Luận văn sư phạm Ánh xạ xạ ảnh - phép chiếu xuyên tâm và thấu xạ xạ ảnh

phép chi u xuyên tâm.

Th m nh c a môn h c là giúp chúng ta gi i quy t các bài toán

D i s h ng d n c a th y inh V n Th y tôi đã ph n nào làm

đ c đi u đó Trong khuôn kh m t khóa lu n và th i gian nghiên c u nên tôi ch t p trung nghiên c u đ tài “ Ánh x x nh – Phép chi u

Tìm hi u v phép chi u xuyên tâm, phép th u x

nh h ng cách gi i m t s bài toán liên quan đ n ánh x x nh

và phép chi u xuyên tâm

Cho các K- không gian x nh (P,p, V) và (P', p', V')

), k ≠ 0

Vì đ n c u nên suy ra a = k b

, t c là A và B trùng nhau

1.2.3 Ánh x x nh b o t n tính đ c l p và tính ph thu c c a m t h

đi m (do đ n c u tuy n tính b o t n s đ c l p tuy n tính c a h véc t )

T đó suy ra: Ánh x x nh b o t n các khái ni m: m - ph ng, s chi u

nh duy nh t f : P P' Hai đ n c u tuy n tính : V V' và ' : V

V' cùng đ i di n cho m t ánh x x nh f : P P' khi và ch khi có s

k K \ {0 } sao cho = k '

1.3 nh lí v s xác đ nh phép ánh x x nh

1.3.1 nh lý: Cho trong Pn m c tiêu x nh R=S U i, n i0 và trong P n

m c tiêu RS U i , n i0 Khi đó có và duy nh t ánh x x nh f:P n n

N u trong không gian x nh P n cho hai m c tiêu x nh { S i ,E} và {S E i  }, thì có phép bi n đ i x nh duy nh t f c a P, n , bi n các đi m S i

thành các đi m S  i (i = 0,1, , n) và bi n E thành E'

1.5 Bi u th c t a đ c a phép bi n đ i x nh

Cho f : Pn Pn là phép bi n đ i x nh c a K - không gian x nh

Pn, liên k t v i không gian véc t Vn+1 Ta hãy ch n m c tiêu x nh nào

đó {Si, E} V i m i đi m X b t kì, g i (x0 : x 1 : : x n ) là t a đ c a nó

và (x0:x1 : :x  ) là t a n đ c a X' = f (X) Ta hãy tìm s liên k t gi a

i

x và x i

tr n A chính là ma tr n chuy n t c s (e ) sang c s nh c a nó qua i

Khi đó b ng cách chuy n t t a đ x nh c a m t đi m trong trong

An thành t a đ A fin c a nó (đ i v i m c tiêu A fin sinh b i m c tiêu

Ch ng 2 PHÉP CHI U XUYÊN TÂM 2.1 nh ngh a

Trong không gian x nh P ncho 2 siêu ph ng và và đi m

- Phép chi u xuyên tâm bi n

nh ng đi m giao c a hai siêu

1 1

Ta s ch ng minh X   có vect đ i di n x 

thì s có p X c( ) X'véc t đ i di n là  ( ) x  x '

phép chi u xuyên tâm

Trong ch n m t m c tiêu x nh là {A1, A2, …An-1,An, E} v i A1, A2,

…, An-1 thu c Pn-2, ta có An, E không thu c Pn-2 , g i A’n = f(An) và

E’ = f(E)

Trên ta có m c tiêu là {A1, A2, …An-1,A’n, E’} là nh c a m c tiêu {A1, A2, …An-1,An, E} qua f G i M = AnE thì M thu c Pn-2 do f(M)

= M nên đ ng th ng A’nE’ c ng qua M Trong m t ph ng x nh t o

b i hai đ ng th ng AnE và A’nE’ g i C là giao đi m c a AnA’n và EE’

G i f’ là phép chi u xuyên tâm có c s n n là và v i tâm chi u là C

Ta có: f’(Ai) = Ai v i i = 1, 2,…, n-1 do Ai v i i = 1, 2,…, n-1 n m trên

Pn-2 và f’(An) = A’n và f’(E) = E’ Do s xác đ nh duy nh t c a phép bi n

đ i x nh xác đ nh b i {A1, A2, …An-1,An, E} và {A1, A2, …An-1,A’n,

E’} nên f f’

V y f là phép chi u xuyên tâm

2.2.3 nh lý 3:

Trong P v i cho hai siêu ph ng n  và ' Gi s f :   'là

m t ánh x x nh, không ph i là phép chi u xuyên tâm Khi đó ta có th

phân tích f thành tích c a m phép chi u xuyên tâm v i m n   1

Ch ng minh:

+) Xét tr ng h p   ' và trong    ' có m t p - ph ng mà m i

đi m  c a đ u t ng đ i v i f  0    p n 2 

Vì f không ph i là phép chi u xuyên tâm nên     '

L y m t đi m A   nh ng A   ', đi m I  , đi m B trên đ ng

th ng IA mà không trùng v i I, A

t A’=f(A), B’=f(B), thì A’B’ đi qua I

Do đó AA’ và BB’ c t nhau t i m t đi m C nào đó

L y m t siêu ph ng  ch a và A nh ng không ch a A’ thì ch a c B 1

G i g1: '1 là phép chi u xuyên tâm b i tâm C

đ u bi u th qua p + 1 đi m đ c l p trong và A suy ra nó b t đ ng )

N u g1 f không ph i là ph p chi u xuyên tâm ( t c là

Do đó h là m t phép chi u xuyên tâm

Suy ra f  g11   g q1 h là tích c a q + 1 phép chi u xuyên tâm

Vì q  p   n 2nên q       1 n p 1 n 1.

+) Xét tr ng h p    ' và trong    ' không có đi m nào t ng

đ i v i f L y m t đi m C   , đ t C’=f(C) r i l y m t siêu ph ng  ''

đi qua C, không đi qua C’ mà  ''   G i s : '    '' là phép chi u

xuyên tâm b i tâm là m t đi m U  CC ', thì s  f :    '' là m t

ánh x x nh có đi m C     '' t ng Áp d ng tr ng h p trên

suy ra là tích c a m t s   n 1 phép chi u xuyên tâm Do đó f là tích

c a m t s  n phép chi u xuyên tâm

+) Cu i cùng xét tr ng h p    ' Ch c n l y m t phép chi u xuyên

tâm r :    ''' nào đó thì r f : ''' là m t ánh x x nh r i vào

m t trong hai tr ng h p trên Suy ra f là tích c a m t s   n 1 phép

chi u xuyên tâm

2.3 i ng u c a phép chi u xuyên tâm:

C ng nh nhi u các khái ni m, đ nh lý trong hình h c x nh thì

phép chi u xuyên tâm cùng v i các đ nh lý bài t p v nó thì đ u có đ i

T p các siêu ph ng đi qua A đ c g i là bó siêu ph ng tâm A

G i B là bó siêu ph ng tâm A , B’ là bó siêu ph ng tâm A’

nh lý 3: M t ánh x x nh không ph i là phép chi u xuyên x

nh đ u có th phân tích thành không quá n + 1 phép chi u xuyên siêu

Trong m t ph ng x nh, m t ánh x x nh gi a hai hàng đi m g i

là phép chi u xuyên tâm (phép ph i c nh) n u các đ ng th ng n i các

đi m t ng ng luôn đi qua m t đi m C c đ nh, đi m C đ c g i là tâm

ph i c nh

’

T T NGHI P

K35G S ph

m t ánh xyên tr c (ph

P I H C

m Toán         

x nh gihép ph i c

2.5 M t s áp d ng:

Áp d ng 1 : Ch ng minh đ nh lý Papus b ng phép chi u xuyên tâm

Trong m t ph ng x nh cho 2 đ ng th ng phân bi t d1, d2 c t nhau t i

O Trên d1 cho 3 đi m phân bi t A B C, , O Trên d2 cho 3 đi m phân

bi t A’, B’, C’ khác O G i D, E, F l n l t là giao đi m c a BC’ và B’C, CA’ và AC’, AB’ và A’B Khi đó D, E, F th ng hàng

chi u xuyên tâm t AB’ đ n B’C

Ngoài ra, f l n l t bi n A,F,N l n l t thành M,D,C

Vì v y, AM AC' ,DF, NC  A C'  đ ng quy t i tâm chi u c a f

EBCB C F ACA C Ch ng minh D,E,F th ng hàng khi và

ch khi AA’,BB’,CC’ đ ng quy

Ch ng minh:

Chi u thu n:

G i M CC'A B N' ', CC'DF P, CC'AB

đ ng quy t i tâm chi u O c a f

Suy ra: AA’, BB’, CC’ đ ng quy

Chi u đ o:

Xét hai tam đ nh DBB’ và FCC’ có A = DB FC, A’ = DB’ FC’, O = BB’ CC’ do O, A, A’ th ng hàng (do AA’, BB’, CC’ đ ng qui t i O) nên áp d ng chi u thu n c a đ nh lý Desargues th I thì BC, B’C’, DF

đ ng quy t i E, t c D, E, F th ng hàng

Ch ng 3 : TH U X X NH 3.1 nh ngh a

Trong Pn cho r - ph ng U và (n – r – 1) - ph ng V không có đi m chung Khi đó, c p (U, V) s g i là m t r - c p C nhiên, theo đ nh ngh a đó (U, V) là m t (n – r – 1) - c p

Bây gi cho r - c p (U, V) và cho phép bi n đ i x nh f : Pn

Pnsao cho m i đi m n m trên U và V đ u b t đ ng Khi đó f đ c g i là phép th u x r - c p v i c s là r - c p (U, V)

3.2 Bi u th c t a đ c a phép th u x

Gi s f là phép th u x r - c p v i c s là r - c p (U, V)

Vì dim U = r nên có th ch n trên U m t h r + 1 đi m đ c l p

S0, S1, , Sr Vì dim V = n - r - 1 nên có th ch n trên V m t h n - r

đi m đ c l p Sr+1, Sr + 2, , Sn Ch n thêm m t đi m E không n m trên

U và V thì ta đ c m t m c tiêu x nh {Si, E} trong Pn

q q

t a đ (a0 – a: a1: : an) D th y, O là đi m b t đ ng Ta l y trên d m t

đi m tùy ý : X = (x0: x1: : xn)

hàng

T T NGHI P

K35G S ph

1 : : an.xX’ c ng n m

+) ng th ng MN c t đ ng th ng M’N’ t i m t đi m n m trên d 3.5.2 Trong không gian P3 :

- Th u x 0 – c p n n là ( O, P ) v i O là m t đi m, P là m t ph ng không qua O V i MP và MO đ ng th ng OM c t P t i A và M’ = f(M) đ c xác đ nh:

c a Pn và đ u sinh ra m t phép bi n đ i a fin trong không gian a fin

An = Pn \W Sau đây, ta xét m t vài tr ng h p khi f là m t phép th u x nào đó

3.6.1 Gi s f là phép th u x 0 - c p v i c s là 0 - c p ( O, V ) và t

s th u x là k V i m i đi m M không là đi m b t đ ng (

và

M MO ) nh c a nó là M’ = f(M) đ c xác đ nh sao cho (OAMM’) = k (k≠0 và k≠1) trong đó A là giao đi m c a đ ng th ng

+) N u ch n siêu ph ng W nào đó đi qua O làm siêu ph ng vô t n thì O

là đi m vô t n nên: AMM '  OAMM' k Ngoài ra các đ ng th ng MM’ luôn song song v i m t đ ng th ng ph ng l ( ph ng l c a

qua O và MN giao v i M’N’ t i m t đi m thu c V N u l y V là siêu

ph ng vô t n thì trong An = Pn \V ta có: MN song song M’N’ và MM’

song song v i NN’, suy ra: MMNN

V y f sinh ra trong An m t phép t nh ti n

Pn gi b t đ ng r +1 đi m đ c l p

n m trên m t r- ph ng thì nó có gi b t đ ng m i đi m c a r- ph ng đó không?

Gi i : G i A0, A1, , Ar là r +1 đi m đ c l p trong sao cho f(Ai) = Ai (i0,r)

Bài 2 Trong P2 cho m c tiêu x nh {S0, S1; E} Tìm bi u th c t a đ

c a phép bi n đ i x nh th a mãn m t trong nh ng đi u ki n sau đây:

a Các đi m Siđ u là đi m b t đ ng (t c là bi n thành chính nó)

b Các đi m S0, S1, S2 l n l t bi n thành S1, S2, S0 và đi m E b t đ ng

c i m S0 b t đ ng, đ ng th ng S1S2 b t đ ng (đ ng th ng bi n thành chính nó) và đi m S1 bi n thành đi m S2

Gi i Trong P2 cho m c tiêu x nh {S0; S1; S2; E}, ta có:

0 1 2

(1;0;0)(0;1;0)(0;0;1)(1,1,1,1)

S S S E

 (eo

+k3e1+ k3e2

RAQA

ch{Q} là phhg{a}là phg{b}là phéh{Q} là ph

nh

B B0, nên tích các

O

ánh x

RN  Q

m N c ng l

P2 cho hai

ng th nghông đi qua

h k

A  A B

hép chi u hép c t

ép chi u xuhép n i (b

n f(RQ) =

đi m M là

g đ i v i

đó trên , k

c m t hìcác đ nh đkhông ph

≥ 2 cho hakhông ph ithành c a trong P2 = ’ và

p ≠ ’ v

ng đ i ’ L y m

th ng IA mqua I Do

ng 1 chthì 1 ch achi u xuyê

f : ’ 1

ng t ng <

i đi m c

g1 ° f (vì vkhác I, và hình p+2 đ n

đ u b t đ n

i là phép cvai trò nh

a < +A >

v i p đi mhai đi m A

nh trên

ng đ i v i chi u xuyê

ng mà hép chi u

đi m I A’ = f(A),

tâm g2 : 1 2 sao cho g2 ° g2° f : 1 2 gi b t đ ng m i đi m c a

m t (p+2) – ph ng nào đó n m trong 2 Ti p t c cách làm nh th

m t s h u h n b c ta có g2 : 1 2, , gq : q-1 q sao cho tích

h = gq ° ° g1 ° f : q

gi b t đ ng các đi m c a m t (n - 2) – ph ng Do đó h là m t phép chi u xuyên tâm Suy ra f = g1-1 ° gq-1 ° h là tích c a q+1 phép chi u xuyên tâm Vì p + q ≤ n – 2 nên q + 1≤ n – p – 1 ≤ n – 1 Xét tr ng h p ≠ ’ và trong ’ không có đi m nào t ng đ i v i f L y m t đi m C , đ t C’ = f(C), r i l y m t siêu ph ng ’’ đi qua C, không đi qua C’ mà ’’ ≠ G i s : ’ ’’ là phép chi u xuyên tâm b i tâm là m t đi m U CC’, thì s ° f : ’’ là m t ánh x x nh có đi m t ng C ’’ Áp d ng tr ng h p trên suy ra s ° f là tích c a m t s ≤ n – 1 phép chi u xuyên tâm Do đó f là tích c a m t s ≤ n phép chi u xuyên tâm Cu i cùng xét tr ng h p = ’ Ch c n l y m t phép chi u xuyên tâm r : ’ ’’’ nào đó thì r ° f là m t ánh x x nh r i vào m t trong hai tr ng h p trên Suy ra f là tích c a m t s ≤ n+1 phép chi u xuyên tâm

Bài 3 : Trong P2 cho hai đ ng th ng phân bi t d, d’, hai đi m phân bi t A, B không thu c d, d’ M t đi m M ch y trên d t M’ = AM d’, N’ = BM d’ Ch ng minh r ng N = AN’ BM’ ch y trên m t đ ng th ng c đ nh Gi i : t O = d d’ Xét ánh x f : ch{B} ch{A}, BN  AN Có th phân tích f = l k h g   trong đó :

g : BN  M’ (phép c t ch {B} b i đ ng th ng d’)

h : M’  M (phép chi u xuyên tâm d’ d b i tâm A)

k : M  N’ (phép chi u xuyên tâm d d’ b i tâm chi u B)

Ch ng 3: Th u x x nh Bài 1: Trong P2 cho m c tiêu S0 ,S S1 , 2 ,E Vi t bi u th c t a đ c a

a) L y G = S1 + S2 = (0: 1: 1) thu c S1S2 thì E = S0 + G t E’ = f(E) thì E’ thu c S0E t c E’ = a.S0 + b.E = (a+b : b: b) và g i e

là véc t đ i di n cho E’ Do f là th u x đ n nên [S0GEE’] = k

di n cho X, x’ = (a + b)e1 + (a - b)e2 là véc t đ i di n cho X’

Do f là phép th u x tâm v i t s k nên: [EDXX’] = k

c Ta có: E = (1: 1: 1) và E’ = f(E) = (2: 1: 2), tâm là S = (1: 0: 1)

Xét S0 = (1: 0: 0) thì S0 không thu c ( ) : x0 x1 x2 và S0 0 không thu c đ ng th ng EE’ vì t a đ c a đ ng th ng EE’ là:

và bi n M thành M’ Hãy d ng nh c a m t đi m b t kì N qua f

b Cho tùy ý m t s k khác 0 Ch ng minh r ng có m t và ch m t phép

th u x tâm f c a P 2 nh n d làm n n th u x , k là h s th u x và bi n thành M thành M’ Hãy d ng nh c a m t đi m b t kì N qua f

p p p

cx dy y



q q

x y

  ta đ

(X )X

hang nên M

ax by x

cx dy y

10

K T LU N

quen v i cách làm vi c khoa h c, hi u qu Qua đó, em c ng c ng c thêm cho mình ki n th c v ánh x x nh và bi n đ i x nh, đ ng th i

th y đ c s phong phú, lý thú c a toán h c c bi t khóa lu n này tôi nghiên c u m t cách khái quát v đ nh ngh a ánh x x nh, phép chi u xuyên tâm và th u x x nh Bên c nh đó là các bài t p áp d ng Hi

v ng tài li u này s giúp ích cho các b n sinh viên quan tâm đ n môn hình h c x nh nói riêng và hình h c nói chung M c dù có nhi u c

g ng, song do h n ch v th i gian và ki n th c nên khóa lu n không tránh kh i nh ng thi u sót Tôi r t mong nh n đ c s đóng góp quý báu

c a th y cô và các b n sinh viên

L I C M N

hoàn thành khóa lu n này em đã đ c s giúp đ nhi t tình

c a các th y cô, các b n sinh viên trong khoa Qua đây em xin chân thành c m n s giúp đ quý báu c a các th y cô trong t hình h c, các

th y cô trong khoa toán, các th y cô trong tr ng i H c S Ph m Hà

N i 2 và các b n sinh viên, đ c bi t em bày t lòng bi t n sâu s c c a

mình t i th y inh V n Th y – Ng i đã t n tình h ng d n em trong quá trình hoàn thành khóa lu n

M c dù có c g ng song do th i gian h n ch và kh n ng c a b n thân còn nhi u h n ch nên khóa lu n không tránh kh i thi u sót Vì v y

em mong nh n đ c s quan tâm, góp ý, ch b o c a các th y, cô giáo và các b n đ khóa lu n c a em hoàn thi n h n

Tôi xin cam đoan tr c h i đ ng khoa h c Tr ng i h c s

ph m Hà N i 2 và h i đ ng b o v khóa lu n t t nghi p khoa Toán:

Khóa lu n “Ánh x x nh – Phép chi u xuyên tâm và th u x

x nh” do tôi vi t, đó là k t qu c a s tìm tòi, t ng h p t các tài li u

tham kh o và s h ng d n c a th y inh V n Th y, nh ng trích d n

trong khóa lu n là trung th c

Khóa lu n không trùng v i các khóa lu n c a các tác gi khác

Hà N i, ngày 15 tháng 05 n m 2013

Phan Anh S n

M C L C

L I C M N

L I CAM OAN

M U 1

1 Lý do ch n đ tài 1

2 M c đích nghiên c u 1

3 i t ng nghiên c u 1

4 M c đ và ph m vi nghiên c u 2

5 Nhi m v nghiên c u 2

6 Ý ngh a khoa h c th c ti n c a đ tài 2

Ch ng 1: Ánh x x nh 3

1.1 nh ngh a 3

1.2 Tính ch t c a ánh x x nh 3

1.3 nh lý v s xác đ nh phép ánh x x nh 4

1.4 ng c u x nh Hình h c x nh 5

1.5 Bi u th c t a đ c a phép bi n đ i x nh 5

1.6 Liên h bi n đ i x nh và bi n đ i afin 6

Ch ng 2: Phép chi u xuyên tâm 8

2.1 nh ngh a 8

2.2 M t s đ nh lý 8

2.3 i ng u c a phép chi u xuyên tâm 13

2.4 Phép chi u xuyên tâm và đ i ng u c a nó trong P2 14

2.5 M t s ng d ng 16

Ch ng 3: Phép th u x x nh 18

3.1 nh ngh a 18

3.2 Bi u th c t a đ c a phép th u x 18

3.3 Tính ch t c a phép th u x 19