Luận văn sư phạm Ánh xạ Gauss và ứng dụng

L I NịI U

Khóa lu n nƠy trình bƠy v v n đ ánh x Gauss vƠ ng d ng c a nó

ng d ng c a ánh x nƠy đ nghiên c u v đ cong c a đa t p hai chi u trong

đ ng đ c bi t trên đa t p hai chi u

N i dung c a khóa lu n g m:

Ch ng 1: Ki n th c chu n b

1 Không gian Euclit n chi u vƠ m t s đ nh ngh a

Ch ng II: Ánh x Gauss vƠ ng d ng

Em xin đ c bƠy t lòng bi t n công lao d y d c a các th y cô giáo, đ c

bi t lƠ s h ng d n t n tình c a Th y giáo- Phó giáo s - Ti n s Nguy n

N ng Tơm đã giúp em hoƠn thƠnh khóa lu n nƠy

Sinh viên th c hi n

HoƠng Th Thanh H ng

6

3.2 cong Gauss vƠ đ cong trung bình c a đa t p hai chi u S 6

5 Gi i thi u m t k vƠ m t c c ti u trong E3

vect clit n chi u n

 Khi đó, t p { , e ,e , ,e } 1 2 n g i lƠ h t a đ tr c chu n trong En c

bi t, khi n =2, n=3 thì t a đ nƠy còn g i lƠ h t a đ các vuông góc và

đ c vi t lƠ Oxy ho c Oxyz

1.3 T a đ c a vect , c a đi m đ i v i h t a đ tr c chu n trong E n

Trong En, cho h t a đ tr c chu n { , e ,e , ,e } 1 2 n

1.3.2 V i  n, khi đó n Trong h t a đ tr c chu n c a Enđã

ch n gi s =(x ,x , ,x )1 2 n Khi nƠy, ta g i b s (x1, x2,ầ,xn) lƠ t a đ

2 a t p hai chi u đ nh h ng trong không gian E 3

2.1 a t p hai chi u trong E 3

Trong En, cho t p S   T p S đ c g i lƠ đa t p hai chi u trong En(đ n

sao cho V lƠ m t m nh hình h c M i tham s hoá c a m nh hình h c nƠy S

đ c g i lƠ tham s hóa đ a ph ng c a S

2.2 D u hi u nh n bi t đa t p hai chi u trong E 3

2.2.1 Trong E3, cho h t a đ afin (x1

trong S lƠ m t m nh hình h c v i tham s hóa ki u đ th , n u c n có th đ i

ch s các t a đ afin đ tham s hóa đó có d ng

(x , x )r(x , x )= (x , x , (x ,x ), , (x ,x ))

2.3 Ti p di n vƠ pháp tuy n c a đa t p hai chi u t i đi m không kì d

Trong E3, cho đa t p hai chi u S T i pS, ch n tham s hóa đ a ph ng

c a S lƠ r: US, (u,v)r(u,v) Khi đó, t n t i ' '

r , r

 

và chúng đ c l p tuy n tính Ti p di n c a đa t p S t i p=r(u,v) lƠ 2-ph ng đi qua r(u,v) và có

u v

r , r

 

qua r(u,v) vƠ vuông góc v i m t ph ng ti p xúc t i r(u, v) đ c g i lƠ pháp tuy n c a S t i p

2.4 Tr ng vect ti p xúc trên đa t p hai chi u trong E n

Trong Encho đa t p hai chi u S, t i pS đ t n n

p

T E {(p, ); } và

r: U S, (u,v) r(u,v), p = r(u, v), T S {(p,p  ) | r (u, v), r (u, v) }u' v'  ,

' '

r ×rn(p) = (n r)(u, v) r(u, v ); (u, v)

ánh x kh vi n

pn: ST E , pn(p), ta g i ánh x nƠy lƠ tr ng vect pháp tuy n đ n v c a S

2.5 H ng trên đa t p hai chi u trong E n

xúc TpS c a S có th l y m t c s (ap, bp) sao cho t n t i m t tham s hóa đ a

' '

{r , r } và {a , b } cùng h ng Khi đó ta nói S đ nh h ng đ c Kí hi u Dp

D={Dp} lƠ m t h ng c a S Tham s hóa đ a ph ng c a S trên r: US

g i lƠ tham s hóa t ng thích v i h ng D

2.6 Tiêu chu n đ nh h ng đ c

2.6.1 Trong En, đa t p hai chi u đ nh h ng đ c S khi vƠ ch khi có h

Trong En, cho hai đa t p hai chi u S1 và S2 vƠ ánh x h: S1S2 Ánh x h

V i ánh x kh vi h đ c cho trên, t i p S 1, m i ph ng T Sp 1 đ u

t n t i cung tham s c a S1 là : JS , t1  (t) sao cho (t )= p ,0 '(t )= 0

Khi đó h (t) : JS2 lƠ m t cung tham s c a S2đi qua q = h( (t )) và 0

phép l y đ o hƠm (h )'(t )0 không ph thu c vƠo cách ch n cung

CH NG 2 ÁNH X GAUSS VẨ NG D NG

Ch ng 2 nƠy chúng ta lƠm quen v i đ nh ngh a ánh x Gauss vƠ s xét ng

d ng c a nó trong v n đ t c đ bi n thiên c a m t ph ng ti p xúc t i lơn c n

thiên c a tr ng vect pháp tuy n đ n v trong lơn c n c a đi m đó

1 Ánh x Gauss

1.1 nh ngh a

Trong E3, cho đa t p hai chi u (có th g i lƠ m t) S đ c đ nh h ng b i

tr ng vect pháp tuy n đ n v kh vi n, lúc này xác đ nh m t ánh x t S

2

g: SS , pg(p) = n(p) Ánh x nƠy đ c g i lƠ ánh x Gauss c a m t

đ nh h ng S

Rõ rƠng theo đ nh ngh a thì ánh x Gauss lƠ m t ánh x kh vi

1.2 nh c a m t s đa t p hai chi u trong E 3 qua ánh x Gauss

Trong E3cho h t a đ tr c chu n Oxyz vƠ m t c u đ n v S2

tâm O, bán kính 1

1.2.1 Tìm nh c a m t tr tròn xoay S bán kính a > 0, quay quanh Oz qua ánh x Gauss

Trong h t a đ đã ch n, gi s tham s hóa đ a ph ng c a S là

r: US, (u,v)r(u,v) = (a.cosv, a.sinv;u)  r(u,v) = (a.cosv, a.sinv, u)

, t đơy suy ra '

u

r (u, v) = (0, 0, 1)



,r (u,v) = (v' a.sinv,a.cosv,0), hai vect nƠy đ c

l p tuy n tính Khi nƠy, xác đ nh m t tr ng vect pháp tuy n đ n v đ nh

' '

r ×r(n r)(u,v) (u, v) ( cosv, sinv, 0)

z=0 c a m t c u đ n v S2t c lƠ đ ng tròn trong E3có ph ng trình lƠ

1.2.2 Tìm nh c a m t xuy n S qua ánh x Gauss

Trong E3, cho tham s hóa đ a ph ng c a S lƠ

osu osv

r : US, (u,v)((a b.c ).c , (a b.cosu).sinv,bsinu) v i (a >b > 0)

T đó r(u,v) ((a b.c  osu).cosv, (a b.cosu).sinv,bsinu)

= n(p2) = ( cosu.cosv, cosu.sinv, sinu)   Ngh a lƠ m t xuy n có ph ng trình tham s đang xét có nh lƠ m t c u đ n v đ c l y hai l n

1.2.3 Tìm nh c a m t paraboloit elliptic S qua ánh x Gauss

Gi s trong h tr c t a đ đã ch n, S có tham s hóa đ a ph ng lƠ

1.2.4 Tìm nh c a m t Catenoid qua ánh x Gauss

ng t vƠ có giá tr trong kho ng (-1, 1) vƠ không có giá tr h u h n nƠo c a u

Trong h t a đ tr c chu n đã ch n, cho m t đinh c đ ng tham s hóa

v y nh c a m t đinh c đ ng lƠ m t c u đ n v không k hai đi m c c H n

Sau đơy, chúng ta đi tìm hi u m t ng d ng c a ánh x Gauss, đó lƠ ánh x

ti p xúc c a nó Ánh x nƠy chính lƠ ánh x đ o hƠm c a ánh x Gauss trong lơn c n c a m t đi m trên đa t p hai chi u, đơy chính lƠ đ c tr ng cho t c đ

bi n thiên c a m t ph ng ti p xúc trong m t lơn c n c a đi m trên đa t p hai chi u trong E3

2 Ánh x ti p xúc v i ánh x Gauss

2.1 nh ngh a

Trong E3, cho đa t p hai chi u S đ c đ nh h ng b i tr ng vect pháp tuy n đ n v n, ánh x Gauss c a S lƠ g Ánh x ti p xúc c a ánh x

T g : T ST S , đ c đ nh ngh a theo quy t c sau: m i

Ta kh ng đ nh quy t c trên lƠ m t ánh x

hóa đ a ph ng c a S lƠ r : US, (u,v)r(u,v), p = r(u0,v0), u , v0 0 UTrong TpS, ch n c s lƠ ' '

Quy t c nƠy không ph thu c vƠo cách ch n cung trên Ch ng h n,

có hai cung , : JS mà (t )= (t )= p, '(t ) = '(t ) = 0 0 0 0 , v i cung

V i cung : JS, t n t i duy nh t cung : JU sao cho = r  t

tham s hóa đ a ph ng c a S t i p lƠ r: US,(u,v)r(u,v),(u , v )0 0  U

cung tham s : JU, t (t) = (u(t); v(t)) sao cho = r  Nh v y,

= '(t ) = (r )'(t ) = r (u ,v ).u'(t ) + r (u ,v ).v'(t ) t đơy ta th y r ng (u’(t0), v’(t0)) lƠ t a đ c a trong TpS

L i theo đ nh ngh a ánh x Weingarten, ta có:

h ( )= (n )'(t )= (n r )'(t )    

3 Ánh x ti p xúc c a ánh x Gauss vƠ v n đ đ cong đ a ph ng c a

đa t p hai chi u trong E 3

Trong E3, cho đa t p hai chi u S trong E3đ c đ nh h ng b i tr ng

3.1 cong chính, ph ng chính c a đa t p hai chi u S t i p

c a S t i p lƠ vect riêng c a hp

3.2 cong Gauss vƠ đ cong trung bình c a đa t p hai chi u S t i p

a) hp có hai giá tr riêng phơn bi t th c lƠ ฀ ฀

hai đ cong chính c a S t i p, hai ph ng chính t ng ng vuông góc v i

฀

฀

1 2

Chú ý : khi đ i h ng đa t p hai chi u S thì tr ng vec t pháp tuy n

đ n v n thay b ng –n do đó ma tr n A thay b ng –A Vì A lƠ ma tr n vuông

c p hai nên A = -A vƠ v t (A)=-v t (-A) Do đó đ cong Gauss không đ i,

Trong E3, cho đa t p hai chi u S đ c đ nh h ng b i tr ng vect

k =k =0 i m p đ c g i lƠ đi m elliptic n u K(p)>0, điêm p đ c g i lƠ

i m hypebolic n u K(p)<0, đi m p đ c g i lƠ đi m paraboloic n u K(p)=0

Chú ý: Trong E3, cho đa t p hai chi u S có h ng xác đ nh b i tr ng

3.4.1 Trong E3, cho m t c u S tơm O bán kính R>0 M t c u nƠy lƠ đa t p

qua P vƠ ti p xúc v i ph ng Tham s hóa cung tròn l n c a đ ng tròn

3.4.2 Trong En, cho S lƠ m t ph ng, khi đó n lƠ tr ng vect song song

nên hp=0 v i m i pS Nh v y, m i đi m thu c S đ u lƠ đi m d t, K = H =

0

3.4.3 Trong E3v i h t a đ các vuông góc Oxyz Cho m t tr tròn xoay S có bán kính a, tr c quay lƠ Oz Tham s hóa đ a ph ng c a S lƠ r(u,v)=(a.cosu, a.sinu, v) Theo đó r(u,v) = (a.cosu,a.sin u, v)

m i , T Sp 1 ta có T f(p ).T f( ) = (p) (v i m i p p S ) 1

3.6 D ng c b n th hai trên đa t p hai chi u trong E 3

Trong E3, cho đa t p hai chi u S đ c đ nh h ng b i tr ng vect

3.6.1 nh ngh a d ng c b n I vƠ II c a m t S t i pS

D ng song tuy n tính đ i x ng trên TpS I : T S×T Sp p p  ฀, ( , ) ,

II : T S×T S ฀, ( , )h ( ) l n l t đ c g i lƠ d ng c b n th I vƠ

II c a đa t p hai chi u S t i p Kí hi u I (p , ) = I ( ), p II (p , ) = II ( ) Khi p

P thay đ i trên S ta có th dùng kí hi u I vƠ II

3.6.2 Bi u th c t a đ c a d ng c b n th I vƠ II trong tham s hóa đ a

ph ng c a S t i p

p=r(u0, v0), (u , v )0 0 U Các hƠm s trên U

(1+f +f )



(f f f )(x,y) d ng,

ơm hay b ng 0

b) a t p hai chi u liên thông cung trong E3mƠ m i đi m lƠ đi m r n thì có đ cong Gauss h ng (không ơm)

Ch ng minh

Trong E3cho S lƠ đa tap hai chi u v i tham s hóa đ a ph ng lƠ

(u, v)r( u, v) G i n lƠ tr ng vect pháp tuy n đ n v c a m t vƠ v i m i

+ K= 0: m i đi m c a S lƠ đi m d t , khi đó S lƠ m t b ph n liên thông c a

m t ph ng Th c v y, trên m i t p m liên thông c a S mƠ có tr ng vect pháp tuy n đ n v n thì có Dn=0 nên n lƠ tr ng vect song song trên t p đó

V y do S liên thông, nó đ nh h ng b i tr ng vect pháp tuy n đ n v song

:[0,1] S, t  (t), n i p= (0)v i q = (1) và xét hàm

:[0,1]฀, (t) = p (t).n , ta có '(t)= '(t).n=0  và (0)=0nên (t)=0 v i

+ K= 12 (R>0)

S mƠ có tr ng vect pháp tuy n đ n v n, có th coi h (p )

trên m i đo n con có nh n m trên m t t p m liên thông c a S trên đó có

tr ng vect pháp tuy n đ n v nh nói trên T đó, d th y các đi m O cho

O, bán kính R, do đó q thu c m t c u đó

H qu tr c ti p đ c rút ra lƠ : S lƠ m t đa t p hai chi u comp c liên thông

trong E3mƠ m i đi m lƠ đi m c u ph i lƠ toƠn b m t m t c u

b) Trong E3v i h t a đ tr c chu n đã ch n, cho m t parabolit eliptic

đ c xác đ nh b i tham s hóa ki u đ th lƠ

ti u (m t c c ti u lƠ đa t p hai chi u có đ cong trung bình b ng 0)

Ch ng minh

Trong E3cho h t a đ tr c chu n Oxyz, v i O lƠ tơm m t c u S2

Vì 2

lƠ ánh x tuy n tính đ ng

3.8 cong pháp d ng vƠ công th c le, công th c Meusnier

3.8.1 cong pháp d ng c a đa t p hai chi u trong E3

Trong E3cho đa t p hai chi u S có h ng T i pS, l y T S,p

Trong E3, cho đa t p hai chi u đ nh h ng đ c S Trên S, cho cung

song chính quy  có tham s hóa t nhiên lƠ :JS,s (s) G i T lƠ

tr ng vect ti p xúc đ n v d c theo , k(s) lƠ đ cong c a cung  , N là

'

T (s) = k(s).N(s)

k( '(s ))=k(s ).N(s ).(n )(s ) Công th c nƠy g i lƠ công th c Meusnier

Nh n xét r ng n u g i lƠ góc gi a N vƠ n thì N.n = cos Do đó t

k( '(s )) = k(s ).cos N u có nh lƠ giao tuy n

ph ng chính e lƠ k(e)=II(e)=k.e.e =k

(e1, e2) c a TpS g m nh ng vect riêng lƠ nh ng ph ng chính c a S t i p thì

k( ) = k cos + k sin Công

th c nƠy đ c g i lƠ công th c Euler

T công th c Euler ch ng t r ng các đ cong chính c a S t i p chính

3.8.4 Liên h gi a đ cong trung bình vƠ đ cong pháp d ng

a) Trong E3, cho đa t p hai chi u đ nh h ng đ c S b i tr ng vect pháp tuy n đ n v n H(p) lƠ đ cong trung bình c a S t i đi m p thu c nó

Khi đó H(p) = k( )+k( )

Ch ng minh

G i { , } T S p lƠ m t c s tr c chu n c a TpS, h {e1, e2} c ng lƠ h

k( )+k( ) = k +k =2.H(p) suy ra đi u ph i ch ng minh

b) Cho đa t p hai chi u S đ c đ nh h ng có các đ cong chính vƠ đ cong trung bình t i pS l n l t lƠ k , k฀ ฀1 2 và H(p) Khi có m vect thu c

TpS là 1, , , mà phép quay góc 2 m 2

m (trong TpS có h ng ) bi n i thành i+1 (i=1, 2,ầ,m-1) và m bi n thƠnh 0thì

k(e )=k , k(e )=k lƠ các đ cong chính c a S

(2Pm).2sinx= 2.cos2x.sinx+ 2.cos4x.sinx + + 2.cos2mx.sinx=

=sin3xsinx + sin5xsin3x + + sin(2m+1)xsin(2m-1)x=

Trong E3, cho m t S đ c đ nh h ng b i tr ng vect pháp tuy n đ n

Ch ng minh r ng m i cung song chính quy trên S đi qua p, có ti p tuy n chung l t i p, nh n lƠm m t ph ng m t ti p t i p đ u có đ cong b ng nhau

t i p

Ch ng minh

Gi s lƠ m t cung nói trong gi thi t có tham s hóa t nhiên lƠ

k(v) = k( '(s )) = k(s ).N(s ).n(p) Ta có N(s )0  Vì

không ti p xúc v i S t i p nên N(s0) không vuông góc v i n(p) Do đó

N(s ).n(s ) Suy ra 0 0 0 

k(v)k(s )= k(s ) = =const

N(s ).n(s )

4 M t s đ ng đ c bi t trên m t

4.1 ng chính khúc

4.1.1 nh ngh a

chính khúc n u ph ng ti p tuy n t i m i đi m c a đ u lƠ ph ng chính

c a S

4.1.2 Tính ch t

Trong E3cho đa t p hai chi u S đ nh h ng đ c

chính khúc (vì m i ph ng ti p xúc t i m i đi m c a S đ u lƠ ph ng chính

c a S)

Gi s trên đa t p hai chi u S trên có F = 0 vƠ M=0 C n ch ng minh

u=u0, v=v0 lƠ các đ ng chính khúc c a S T i m i đi m p = r (u, v) c a S ta

4.1.3 Ví d

khúc trên m t đó

Ch ng minh

Trong E3, v i h t a đ tr c chu n Oxyz, cho m t tròn xoay có ph ng

s r ng các hƠm x(u) vƠ z(u) lƠ các hƠm kh vi đ n l p c n thi t

T đó ta có r(u, v)(x(u).cosv, x(u).sinv, z(u)) và

'

u

r (u, v) = (x'(u).cosv, x'(u).sinv, z'(u))



và r (u, v) = (v' x(u).sinv, x(u).cosv, 0)

T i lơn c n c a đi m p=r(u, v), tr ng vect pháp tuy n đ n v c a S đ c xác đ nh theo công th c sau

lƠ giá tr riêng c a ánh x Weingarten c a S t i p, hay t n t i s k sao cho

Vì EG-F2 > 0 nên và a +b2 2 0 nên aE+bF vƠ aF+bG không đ ng th i b ng

c bi t, khi F=M=0 thì tr l i v i tính ch t trên VƠ n u có EN=GL thì

đi m đang xét trên S lƠ đi m r n c a S

4.2 ng ti m c n

4.2.1 nh ngh a

Trong E3, cho đa t p hai chi u S đ nh h ng đ c i m pS, không

ph ng ti m c n c a S t i p n u đ cong pháp d ng c a S theo ph ng đó

xúc t i m i đi m thu c đ ng đó lƠ m t ph ng ti m c n c a S

4.2.2 Tính ch t

Ch ng minh

T i m i đi m c a (t) c a đ ng đã cho trong gi thi t, ph ng ti p

ch khi đ cong pháp d ng c a S theo ph ng nƠy b ng 0 t c lƠ

k( '(t)) = 0II( '(t)) = 0h (t)( '(t)) '(t)=0  (n )' '=0 T đơy suy

ra (n )' '

Th t v y, trên đa t p hai chi u S cho cung th ng l có tham s hóa lƠ

(t) = O + ta v i a 0 T đơy suy ra (t) = t.a, '(t) = a, ''(t) = 0     a t p hai chi u S đ c đ nh h ng b i tr ng vect pháp tuy n đ n vi lƠ n thì lúc

đó (n ) ' (n )(t) '(t)=0 L y đ o hƠm hai v theo t hai v c a đ ng

th c nƠy ta có (n )'(t) '(t)+(n )(t) ''(t) = 0 Theo trên đã có ''(t) = 0, do

đó (n )' '

tr ng vect pháp tuy n đ n v n lƠ đ ng ti m c n c a S khi vƠ ch khi m t

ph ng m t ti p c a t i m i đi m c a nó lƠ ti p di n c a S t i đi m đó

Ch ng minh

Gi s đ ng song chính quy trên S có tham s hóa t nhiên lƠ

t i m i đi m p = (s) là '(s), khi đó n ' hay nT (1) Theo công th c

k( '(s)) = k(s).N(s).(n )(s) trong đó N lƠ tr ng vect pháp tuy n chính c a

k , k lƠ hai đ cong chính c a S

t i p) t đơy nh n th y r ng đ cong Gausss t i m i đi m thu c đ ng là

฀ ฀

K = k k 0

d) Trong E3, cho đa t p hai chi u S đ nh h ng đ c có tham s hóa

(u, v)r(u, v) G i L, M, N lƠ các h s c a d ng c b n II c a S trong tham

s hóa r c a nó Khi đó L=0 khi vƠ ch khi các đ ng t a đ u lƠ các đ ng

ti m c n, N=0 khi vƠ ch khi các đ ng t a đ v lƠ các đ ng ti m c n

N= 0

4.2.3 Ph ng trình vi phơn c a h các đ ng ti m c n trong tham s hóa