Luận văn sư phạm Những bài toán trong đại số sơ cấp có liên quan đến đa thức

Bài toán 7: Phân tích đa th c thành nhân t.

L i c m n!

Trong quá trình làm khóa lu n, em đã nh n đ c s giúp đ và ch

L i cam đoan

Khóa lu n c a em đ c hoàn thành d i s h ng d n c a th y

V ng Thông cùng v i s c g ng c a b n thân Trong su t quá trình nghiên c u và th c hi n khóa lu n em có tham kh o m t s tài li u c a m t

s tác gi (đã nêu trong m c tài li u tham kh o)

Em xin cam đoan khóa lu n t t nghi p này là k t qu nghiên c u

c a b n thân em, không trùng v i k t qu c a tác gi nào khác N u sai em xin hoàn toàn ch u trách nhi m

Sinh viên

H ng Th m

M c l c

Trang M đ u 1

Ch ng 1 Nh ng ki n th c liên quan đ n đ tài 2

Ph n 1 a th c m t n 2

1 Xây d ng vành đa th c m t n 2

1.1 Xây d ng vành đa th c m t n 2

1.2 B c c a đa th c m t n 3

2 Phép chia v i d 3

3 Nghi m c a đa th c 3

3.1 nh ngh a 3

3.2 Nghi m b i 4

3.3 nh lý Bezout 4

3.4 Công th c Viéte 4

3.5 L c đ Horner 5

4 Ph n t đ i s , ph n t siêu vi t 5

5 i s các đa th c 6

Ph n 2 a th c nhi u n 8

1 Xây d ng vành đa th c nhi u n 8

1.1 Xây d ng vành đa th c nhi u n 8

1.2 B c c a đa th c nhi u n 8

2 a th c đ i x ng 9

2.1 nh ngh a 9

2.2 Tính ch t 9

Ch ng 2 Nh ng bài toán trong đ i s s c p có liên quan đ n đa th c 11

Ph n 1 i v i đa th c m t n 11

1 Bài toán 1 Tr c c n th c m u 11

2 Bài toán 2 Nh n bi t đa th c không phân tích đ c 15

3 Bài toán 3 Ch ng minh các đa th c chia h t cho nhau 17

4 Bài toán 4 S d ng đ nh lý Viéte 21

4.1 D ng 1: Tính giá tr c a bi u th c đ i x ng K gi a các nghi m 21

4.2 D ng 2: Tìm m i quan h gi a các h s c a m t s ph ng trình b c ba, b c b n khi bi t m i quan h gi a các nghi m c a nó 24

4.3 D ng 3: Tìm mi n giá tr c a tham s đ các nghi m c a ph ng trình f x m ,  0 th a mãn K đi u ki n nào đó 30

5 Bài toán 5 Ch ng minh đ ng th c 34

6 Bài toán 6 Tìm đi m c đ nh c a h đ th hàm s 36

7 Bài toán 7 Phân tích đa th c thành nhân t 40

Ph n 2 i v i đa th c nhi u n 45

1 Bài toán 1 Tr c c n th c m u 45

2 Bài toán 2 Phân tích đa th c thành nhân t 47

3 Bài toán 3 Ch ng minh h ng đ ng th c trong tr ng h p có đi u ki n ho c không có đi u ki n 50

4 Bài toán 4 Ch ng minh b t đ ng th c 52

5 Bài toán 5 Xác đ nh ph ng trình b c hai 56

6 Bài toán 6 Gi i h ph ng trình 59

7 Bài toán 7 Gi i ph ng trình c n th c 62

8 Bài toán 8 Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình 65

Ch ng 3 K t lu n 69

Tài li u tham kh o 70

M đ u

1 Lý do ch n đ tài

Trong nhà tr ng ph thông, môn toán gi m t v trí h t s c quan

tr ng Nó giúp h c sinh h c t t các môn h c khác, là công c c a nhi u ngành khoa h c và c ng là công c đ ho t đ ng trong đ i s ng th c t Môn toán có ti m n ng to l n trong vi c khai thác và phát tri n n ng l c trí

tu chung, rèn luy n các thao tác và ph m ch t t duy

i s là m t b ph n l n c a Toán h c, trong đó đa th c là m t khái

ni m c b n và quan tr ng đ c s d ng nhi u không nh ng trong đ i s

mà còn trong Gi i tích, toán cao c p và toán ng d ng

Tuy nhiên cho đ n nay, v n đ đa th c m i ch đ c trình bày s l c,

ch a đ c phân lo i và h th ng m t cách chi ti t Tài li u v đa th c còn

ít, ch a đ c h th ng theo d ng toán c ng nh ph ng pháp gi i, cho nên

vi c nghiên c u v đa th c còn g p nhi u khó kh n

V i lý do trên, cùng v i lòng say mê nghiên c u và đ c s giúp đ ,

ch b o t n tình c a th y V ng Thông em đã m nh d n ch n đ tài:

“Nh ng bài toán trong đ i s s c p có liên quan đ n đa th c” đ làm

khóa lu n t t nghi p, nh m phân lo i ,h th ng m t s bài toán v đa th c Bên c nh đó, c ng th y rõ vai trò c a đa th c trong môn toán nhà tr ng

đa th c, m i ph n t thu c P g i là m t đa th c

Ta có th chuy n cách vi t đa th c v d ng sau:

Xét ánh x f: A  P

a  ( , 0, , 0, ) a

là m t đ n c u vành Do v y, ta đ ng nh t a   v i ph n t ( ) ( , 0, , 0, )

Khi ta nhân các th a s vào v i nhau và nhóm các h s theo d ng

đa th c chu n t c và so sánh các h s c a đa th c f x , ta đ c công th c Viéte nh sau:

a a

+, X , ,  K l p thành m t K_ môđun (K là vành giao hoán có đ n v )

Có A x  là vành giao hoán có đ n v , ta xác đ nh thêm phép nhân vô h ng

sau:

   

0 ,

n i i i

i i i

          

0

i i

Ph n 2

a th c nhi u n

1 Xây d ng vành đa th c nhi u n

1.1 Xây d ng vành đa th c nhi u n

Cho A là vành giao hoán có đ n v (ký hi u là 1), ta xây d ng đ c vành

đa th c m t n A 1  A x 1 , A 1 là vành giao hoán có đ n v Xây d ng đ c

1 1 2 1



Vì  3

2 0

  nên d th y m฀  x và  x nguyên t cùng nhau, ngh a là t n

t i đa th c u x v x   ,  ฀  x sao cho:



Vì  3

5 0

  nên d th y m฀  x và  x nguyên t cùng nhau, ngh a là t n

t i đa th c u x v x   , ฀  x sao cho:

Nh v y, đ gi i đ c bài toán ch c n tìm d ng c th c a nh ng đa th c

Bài t p 2: Tr c c n th c m u phân s sau

a th c b t kh quy là đa th c không phân tích đ c M t đa th c có

h s thu c tr ng s ph c luôn phân tích đ c thành tích các nhân t là các đa th c b c nh t nh cách bi u di n đa th c qua các nghi m Sau đây

N u t n t i m t s nguyên t p, th a mãn các đi u ki n sau:

i) H s cao nh t a n không chia h t cho p

ii) T t c các h s khác chia h t cho p

thì f x  b t kh quy trên ฀

Ví d 1: Ch ng minh đa th c sau là b t kh quy trong ฀  x

8 12 4 6

f x  x  x  x  x 

Gi i

áp d ng tiêu chu n Eidenstein v i p=2 ta có:

i) H s cao nh t a 4  1 không chia h t cho p  2

ii) T t c các h s khác: a 3   8, a 2  12, a 1   4, a 0  6 đ u chia h t cho

f x  x  x  x  x  b t kh quy trong ฀  x theo

tiêu chu n Eidenstein

Ví d 2: Ch ng minh đa th c sau không phân tích đ c trên t p s h u

a th c f x  có liên quan đ n s nguyên t nh ng ta ch a th áp

d ng ngay tiêu chu n Eidenstein đ ch ng minh Tuy nhiên, ta có th bi n

đ i f x  đ áp d ng đ c tiêu chu n Eidenstein nh sau:

t y      x 1 x y 1, thay vào đa th c ta nh n đ c:

ii) T t c các h s khác: a 3  3, a 2  3, a 1  3, a 0  3 đ u chia h t cho

p= 3

iii) S h ng t do a 0  3 không chia h t cho p2

= 9

Nh v y, tiêu chu n Eidenstein đ c th a mãn, do đó đa th c g x 

không phân tích đ c T đây ta c ng suy ra đ c f x  không phân tích

p p

h p ta thu đ c m t s bài toán c th ho c có th gán cho x nh ng giá tr

a ฀ đ đ c bài toán chia h t trong vành s nguyên ฀ )

D a vào h qu c a c a đ nh lý Bezout ta có f x g x    trong ฀ x

Các h t c a đa th c th ng khi chia f x  cho g x  là k t qu c a vi c

c ng chia h t cho x   x 1, v y kh ng đ nh đ c ch ng minh đúng v i

v i  ฀ x thì đa th c 4 k 4 m 1 4 n 2 4 l 3

x  x   x   x  chia h t cho 3 2

1

x  x   x

Bài t p 5: Ch ng minh r ng     x ฀ , n ฀ thì:

1  xn 1   x 2 nxn 1   x n xn 1  x chia h t cho  3

1 x  Bài t p 6: Hãy tìm s t nhiên n sao cho đa th c 4 3 2

B c 1: Thi t l p h th c Viéte gi a các nghi m c a ph ng trình đ

Ví d 2: Hãy tìm di n tích c a tam giác mà ba đ ng cao c a nó là nghi m

A  x  x  x  x B  x  x  x  x C  x  x  x  x

Bài t p 2: Cho x x 1 , 2 là hai nghi m c a ph ng trình x  2 x   2 0 Hãy tính: 5 5

ph ng trình 2

x  p x q   còn là nghi m c a ph ng trình 2

trên

4.2.2 Thu t toán

i v i m t s ph ng trình mà các nghi m c a chúng có nh ng

m i liên h đ c bi t nào đó, ta có th s d ng đ nh lý Viéte đ tìm ra h

th c liên h gi a các nghi m v i các h s c a ph ng trình Sau đó s

d ng đ nh lý Bezout đ a ph ng trình đã cho v ph ng trình có b c nh

h n

T đây, vi c gi i ph ng trình ban đ u tr thành vi c gi i ph ng trình đ n gi n h n

x x ax b x

- Tr ng h p 2: N u d  0 thì hi n nhiên x  0 không ph i là nghi m

c a (1) Do v y, ta có th chia hai v c a (1) cho 2

2 2 2

2

2 2 2

0

2

2 0

14 0

1 57 2

2

4 2

2 4

3 8 2

a b X

3 2 5 4

3 2 5 4

3 2 5 4

1

3 2 5 1 2

1

3 2 5 1 2

x x

áp d ng công th c Viéte đ gi i toán

V y v i m  1; m  2 thì th a mãn đi u ki n bài toán

Ví d 2: Hãy tìm nh ng giá tr c a tham s m sao cho nh ng nghi m

Bài t p 7: Cho ph ng trình x  px  qx r   0 có ba nghi m x x x 1 , 2 , 3

Ch ng minh r ng ba nghi m l p thành c p s c ng khi và ch khi

6 Bài toán 6: Tìm đi m c đ nh c a h đ th hàm s

Coi v trái c a (2) là đa th c b c n c a n m Khi đó, theo tiêu chu n

nh n bi t hai đa th c b ng nhau ta có:

0 0

4 0

2 0

x

x y

Bài t p 3: Cho hàm s :

1

mx k y

kx m





  Hãy xác đ nh k, bi t r ng h

đ ng cong này đi qua m t đi m c đ nh

Bài t p 4: Cho h đ ng cong xác đ nh b i h hàm s

c a hàm s đã cho luôn đi qua hai đi m c đ nh

th ng y  kx k   1 luôn c t đ ng cong (1) t i m t đi m c đ nh

7 Bài toán 7: Phân tích đa th c thành nhân t

B c 1: Gi s f x  g x h x    , deg g x  deg f x , deg h x  deg f x 

a c

b d ac

ad bc bd

B c 1: Bi n đ i bi u th c đã cho v bi u th c ch a các đa th c đ i

x ng c b n

B c 2: S d ng các đa th c đ i x ng d ng t ng

2 1 2 3

2 3

S S S

2.1 C s lý lu n

a th c đã cho là đa th c đ i x ng nên đ a đ c v đa th c c a các

đa th c đ i x ng c b n, d ng này vi c phân tích nó thành tích d dàng

B c 3: Thay tr l i, sau đó xét các nhân t m i C ti p t c quá trình

này đ n khi không phân tích đ c n a thì d ng l i

Các v c a đ ng th c là các đa th c đ i x ng nên đ a đ c v đa th c

c a các đa th c đ i x ng c b n d ng này vi c ch ng minh s d dàng

2 2

Theo gi thi t x     y z 0  1  0, do đó v trái = 0, v ph i = 0

Suy ra: v trái = v ph i

nh lý: Cho 2 s th c   1 , 2 Khi đó nh ng s x y , xác đ nh b ng h

2

x y xy

Thi t l p ph ng trình b c hai nh n y y 1 , 2 làm nghi m v i

0

y  Sy   P mà các nghi m là bình ph ng các nghi m c a ph ng trình đã cho

G i x x 1 , 2 là nghi m c a ph ng trình b c hai đã cho

Theo công th c Viéte ta có:  1  x 1  x 2  1;  2  x x 1 2   2

Ta đ a v trái c a các ph ng trình trong h v đa th c c a các đa th c đ i

1 2 3 1

1 2 1 2

20 3.20 65 20 125 20 5 4

3 1 2 3

3

3 25 2

3 3

8 24

35 )

5 1 )

3

x y a

x y

x xy y b

2 13 3

1 1 1 13 )

2 1

1 2 1 2

0

u

x u

V y nghi m c a ph ng trình đã cho là: 8

8

x x

2 1

7 3

7 35 6

8 Bài toán 8: Tìm nghi m nguyên c a ph ng trình

Cách 1: T (1) suy ra x y , là nghi m c a ph ng trình 2

t   t   

v i đi u ki n   0 T đó suy ra đi u ki n c a  1

Cách 2: Do x y , là s nguyên nên x y , là s th c Do v y, c n đi u ki n: 2

x y

3

      lo i vì  2 ฀

1 2 3

1

x y

1 3

x y xy

Ch ng 3

K t lu n

a th c có v trí quan tr ng trong Toán h c, không nh ng là đ i

t ng nghiên c u ch y u c a i s mà còn là công c đ c l c c a Gi i tích Nó là ph n ki n th c quan tr ng đ c gi i thi u ngay t nh ng n m

đ u c a b c ph thông các d ng đ n gi n mà ta th ng g i là các bi u

th c ch a ch đ i di n cho các s Ngoài ra, lý thuy t đa th c còn đ c s

d ng nhi u trong toán cao c p, toán ng d ng Và chúng ta c ng th ng xuyên g p nh ng bài toán v đa th c trong các k thi h c sinh gi i, thi Olympic toán h c trong tr ng ph thông

Tuy khóa lu n này đã trình bày ki n th c v đa th c và nh ng bài toán trong đ i s s c p có liên quan đ n đa th c nh ng còn r t nh so v i

l ng ki n th c v đa th c Khóa lu n này đ c th c hi n v i mong mu n đóng góp kinh nghi m trong vi c nghiên c u, giúp vi c d y h c và h c t p môn toán tr ng ph thông T khóa lu n này có th giúp b n đ c nghiên

c u sâu h n, r ng h n n a v đa th c

Do l n đ u tiên làm quen v i công tác nghiên c u, th i gian và n ng

l c còn h n ch nên không th tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong

nh n đ c s đóng góp ý ki n c a các th y cô và các b n sinh viên

Em xin chân thành c m n!

**************************************

Tài li u tham kh o

1. Nguy n H u i n (2003), a th c và ng d ng, NXB Giáo d c

2. Nguy n V n M u (2004), a th c đ i s và phân th c h u t , NXB

Giáo d c

3. Ngô Thúc Lanh (1987), i s và s h c t p 3, NXB Giáo d c

4. Nguy n Ti n Quang (1987), Bài t p đ i s và s h c t p 3, NXB

Giáo d c

5. Hoàng Xuân Sính (1998), i s đ i c ng, NXB Giáo d c

6 Tr n Ph ng, Lê H ng c (2002), Tuy n t p các chuyên đ luy n

7. T p chí toán h c và tu i tr