Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân

Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân Tuyển tập công thức và phân dạng bài tập tích phân

Trang 1

TÍCH PHÂN

1 1 dx= 1.dx=x+Ca ∫ ∫ 1 k.dx=kx + Cb ∫ với k là số thực.

2

1 x

2 x dx= + C

1

α

+

∫ α ≠ −1 2 ax+b dx=( ) 1(ax+b) 1 + C

b

α α

α

+

3 dx= +C

∫

a

3 dx= + C

a ax+b

∫

b

4 4 1dx= ln x +C

x

∫

ax+b a

∫

b

5 5 e dx= e + C.a ∫ x x ax+b 1 ax+b

5 e dx= e + C

a

∫

b

6 6 sinxdx = cosx + C.a ∫ − 6 sin ax+b dx= ( ) 1cos ax+b + C.( )

a

−

∫

b

7 7 cosxdx= sinx + C.a ∫ 7 cos ax+b dx= sin ax+b + C.( ) 1 ( )

a

∫

b

8 8 12 dx= tanx + C

cos x

∫

8 dx= tan ax+b + C

cos ax+b a

∫

b

9 9 12 dx= cotx + C

∫

a

9 dx= cot ax+b + C

sin ax+b −a

∫

b

10

x

10 a dx= + C

ln

∫

a

mx+n mx+n 1 a

10 a dx= + C

m ln

∫

b

a

1 Đạo hàm của hàm lũy thừa

'

uα =α uα− u

2 Đạo hàm của hàm lượng giác.

( )/

sinx =cosx ( )/

sinu =u c' osu ( )/

osx sinx

osu '.sinu

( )/

2

1

t anx

os

2

'

t anu

os

= u

( )/

2

1 cotx

sin

= −

2

' cotu

sin

= − u

u

sin x =sin 2x ( 2 )/

os sin 2

3 Đạo hàm của hàm mũ

'

Tổng quát: ( )/

.ln

.ln '

a =a a u

4 Đạo hàm của hàm lôgarít.

( )/ 1 lnx

x

lnu u

u

=

Tổng quát: (log )/ 1

.ln

a x

x a

.ln

a

u u

u a

=

Trang 2

Tích phân

1 Định nghĩa I b ( ) ( )b ( ) ( )

a

a f x dx F x F b F a

2 Tính chất của tích phân

a k f x dx k a f x dx

a f x g x dx a f x dx a g x dx

a f x dx b f x dx

a f x dx=

0 , a<x <b0

a f x dx a f x dx x f x dx .

f Tính phân không phụ thuộc vào biến

Phần 1: Các bài tập luyện tập các công thức:

Vấn đề 1: Tích phân hàm đa thức: Bậc nhất, bậc 2, bậc 3, bậc 4,…

1 Công thức áp dụng:

•

1

x

α α

α

+

∫

1

x

α α

− +

−

− +

1

x

α α

α

+

2 Phương pháp:

Biến đổi đưa về các đa thức sau đó áp dụng bảng nguyên hàm

Bài 1: Tính các tích phân sau:

1 1( )

∫

3

2

1 4 0

1

2

x

3

0

0 2 3 4

1 1( ) 2

3

x

3 1 4

0

1 2

02 3 2 1

5 1( 3) 2

03 3 4

1 1( )2

2

x

3 1 ( 3 )2

5 1( 3 2) (2 3)

Trang 3

1 2 2

1

x

3 2

x

−

=∫

3 14 1

x

1

3

x

=∫

5 18 31

x

1

4 3

x

=∫

1 2 2

1

2 1

x

1

2 2

x

∫

1

4 2

1

3 5 4

∫

1

3 2

x

1

4 3 3

x

∫

Chú ý: Các bài tốn sau ta thực hiện phép chia đa thức để đưa về đa thức:

1

2 2 1

2x 4x

x

+

2

2 1

4 8 2

x

−

=∫

3 0

1

2 4 2

x

−

=

−

2 1 0

3 2 2

x

=

−

∫

Vấn 2: Tích phân hàm phân thức: bậc nhất, bậc hai , bậc ba ,

bậc nhất bậc nhất bậc nhất

Cơng thức áp dụng:

• 1 dx 1ln ax+b C

+

•

1

x

α α

− +

−

− +

Bài 1: Tính các tích phân sau: Tính nguyên hàm trực tiếp bằng bảng nguyên hàm

1 2

1

1 2

x

2

2 3

x

−

=∫

3 2

1

1 2 7

x

1

1 3

= − + ÷

−

∫

x

1 2

1

1 1

+

1

3 5 4

+

∫

3 2

1

7 1 2 3

1

2 1

∫

Dạng 1: Hàm bậc nhất

bậc nhất →Chia đa thức sau đĩ lấy nguyên hàm.

Trang 4

1 2

1

2x 4

x

+

1

6 3 3

x

− +

=∫

3 2

1

2 5 7

x

−

1

2 4 3

−

x

1 1

0

3 2 2

x

− +

=

+

2

5 3 3

x

−

+

=

+

∫

3 0

2

3 9

3 1

x

−

− +

=

+

2

2 1

−

− +

=

−

x

1 1

0

3 2

x

−

=

+

1

5 3

x

−

=

−

∫

3 1

0

3

2 1

x

−

=

+

01

−

=

−

x

Dạng 2: bậc hai

1

2 2 1

2x 4

x

+

2 2

1

9 3 3

x

− +

=∫

3 2( ) ( )

1

1 2 3 2

x

2 1

1 2

−

=∫ x

x

1

2 1 0

3 3 2

2

x

=

+

2

5 3 1

x

−

+

=

−

∫

3

2 0

1 2

x

−

=

+

2 0 1

2 1

−

+

=

+

x

1 1

0

3

3 2

x x

x

=

−

2 0 3

5 2

x

−

=

−

∫

3

2 0 2

3

3 2

x

−

=

+

2 0 2

3 1

−

=

−

x

Dạng 3: bậc ba

1

3 2 2

1

2x x

x

+

3 2 1

9 3 3

x

=∫

1 ( )2

1 0

2

2 1

x

−

=

+

0 2

5 1

x

−

=

−

∫

1 ( )2

1 0

1 2

x x

x

−

=

−

2

2 1 3 4

1 5

x

−

=

−

∫

Trang 5

Vấn đề 3: Tích phân hàm lượng giác:

• ∫sinxdx= −cosx+C sin ax+b( )dx 1cos ax+b( ) C

a

• ∫k.sinxdx = −k c osx+C k.sin ax+b( )dx k cos ax+b( ) C

a

• ∫cosxdx =sin x+C cos ax+b( )dx 1sin ax+b( ) C

a

• ∫k.cosxdx k= sin x+C k c os ax+b( )dx ksin ax+b( ) C

a

1 I =∫0π(sinx+cosx)dx 2 I =∫0π(sin2x-3cos2x)dx 3 I =∫0π(2sin3x+cos3x)dx

1

0

sin +cos

0

x x 3sin -cos

0

sin -6cos

= ∫  ÷

1

0 sin

x-3

0 sin

4x-2

0 os

2x-2

∫

1 I =∫0π2sin -x( )dx 2 I =∫0π2sin(π −x)dx 3

0 os

2

I = π2c π−x dx

∫

• ∫ 1 dx tanx+C2 =

cos x , + =

2

1

1 tan x

cos x,

sinx osx tan cot 1

cosx sinx

c

x x= = tan cotx x=1

• ∫ 1 dx cotx+C2 = −

sin x , + =

2

1

1 cot x

sin x,

2

1 tan

cot

x

= , 2 12

cot

tan

x

4

1 sin

x

π 2 π

0

1 cos

x

π 4

4

os sin

π 3

4

2 sin

x

π 2 π

4

4 3cos

x

0

π −

4

3 os 2sin

π 3

4

3 2sin

x

π 2 π

0

5 3cos

x

π 4

=

−

4

2 os 3sin

π 3 π

−

Vấn 4: Tích phân hàm mũ.

• ∫e dx= e + C.x x eax+bdx= e1 ax+b + C

a

x

a dx= + C

ln a

∫

, e , e

2

, , e x, e x

Trang 6

1 I =∫01(e x+1)dx 2 ( 2 )

0

0 2 x 3 x

0 3 x 3 x

0

x x

x

1 I =∫01(e x+1)e dx x 2 ( 2 )

0 x x 2 x

0 x 1 x

1

0

1

x

e

1

0

3 1

0

1

2 0

x

e

1 +

2 0

4 3 2

x

e

−

0

x

e

−

1 I =∫01(2x −4)dx 2 I =∫01(2.3x+4.5x)dx 3 I =∫01(3.4x−2.7x)dx

Phần 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Công thức: b ( ( ) ) '( )

a

I =∫ f u x u x dx

Bước 1: Ta đặt: t=u(x)⇒dt=u’(x).dx

( )

1 2

x a t u a

x b t u b

= ⇒ =





1 1

b

t t

I =∫ f u x u x dx=∫f t dt F t= =F t −F t .

Vấn đề 1: Tích của hàm đa thức Thông thường nếu:

• Trong tích phân có lũy thừa, ta đặt t=biểu thức bên trong lũy thừa

• Trong tích phân có phân số, ta đặt t=mẫu số

• Trong tích phân có căn thức, ta đặt t=căn thức.

1 ( 2 )2

0 1 2

1 4 3

−

0 2 3

0

2 1

x

1

=

+

2 3 0

6 1

x

2

=

+

∫ 3

3 4 0

2

3 1

x

1

=

+

∫ 4 0( 2 )2

2 1

x

1

=

+

∫

1 0 22

1

x

1

=

+

7

0 3 3

6 1

x

=

+

∫ 3

2

4 1

x

=

+

( )2

0

2 3

2 1

x

1

=

+

∫

0 4 1

Bài 5: Tính tích phân:

1 1 2

0

x

+

=

x

=

∫ 3 ( 2 ) 3

I = ∫1 x + x + xdx

Trang 7

1

0 1

I = ∫1 − xxdx 2 ( )9

0 1

I = ∫1x − x dx 3 1

I = ∫ x x + dx 4 510

1

x

=

−

∫

Vấn đề 2: Tích phân hàm lượng giác: sinx cosx, sinax, cosax

• Nếu trong tích phân có: sinx.dx thì ta đặt t=cosx, hoặc biểu thức chứa cosx

• Nếu trong tích phân có: cosx.dx thì ta đặt t=sinx, hoặc biểu thức chứa sinx

sinx =cosx, cosx = −sinx, sinu =u c' osu, cosu = −u'.sinu

0 sinx 1 osx

I =∫π + c dx 2 3

0 os sinx

4

0 2sin 1 4cos

0 1 2sin 2 os2x

0

sinx 2cosx+4

0

3cos2x 2sin2x+1

1 2

0

osx 5sinx+4

c

3 0

sin3x 7cos3x+1

0

6cosx 3sinx+1

1 2

0 5sin 4.2cos

0 tanx

I =∫π dx 3 2

6 cotx

0 7sinx+1 osx

1 02( )3

sinx 2cosx+1

0

3cosx+1 sinx

1 osx

c

π

=

+

0

2sinx.cosx-3cosx 2sin 1

x

π

=

+

Vấn đề 3: Tích phân hàm lượng giác: sin , cos2 x 2x

• Dạng 1: Hạ bậc ta ADCT:

2 2

1

os 1 os2x

2 1 sin 1 os2x

2

o Trong tích phân chỉ có sin 2x ta áp dụng công thức ha bậc

o Trong tích phân chỉ có cos 2x ta áp dụng công thức ha bậc

1 2 2

0 sin

I =∫π xdx 2 2 2

0 2sin 2

0

1 sin

2 2

x

I =∫π dx 4 3 2

0 sin 3

x

0 2 os

I =∫π c xdx 2 3 2

0

3

os 2 2

0 os 2

x

I =∫πc dx 4 2

0 os 4

x

0 os

0 1 sin sinx

I =∫π − x dx 3 2( )

0 2 3 os osx

• Dạng 2: Đổi biến ta ADCT:

o sin2x=2sinx.cosx→ ( )

/ 2 / 2

sin sin2x

os -sin2x

x





=



Trang 8

o sin3x=sin sinx= 1-cos2 x ( 2x).sinx, cos3x c= os osx= 1-sin2x c ( 2x c) osx.

o Trong tích phân có sin2x và sin 2x, ta đặt t= sin 2 x, hoặc biểu thức chứa sin 2 x

o Trong tích phân có sin2x và cos 2x, ta đặt t= cos 2 x, hoặc biểu thức chứa cos 2 x.

0 sin 2 sin

0 sin 2 2 3sin

2 0

sin 4

1 2sin 2

x

π

= +

0 sin 2 os

2

0 sin 2 2 os

2 0

sin 2

3 9 os

x

π

=

−

1 2

sin 2 5sin 4

x

π

=

+

0 sin 2 8sin 1

I = ∫π x x + dx 3 2

2.sin 2

9 16 os

x

π

=

+

1 2

2sin osx

4 5sin

x c

x

π

=

+

0 sin osx 1+cos

I = ∫π x c x dx 3 2

osx.sin

1 3 os

π

=

+

• Dạng 3: Đổi biến ta ADCT:

o sin3x=sin sinx= 1-cos2 x ( 2x).sinx, cos3x c= os osx= 1-sin2x c ( 2x c) osx.

o Trong tích phân chỉ có sin 3 x, ta đưa về dạng có sinx.dx, ta đặt t=cosx

o Trong tích phân chỉ có cos 3 x, ta đưa về dạng có sinx.dx, ta đặt t=sinx

0 sin

0 2sin 2

0 sin cos

0 os

0 3 os 2

0 os sin

I = ∫πc x xdx

0 sin 2

0 sin 4

0 sin 2 sin

0 2 os

0 1 os os

• Dạng 4: Biến đổi tích thành tổng.

o Ta áp dụng công thức:

1 osa.cosb= os a+b os a-b

2 1 sina.sinb= os a-b os a+b

2 1 sina.cosb= sin a+b sin a-b

2

+

− +

1 2

0 sin 2 osx

0 cos2x.sin3xdx

I = ∫π

3 3

0 sin 3 sin x

0 cos2x.cos4xdx

I = ∫π

Trang 9

5 6( )

0 sinx.sin3x-8 dx

0 sin 2 sin 2x.cos3x dx

0 sin 2x.cosx dx

0 sin3x.sinx-cos3x dx

I = ∫π

Vấn đề 4: Tích phân chứa hàm mũ: e x, e , e , 2x 3x

• Nếu trong tích phân có chứa e dx x thì ta đặt t=e x , hoặc biểu thức chứa e x

1 ln 2( )3

0 1 x x

0 1 3 x x

I = ∫ − e e dx 3 ln 2( 2 )2

4 ln 2

0

3

x x

e

=

+

∫ 5 ln2

0

4

x x

e

−

=

+

∫ 6 0ln 5 3

x x

e

=

−

∫

Bài 3: Tính các tích phân sau

1

2 1 2

03 1

x x

e

=

+

∫ 2

2 ln2

x x

e

=

+

∫ 3

2 0

2 1

x

e

=

+

∫

Bài 2: Tính các tích phân sau

1 1

0

2

x x

+

∫ 2

0

ln 3.3

x x

+

∫ 3 I=

1 0

(1 ) 1

x x

e x

dx xe

+ +

Vấn đề 5: Tích chứa lnx hoặc ln(ax+b)

• Nếu trong tích phân có chứa 1

dx

x thì ta đặt t=lnx hoặc biểu thức chứa lnx

• Nếu trong tích phân có chứa 1

dx

ax b+ thì ta đặt t=ln(ax+b) hoặc biểu thức chứa ln(ax+b)

1 2

1

ln x

x

= ∫ 2

2 2 1

ln 2

x

= ∫ 3

2 ln

e e

= ∫

4

1

5ln 4 5

x

+

3 1

x

+

= ∫ 6 1 ( )

2

3 ln 1

e

=

+

∫

1 2 ( )

1

ln 2 3

3 2

x

+

=

+

3

2 4

3

=

1

ln 2

2 1 ln

+

=

+

∫

Vấn đề 5: Tích phân chứa 12 12

, sin x cos x Chú ý: ( )/

2

1

t anx

os

= , ( )/

2

1 cotx

sin x

• Nếu trong tích phân có chứa 12

sin x dx, thì ta đặt t=cotx hoặc biểu thức chứa cotx

• Nếu trong tích phân có chứa 12

os

c xdx, thì ta đặt t=tanx hoặc biểu thức chứa tanx

1 4( )

2 0

1

1 t anx

os

π

4

2 0

1

1 tan

2 os

π

2 4

2 0

2 tan 1

3 os

x

= ∫

4 ( 3 )2

4

2 0

3

2 tan

os

π

2 0

5tan 4

2 os

x

2 0

2

π

=

+

∫

Trang 10

7 4( )

2 0

1

1 cot x

os

π

4

2 0

1

1 cot

3 os

π

2 4

2 0

2cot 1 os

x

= ∫

1 2( )

2 4

1

1 cot x

sin

x

π π

2

2 4

1

1 cot

3sin

x

π π

−

2 2

2 4

2cot 1 3sin

x

π

= ∫

3 ( 3 )2

2

2 4

2

2 cot

sin

x

π π

2 4

5cot 4 2sin

x

π

2 4

2 sin 3cot 1

π π

=

+

∫

2 4

1

1 tan x

sin

x

π π

2

2 4

1

1 tan

sin

x

π π

2 2

2 4

2 tan 1 sin

x

π

= ∫

Vấn đề 6: Tính tích phân bằng cách chia ra nhiều tích phân:

1 ( ( )2)

I = ∫1x x − x x − dx 3 I = ∫01( x − 1 − x xdx )

2

x

+

0 3 osx-sinx osx

0 sin x-2cosx sinx

6

1

sin

x

π 2

3 0

2 -3 osx cos

x

=  ∫  ÷  3 4

6

sin os

π

6

1

sinx os

c x

π 4

6

sin xcos sin

π

Phần 3: Tích phân từng phần

Cơng thức tích phân từng phần: b [ ] b b

a

I =∫ u dv= u v −∫ v du

1 Dạng 1: I=

ab(ax+b)e dx x

dv=e

u dx

=





 , Cần nhớ: x

ax+b dv=e

u dx





→



lấy đạo hàm

x lấy 1 nguyên hàm

du = a.dx

v = e

1 1

0

x

02 x

0 1 2 x

4 1 2

0

x

I = ∫ xe dx 5 1( ) 2

I = ∫ − x e dx 6 1( ) 3

0 2 3 x

I = ∫ − x e dx

1 1

0 .(1 x)

02 ( x)

0 .(4 x)

1 1

0 .( x)

0

3 ( x)

x e

0

1 (1 x)

e

2 Dạng 2: I=

ab(ax+b) osxc dx

dv=cosx

u

dx

=





 Cần nhớ:

ax+b dv=cosx

u

dx





→



lấy đạo hàm lấy 1 nguyên hàm

du = a.dx

v = sinx

Trang 11

1

0 os

I = ∫πxc dx 2

0 3 osx

I = ∫π2 xc dx 3 I = ∫0π2( 2 3 − x c ) osx dx

4 4

0 os2x

I = ∫πxc dx 5 I = ∫0π6( 1 − x c ) os2x dx 6 I = ∫0π3( 1 2 − x c ) os3x dx

1

0 .(1 osx)

I = ∫πx + c dx 2 2

0 2 ( osx)

I = ∫πx x − c dx

3 Dạng 3: I=

ab(ax+b)sin xdx

dv=sinx

u

dx

=





 Cần nhớ:

ax+b dv=sinx

u

dx





→



lấy đạo hàm lấy 1 nguyên hàm

du = a.dx

v = -cosx

1

0 sinx

I = ∫πx dx 2

0 4 sin x

I = ∫π2 x dx 3 I = ∫0π2( 2 − x ) sinx dx

4 4

0 sin 2x

I = ∫πx dx 5 I = ∫0π6( 1 − x ) sin 2x dx 6 I = ∫0π3( 1 2 sin3x − x ) dx

1

0 .(1 sin x)

I = ∫πx + dx 2 2

0 2 ( sin x)

I = ∫πx x − dx

4 Dạng 4: I=

ab(ax+b) ln xdx

ln dv= ax+b

dx

=





ln

dv= ax+b

2







lấy đạo hàm

2 lấy 1 nguyên hàm

1

du = dx x

x

v = a

1 e

1ln

e

1 2 ln

4 2

1 4 ln

1 ln

e

1 e 2

1

1 ln

x

2

e 3

ln

e

x

1

ln 4

x

= ∫

1 e( )

1 1 ln

I = ∫ x + xdx 2 2( 2)

1 1 ln

I = ∫ − x xdx 3 2( 2)

1 2 ln 2

I = ∫ + x xdx

1 1 ln

I = ∫ + x xdx 2 2( )

I = ∫ x + x xdx 3 e

1

3

x

∫

Phần 4: Tích phân chứa trị tuyệt đối b ( )

a

I =∫ f x dx

• Bước 1: Giải phương trình f(x)=0, tìm các nghiệm x0∈[a;b]

• Bước 2: Bỏ trị tuyệt đối bằng cách xét dấu biểu thức f(x), để chia ra nhiều tích phân

Chú ý: Ta cĩ thể giải bằng cách khơng xét dấu f(x)

Trang 12

• Nếu giải phương trình f(x)=0, không có nghiệm x0∈[a;b] thì

• Nếu giải phương trình f(x)=0, có 1 nghiệm x0∈[a;b] thì

0

• Nếu giải phương trình f(x)=0, có 2 nghiệm x x1, ∈2 [a;b] thì

Bài 1: Tính các tích sau

0 2 2

I = ∫ x − dx

Bài 2: Tính các tích sau

I = ∫ x − x + dx 2 2 2

21

−

I = ∫ x − x + dx

Phần 5: Diện tích hình phẳng.

Dạng 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

( )

0

y f x y

x a

x b

 =

 =





=



 =



S = ∫ f x dx = ∫ f x dx .

S = ∫ f x dx = ∫ f x dx + ∫ f x dx , với c là nghiệm thuộc [a;b].

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x = −3 2 x2, trục Ox và hai đường thẳng x=-1, x=1

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x = −3 3 x + 2, trục hoành, trục tung và đường thẳng x=2

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x = −3 3 x + 2 và trục hoành

Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x = +3 3 x2 − 4 và trục hoành

Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x = −4 2 x2 + 1 và trục hoành

Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = ln x, trục hoành và đường thẳng x=e

Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y e = −x 1, trục hoành và đường

thẳng x=1

Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

( ) ( )

y f x

y g x

x a

x b

=





=





=



 =



S = ∫ f x − g x dx = ∫   f x − g x dx   .

S = ∫   f x − g x   dx = ∫   f x − g x dx   + ∫   f x − g x dx  

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	1,23 MB