Chọn D

Hình phẳng ( )H giới hạn bởi đồ thị hàm số 2

x= −y x= và đường thẳng y= −3;y=3 Khi quay hình phẳng ( )H quay quanh trục tung ta được hình dạng cái chum (như hình vẽ)

Vậy thể tích cái chum là:

Câu 44: Để trang trí toàn nhà người ta vẽ lên tường một hình như sau: trên mỗi cạnh hình lục giác đều có

cạnh là 2 dm là một cánh hoa hình parabol mà đỉnh parabol ( )P cách cạnh lục giác là 3 dm và nằm phía ngoài hình lục giác, 2 đầu mút của cạnh cũng là 2 điểm giới hạn của đường ( )P đó

Hãy tính diện tích hình trên (kể cả lục giác)

Xét 1 cánh hoa hình parabol như mô tả; đặt hệ trục như hình vẽ

Do ( )P đi qua điểm ( ) 2

1;0  = −  = −a 3 y 3x + 3Suy ra diện tích mỗi cánh hoa là: 1( ) ( ) ( )

1

1

1 1

Câu 45: Một bồn nước được thiết kê với chiều cao 8 dm, miệng bồn nước là hình chữ nhật có chiều dài

20 dm, chiều rộng 8 dm và bề mặt cong đều nhau với mặt cắt ngang là một hình parabol như hình vẽ bên Hỏi bồn chứa được tối đa bao nhiêu lít nước?

A 1280

3 (lít) B 1280(lít) C 2560

3 (lít) D 1280 (lít)

Lời giải Chọn C

Câu 46: Một thùng rượu có bán kính các đáy là 30 cm, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy

có bán kính là 40cm , Chiều cao của thùng rượu là 1m Biết rằng mặt phẳng chứa trục và cắt mặt

xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi thể tích thùng rượu là bao nhiêu?

A 425162 lit B 212581 lit C 212, 6 lit D 425, 2 lit

5

1

4 425, 2 425, 225

đặt trong một hình trụ Thiết diện thẳng đứng qua mặt của nó là hai parabol chung đỉnh và đỗi xứng với nhau qua mặt nằm ngang Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều

cao h của mực cát bằng 3

4 chiều cao của bên đó Cát chảy từ trên xuống dưới với lưu lượng

không đổi 3

2,90cm /phút Khi chiều cao cát còn 4cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một

đường tròn chu vi 8 cm Biết sau 30 phút thì cát chảy hết xuống bên dưới của đồng hồ Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài là bao nhiêu cm ?

A 8 cm B 12 cm C 10 cm D 9 cm

Lời giải Chọn C

Xem thiết diện chứa trục của đồng hồ cát như hình vẽ

Do parabol có đỉnh là điểm O( )0; 0 nên có dạng: y=ax2

Parabol đi qua điểm A( )4; 4 nên 1 1 2

Câu 48: Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ

Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu

Lời giải

Chọn D

Chọn hệ tọa độ Oxy như hình vẽ Bề mặt cầu có hình dáng là một parabol có phương trình là

21

2, 540

y= − x + , phần dưới cây cầu là một parabol có phương trình là 8 2

2361

y= − x +

Các parabol này cắt tia Ox tại các điểm có hoành độ lần lượt là x =10 và 19

2

x = Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 parabol và trục hoành là:

loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong những đường cong đẹp nhất của toán học Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Leminiscate có phương trình trong hệ tọa độ Oxy là 16y2 =x2(25−x2)như hình vẽ bên Tính diện tích S của mảnh đất

Bernoulli, biết rằng mỗi đơn vị trong hệ tọa độ tương ứng với chiều dài 1 mét

Phương trình hoành độ giao điểm của đường lemniscate và trục hoành:

Gọi S  là phầ diện tích thuộc goác phần tư thứ nhất của mảnh đất

Do tính chất đối xứng nên ta có S = 4 S Xét hình phẳng ( )H có phần diện tích S  có

Khi đó Casio ( )

y x

05

Câu 50: Ông An xây dựng một sân bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng 30 và chiều dài m m 50 Để

giảm bớt kinh phí cho việc trồng cỏ nhân tạo, ông An chia sân bóng làm hai phần (tô màu và

không tô màu) như hình vẽ Phần tô màu gồm hai miền diện tích bằng nhau và đường cong AIB

là một parabol có đỉnh I Phần tô màu được trồng cỏ nhân tạo với gía 130 nghìn đồng/ m2

và phần còn lại được trồng cỏ nhân tạo với giá 90 nghìn đồng/m2

Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng?

A 165 triệu đồng B 151 triệu đồng C 195 triệu đồng D 135 triệu đồng

Lời giải Chọn D

Mặt khác diện tích sân bóng đá mini hình chữ nhật là S =30.50 1500= ( )m2

Phần không tô màu có diện tích là S S S ( )m2

2 = − =1100 Khi đó số tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng là:

( )

2.130000 90000 400.130000 1100.90000 151000000