Những bài toán về đa thức

Khóa luận hoàn thành trên cơ sở những kiến thức mà em đã được học, một số tài liệu tham khảo và sự chỉ bảo của các thầy cô giáo, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Vương Thông..

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của sự cố gắng của bản thân em sau một thời gian học tập,nghiên cứu với sự giúp đỡ của thầy cô

Qua đây,em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến các thầy cô

giáo,đặc biệt là thầy Vương Thông - người đã tận tình hướng dẫn em trong

quá trình hoàn thành khóa luận

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Sinh viên thực hiện

Phạm Thị Thu Thủy

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu của em Khóa luận hoàn thành trên cơ sở những kiến thức mà

em đã được học, một số tài liệu tham khảo và sự chỉ bảo của các thầy cô giáo,

đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của thầy Vương Thông

Với đề tài: "Những bài toán về đa thức ", khóa luận này không có sự

trùng lặp với các khóa luận khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Sinh viên thực hiện

Phạm Thị Thu Thủy

MỤC LỤC

Lời nói đầu 1

Chương 1: Những kiến thức cơ bản về đa thức có liên quan 2

1.1.Vành đa thức một ẩn 2

1.2 Vành đa thức nhiều ẩn 10

Chương 2: Một số bài toán về đa thức một ẩn 14

2.1 Bài toán 1: Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức Tìm dư mà không thực hiện phép chia 14

2.2 Bài toán 2: Tìm giá trị của m để f x m g x m ,   ,  20

2.3 Bài toán 3: Đa thức bất khả quy 23

2.4 Bài toán 4: Bài toán nghiệm của đa thức Công thức Viet 27

2.5 Bài toán 5: Ứng dụng của định lí Viet vào giải hệ phương trình 32

2.6 Bài toán 6: Phương trình hàm đa thức 35

2.7 Bài toán 7: Tìm ước chung lớn nhất của đa thức 37

Chương 3: Một số bài toán về đa thức nhiều ẩn 41

3.1 Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử 41

3.2 Bài toán 2: Chứng minh hằng đẳng thức 43

3.3 Bài toán 3: Chứng minh bất đẳng thức 45

3.4 Bài toán 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng 48

3.5 Bài toán 5: Giải hệ phương trình dựa vào đa thức đối xứng 51

3.6 Bài toán 6: Giải phương trình căn thức dựa vào đa thức đối xứng 53

3.7 Bài toán 7: Lập phương trình bậc hai dựa vào đa thức đối xứng 54

3.8 Bài toán 8: Trục căn thức ở mẫu 55

Kết Luận ……… 59

Tài liệu tham khảo……… 60

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đại số là một bộ phận lớn trong toán học, trong đó đa thức là khái niệm

cơ bản và quan trọng Lý thuyết đa thức được sử dụng nhiều trong toán cao cấp, toán ứng dụng, toán sơ cấp Trong chương trình phổ thông, đại số hầu hết nghiên cứu về đa thức bậc nhất, đa thức bậc hai và một số đa thức dạng đặc biệt bậc cao

Tuy vậy vấn đề đa thức trình bày rải rác, chưa được phân loại và hệ thống một cách chi tiết, chưa đưa ra phương pháp giải tường minh Tài liệu viết về đa thức chưa nhiều nên việc nghiên cứu về đa thức còn khó khăn

Với những lí do trên tôi đã chọn đề tài “Những bài toán về đa thức”

nhằm phân loại, hệ thống một số bài toán về đa thức và ứng dụng của nó để giải một số bài toán có liên quan

2 Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu các bài toán về đa thức một ẩn, đa thức nhiều ẩn và một số bài toán liên quan

3 Đối tượng nghiên cứu

Các dạng toán cơ bản về đa thức

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, hệ thống hóa

CHƯƠNG 1: NHỮNG KIẾN THỨC VỀ ĐA THỨC CÓ LIÊN QUAN

 Phép nhân trong A có tính chất kết hợp và phân phối đối với phép cộng nên phép nhân trong P cũng có tính chất kết hợp, phân phối đối với phép cộng

Dạng này được gọi là dạng chính tắc của đa thức Khi đó P thay bằng A[x]

và gọi là vành đa thức của ẩn x

A là vành cơ sở, các phần tử của nó được gọi là các đa thức của ẩn x, thường

Định nghĩa 1.2: Cho đa thức f x A[x]

Nếu f x 0thì ta nói f x là đa thức không có bậc hoặc là   

Nếu f x 0 thì ta gọi chỉ số lớn nhất n sao cho a n 0 của đa thức f x là  bậc của đa thức Kí hiệu : deg f x n

Định lí 1.1: Cho hai đa thức f x g x   , A x[ ]* Khi đó:

1) Nếu f x   g x 0 thì deg f x   g x max deg f x ,degg x  2) Nếu f x g x    0 thì degf x g x    deg f x degg x 

Định lí 1.2: Nếu A là một miền nguyên, f x  và g x là 2 đa thức khác  không của vành A[x] thì

f x g x    0 và deg f x g x    deg f x degg x  

Hệ quả: Nếu A là miền nguyên thì A[x] là miền nguyên

Trong đó r x 0 hoặc r x 0 thì degr x degg x 

Ta gọi q x là thương và   r x là dư  

b, Phép chia hết

Định nghĩa 1.3 Cho 2 đa thức f x g x   , A[x],g x 0

Ta nói f x chia hết cho   g x nếu tồn tại đa thức  

q x A x[ ] sao cho f x g x q x    .Ta kí hiệu: f x g x 

1.1.4 Nghiệm của đa thức

a, Định nghĩa 1.4: Cho đa thức f x a0 a x1   a x n nA[x]

Lấy phần tử c bất kì thuộc A, phần tử f c a0 a c1   a c n nAđược gọi

là giá trị của đa thức f x tại   x c

Nếu f c 0 thì c được gọi là nghiệm của đa thức f x trong A  

d, Nghiệm bội và tính chất của nghiệm bội

Định nghĩa 1.5: Giả sử A là trường, cA, f x A[x],m,m1

c là nghiệm bội cấp m nếu và chỉ nếu    m

f x  xc và f x không chia hết  cho  m 1

xc 

- Với m = 1 : c gọi là nghiệm đơn

- Với m =2 : c gọi là nghiệm kép

- Với m 3 : c gọi là nghiệm bội bậc m

n

a a

a a

a a

j 0

[f x ]

i n

j j

Định lí 1.7: Nếu P x là một đa thức bất khả quy trên K,   Q x là đa thức bất  

kì với hệ số trong K thì hoặc Q x P x    hoặc P x ,Q x    1

Định lí 1.8: Cho P x là đa thức bất khả quy trên K,   Q x và R x là đa

thức với hệ số thuộc K Nếu P x     Q x R x thì ít nhất một trong các nhân

tử P x hoặc   Q x chia hết cho   R x  

Định lí 1.9: Nếu một đa thức hệ số nguyên không phân tích được thành tích

hai đa thức hệ số nguyên thì nó cũng không phân tích được thành hai đa thức

hệ số hữu tỉ

* Tiêu chuẩn EisenStein

Cho P x a0 a x1   a x n n n1 là đa thức với hệ số nguyên, nếu tồn tại số nguyên tố p thỏa mãn điều kiện:

4 P x   ,Q x Q   x R x, , R x là số dư trong phép chia  

  cho Q 

1.1.9 Đa thức trên các trường số

a, Đa thức với hệ số hữu tỉ

Nếu f x a x n n   a0 a n 0là một đa thức với hệ số hữu tỉ thì

f x b b x  b b g x

Trong đó b là mẫu số chung của các phân số a ; i b i,i0,n

Vì f x  và g x chỉ khác nhau một nhân tử bậc không nên các nghiệm của  

1.2.1 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn

Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn bằng phương pháp quy nạp

Cho A là một vành giao hoán có đơn vị 1

1.2.2: Bậc của đa thức nhiều ẩn

Định nghĩa 1.10: Cho f x 1, ,x nA x 1, ,x nlà một đa thức khác không,

Ta gọi là bậc của f x 1, ,x nđối với ẩn x có số mũ cao nhất mà i x có được i

trong các hạng tử của đa thức

a, Định nghĩa 1.11: Giả sử A là vành giao hoán có đơn vị, f x 1, ,x nlà một

đa thức của vành A x 1, ,x ; n f x 1, ,x là đa thức đối xứng nếu với mọi nhoán vị các số i1,i2, ,i n của các số 1,2,…,n đều thỏa mãn đẳng thức f x 1, ,x n f x i1, ,x in

Định lí 1.14: Tập hợp các đa thức đối xứng lập thành vành con của vành

 1, , n

b, Đa thức đối xứng cơ bản

Trong vành đa thức A x 1, ,x có n đa thức sau: n

c, Định lí cơ bản của đa thức đối xứng

Mọi đa thức f x 1, ,x nA x 1, ,x n là đa thức đối xứng thì tồn tại duy nhất đa thức g x 1, ,x nA x 1, ,x n sao cho f x 1, ,x ng1, ,nvới ii1,n là các đa thức đối xứng cơ bản

d, Đƣa đa thức đối xứng về đa thức đối xứng cơ bản gồm :

S x x  x được gọi là tổng lũy thừa bậc k của x1, ,x n

Theo định lí cơ bản của đa thức đối xứng, mọi tổng lũy thừa có thể biểu diễn như đa thức của những đa thức đối xứng cơ bản

Định lí 1.15: Mọi tổng lũy thừa k k

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC MỘT ẨN

2.1 Bài toán 1: Chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức

Tìm dư khi không thực hiện phép chia 2.1.1 Cơ sở lý luận

- Chứng minh bằng phương pháp quy nạp

* Nếu tìm số dư của phép chia ta dựa vào định lý Bơzu

3 1 2

3 1 3

3 1 3

2 1

2 2

1 1

2 2

11

1

1.1

1

.1

12

n

n n

n

n n

x x

x x

x x

xx x

x x

x x

x x x

x x

Theo giả thiết quy nạp   12 1 1  2 1

Nhận thấy 2  2  2   2   1 2   2 

n

x   x   x  x   x   x   n 

Do đó dư của phép chia là : 2 x 7

Ví dụ 5: Tìm dư khi chia đa thức

2.2 Bài toán 2: Tìm giá trị của m để f x m g x m ,   , 

2.2.1 Cơ sở lí luận

Sử dụng định nghĩa, tính chất của phép chia hết

2.2.2 Phương pháp giải

Bước 1: Biểu diễn f x dưới dạng   f x  g x q x      r x

Bước 2: Giải phương trình r x 0 để tìm tham số m

Như vậy số dư là r x2  r1 r2

Để thỏa mãn yêu cầu thì 2

1 2

1 2

00

Ta có

1 2

1 00

l l

n n

2.3 Bài toán 3: Nhận biết đa thức bất khả quy

Đa thức bất khả quy trong  x là đa thức bậc nhất

Đa thức bất khả quy trong   x là đa thức bậc nhất và đa thức bậc hai vô nghiệm thực

Vì C k p p với 1 < k < p-1, p  p2 nên theo tiêu chuẩn Eisenstein suy ra P(y) bất khả quy trên Q[x]

Ví dụ 2: Chứng minh rằng đa thức

   1 2  n 1; *

f x  xa xa xa  n với a i i 1,n là số nguyên phân biệt, là đa thức bất khả quy trong   x

Ví dụ 3: Xét tính bất khả quy của đa thức sau trên   x :

f x là đa thức bất khả quy trên 

Vậy n0 f x không là đa thức bất khả quy trên   

Không mất tính tổng quát ta giả sử degQ x deg R x 

Khi đó deg Q x 1 hoặc degQ x 2

- Nếu deg Q x 1 thì P(x) có nghiệm hữu tỉ Nghiệm hữu tỉ của P(x) có thể

14

 thỏa mãn yêu cầu bài ra

Ví dụ 2: Hãy tìm diện tích của tam giác mà ba đường cao của nó là nghiệm

x



Vì y là nghiệm của phương trình, ta thay i y vào phương trình ta nhận được i

xi là nghiệm của phương trình P x 0

a b c

P x x  x  x  thỏa mãn điều kiện 12 22 3

Bài 3: Tìm những giá trị của tham số  sao cho những nghiệm    1, 2, 3, 4của đa thức P(x) = x4 + 4x3 + 9x2 + 12x +  thoả mãn điều kiện  1 2  3 4 Bài 4: Tìm những giá trị của tham số  sao cho những nghiệm   1, 2, 3 của

đa thức P(x) = x4

– x3 + x2 – x – 6 thoả mãn điều kiện  1 2 1

2.5 Ứng dụng của định lý Viéte vào giải hệ phương trình

- Nếu  0 tức là 1 5

a a

2.6 Bài toán 6: Phương trình hàm đa thức

Ngược lại, mọi đa thức dạng   n

P x x thỏa mãn yêu cầu Vậy đa thức cần tìm là P x x n, n0,1, 2, Vậy   n

1

x

Vậy ước chung lớn nhất là:

k x x  x  x

* Tìm k x h x    , 

CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC NHIỀU ẨN

3.1 Bài toán 1: Phân tích đa thức thành nhân tử

3.1.1 Cơ sở lý luận

Ta có thể phân tích thành nhân tử các đa thức đối xứng bằng cách biểu diễn đa thức đó qua các đa thức đối xứng cơ bản Việc phân tích đa thức của các đa thức đối xứng cơ bản thường đơn giản hơn nên việc phân tích đa thức mới thành nhân tử sẽ đơn giản hơn

3.1.2 Phương pháp giải

Bước 1: Đưa đa thức đối xứng về đa thức đối xứng cơ bản

Bước 2: Phân tích đa thức của những đa thức đối xứng cơ bản thành nhân tử

Ta thấy P x y z là đối xứng đẳng cấp bậc 4 Có hạng tử cao nhất là  , , 

3.2 Bài toán 2: Chứng minh hằng đẳng thức

3.2.1 Cơ sở lý luận

Dùng đa thức đối xứng cơ bản và các tính chất của nó

3.2.2 Phương pháp giải

Bước 1: Đưa đa thức đối xứng về đa thức đối xứng cơ bản

Bước 2: Chứng minh với các biểu thức mới

3.3 Bài toán 3: Chứng minh bất đẳng thức

3.3.1 Cơ sở lý luận

Ta có thể áp dụng kết quả các đa thức đối xứng để chứng minh một số bất đẳng thức Cần chú ý:

* Đối với đa thức 2 biến

Giả sử  1, 2 là những số thực muốn x,y xác định bởi 1

2

x y xy

3.4 Bài toán 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng

    suy ra điều kiện của 1

Cách 2: Do x,y là số nguyên, kết hợp điều kiện (*) tìm ra điều kiện của

 1 Sau đó tìm x,y theo  1, 2

1 1

3

x y xy

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm            1,2 ; 2,1 ; 2,2 ; 0,1 ; 1,0 ; 0,0

1 1

1

13

x y xy

Suy ra phương trình (*) có nghiệm kép X1 X2 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  y 1

3.5 Bài toán 5: Giải hệ phương trình dựa vào đa thức đối xứng

3.5.1 Cơ sở lý luận và phương pháp giải:

Hệ phương trình mà vế trái là các đa thức đối xứng ẩn x,y,z… ta chuyển sang các ẩn mới

x y

Lời giải

Đặt

1 2 3

xy yz zx xyz

3.6 Giải phương trình căn thức dựa vào đa thức đối xứng

3.6.2 Cơ sở lý luận

Biến đổi đưa về hệ phương trình chứa các đa thức đối xứng cơ bản

3.6.2 Phương pháp giải

- Bước 1: Đặt ẩn phụ, đưa về hệ phương trình

- Bước 2: Giải hệ phương trình

2 1

2 2

2

2

11

11

u v

x

- Với 1

2

11

 phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm 1 1; 2 1

Nếu mẫu số có ba (hay nhiều hơn) căn thức, ta tìm biểu thức chứa 1

như một nhân tử sau đó thực hiện chia và biểu thức đó không còn chứa căn thức ở mẫu

m x x  Vì  3 2 0 nên dễ thấy m x v  à  x nguyên

tố cùng nhau Nghĩa là tồn tại những đa thức hệ số nguyên sao cho:

       

u x  x v x m x d d Khi đó d u       3 2  3 2 v 3 2 m 3 2

Quá trình hoàn thành đề tài đã giúp tôi có thêm kiến thức kinh nghiệm

Do lần đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, thời gian và khả năng bản thân còn hạn chế nên khóa luận của tôi không tránh khỏi những thiếu sót

Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn Tôi xin chân thành cảm ơn

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1) Nguyễn Hữu Điển (2003), Đa thức và ứng dụng, Nxb GD Hà Nội 2) Bùi Huy Hiền (2000), Bài tập đại số và ứng dụng, Nxb GD Hà Nội 3) Nguyễn Văn Mậu (2004), Đa thức và phân thức hữu tỷ, NxbGD Hà Nội

4) Hoàng Xuân Sính (1998), Đại số đại cương, NxbGD Hà Nội

5) Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số và số học tập 1, NxbGD Hà Nội

6) Ngô Thúc Lanh (1987), Đại số và số học tập 3, NxbGD Hà Nội

7) Tạp chí toán học và tuổi trẻ