LUẬN văn sư PHẠM vật lý hàm cầu và ỨNG DỤNG TRONG vật lý

Nghiệm của một số phương trình đạo hàm riêng có chứa hàm cầu .... Ứng dụng của hàm cầu trong cơ học lượng tử .... Một trong những nội dung của Toán cho Vật lý là phương trình đạo hàm riê

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

MSSV: 1087041 Lớp: Sư phạm Vật Lý – Tin Học K34

Cần Thơ, 5/2012

Hàm cầu &

ứng dụng

Tôi xin chân thành c ảm ơn Thầy Trần Minh Quý, Thầy đã tận tình hướng dẫn, quan tâm, động viên, giúp tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Quí Thầy Cô giảng dạy tôi trong suốt thời gian qua, đã cung cấp những kiến thức quý báu làm nền tảng để tôi có thể thực hiện được đề tài của mình

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, anh chị, bạn bè đã luôn bên cạnh ủng hộ, chia sẻ, giúp đỡ để tôi có thể hoàn thành luận văn

Luận văn chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót, tôi rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của Quí Thầy Cô và độc giả để giúp luận văn hoàn thiện hơn

Trân trọng cảm ơn!

Cần Thơ, tháng 5 năm 2012

Huỳnh Thị Bé Lành

LỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

  

A MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Phạm vi nghiên cứu 2

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Các bước thực hiện đề tài 2

B NỘI DUNG 3

Chương 1: HÀM CẦU 3

1.1 Hệ tọa độ cầu 3

1.2 Đa thức Legendre 4

1.2.1 Đa thức Legendre 4

1.2.2 Tính chất trực giao của đa thức legendre 10

1.2.3 Hàm sinh của đa thức Legendre 13

1.3 Đa thức Legendre liên kết 15

1.3.1 Đa thức Legendre liên kết 15

1.3.2 Tính chất trực giao và chuẩn hóa của đa thức Legendre liên kết 17

1.4 Hàm cầu 19

1.4.1 Đa thức điều hòa 19

1.4.2 Thiết lập hàm cầu 21

1.4.2.1 Phương trình xác định hàm cầu 21

1.4.2.2 Hàm cầu 23

1.4.3 Các dạng hàm cầu 26

1.4.4 Tính trực giao của hàm cầu 27

1.4.5 Định lý cộng hàm cầu 31

1.4.6 Tính chẵn lẻ của hàm cầu 33

1.4.7 Dao động riêng của hình cầu 35

1.4.9 Nghiệm của một số phương trình đạo hàm riêng có chứa hàm cầu 38

1.4.9.1 Phương trình Laplace 38

1.4.9.2 Phương trình sóng Helmholtz 38

1.4.9.3 Phương trình 39

1.4.10 Hàm cầu trong cơ học lượng tử 40

1.4.10.1 Toán tử mômen động lượng 40

1.4.10.2.Hàm riêng và trị riêng của toán tử 𝐿 2,𝐿 𝑧 40

1.4.11 Hàm cầu suy rộng 42

1.4.12 Sóng cầu 48

1.4.12.1 Hàm sóng hạt tự do trong hệ tọa độ cầu 48

1.4.12.2 Khai triển sóng phẳng theo sóng cầu 51

Chương II: ỨNG DỤNG CỦA HÀM CẦU TRONG VẬT LÝ 53

2.1 Bài toán Điriclê đối với hình cầu 53

2.1.1 Bài toán Điriclê trong đối với hình cầu 53

2.1.2 Bài toán Điriclê ngoài đối với hình cầu 53

2.2 Bài toán Nôiman đối với hình cầu 54

2.2.1 Bài toán Nôiman trong đối với hình cầu 54

2.2.2 Bài toán Nôiman ngoài đối với hình cầu 55

2.3 Truyền nhiệt trong tọa độ cầu 56

2.4 Bài toán biên sử dụng hàm cầu 58

2.5 Giải phương trình sóng trong tọa độ cầu 61

2.6 Ứng dụng của hàm cầu trong cơ học lượng tử 64

2.6.1 Chuyển động trong trường đối xứng tâm 64

2.6.1.1 Phương trình Schrodinger cho hạt chuyển động trong trường xuyên tâm 64

2.6.1.2 Chuyển động tự do của hạt có mômen xung lượng xác định 67

2.6.2 Chuyển động trong trường Coulomb 68

2.6.2.1 Phương trình Schrodinger cho nguyên tử Hydro và các ion đồng dạng nguyên tử Hydro 69

PHỤ LỤC 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 83

Các lý thuyết vật lý là bất biến khi biểu diễn dưới dạng các quan hệ toán học, và sự xuất hiện của toán học trong các thuyết vật lý cũng thường phức tạp hơn trong các ngành khoa học khác Sự khác biệt giữa vật lý và toán học là ở chỗ: vật lý luôn gắn liền với thế giới tự nhiên, trong khi toán học lại biểu diễn các mô hình trừu tượng độc lập với thế giới

tự nhiên Tuy vậy, sự khác biệt không phải lúc nào cũng rõ ràng Thực tế có một ngành nghiên cứu thuộc lĩnh vực trung gian giữa toán học và vật lý, đó là Toán cho Vật lý – ngành học phát triển các cấu trúc toán học để phục vụ cho các lý thuyết vật lý

Một trong những nội dung của Toán cho Vật lý là phương trình đạo hàm riêng, đây là một công c ụ toán học quan trọng giúp nghiên cứu hiệu quả Vật lý lý thuyết Trong quá trình tìm nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng mà cụ thể là phương trình Laplace sẽ

xuất hiện các dạng hàm đặc biệt như: Hàm Bessel, hàm Legendre, hàm cầu…

“Hàm cầu” là thuật ngữ được William Thomson và Peter Guthrie Tait sử dụng lần đầu tiên trong tác phẩm “Treatise on Natural Philosophy” năm 1867, hàm cầu đóng vai trò là nghiệm của phương trình Laplace trong hệ tọa độ cầu Hàm cầu đóng vai trò quan trọng

Với mong muốn tìm hiểu một các sâu s ắc và có hệ thống về hàm cầu cùng với những

ứng dụng của nó trong vật lý, tôi chọn đề tài: “HÀM CẦU VÀ ỨNG DỤNG TRONG

VẬT LÝ” Tôi hi vọng rằng đề tài này sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích và giúp cho việc

nghiên cứu chuyên ngành Vật lý lý thuyết được thuận lợi hơn

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Thiết lập hàm cầu

- Tìm hiểu những đặc điểm, tính chất của hàm cầu

- Những ứng dụng của hàm cầu trong vật lý

3 PHẠM VI NGHIÊN CỨU

- Nghiên cứu một số tính chất cơ bản của hàm cầu và một số ứng dụng của nó trong Cơ học lượng tử, giải các bài toán có liên quan đến đối xứng cầu

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu: phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa những kiến thức có liên quan đến đề tài

5 CÁC BƯỚC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

- Nhận đề tài, xác định nhiệm vụ cần đạt được của đề tài

- Tìm tài liệu có liên quan

- Lập đề cương chi tiết

- Tiến hành viết đề tài và trao đổi với giáo viên hướng dẫn

- Chỉnh sửa hoàn chỉnh luận văn và báo cáo

B NỘI DUNG

CHƯƠNG I: HÀM CẦU

Trong hệ tọa độ cầu, vị trí của điểm M bất kì được xác định bởi ba tọa 𝑟, 𝜃, 𝜑 Trong

đó, r là độ dài của vectơ bán kính, 𝜃 là góc giữa trục Oz và r, còn 𝜑 là góc giữa trục Ox và hình chiếu của r trên mặt phẳng xOy Giữa các trục Descartes và các tọa độ cầu có mối liên

Một nghiệm bất kì của phương trình này là: 𝑢 = 𝑢 𝑟, 𝜃, 𝜑 phải là hàm tuần hoàn 𝜑

có chu kì 2𝜋 ∶ 𝑢 𝑟, 𝜃, 𝜑 + 2𝜋 = 𝑢 𝑟, 𝜃, 𝜑 Phân tích nghiệm này thành chuổi Fuariê ta có:

Ta sẽ tìm nghiệm của phương trình này bằng phương pháp tách biến 𝑣 = 𝑅 𝑟 𝑄 𝜃 Khi đó phương trình (1.4) sẽ có dạng:

1𝑅

𝑑

𝑑𝑟 𝑟2 𝑑𝑅

𝑑𝑟 = 𝜆 1

𝑄

1sin 𝜃

Bây giờ ta đưa vào biến số độc lập với 𝑥 = cos 𝜃 Vì 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 nên −1 ≤ 𝑥 ≤ 1,

𝑦 = 𝑄 𝜃 , nên 𝑦 là một hàm của 𝑥 Ta có thể viết lại phương trình thứ hai của (1.5) dưới dạng:

𝑄 1𝑄

1sin 𝜃

𝑑𝑦

𝑑𝑥 = − cos 𝜃𝑑𝑦

1 − 𝑥2 𝑑2𝑦

𝑑𝑥2 − 2𝑥 𝑑𝑦

𝑑𝑥 + 𝜆𝑦 = 0 (1.8) Sau đây ta tìm nghiệm của phương trình Legendre dưới dạng chuỗi lũy thừa:

𝐶𝑙+2 = 0 và do đó ta cũng suy ra 𝐶𝑙+4 = 𝐶𝑙+6 = ⋯ = 0 Vậy nếu 𝑙 là số chẵn thì các hệ

số với chỉ số chẵn bắt đầu từ 𝐶𝑙+2 đều bằng 0, còn nếu 𝑙 là số lẻ thì các hệ số với chỉ số lẻ bắt đầu từ 𝐶𝑙+2 đều bằng 0

Do đó nếu 𝑙 chẵn, ta đặt 𝐶1 = 0, thì từ (2.9) các hệ số với chỉ số lẻ đều bằng 0 Vậy nghiệm (1.9) của phương trình (1.8) khi đó có dạng:

𝑦 = 𝐶0+𝐶2𝑥2 + 𝐶4𝑥4 + ⋯ + 𝐶𝑙𝑥𝑙, trong đó 𝐶0 là tùy ý, 𝐶2 =−𝑙 𝑙 +1 2 , còn các hệ số sau tính theo công thức (1.11)

Trong trường hợp 𝑙 lẻ, ta đặt 𝐶0 = 0 thì từ đẳng thức thứ nhất của (1.10) ta rút ra

𝐶2 = 0 Khi đó theo (1.11) các hệ số có chỉ số chẵn đều bằng 0 và nghiệm (1.9) trở thành:

𝑦 = 𝐶1𝑥 + 𝐶3𝑥3 + ⋯ + 𝐶𝑙𝑥𝑙, trong đó 𝐶1 tùy ý, 𝐶3 =−𝑙 𝑙+1 −2

6 𝐶1, các hệ số sau tính theo công thức (1.11)

Vậy khi 𝜆 = 𝑙(𝑙 + 1) phương trình Legendre (1.8) có nghiệm là đa thức bậc 𝑙 (𝑙 =

0, 1, 2, … ) Các đa thức này hoặc chỉ chứa các số hạng bậc chẵn nếu 𝑙 chẵn, hoặc chỉ chứa các số hạng bậc lẻ nếu 𝑙 lẻ Khi ta chọn hệ số 𝐶0 hoặc 𝐶1 sao cho các đa thức ấy có giá trị bằng 1 tại 𝑥 = 1 thì các đa thức như vậy gọi là đa thức Legendre, kí hiệu là 𝑃𝑙(𝑥) Như vậy

đa thức Legendre là một đa thức bậc 𝑙 thỏa mãn phương trình (1.8) với 𝜆 = 𝑙(𝑙 + 1) và tiến đến 1 khi 𝑥 = 1, nghĩa là 𝑃𝑙 1 = 1

𝑃𝑙 𝑥 = 1

2𝑙𝑙!

𝑑𝑙

𝑑𝑥𝑙 (𝑥2− 1)𝑙 (1.12) Công thức trên có thể được chứng minh như sau:

1.2.2 Tính chất trực giao của đa thức Legendre

Ta sẽ chứng minh rằng các đa thức Legendre với bậc khác nhau trực giao và chuẩn hóa với nhau trong khoảng −1, +1 :

Vì các đa thức 𝑃𝑙 𝑥 , 𝑃𝑚(𝑥) là nghiệm của phương trình (1.8) theo thứ tự ứng với

𝜆 = 𝑙 𝑙 + 1 , 𝜆 = 𝑚(𝑚 + 1) ta có phương trình của đa thức Legendre tương ứng là:

𝑑

𝑑𝑥 1 − 𝑥2 𝑑𝑃𝑙 𝑥

𝑑𝑥 + 𝑙 𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑥 = 0 𝑑

𝑑𝑥 1 − 𝑥2 𝑑𝑃𝑚 𝑥

𝑑𝑥 + 𝑚 𝑚 + 1 𝑃𝑚 𝑥 = 0 Nhân hai vế phương trình đầu với 𝑃𝑚(𝑥), nhân phương trình sau với −𝑃𝑙 𝑥 rồi cộng lại và lấy tích phân từ −1 đến +1, ta có:

1

−1

𝑥 𝑃𝑚 𝑥 𝑑𝑥 = 0 (1.17) Bằng cách lấy tích phân từng phần ta được:

𝑑𝑃𝑚(𝑥)

𝑑𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑥 𝑑𝑥 Khi đó đẳng thức (1.17) trở thành:

−1

𝑥2 − 1 𝑙 𝑑𝑙

𝑑𝑥𝑙 𝑥2 − 1 𝑙 𝑑𝑥 Bằng cách tính tích phân từng phân ta được:

−1

𝑥2− 1 𝑙 𝑑𝑙+1

𝑑𝑥𝑙+1 𝑥2 − 1 𝑙 𝑑𝑥 = − 𝑑

𝑙−1

𝑑𝑥𝑙−1 1

−1

𝑥2 − 1 𝑙 𝑑𝑙+1

𝑑𝑥𝑙+1 𝑥2 − 1 𝑙 𝑑𝑥

Thực hiện đổi biến 𝑥 = sin 𝑡 ta được:

𝑥2 − 1 𝑙𝑑𝑥 = −cos2𝑡 𝑙 cos 𝑡 𝑑𝑡 = 2 −1 𝑙 cos2𝑙+1𝑡 𝑑𝑡

𝜋 2

0

𝜋 2

−𝜋2

1

−1

Áp dụng công thức truy hồi:

𝐼𝑙 = cos𝑙𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 cos

0

sin 𝑡 cos2𝑙𝑡2𝑙 + 1 0

𝜋 2

+ 2𝑙2𝑙 + 1 cos2𝑙−1

𝜋 2

0

𝑡 𝑑𝑡

= 2𝑙2𝑙 + 1 cos2𝑙−1

𝜋 2

0

𝑡 𝑑𝑡

⇒ 𝐼2𝑙+1 = 2𝑙

2𝑙 + 1𝐼2𝑙−1Theo truy hồi ta có:

𝐼2𝑙+1 = 2𝑙

2𝑙 + 1

2𝑙 − 22𝑙 − 1⋯

45

2

3𝐼1 =

23

4

5 ⋯

2𝑙2𝑙 + 1 =

2𝑙 𝑙!

3 ∙ 5 ⋯ 2𝑙 + 1 =

22𝑙 𝑙! 2

2𝑙 + 1 ! Thay kết quả này vào (1.19) ta thu được:

𝐿 = 22𝑙 + 1Như vậy tính trực giao và chuẩn hóa của đa thức Legendre trên (−1, +1) là:

∎ Các nghiệm của 𝑃𝑙 𝑥 đều thực và nằm trong khoảng ( −1 , +1)

1.2.3 Hàm sinh của đa thức Legendre

Hàm sinh có dạng:

𝜓 𝜌, 𝑥 = 𝑃𝑙 𝑥

∞ 𝑙=0

Rõ ràng: 𝑃0 𝑥 = 1, 𝑃1 𝑥 = 1 nên từ đó ta có thể tính được 𝑃𝑙(𝑥) với mọi 𝑙

Ta có thể chứng minh công thức truy hồi này bằng cách xuất phát từ hàm số sinh 𝜓 (𝜌, 𝑥) Ta có:

Khử 𝜓 ở (1.25), (1.26) ta có:

𝜌𝜓𝜌 − 𝑥 − 𝜌 𝜓𝑥 = 0 (1.28) hay:

Một công dụng khác của hàm sinh là tính 𝑃𝑙 𝑥 ở những điểm khác nhau Chẳng hạn, tại 𝑥 = 1:

2𝑙 2 2𝑙 ! nếu 𝑙 chẵn

1.3 ĐA THỨC LEGENDRE LIÊN KẾT

1.3.1 Đa thức Legendre liên kết

Ta nghiên cứu nghiệm của phương trình (1.7):

𝑦′ = 1 − 𝑥2 𝑚2 𝑧′ +𝑚

2 1 − 𝑥2 𝑚2 −1 −2𝑥 𝑧 = 1 − 𝑥2 𝑚2 𝑧′ − 𝑚𝑧 1 − 𝑥2 𝑚2 −1𝑥

𝑦′′ = 1 − 𝑥2 𝑚2𝑧′′ − 𝑚𝑥 1 − 𝑥2 𝑚2 −1𝑧′ − 𝑚𝑧′ 1 − 𝑥2 𝑚2−1𝑥 + 𝑚𝑧 𝑚

2 − 1 × × 1 − 𝑥2 𝑚2 −2 −2𝑥 𝑥 + 𝑚𝑧 1 − 𝑥2 𝑚2 −1

1 − 𝑥2 𝑃𝑙′′ 𝑥 − 2𝑥𝑃𝑙′ 𝑥 + 𝑙 𝑙 + 1 𝑃𝑙 𝑥 = 0 (1.30) Lấy vi phân phương trình này 𝑚 lần theo 𝑧

Để tìm đạo hàm của tích hai hàm ta sử dụng quy tắc Leipnitz:

𝑢𝑣 𝑚 = 𝐶𝑚𝑖

𝑚

𝑖=0

𝑢 𝑖 𝑣 𝑚−𝑖 Với :

Hàm:

𝑃𝑙 𝑚 𝑥 = 1 − 𝑥2 𝑚2 𝑑𝑚

𝑑𝑥𝑚𝑃𝑙 𝑥 (1.31) được gọi là hàm Legendre liên kết cấp 𝑚 bậc 𝑙

1.3.2 Tính chất trực giao và chuẩn hóa của đa thức Legendre liên kết

Ta sẽ chứng minh rằng các đa thức Legendre liên kết với bậc khác nhau trực giao và chuẩn hóa với nhau trong khoảng −1, +1 :

𝑙 𝑙 + 1 − 𝑘 𝑘 + 1 𝑃𝑙 𝑚 𝑥 𝑃𝑘 𝑚 𝑥 𝑑𝑥

1

−1

= 0

1 − 𝑥2 𝑚𝑧′′ − 2𝑚𝑥 1 − 𝑥2 𝑚 −1𝑧 ′ + 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚(𝑚 + 1) 1 − 𝑥2 𝑚 −1𝑧 = 0 𝑑

𝑙 + 𝑚 !

𝑙 − 𝑚 !

1.4 HÀM CẦU

1.4.1 Đa thức điều hòa

Ta xét phương trình Laplace ba biến:

∆𝑢 = 𝑢𝑥𝑥 + 𝑢𝑦𝑦 + 𝑢𝑧𝑧 = 0 1.33 Mọi đa thức thuần nhất cấp một: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 đều là nghiệm của (1.33) Ta gọi đó là

đa thức điều hòa cấp một Rõ ràng 𝑎, 𝑏, 𝑐 là tùy ý, do đó có ba đa thức điều hòa thuần nhất

cấp một cơ bản là 𝑥, 𝑦, 𝑧 Mọi đa thức điều hòa thuần nhất cấp một đều là tổ hợp tuyến tính của ba đa thức điều hòa cơ bản nói trên

Mọi đa thức thuần nhất cấp hai có dạng tổng quát:

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑎𝑥2+ 𝑏𝑦2+ 𝑐𝑧2 + 𝑑𝑥𝑦 + 𝑒𝑥𝑧 + 𝑓𝑦𝑧 1.34 Trong đó 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 là những hằng số tùy ý Để 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) là hàm điều hòa thì điều kiện cần và đ ủ là:

∆𝐹 = 2 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 hay:

𝑐 = − 𝑎 + 𝑏 (1.35) Thay (1.35) vào (1.34) ta được:

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑎 𝑥2 − 𝑧2 + 𝑏 𝑦2 − 𝑧2 + 𝑑𝑥𝑦 + 𝑒𝑥𝑧 + 𝑓𝑦𝑧 (1.36) Với 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓 là các hàm số tùy ý Vậy mọi đa thức điều hòa thuần nhất cấp hai là

tổ hợp tuyến tính của năm đa thức điều hòa thuần nhất cấp hai cơ bản

𝑥2 − 𝑧2, 𝑦2− 𝑧2, 𝑥𝑦, 𝑥𝑧, 𝑦𝑧 Xét đa thức thuần nhất cấp 𝑛 tổng quát, nó có dạng:

𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑎0,0,𝑛 𝑧𝑛+ 𝑎1,0,𝑛−1𝑥 + 𝑎0,1,𝑛−1𝑦 𝑧𝑛−1+ ⋯ + 𝑎𝑘,0,𝑛−𝑘𝑥𝑘 +

+ 𝑎𝑘−1,1,𝑛−𝑘𝑥𝑘−1𝑦 + ⋯ + 𝑎𝑜 ,𝑘,𝑛−𝑘𝑦𝑘 𝑧𝑛−𝑘+ ⋯ + 𝑎𝑛,0,0𝑥𝑛+ + 𝑎𝑛−1,1,0𝑥𝑛−1𝑦 + ⋯ + 𝑎0,𝑛,0𝑦𝑛 𝑧0 (1.37)

Số các hệ số 𝑎𝑖 ,𝑗 ,𝑘 của 𝑥𝑖𝑦𝑗𝑧𝑘 là:

1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 + 1 = 𝑛 + 1 𝑛 + 2

2

Để đa thức trên là điều hòa ta phải có: ∆𝐹 = 0 (1.38)

∆𝐹 là một đa thức thuần nhất cấp 𝑛 − 2 Vậy số hệ số của nó là 𝑛−1 𝑛

Dùng phương pháp tách biến, tìm nghiệm dưới dạng:

𝜕

𝜕𝜃 sin 𝜃𝜕𝑌 𝜃, 𝜑

𝜕𝜃 +

1sin2𝜃

𝜕

𝜕𝜃 sin 𝜃𝜕𝑌 𝜃, 𝜑

𝜕𝜃 +

1sin2𝜃

𝜕

𝜕𝜃 sin 𝜃𝜕𝑌 𝜃, 𝜑

𝜕𝜃 +

1sin2𝜃

𝜕2𝑌 𝜃, 𝜑

𝜕𝜑2 = 𝜆Bằng cách chọn 𝜆 cho các biểu thức trên ta có các phương trình sau:

1𝑅(𝑟)

𝑑

𝑑𝑟 𝑟2𝑑𝑅(𝑟)

𝑑𝑟 = 𝜆 1

𝑅 𝑟 = 𝑟𝑙 với l là nguyên

Thay vào (1.41) ta suy ra:

𝜆 = 𝑙 𝑙 + 1 với 𝑙 = 0, 1, 2, ⋯ Khi đó phương trình (1.41) có dạng:

𝑟2 𝑑

𝑑𝑟2 + 2𝑟𝑑𝑅 𝑟

𝑑𝑟 − 𝑙 𝑙 + 1 𝑅 𝑟 = 0 Các hàm 𝑟𝑙 và 𝑟−(𝑙+1) là nghiệm cơ bản của phương trình này Và nghiệm tổng quát

𝑌 𝜃, 𝜑 = 𝑌 𝜃, 𝜑 + 2𝜋

𝑌 0, 𝜑 < ∞; 𝑌 𝜋, 𝜑 < ∞ Nghiệm giới nội 𝑌 𝜃, 𝜑 của phương trình trên có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục,

được gọi là hàm cầu cấp l

Rõ ràng mọi đa thức 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) điều hòa thuần nhất cấp l, sau khi thay 𝑥, 𝑦, 𝑧 qua tọa

độ cầu sẽ có dạng tách biến:

𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑟𝑙𝑌𝑙 𝜃, 𝜑 (1.43) Hàm 𝑌𝑙 𝜃, 𝜑 chính là nghiệm giới nội của phương trình (1.42) và do đó là một hàm

cầu cấp l

Một đa thức điều hòa thuần nhất cấp 𝑙 như đã biết là tổ hợp tuyến tính của (2𝑙 + 1)

đa thức điều hòa thuần nhất cấp 𝑙 cơ bản, và từ (1.43) dễ thấy được rằng mọi hàm cầu cấp 𝑙 cũng sẽ là một tổ hợp tuyến tính của 2𝑙 + 1 hàm cầu cấp 𝑙 cơ bản

Người ta định nghĩa hàm cầu cấp 𝑙 là nghiệm của phương trình:

1sin 𝜃

Phương trình (1.44) còn được gọi là phương trình xác định hàm cầu

Để nghiên cứu cấu trúc của hàm cầu cấp 𝑙, ta sẽ tìm cách giải phương trình (1.44)

1.4.2.2 Hàm cầu

Để giải phương trình xác định hàm cầu, ta sử dụng phương pháp tách biến:

𝑌 𝜃, 𝜑 = 𝑃 𝜃 𝑄 𝜑 (1.45) Thay (1.45) vào (1.44) ta có:

𝑄 𝜑 sin 𝜃

1sin 𝜃

𝑑

𝑑𝜃 sin 𝜃𝑑𝑃 𝜃 𝑑𝜃 + 𝑙 𝑙 + 1 𝑃 𝜃

𝑃 𝜃 sin2𝜃

𝑄′′ + 𝑚2𝑄 = 0

𝑄 𝜑 + 2𝜋 = 𝑄 𝜑 Phương trình này có nghiệm tổng quát là:

𝑑

𝑑𝑥 1 − 𝑥2 𝑑𝑃

𝑑𝑥 + 𝑙 𝑙 + 1 − 𝑚2

1 − 𝑥2 𝑃 = 0 Phương trình trên là phương trình xác định đa thức Legendre liên kết, nghiệm của phương trình này là:

𝑃 = 𝑃𝑙 𝑚 𝑥 = 1 − 𝑥2 𝑚2 𝑑𝑚

𝑑𝑥𝑚𝑃𝑙 𝑥 𝑚 < 𝑙 hay:

𝑃 = 𝑃𝑙 𝑚 cos 𝜃 = sin 𝜃 𝑚 𝑑𝑚

𝑑 cos 𝜃 𝑚𝑃𝑙 cos 𝜃 Với mỗi 𝑙 có 𝑙 + 1 nghiệm riêng của phương trình đó là 𝑃𝑙, 𝑃𝑙 1 , 𝑃𝑙 2 , … , 𝑃𝑙 𝑚

Ta thu được dạng nghiệm (1.45) là:

𝑌 𝜃, 𝜑 = 𝑃 𝜃 𝑄 𝜑 = 𝐴 cos 𝑚𝜑 + 𝐵 sin 𝑚𝜑 𝑃𝑙 𝑚 cos 𝜃 Lần lượt cho 𝑚 = 0, 1, 2, … , 𝑙 ta có 2𝑙 + 1 nghiệm:

𝑃𝑙 2 cos 𝜃 sin 2𝜑

𝑃𝑙

𝑚 cos 𝜃 cos 𝑚𝜑 ;

𝑃𝑙 𝑚 cos 𝜃 sin 𝑚𝜑

𝑃𝑙 𝑙 cos 𝜃 cos 𝑙𝜑

𝑃𝑙 𝑙 cos 𝜃 sin 𝑙𝜑 trong đó: 𝑚 = 0, 1, 2, 3, … , 𝑙

𝑙 = 0, 1, 2, 3, …

Theo công thức trên ta quy ước 2𝑙 + 1 hàm cầu cơ bản là:

𝑌𝑙 0 cos 𝜃 = 𝑃𝑙 cos 𝜃

𝑌𝑙 −1 cos 𝜃 = 𝑃𝑙 1 cos 𝜃 cos 𝜑

𝑌𝑙 1 cos 𝜃 = 𝑃𝑙 1 cos 𝜃 sin 𝜑

𝑌𝑙 −𝑚 cos 𝜃 = 𝑃𝑙 𝑚 cos 𝜃 cos 𝑚𝜑

𝑌𝑙 𝑚 cos 𝜃 = 𝑃𝑙 𝑚 cos 𝜃 sin 𝑚𝜑

𝑌𝑙 −𝑙 cos 𝜃 = 𝑃𝑙 𝑙 cos 𝜃 cos 𝑙𝜑

𝑌𝑙 𝑙 cos 𝜃 = 𝑃𝑙 𝑙 cos 𝜃 sin 𝑙𝜑

Tập hợp tuyến tính bất kì của chúng được gọi là hàm cầu cấp l

𝑌𝑙 𝜃, 𝜑 = 𝐴𝑙,𝑚 cos 𝑚𝜑 + 𝐵𝑙,𝑚 sin 𝑚𝜑 𝑃𝑙(𝑚) cos 𝜃

Hàm 1

𝑟 𝑙 +1𝑌𝑙 𝜃, 𝜑 cũng là nghiệm của phương trình Laplace nhưng hàm này không giới hạn trong quả cầu

Với 2𝑙 + 1 hàm cầu trực giao và chuẩn hóa, ta có thể phân tích mọi hàm 𝑓 𝜃, 𝜑 khả

vi liên tục hai lần trên mặt cầu, thành chuỗi các hàm cầu hội tụ tuyệt đối và đều trên mặt cầu:

𝑓 𝜃, 𝜑 = 𝑌𝑙 𝜃, 𝜑 = 𝐴𝑙,𝑚 cos 𝑚𝜑 + 𝐵𝑙 ,𝑚 sin 𝑚𝜑 𝑃𝑙 𝑚 cos 𝜃 (1.49)

1.4.3 Các dạng hàm cầu

Nếu đòi hỏi các nghiệm là chính quy với 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, 𝜃 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 và thỏa mãn điều kiện : 𝑌 𝜃, 𝜑 + 2𝜋 = 𝑌 𝜃, 𝜑 thì chúng ta đi đến bài toán về trị riêng mà cho nghiệm chỉ với các trị riêng của 𝑙, bởi vì – 𝑙 − 1 và 𝑙 cho các giá trị như nhau của 𝑙(𝑙 + 1) Các hàm riêng thực:

2𝑙 + 12𝜋

𝑙 − 𝑚 !

𝑙 + 𝑚 ! 𝑃𝑙 𝑚 cos 𝜃 cos 𝑚𝜑

2𝑙 + 12𝜋

𝑙 − 𝑚 !

𝑙 + 𝑚 ! 𝑃𝑙 𝑚 cos 𝜃 sin 𝑚𝜑 (1.50) (𝑙 = 0, 1, 2, … ; 𝑚 = 0, 1, 2, … , 𝑙)

được gọi là các hàm cầu khối 𝑌𝑙 𝑚 𝜃, 𝜑 , chúng tuần hoàn trên mặt cầu và đổi dấu dọc theo đường mốc 𝜃 = const và 𝜑 = const, trên chính đường đó chúng bằng 0

Hình vẽ: Các mốc của các hàm 𝑃5 3 cos 𝜃 sin 3𝜑 trên mặt cầu trải ra, hàm âm

trong miền gạch

Hàm 𝑌𝑙 0 𝜃, 𝜑 = 𝑃𝑙 cos 𝜃 không phụ thuộc vào 𝜑 được gọi là hàm cầu vùng (hay

hàm cầu đới), tức là hình cầu chia thành 𝑙 + 1 miền vĩ tuyến, tại đó dấu của hàm cầu vùng được bảo toàn

Với 𝑚 = 𝑙 ta có các hàm cầu quạt 𝑌𝑙 𝑙 𝜃, 𝜑 , hình cầu được chia thành 2𝑙 miền kinh tuyến, tại đó dấu hàm cầu quạt được bảo toàn

1.4.4 Tính trực giao của hàm cầu

Hàm c ầu 𝑌 𝜃, 𝜑 là một hàm với biến có thể coi là một điểm trên mặt cầu đơn vị 𝑆 với tọa độ cầu 1, 𝜃, 𝜑

(với điều kiện 𝑙 ≠ 𝑙1 hoặc khi 𝑙 = 𝑙1 nhưng các chỉ số trên là khác nhau)

Thật vậy, nếu 𝜍 là mặt cầu bán kính 𝑟 = 1 thì 𝑑𝑆 = 𝑟2 sin 𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑 = sin 𝜃𝑑𝜃 𝑑𝜑, và

cos𝑚1𝜑 sin 𝑚1𝜑 × sin 𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑 1.52 trong đó

cos 𝑚𝜑

sin 𝑚𝜑

cos𝑚1𝜑 sin 𝑚1𝜑 kí hiệu một trong bốn tích sau: cos 𝑚𝜑 cos 𝑚1𝜑 ; cos 𝑚𝜑 sin 𝑚1𝜑 ; sin 𝑚𝜑 cos 𝑚1𝜑 ; sin 𝑚𝜑 sin 𝑚1𝜑

+ Nếu các chỉ số trên là khác nhau thì ta có:

cos 𝑚𝜑sin 𝑚𝜑

cos𝑚1𝜑 sin 𝑚1𝜑 𝑑𝜑 = 0

1

𝑚

nghĩa là tích phân (1.52) trở thành:

𝑌 𝑚 𝜃, 𝜑 𝑌 𝑚 𝜃, 𝜑 𝑑𝑆 =

cos𝑚𝜑 sin 𝑚𝜑 × sin 𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑 trong đó

cos 𝑚𝜑

sin 𝑚𝜑

cos𝑚𝜑 sin 𝑚𝜑 kí hiệu một trong bốn tích sau: cos2𝑚𝜑; sin2 𝑚𝜑 cos 𝑚𝜑 sin 𝑚𝜑; sin 𝑚𝜑 cos 𝑚𝜑

2𝜋

0

𝑑𝜑 = 𝜋 thì tích phân (1.52) có dạng:

(đổi biến 𝑥 = cos 𝜃 )

Như đã tìm hiểu ở mục 1.3.2 ta có được:

𝑃𝑙 𝑚 𝑥 𝑃𝑙1 𝑚

1

−1

𝑥 𝑑𝑥 = 0 (𝑙1 ≠ 𝑙) Dẫn đến (1.53):

𝑥 𝑑𝑥 = 0

do tính trực giao của hệ hàm lượng giác trong 0, 2𝜋

Như vậy đẳng thức (1.51) đã được chứng minh

Ta đã chứng minh được tính trực giao của hàm cầu Bây giờ ta tìm tính chuẩn hóa của hàm cầu bằng cách xét hai hàm cầu có cùng c ấp 𝑙 là 𝑌𝑙 𝑘1 𝜃, 𝜑 và 𝑌𝑙 𝑘2 𝜃, 𝜑 Tích phân chúng, ta có:

2𝑙 + 1 𝑙 − 𝑘 ! khi 𝑘1= 𝑘2 = 𝑘 ≠ 0 1.54

4𝜋

2𝑙 + 1 khi 𝑘1 = 𝑘2 = 0

Hay có thể viết gọn hơn:

Tính trực giao c ủa hàm cầu có thể được sử dụng để khai triển một hàm bất kì xác định trên mặt cầu 𝜍:

𝑓 𝜃, 𝜑 = 𝐴𝑙,𝑚 cos 𝑚𝜑 + 𝐵𝑙 ,𝑚 sin 𝑚𝜑 𝑃𝑙 𝑚 cos 𝜃

𝜋 0

𝑌𝑙 𝑚 2 (1.55)

𝐵𝑙,𝑚 = 𝑓 𝜃, 𝜑 𝑃𝑙

𝑚 cos 𝜃 sin 𝑚𝜑 sin 𝜃𝑑𝜃𝑑𝜑

2𝜋 0

𝜋 0

𝑌𝑙 𝑚 2Nghiệm tổng quát của phương trình Laplace có thể viết dưới dạng:

1.4.5 Định lý cộng hàm cầu

Giả sử 𝛾 là góc giữa hai vectơ 𝑥 và 𝑥 , như hình vẽ dưới Góc cực 𝜃, 𝜃′ ′ được xác định từ trục cực 𝑧 Những góc này thỏa mãn đồng nhất thức lượng giác:

cos 𝛾 = cos 𝜃 cos 𝜃′ + sin 𝜃 sin 𝜃′cos 𝜑 − 𝜑′ (1.58)

Định lý cộng hàm cầu cho phép chúng ta biểu diễn đa thức Legendre 𝑃𝑙 cos 𝛾 theo hàm cầu

Để thay thế, ta thay đổi 𝑌𝑙,𝑚∗ 𝜃, 𝜑 bằng một hàm theo góc 𝛾 và 𝛽 Ta có thể khai triển

𝐴𝑚 𝜃′, 𝜑′ = 4𝜋

2𝑙 + 1𝑌𝑙,𝑚∗ 𝜃′, 𝜑′ Khi đó (1.59) trở thành:

(1.62)

Ta cũng có thể viết lại (1.62) qua các hàm Legendre liên kết:

𝑃𝑙 cos 𝛾 = 𝑃𝑙 cos 𝜃 𝑃𝑙 cos 𝜃′ + 2 𝑙 − 𝑚 ! 𝑙 + 𝑚 !𝑃𝑙(𝑚 ) cos 𝜃 𝑃𝑙(𝑚) cos 𝜃′

𝑙

𝑚=1

×

× cos 𝑚 𝜑 − 𝜑′ (1.63) Phương trình (1.58) là trường hợp đặc biệt của phương trình (1.63) khi 𝑙 = 1

Phương trình (1.62), (1.63) biểu diễn định lý cộng hàm cầu mà ta cần tìm

𝑃 𝜓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝜓 −𝑥, −𝑦, −𝑧 Nếu tác dụng 𝑃 lên phương trình trên một lần nữa ta lại được:

Chú ý rằng khi phản chiếu không gian, tác dụng của toán tử chẵn lẻ làm toán tử xung lượng 𝑝 và toán tử tọa độ 𝑟 đổi dấu, còn toán tử mômen xung lượng 𝐿 không đổi dấu Vì vậy, 𝐿 được gọi là vectơ trục hay giả vectơ Điều này có nghĩa là các hàm riêng của mômen xung lượng cũng đồng thời là các hàm riêng của toán tử chẵn lẻ 𝑃

Khi thực hiện phép biến đổi 𝑃 thì 𝑟 → −𝑟

Trong tọa độ cầu điều này dẫn đến sự phản chiếu không gian:

𝑟 → 𝑟

𝜃′ → 𝜋 − 𝜃

𝜑′ → 𝜋 + 𝜑 Xét tính chẵn lẻ của hàm c ầu 𝑌𝑙 𝑚 𝜃, 𝜑 ta có:

𝑙 − 𝑚 !

𝑙 + 𝑚 ! −1 𝑚𝑒𝑖𝑚𝜑𝑒𝑖𝑚𝜋𝑃𝑙 𝑚 − cos 𝜃

Ta có:

𝑃𝑙 𝑚 − cos 𝜃 = ±𝑃𝑙 𝑚 cos 𝜃 Dấu “ + ” nếu 𝑙 − 𝑚 là số nguyên chẵn, dấu " − " nếu 𝑙 − 𝑚 là số nguyên lẻ, ta có thể viết:

𝑃𝑙 𝑚 − cos 𝜃 = −1 𝑙−𝑚𝑃𝑙 𝑚 cos 𝜃

( Lưu ý: 𝑒𝑖𝑚𝜋 = cos 𝑚𝜋 + 𝑖 sin 𝑚𝜋 = cos 𝑚𝜋 = −1 𝑚 )

Suy ra:

𝑌𝑙 𝑚 𝜋 − 𝜃, 𝜋 + 𝜑 = −1 𝑙𝑌𝑙 𝑚 𝜃, 𝜑

Vì thế nếu 𝑙 chẵn thì 𝑌𝑙 𝑚 𝜃, 𝜑 là hàm chẵn, còn nếu 𝑙 lẻ thì 𝑌𝑙 𝑚 𝜃, 𝜑 là hàm lẻ Nói cách khác, hàm cầu có tính chẵn lẻ được phụ thuộc vào tính chẵn lẻ của 𝑙

1.4.7 Dao động riêng của hình cầu

Xét bài toán: ∆𝑣 + 𝜆𝑣 = 0 , 𝑣 = 0 1.66 Thay bằng toán tử Laplace trong tọa độ cầu, ta có:

1 𝑑

𝑟2 𝑑𝑅

+ 𝜆 −𝑙 𝑙 + 1 𝑅 = 0 1.71