Bài toán dựng hình và ứng dụng lý thuyết galois vào dựng hình (2018)

Để giải bài toán dựnghình có rất nhiều phương pháp như dựng hình bằng phương pháp đại số,phương pháp quỹ tích tương giao,...nhưng có cả những bài toán là khôngdựng được một cách chính xá

KHOA TOÁN

PHAN THỊ THOA

BÀI TOÁN DỰNG HÌNH VÀ ỨNG DỤNG

LÝ THUYẾT GALOIS VÀO DỰNG HÌNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Hà Nội - 2018

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

ThS Nguyễn Thị Trà

Hà Nội - 2018

Lời cảm ơn 3

1.1 Các tiên đề về toán dựng hình 7

1.1.1 Định nghĩa về bài toán dựng hình 7

1.1.2 Các tiên đề chung của hình học dựng hình 7

1.1.3 Các tiên đề về dụng cụ dựng hình 8

1.1.4 Các phép dựng hình cơ bản 9

1.2 Các bài toán dựng hình cơ bản 9

1.3 Giải bài toán dựng hình 10

1.3.1 Một số khái niệm cơ bản 10

1.3.2 Các bước giải một bài toán dựng hình 10

1.4 Một số phương pháp giải bài toán dựng hình 14

1.4.1 Dựng hình bằng phương pháp phép biến hình 14

1.4.2 Dựng hình bằng phương pháp quỹ tích tương giao 19 1.4.3 Dựng hình bằng phương pháp đại số 23

1.5 Dựng hình bằng dụng cụ hạn chế 28

1.5.1 Dựng hình chỉ bằng compa 28

1.5.2 Dựng hình chỉ bằng thước 29

1.6 Một số bài tập 31

1.6.1 Bài tập có lời giải 31

1.6.2 Bài tập tự giải 34

2 ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT GALOIS VÀO DỰNG HÌNH 35 2.1 Kiến thức liên quan 36

2.1.1 Mở rộng chuẩn tắc và mở rộng tách được 362.1.2 Mở rộng Galois 362.2 Ứng dụng lí thuyết Galoa vào giải một số bài toán dựng hình 38

Trước khi em trình bày nội dung chính của khóa luận này, em xin đặcbiệt gửi lời cảm ơn sâu sắc đến ThS Nguyễn Thị Trà, người đã trực tiếphướng dẫn chỉ bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập và làm khóaluận để em có thể hoàn thành tốt khóa luận của mình.

Em cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn tới các thầy cô khoa Toán, các thầy

cô trong tổ bộ môn hình học trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã dạybảo em tận tình trong suốt quá trình học tập dưới mái trường thân yêunày

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn quan tâm động viên và tạo điều kiện tốt nhất để em cóthể hoàn thành tốt khóa luận này

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn mọi sự giúp đỡ quý báu đó!

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Phan Thị Thoa

Khóa luận này được hoàn thành là kết quả của quá trình tìm hiểu, họctập và nỗ lực của bản thân, dưới sự hướng dẫn chỉ bảo của ThS NguyễnThị Trà.

Trong khóa luận này em có tham khảo thêm một số tài liệu Em xincam đoan kết quả của khóa luận là không sao chép từ bất cứ khóa luậnnào Em xin chịu trách nhiệm về lời cam đoan của mình

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Phan Thị Thoa

1, Lý do chọn đề tài

Toán học là môn học có vai trò rất quan trọng trong đời sống xã hội

và được ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành nghề Hình học là một phânnhánh của toán học, trong đó có nhiều dạng toán hay giúp rèn luyện kĩnăng tư duy logic, tưởng tượng cho người học Các dạng toán của hìnhhọc thường phức tạp, đòi hỏi người học có khả năng phân tích, quan sát

và tư duy tốt Điều này được thể hiện rõ trong một số dạng toán của hìnhhọc là toán dựng hình Các bài toán về dựng hình được giới thiệu cho họcsinh, ngay từ những ngày đầu được làm quen với hình học Việc giải cácbài toán dựng hình là cực kì quan trọng, có tính ứng dụng cao trong thựctiễn như kiến trúc, xây dựng, cầu đường, trắc địa Tuy nhiên có nhiều bàitoán dựng hình để tìm lời giải là không hề đơn giản Để giải bài toán dựnghình có rất nhiều phương pháp như dựng hình bằng phương pháp đại số,phương pháp quỹ tích tương giao, nhưng có cả những bài toán là khôngdựng được một cách chính xác, ví dụ "ba bài toán khó thời cổ đại" mà sự

ra đời của chúng có ảnh hưởng lớn tới sự phát triển của toán học Ba bàitoán này xuất hiện vào khoảng thế kỉ IV đến thế kỉ VI trước công nguyên,trải qua thời gian hàng nghìn năm với sự nỗ lực không ngừng, các nhàtoán học trên thế giới vẫn chưa tìm được lời giải cho bài toán Cho tớithế kỉ XIX, nhờ có nhà toán học Évariste Galois (1811-1832) với lý thuyếtmang tên ông đưa ra có thể xét tính giải được bài toán dựng hình bằngthước kẻ và compa, và chứng minh được ba bài toán khó thời cổ đại làkhông dựng được bằng thước và compa

Với sự giúp đỡ của cô hướng dẫn ThS Nguyễn Thị Trà và từ niềm say

mê, hứng thú của bản thân với hình học, em chọn đề tài " Bài toán dựnghình và ứng dụng lý thuyết Galois vào dựng hình" làm đề tài khóa luậntốt nghiệp của mình Qua đây em có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về hình họcnói chung và các bài toán dựng hình nói riêng

Nội dung khóa luận này gồm 2 chương:

Chương 1: Bài toán dựng hình: Trong chương này em xin giới thiệutổng quan các lý thuyết liên quan đến bài toán dựng hình và các phươngpháp dựng hình

Chương 2: Ứng dụng lý thuyết Galois vào dựng hình: Trong chươngnày, em trình bày sơ lược về lý thuyết Galois và ứng dụng của nó vào cácbài toán: chia ba một góc, cầu phương hình tròn, gấp đôi thể tích hình lậpphương và bài toán chia đường tròn thành n phần bằng nhau

2, Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu một cách tổng quan về bài toán dựng hình và một số ứngdụng lý thuyết Galois trong dựng hình bằng thước kẻ và compa

3, Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Bài toán dựng hình và ứng dụng lý thuyết Galoisvào dựng hình

- Phạm vi nghiên cứu: Trong mặt phẳng và với dụng cụ dựng hình thước

và compa

4, Nhiệm vụ nghiên cứu

- Hệ thống các tiên đề dựng hình, các khái niệm và kiến thức có liên quanđến dựng hình

- Các phương pháp giải bài toán dựng hình

- Hệ thống một số ứng dụng của lý thuyết Galois trong dựng hình bằngthước kẻ và compa

5, Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp

- Nghiên cứu các sách tham khảo, tài liệu có liên quan

Bài toán dựng hình

1.1 Các tiên đề về toán dựng hình

1.1.1 Định nghĩa về bài toán dựng hình

Phần hình học trong đó người ta nghiên cứu các phép dựng hình gọi làhình học dựng hình Bài toán dựng hình là bài toán trong đó người ta yêucầu xây dựng các hình, sao cho thỏa mãn các điều kiện cho trước bằngcách sử dụng những dụng cụ dựng hình đã quy định trước

1.1.2 Các tiên đề chung của hình học dựng hình

Trước hết, chúng ta đi vào tìm hiểu các tiên đề giúp giải quyết các bàitoán dựng hình

Tiên đề 1 Mọi hình đã cho được coi là dựng được

Tiên đề 2 Nếu đã dựng được hai (hay nhiều) hình thì hợp các hình đãdựng đó là dựng được

Tiên đề 3 Với hai hình đã dựng ta có thể xác định được hiệu của chúng

có là tập rỗng hay không

Ví dụ, cho một đường thẳng bất kỳ và các điểm C,D,E và F là 4 điểmthẳng hàng theo thứ tự và nằm trên đường thẳng đó Giả sử các đoạnthẳng CE và DF là đã dựng được Khi đó nửa khoảng CD là hiệu củanửa khoảng CE và DF

Tiên đề 4 Nếu hiệu của hai hình đã dựng được là một tập không rỗng

Tiên đề 6 Nếu giao của hai hình đã dựng là một tâp khác rỗng thì giao

1.1.3 Các tiên đề về dụng cụ dựng hình

Khi nói đến bài toán dựng hình thì điều ta quan tâm đến là dụng cụ

để dựng hình Bộ dụng cụ dựng hình thường dùng nhất là thước thẳng vàcompa

a, Tiên đề về thước một biên

Với thước, có thể cho phép thực hiện được những phép dựng hình sau:Tiên đề T1 - Dựng đoạn thẳng nối hai điểm đã dựng

Tiên đề T2 - Dựng đường thẳng đi qua hai điểm đã dựng

Tiên đề T3 - Dựng tia xuất phát từ một điểm đã dựng và đi qua một điểmkhác đã dựng

b, Tiên đề về compa

Với compa, có thể cho phép thực hiện được các phép dựng hình sau:Tiên đề C1 - Dựng đường tròn nếu biết tâm đường tròn và đoạn thẳngbằng bán kính đường tròn (hay các điểm mút của đoạn thẳng đó) đã dựng.Tiên đề C2 - Dựng được bất kỳ cung nào trong hai cung bù nhau của mộtđường tròn khi tâm đường tròn và các điểm mút của cung đó đã dựng

1, Dựng một đoạn thẳng nối liền hai điểm cho trước.

2, Dựng một đường thẳng đi qua hai điểm cho trước

3, Dựng một tia xuất phát từ một điểm đã dựng và đi qua một điểmkhác đã dựng

4, Dựng đường tròn nếu cho tâm đường tròn và đoạn thẳng bằng bánkính đường tròn (hay các điểm mút của đoạn thẳng đó) đã dựng

5, Dựng bất kỳ cung nào trong hai cung bù nhau của một đường trònkhi biết tâm đường tròn và các mút của cung đó đã dựng

6, Dựng bất kỳ một số hữu hạn điểm chung của hai hình đã dựng nếucác điểm đó tồn tại

7, Dựng hợp của một số hữu hạn các hình đã dựng

8, Dựng hiệu của hai hình đã dựng nếu hiệu đó là một tập khác rỗng

9, Dựng điểm thuộc vào một hình đã dựng cho trước

10, Dựng điểm cho biết là không thuộc một hình đã dựng nào đó.1.2 Các bài toán dựng hình cơ bản

Ta thấy rằng việc phân tách thẳng lời giải các bài toán cơ bản kể cảđối với những bài toán đơn giản cũng sẽ đưa đến một số lớn các bước giải

“logic” Với những bài toán phức tạp, điều này sẽ dẫn đến kết quả là cáccách trình bày cách dựng của bài toán sẽ trở nên rườm rà và khó theo dõiđược lời giải bài toán

Vì vậy, trong việc giải các bài toán phức tạp người ta thường sử dụngcác kết quả của bài toán đơn giản và xem chúng như các kết quả đã biết.Các bài toán đơn giản này được gọi là các bài toán dựng hình cơ bản.Trong mặt phẳng, với bộ dụng cụ dựng hình "Thước và compa", các bàitoán sau đây được gọi là các bài toán dựng hình cơ bản:

1, Chia đôi một đoạn thẳng cho trước

2, Chia đôi một góc cho trước

3, Dựng một góc bằng một góc cho trước

4, Dựng trên một đường thẳng cho trước một đoạn thẳng bằng đoạnthẳng đã cho.

5, Qua một điểm cho trước nằm ngoài đường thẳng, dựng một đườngthẳng song song với đường thẳng đã cho

6, Qua một điểm cho trước dựng đường thẳng vuông góc với đườngthẳng đã cho

7, Chia đoạn thẳng theo một tỉ lệ đã biết

8, Dựng tam giác khi biết độ dài ba cạnh của tam giác đó

9, Dựng tam giác khi biết độ dài hai cạnh và độ lớn của góc xen giữa

10, Dựng tam giác biết độ lớn hai góc và biết độ dài cạnh kề hai gócđó

11, Dựng tam giác vuông khi biết độ dài cạnh huyền và độ dài mộtcạnh góc vuông

1.3 Giải bài toán dựng hình

1.3.1 Một số khái niệm cơ bản

Vấn đề đặt ra đối với bài toán dựng hình là ta phải dựng một hình nào

đó thỏa mãn điều kiện cho trước với những dụng cụ quy định đã cho.Mỗi hình dựng được thỏa mãn tất cả điều kiện của bài toán được gọi

là một nghiệm của bài toán dựng hình

Tìm nghiệm của bài toán dựng hình là chỉ ra thứ tự một dãy hữu hạncác phép dựng hình cơ bản cần phải thực hiện để dựng được hình thỏamãn các điều kiện bài toán

Giải một bài toán dựng hình là ta đi tìm tất cả các nghiệm của bàitoán

1.3.2 Các bước giải một bài toán dựng hình

Nói chung, để giải một bài toán dựng hình ta thực hiện theo bốn bước:phân tích, dựng hình, chứng minh và biện luận

a, Phân tích

Không phải đứng trước một bài toán dựng hình bất kỳ nào chúng tađều thấy được ngay cách dựng Quá trình tư duy để tìm ra được cách dựnggọi là bước phân tích Phân tích là bước quan trọng nhất.Nó giúp ta lập

ra phương án dựng để tìm ra lời giải bài toán cần tìm trên cơ sở xác định

mối quan hệ giữa các yếu tố cho trước và các yếu tố phải tìm làm cơ sở đểtiến hành các bước dựng Khi phân tích chúng ta nên:

- Giả sử hình cần dựng là dựng được và phác vẽ hình đó, thiết lập mối liên

hệ giữa các yếu tố đã cho và yếu tố cần dựng

- Chúng ta thường đưa việc dựng một hình về dựng các bộ phận của nóhoặc các bộ phận phụ nên chúng ta thường phải thêm các yếu tố mới (vẽthêm hình phụ) để tìm cách dựng Việc định hướng lựa chọn các yếu tốmới phụ thuộc vào hướng đưa về các bài toán dựng hình cơ bản Tức để đểdựng được hình G thường phân tích quy về dựng hình G1, quy việc dựnghình G1 về dựng hình G2 Sau một số hữu hạn bước dẫn đến dựng hình

Gn, trong đó Gn là hình cơ bản đã biết cách dựng

Một bài toán dựng hình phân tích theo các cách khác nhau sẽ cho tanhững cách dựng khác nhau

b, Dựng hình

Dựng hình là bước dựa vào bước phân tích chỉ ra một số hữu hạn và

có thứ tự các phép dựng cơ bản hay các bài toán dựng hình cơ bản (thíchứng với bộ dụng cụ đã chọn) để sau khi thực hiện thì hình đã cho là dựngđược

Bước dựng hình gồm 2 phần:

+ Phần trình bày bằng ngôn ngữ: Kể theo thứ tự nhất định các phép dựnghình cơ bản ta cần thực hiện được suy ra từ bước phân tích trước đó.+ Phần dựng hình bằng dụng cụ đã chọn: Trên hình vẽ cần dựng phải đểlại đầy đủ các vết dựng

c, Chứng minh

Sau khi đã dựng được hình cần phải xác nhận xem hình đó đã thỏamãn các điều kiện của bài toán hay chưa? Chứng minh là bước nhằm xáclập rằng hình đã dựng thỏa mãn tất cả các giả thiết của bài toán Thôngthường, để chứng minh ta dựa vào bước dựng hình Nếu cách dựng đã rõràng thì bước chứng minh sẽ trở nên đơn giản

d, Biện luận

Biện luận là tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho, xem xét nhữngyếu tố đã cho phải thỏa mãn điều kiện gì để có thể dựng được hình phảitìm và nếu dựng được thì sẽ có bao nhiêu nghiệm hình Để biện luận tacăn cứ vào thứ tự mỗi bước dựng đó xét xem phải thỏa mãn điều kiện gìthì bước này thực hiện được và chỉ rõ dựng được bao nhiêu nghiệm hình.Cuối cùng ta tổng hợp các bước để kết luận điều kiện dựng được và số

nghiệm của bài toán Như vậy, biện luận là thiết lập điều kiện giải được

và xác định số nghiệm của bài toán

Ví dụ 1.3.1 Dựng ∆ABC biết độ dài đường cao AK bằng h, độ dàiđường trung tuyến AN bằng n và độ dài đường phân giác AD bằng d.Lời giải

Khi đó các điểm B, C nằm trên đường thẳngKN và nằm trên đường tròn

(O, OA) ngoại tiếp ∆ABC

Do vậy ∆ABC là dựng được

Dựng hình

Dựng các đoạn thẳng có độ dài h, n và d

Dựng ∆AKD có độ dài cạnh góc vuông AK = h và độ dài cạnh huyền

Dựng đường tròn C(O, OA)

Dựng các điểm B, C là giao của đường tròn C(O, OA) với đường thẳng

KN

Dựng các đoạn thẳng AB, BC và AC

Khi đó ta có ∆ABC cần dựng

Chứng minh

Xét ∆ABC có AK⊥BC (do AK⊥KN) và độ dài AK = h

Do đó, AK là đường cao ứng với đỉnh A của ∆ABC cần dựng

Mặt khác, ∆OBC cân tại O có ON ⊥BC

Suy ra ON là đường trung tuyến của ∆OBC

Hay N là trung điểm của đoạn thẳng BC

Xét ∆ABC có độ dài đoạn thẳng AN = n và AN là đường trung tuyến(do N là trung điểm của BC)

Do đó, AN là đường trung tuyến ứng với đỉnh A của ∆ABC cần dựng.Theo cách dựng, dễ dàng thấy điểm E = ∆ ∩ (O, OA) (∆ là đường thẳngqua điểm N và điểm O)

Suy ra E là trung điểm của cung nhỏ BC hay \BAE = \CAE

Ta có độ dài AD = d và \BAD = CAD\ (do \BAE = CAE\)

Do đó, AD là đường phân giác ứng với đỉnh A của ∆ABC cần dựng.Vậy ∆ABC cần dựng thỏa mãn yêu cầu bài toán

- Các trường hợp còn lại bài toán đã cho vô nghiệm hình.

Trong bước dựng hình ta thấy:

- Các bước dựng hình phải là các phép dựng hình cơ bản hoặc các bài toándựng cơ bản

- Với mỗi bước dựng hình nếu cần có thể viết thêm điều kiện có thể dựngđược các phép dựng ấy

- Các bước dựng hình phải theo một thứ tự nhất định, tránh lộn xộn

- Số các bước dựng phải là hữu hạn

1.4 Một số phương pháp giải bài toán dựng hìnhĐứng trước một bài toán dựng hình, muốn xác định xem hình cần dựng

có thể dựng bằng phương pháp nào, thì ta cần biết những dấu hiệu đặctrưng nhất của bài toán giải được bằng phương pháp này hay phươngpháp khác Mỗi phương pháp đều có những ưu điểm riêng của nó Một sốphương pháp dựng hình thường được sử dụng là: phương pháp biến hình,phương pháp quỹ tích tương giao và phương pháp đại số

qua phép biến hình f nào đó, trong đó điểm A0 là điểm dễ dựng hơn, sau

đó bằng phép biến hình ngược lại ta tìm được điểm A cần dựng

Ví dụ 1.4.1 Hai thôn nằm ở hai vị trí A, B cách nhau qua một con sông(xem rằng hai bờ sông là hai đường thẳng song song) Người ta dự địnhxây một chiếc cầu M N bắc qua sông (cố nhiên cầu phải vuông góc với bờsông) như hình vẽ Xác định vị trí của cây cầu M N sao cho độ dài từ A

đến B qua cây cầu là ngắn nhất Biết chiều rộng của bờ sông là d

Lời giải

Dựng giao điểm N của đoạn thẳng A1B và đường thẳng b.

Dựng điểm M sao cho M N ⊥a tại M

Đoạn M N chính là vị trí cây cầu cần dựng

- Biện luận

Bài toán đã cho có duy nhất một nghiệm hình

Ví dụ 1.4.2 Trong mặt phẳng cho góc nhọn dxOy và một điểm E thuộcmiền trong của góc này Hãy tìm trên Ox một điểm M và trên Oy mộtđiểm N sao cho ∆EM N có chu vi bé nhất

Do ∆EM N có chu vi bé nhất nên M ≡ M1, N ≡ N1

Hay M, N lần lượt là giao điểm của P Q với các trục Ox, Oy

- Dựng hình

Dựng P, Q lần lượt là các điểm đối xứng với E qua trục Ox và Oy

Với dxOy < 90o thì bài toán đã cho có một nghiệm hình (do đoạn thẳng

P Q luôn cắt các tia Ox, Oy tại một điểm duy nhất)

Ví dụ 1.4.3 Dựng một tam giác đều sao cho ba đỉnh của nó nằm trên

ba đường thẳng đôi một song song cho trước

Lời giải

- Phân tích

Giả sử cho trước ba đường thẳng đôi một song song a, m và n

Lấy A là một điểm tùy ý nằm trên đường thẳng a Giả sử đã dựng đượctam giác đều AM N thỏa mãn yêu cầu bài toán với M ∈ m và N ∈ n

Dựng AP ⊥m tại điểm P Xét

Q60Ao : M 7→ N

P 7→ P0

Suy ra Q60Ao : M P 7→ N P0

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua N và P0

Như vậy, phép Q60Ao biến đoạn thẳng AP thành đoạn thẳng AP0 và đườngthẳng m cũng quay một góc 60o đến vị trí đường thẳng ∆

Từ đó ta dễ dàng chứng minh ∆AP0N = ∆AP M (g.c.g)

Suy ra AN = AM (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

Nên ∆AM N cân, lại có \M AN = 60o

Vậy ∆AM N là tam giác đều

- Biện luận

Bài toán đã cho có duy nhất một nghiệm hình

1.4.2 Dựng hình bằng phương pháp quỹ tích tương giao

Hình là một tập hợp các điểm, nên thông thường việc dựng các hình

ta quy về việc dựng một số hữu hạn điểm Chẳng hạn muốn dựng một đagiác ta quy về việc dựng các đỉnh của nó hay dựng một đường tròn có bánkính cho trước ta dựng tâm, Một điểm thường có thể coi là giao điểm của

2 đường hay có thể nói một điểm xác định bởi hai điều kiện Trong phầnphân tích ta giả sử với các điều kiện γ1 và γ2 thì quỹ tích các điểm cầndựng là hình G1, G2 Một điểm bất kỳ thỏa mãn 2 điều kiện γ1 và γ2 vậy

nó là giao điểm của quỹ tích G1, G2

Phương pháp dựng điểm nhờ giao của hai quỹ tích gọi là dựng hìnhbằng phương pháp quỹ tích tương giao Với việc sử dụng phương pháptrên thì phần biện luận của bài toán sẽ trở nên đơn giản và rõ ràng hơn

Ta chỉ cần tìm điều kiện để G1 và G2 giao nhau và xét xem chúng giaonhau sẽ có bao nhiêu giao điểm

Ví dụ 1.4.4 Dựng đường tròn đi qua một điểm M cho trước và tiếp xúcvới 2 đường thẳng song song m và n cố định

trung điểm của đoạn thẳng vuông góc với 2 đường thẳng song song m, n

và song song với hai đường thẳng đó (quỹ tích G1)

+ Cách đều điểm M một khoảng h

Từ một điểm A tùy ý trên đường thẳng m dựng AB⊥n tại B

Dựng trung điểm C của đoạn thẳng AB

Dựng đường thẳng ∆ đi qua điểm C và song song với đường thẳng m.Dựng đường tròn C(M,h

Ví dụ 1.4.5 Dựng ∆ABC biết độ dài cạnh BC bằng a, độ dài đườngtrung tuyến AN bằng n và độ dài đường cao AK bằng h.

Lời giải

- Phân tích

Giả sử đã dựng được ∆ABC thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ta có độ dài BC = a có thể dựng được ngay; do đó bài toán trên quy vềviệc dựng điểm A

Điểm A cần dựng thỏa mãn 2 điều kiện:

+ ĐiểmA cách đường thẳngBC một khoảng bằngh (do độ dàiAK = h):Qũy tích các điểm A là đường thẳng song song với BC và cách BC mộtkhoảng bằng h (quỹ tích G1 )

+ ĐiểmAcách điểm N một khoảng bằngn: Qũy tích các điểmA là đườngtròn C(N, n) (quỹ tích G2)

Do đó, dựng được điểm A Vậy ∆ABC dựng được

Dựng các đoạn thẳng AB và AC.

Ta được ∆ABC là tam giác cần dựng

- Chứng minh

Thật vậy, ∆ABC có độ dài BC = a (theo cách dựng)

Ta có,A = d∩C(N, n)nênA ∈ C(N, n)do đó độ dài đoạn thẳngAN = n.Mặt khác, A ∈ d nên AK = h (với AK⊥BC tại K)

Vậy ∆ABC đã dựng thỏa mãn yêu cầu bài toán

- Biện luận

+ Nếu h < n: Đường thẳng d cắt đường tròn C(N, n) tại 4 điểm (vì quỹtích những điểm cách đường thẳng BC một khoảng bằng h là 2 đườngthẳng song song với BC và cách BC một khoảng bằng h) Ta có 4 tamgiác, nhưng cả 4 tam giác này đều bằng nhau nên ta coi là có 1 nghiệmhình

+ Nếu h = n: Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn C(N, n) Bài toán

có một nghiệm hình là tam giác cân

+ Nếu h > n: đường thẳng d và đường tròn C(N, n) không cắt nhau Bàitoán đã cho không có nghiệm hình

Ví dụ 1.4.6 Dựng∆ABC cân biết góc \ABC=γ và tổng độ dài cạnh bên

AC với cạnh đáy AB bằng n

Lời giải

- Phân tích

Giả sử đã dựng được ∆ABC thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ta có ∆ABC cân tại C nên \CBA = \CAB = γ

Trên đường thẳng AB lấy điểm D sao cho BC = BD và B nằm giữa A