Luận văn sư phạm Những bài toán về đa thức

L I C M N

Khóa lu n t t nghi p này là k t qu c a s c g ng c a b n thân em sau m t th i gian h c t p,nghiên c u v i s giúp đ c a th y cô

Qua đây,em xin bày t lòng bi t n sâu s c c a mình đ n các th y cô

giáo,đ c bi t là th y V ng Thông - ng i đã t n tình h ng d n em trong

quá trình hoàn thành khóa lu n

Em xin chân thành c m n !

Hà N i, tháng 5 n m 2010

Sinh viên th c hi n

Ph m Th Thu Th y

L I CAM OAN

Em xin cam đoan khóa lu n t t nghi p này là k t qu c a quá trình h c

t p, nghiên c u c a em Khóa lu n hoàn thành trên c s nh ng ki n th c mà

em đã đ c h c, m t s tài li u tham kh o và s ch b o c a các th y cô giáo,

M C L C

L i nói đ u 1

Ch ng 1: Nh ng ki n th c c b n v đa th c có liên quan 2

1.1.Vành đa th c m t n 2

1.2 Vành đa th c nhi u n 10

Ch ng 2: M t s bài toán v đa th c m t n 14

2.1 Bài toán 1: Ch ng minh m t đa th c chia h t cho m t đa th c Tìm d mà không th c hi n phép chia 14

2.2 Bài toán 2: Tìm giá tr c a m đ f x m g x m ,   ,  20

2.3 Bài toán 3: a th c b t kh quy 23

2.4 Bài toán 4: Bài toán nghi m c a đa th c Công th c Viet 27

2.5 Bài toán 5: ng d ng c a đ nh lí Viet vào gi i h ph ng trình 32

2.6 Bài toán 6: Ph ng trình hàm đa th c 35

2.7 Bài toán 7: Tìm c chung l n nh t c a đa th c 37

Ch ng 3: M t s bài toán v đa th c nhi u n 41

3.1 Bài toán 1: Phân tích đa th c thành nhân t 41

3.2 Bài toán 2: Ch ng minh h ng đ ng th c 43

3.3 Bài toán 3: Ch ng minh b t đ ng th c 45

3.4 Bài toán 4: Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình đ i x ng 48

3.5 Bài toán 5: Gi i h ph ng trình d a vào đa th c đ i x ng 51

3.6 Bài toán 6: Gi i ph ng trình c n th c d a vào đa th c đ i x ng 53

3.7 Bài toán 7: L p ph ng trình b c hai d a vào đa th c đ i x ng 54

3.8 Bài toán 8: Tr c c n th c m u 55

K t Lu n ……… 59

Tài li u tham kh o……… 60

L I NÓI U

1 Lý do ch n đ tƠi

i s là m t b ph n l n trong toán h c, trong đó đa th c là khái ni m

c b n và quan tr ng Lý thuy t đa th c đ c s d ng nhi u trong toán cao

c p, toán ng d ng, toán s c p Trong ch ng trình ph thông, đ i s h u h t nghiên c u v đa th c b c nh t, đa th c b c hai và m t s đa th c d ng đ c

bi t b c cao

Tuy v y v n đ đa th c trình bày r i rác, ch a đ c phân lo i và h

th ng m t cách chi ti t, ch a đ a ra ph ng pháp gi i t ng minh Tài li u

vi t v đa th c ch a nhi u nên vi c nghiên c u v đa th c còn khó kh n

V i nh ng lí do trên tôi đã ch n đ tài “Nh ng bƠi toán v đa th c”

nh m phân lo i, h th ng m t s bài toán v đa th c và ng d ng c a nó đ

gi i m t s bài toán có liên quan

2 M c đích, nhi m v nghiên c u

Tìm hi u các bài toán v đa th c m t n, đa th c nhi u n và m t s bài

toán liên quan

CH NG 1: NH NG KI N TH C V A TH C CÓ LIÊN QUAN

1.1 VƠnh đa th c m t n

1.1.1 Xơy d ng vƠnh đa th c m t n

Cho A là vành giao hoán có đ n v kí hi u 1

Khi đó (P,+, ) l p thành m t vành giao hoán có đ n v g i là vành đa th c

Th t v y, ta có 2 quy t c (1) và (2) cho ta 2 phép toán trong P

 Phép nhân trong A có tính ch t k t h p và phân ph i đ i v i phép c ng nên phép nhân trong P c ng có tính ch t k t h p, phân

ph i đ i v i phép c ng

N u f x  thì ta nói 0 f x là đa th c không có b c ho c là 

N u f x  thì ta g i ch s l n nh t n sao cho 0 an  0 c a đa th c f x là  

b c c a đa th c Kí hi u : deg f x  n

nh lí 1.1: Cho hai đa th c f x g x   , A x[ ]* Khi đó:

1) N u f x   g x  thì 0 deg f x   g x max deg f x ,degg x  

2) N u f x g x     thì 0 degf x g x    deg f x degg x 

nh lí 1.2: N u A là m t mi n nguyên, f x  và g x là 2 đa th c khác

không c a vành A[x] thì

f x g x    0 và deg f x g x    deg f x degg x  

H qu : N u A là mi n nguyên thì A[x] là mi n nguyên

Trong đó r x  0 ho c r x 0 thì degr x degg x 

Ta g i q x   là th ng và r x là d 

b, Phép chia h t

nh ngh a 1.3 Cho 2 đa th c f x g x   , A[x],g x  0

Ta nói f x chia h t cho g x n u t n t i đa th c

aa

aa

aa

j 0

[f x ]

i n

j j

P x   x khi và ch khi P x   ,Q x cho cùng m t đa th c d

khi chia cho  x

nh lí 1.8: Cho P x   là đa th c b t kh quy trên K, Q x và R x là đa

th c v i h s thu c K N u P x     Q x R x thì ít nh t m t trong các nhân

t P x   ho c Q x chia h t cho R x  

nh lí 1.9: N u m t đa th c h s nguyên không phân tích đ c thành tích

hai đa th c h s nguyên thì nó c ng không phân tích đ c thành hai đa th c

h s h u t

* Tiêu chu n EisenStein

Cho P x a0 a x1   a xn n n1 là đa th c v i h s nguyên, n u t n

nh ngh a 1.9.Cho hai đa th c P x   ,Q x K[x], K – mi n nguyên và ít

nh t m t trong hai đa th c khác không a th c D x   đ c g i là c chung

f x b b x  b b g x

Trong đó b là m u s chung c a các phân s a ; i bi฀,i0,n

Vì f x  và g x c  h khác nhau m t nhân t b c không nên các nghi m c a

 

f x là nghi m c a g x  Vi c tìm nghi m c a m t đa th c v i h s h u t

đ c đ a v tìm nghi m c a đa th c v i h s nguyên

nh lí 1.12: Cho f x ฀[ ]x n u s ph c  là nghi m c a f x   thì s

ph c liên h p  c ng là nghi m c a f x  

nh lí 1.13: M i đa th c f x ฀[ ], degx f x  n 1 thì f x có n  

nghi m ph c

1.2 VƠnh đa th c nhi u n

1.2.1 Xơy d ng vƠnh đa th c nhi u n

Xây d ng vành đa th c nhi u n b ng ph ng pháp quy n p

Cho A là m t vành giao hoán có đ n v 1

Ta g i là b c c a f x 1, ,xnđ i v i n x i có s m cao nh t mà x i có đ c trong các h ng t c a đa th c

c, nh lí c b n c a đa th c đ i x ng

M i đa th c f x 1, ,xnA x 1, ,xn là đa th c đ i x ng thì t n t i duy nh t đa th c g x 1, ,xnA x 1, ,xn sao cho f x 1, ,xng1, ,n

CH NG 2: M T S BẨI TOÁN V A TH C M T N

2.1 Bài toán 1: Ch ng minh m t đa th c chia h t cho m t đa th c

Tìm d khi không th c hi n phép chia 2.1.1 C s lý lu n

3 1 2

3 1 3

2 1

2 2

1 1

2 2

11

1

1.1

1

.1

12

n

n n

n

n n

xx

xx

xx

xxx

xx

xx

xxx

xx

Theo gi thi t quy n p   12 1 1  2 1

2.2 Bài toán 2: Tìm giá tr c a m đ f x m g x m ,   , 

Ta có

1 2

1 00

l l

n n

đa th c   2

1

2.3 Bài toán 3: Nh n bi t đa th c b t kh quy

a th c b t kh quy trong ฀ x là đa th c b c nh t

a th c b t kh quy trong ฀  x là đa th c b c nh t và đa th c b c hai vô nghi m th c

Vì Ckp p v i 1 < k < p-1, p p2 nên theo tiêu chu n Eisenstein suy ra P(y)

b t kh quy trên Q[x]

Ví d 2: Ch ng minh r ng đa th c

   1 2  n 1; *

f x  x a x a x a  n฀ v i a ii 1,n là s nguyên phân bi t, là đa th c b t kh quy trong ฀  x

Suy ra k x   có n nghi m phân bi t, mâu thu n v i (2) V y đi u gi s là sai

hay f x là b t kh quy trên ฀  x

Ví d 3: Xét tính b t kh quy c a đa th c sau trên ฀  x :

f x là đa th c b t kh quy trên ฀

V y n 0 f x   không là đa th c b t kh quy trên ฀

Không m t tính t ng quát ta gi s degQ x deg R x 

Khi đó deg Q x  ho c 1 degQ x  2

- N u deg Q x  thì P(x) có nghi m h u t Nghi m h u t c a P(x) có th 1

 th a mãn yêu c u bài ra

Ví d 2: Hãy tìm di n tích c a tam giác mà ba đ ng cao c a nó là nghi m

c a ph ng trình 3 2

0

y ay by c 

L i gi i

G i x x x 1, 2, 3 là đ dài các c nh c a tam giác và y y y 1, 2, 3 là đ dài

đ ng cao h t đ nh xu ng c nh t ng ng, S là di n tích tam giác

Khi đó i 2

i

Sy

x



Vì y là ngi hi m c a ph ng trình, ta thay y i vào ph ng trình ta nh n đ c

xilà nghi m c a ph ng trình P x  0

abc

đa th c P(x) = x4– x3

+ x2– x – 6 tho mãn đi u ki n  1 2  1

- N u   t c là 0 1 5

aa

2.6 BƠi toán 6: Ph ng trình hƠm đa th c

1

x 

12

x

V y   3 2

k x x  x  x

* Tìm k x h x    , 

21

CH NG 3: BẨI TOÁN V A TH C NHI U N

3.1 Bài toán 1: Phơn tích đa th c thƠnh nhơn t

3.1.1 C s lý lu n

Ta có th phân tích thành nhân t các đa th c đ i x ng b ng cách bi u

di n đa th c đó qua các đa th c đ i x ng c b n Vi c phân tích đa th c c a các đa th c đ i x ng c b n th ng đ n gi n h n nên vi c phân tích đa th c

3.2 Bài toán 2: Ch ng minh h ng đ ng th c

3.3 Bài toán 3: Ch ng minh b t đ ng th c

3.4 Bài toán 4: Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình đ i x ng

Cách 2: Do x,y là s nguyên, k t h p đi u ki n (*) tìm ra đi u ki n c a

 1 Sau đó tìm x,y theo  1, 2

13

3.5 Bài toán 5: Gi i h ph ng trình d a vào đa th c đ i x ng

xy

L i gi i

t

1 2 3

2 1

2 2

2

2

11

11

- V i 1

2

11

, ,

K T LU N

Trên đây là toàn b n i dung đ tài “Nh ng bƠi toán v đa th c” mà

tôi đã trình bày

Khóa lu n đã đ t đ c m c đích và nhi m v nghiên c u đ ra là phân

lo i và h th ng m t s bài toán v đa th c Do ki n th c v đa th c t ng

đ i r ng nên tôi m i trình bày đ c m t s bài toán th ng g p

Quá trình hoàn thành đ tài đã giúp tôi có thêm ki n th c kinh nghi m

Do l n đ u làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c, th i gian và kh n ng b n thân còn h n ch nên khóa lu n c a tôi không tránh kh i nh ng thi u sót

Tôi r t mong nh n đ c nh ng ý ki n đóng góp c a quý th y cô và các

b n Tôi xin chân thành c m n