Luận văn sư phạm Các bài toán về thể tích khối đa diện trong chương trình trung học phổ thông

Nhằm cung cấp kiến thức, rèn luyện kĩ năng liên quan đến bài tập tính thể tích khối đa diện nên tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “Các bài toán về thể tích khối đa diện trong chương trình tr

KHOA TOÁN

TRỊNH THỊ PHƯƠNG

CÁC BÀI TOÁN VỀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN TRONG CHƯƠNG TRÌNH

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp dạy học

Người hướng dẫn khoa học

THẠC SĨ : DƯƠNG THỊ HÀ

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thạc sĩ Dương Thị Hà người đã tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình thực hiện

và tạo mọi điều kiện cho tôi hoàn thành khóa luận

Đồng thời, tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô khoa Toán trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện giúp tôi hoàn thành khóa luận đúng thời hạn

Cuối cùng xin gửi lời cảm ơn tới tập thể các bạn sinh viên cùng lớp, gia đình đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt thời gian nghiên cứu để tôi hoàn thiện khóa luận này Mặc dù đã có nhiều cố gắng song khóa luận khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý, bổ sung ý kiến từ phía thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên thực hiện

Trịnh Thị Phương

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận dưới đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, do chính tôi đã nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã học, tài liệu tham khảo và sự hướng dẫn tận tình của cô giáo Dương Thị Hà

Nó không trùng với kết quả của bất kì người nào khác Nếu có gì sai sót tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Sinh viên thực hiện

Trịnh Thị Phương

MỤC LỤC Nội dung trang

A: Mở Đầu 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

B: Nội dung 2

Chương 1: Cơ sở lí luận 2

1.1 Các kiến thức cần nhớ 2

1.2 Các kiến thức liên quan 5

Kết luận chương 1……… 10

Chương 2: Bài tập về thể tích 11

2.1 Bài toán tính thể tích trực tiếp 11

2.1.1 Dạng toán có sẵn đường cao 11

2.1.2 Dạng toán cần đi dựng đường cao 11

2.1.3 Dạng toán cần dựng đường cao phụ 31

2.2 Tính thể tích khối đa diện một cách gián tiếp 36

2.3 Sử dụng phương pháp thể tích để tính khoảng cách 45

2.4 Các bài toán về thể tích khối đa diện có kết hợp với việc tìm GTLN, GTNN 55

2.5 Các bài toán so sánh thể tích 58

Kết luận chương 2 65

Kết luận……….66

Tài liệu tham khảo 67

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học nói chung và hình học không gian nói riêng là một môn học khó đối với học sinh trong nhà trường trung học phổ thông Vì hình học là môn học có tính chặt chẽ, logic và trừu tượng hóa cao hơn các môn học khác Riêng hình học không gian - là một bộ phận của môn hình học, ngoài tính trừu tượng còn đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng tư duy cao Hình học không gian bước đầu học thấy khó song càng học càng thấy sự thú vị trong

đó Do đó việc nghiên cứu hình học không gian là cần thiết Trong bài khóa luận này tôi sẽ đi sâu vào một phần nhỏ của hình học không gian là thể tích khối đa diện Đây là một chủ đề có trong cấu trúc thi cao đẳng, đại học và thường xuyên có mặt trong các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi ở các trường trung học phổ thông Nhằm cung cấp kiến thức, rèn luyện kĩ năng liên quan đến bài tập tính thể tích khối đa diện nên tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “Các bài toán về thể tích khối đa diện trong chương trình trung học phổ thông” Là một giáo viên trong tương lai tôi nhận thấy việc nghiên cứu đề tài này là hợp lý và có ý nghĩa thực tiễn

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu cơ sở lí luận, hệ thống hóa các bài tập về thể tích nhằm tích cực hóa hoạt động của học sinh, nâng cao năng lực sư phạm cho giáo viên và tăng hiệu quả dạy học môn toán ở trường THPT

3 Phạm vi, đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu các bài toán tính thể tích khối chóp, khối chóp đều, thể tích hình lăng trụ… và các bài toán liên quan tới việc tính thể tích khối đa diện trong chương trình toán trung học phổ thông

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu cơ sở lí luận, phương pháp tổng kết kinh nghiệm

B NỘI DUNG ĐỀ TÀI CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN

1 Các kiến thức cần nhớ

1.1 Định nghĩa thể tích khối đa diện

Như chúng ta đã biết trong mặt phẳng, mỗi đa giác có một diện tích Đó

là số đo phần mặt phẳng mà đa giác đó chiếm chỗ Tương tự như vậy, các

khối đa diện chiếm những phần không gian lớn nhỏ khác nhau Thể tích của

mỗi khối đa diện là số đo của phần không gian mà nó chiếm chỗ

Ở lớp dưới chúng ta đã được học các công thức tính thể tích của một số

khối đa diện đơn giản Sau đây chúng ta sẽ nói rõ hơn về các công thức này

Để có những công thức như thế, chúng ta thừa nhận rằng mỗi khối đa diện

có thể tích là một số dương, thỏa mãn các tính chất sau đây:

1) Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau

2) Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể tích của các khối đa diện nhỏ đó







B: Diện tích đáy h: Chiều cao

+ Đáy của hình chóp là một đa giác đều

+ Hình chiếu vuông góc của đỉnh xuống

đáy trùng với tâm của đa giác đáy

- Khối chóp tam giác đều

+ Các cạnh bên bằng nhau

+ Đáy là tam giác đều

+ Hình chiếu vuông góc của đỉnh xuống đáy trùng với tâm của tam giác

đáy

- Khối tứ diện đều

+ Tất cả các cạnh bằng nhau

+ Tất cả các mặt đều là các tam giác đều

+ Hình chiếu vuông góc của đỉnh xuống

đáy trùng với tâm của tam giác đáy

 Khối tứ diện đều là một trường hợp đặc

biệt của khối chóp tam giác đều

B

C S

B

C S







B: Diện tích đáy h: Chiều cao

D

- Khối chóp tứ giác đều

O S

D A

O

1.2 Các kiến thức liên quan

- Công thức đường trung tuyến

1.2.2 Tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A với BC a AC b AB c ,  ,  khi đó ta có:

B a c

b

h H

C A

B a c

b h

C H

B

A

b c

C H

H B

A

b c

C H

M

1.2.3 Tam giác cân

+ Đường cao AH cũng chính là đường

1.2.4 Tam giác đều

+ Đường cao của tam giác đều

+ Hai đường chéo của hình chữ nhật

bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi

S  (m1+m2).h (trong đó m1, m2, h lần lượt là đáy lớn

và đáy nhỏ và chiều cao của hình thang)

- Diện tích hình bình hành S = m.h (trong đó m là đáy, h là đường cao của hình bình hành)

1.2.6 Khoảng cách

- Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng, một mặt phẳng

Khoảng cách từ điểm M tới một đường thẳng a (hoặc mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M lên đường thẳng a (hoặc lên mặt phẳng (P))

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a tới mặt phẳng (P)

Q

H

O P

- Cách xác định góc

+ Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P)

 Tìm hình chiếu d của d lên mặt phẳng (P)

 Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d

+ Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q)

 Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)

 Tìm trong (P) đường thẳng a d , trong mặt phẳng (Q) đường thẳng b  d

 Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa 2 đường thẳng a và b

1.3 Bài tập thể tích trong sách giáo khoa toán trung học phổ thông

Trong sách giáo khoa toán lớp 12 bài tập về thể tích khối đa diện gồm

51 bài bao gồm có các dạng như sau:

a) Tính thể tích dựa vào công thức (21 bài)

có kết hợp với việc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất…Cụ thể như thế nào chúng

ta sẽ được tìm hiểu rõ hơn trong chương 2 của khóa luận

1.4 Một số chú ý khi giải bài tập thể tích

- Nói tới thể tích khối đa diện chúng ta luôn luôn quan tâm tới hai yếu

tố đó là đường cao và diện tích đáy

* Đường cao: đã có sẵn từ giả thiết bài toán hoặc phải xác định

Tính đường cao dựa vào việc sử dụng định lí Pytago hoặc dựa vào các công thức lượng giác

* Diện tích đáy: Tính diện tích đáy dựa vào các công thức quen thuộc

- Khi giải bài tập về thể tích

+ Trong một số bài toán về khối chóp tam giác chúng ta cần khéo léo trong việc chọn đường cao và mặt phẳng đáy để việc tính toán ngắn gọn và dễ dàng hơn

+ Đối với những bài toán tính thể tích của các khối chóp đều ta luôn có đường cao của khối đa diện chính là đường thẳng nối đỉnh với tâm của đa giác đáy

+ Khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là cạnh bên đó

+ Tính thể tích khối đa diện có thể tính một cách trực tiếp hoặc gián tiếp

+ Với một số bài toán yêu cầu tính khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng hoặc khoảng cách giữa hai đường thẳng ta có thể quy về bài toán tính thể tích khối đa diện…

Kết luận chương 1

Như vậy trong chương này chúng ta đã đi tìm hiểu cơ sở lí luận về thể tích khối đa diện, tìm hiểu được các kiến thức liên quan tới vấn đề này cũng như một số lưu ý khi làm bài tập về thể tích khối đa diện Từ đó có những dạng bài tập tương ứng Trên cơ sở đó với mục đích giúp học sinh có được một tài liệu thiết thực về chủ đề thể tích khối đa diện trong chương trình toán trung học phổ thông Chương 2 của khóa luận sẽ đi xây dựng một hệ thống bài tập về thể tích một cách tương đối đa dạng và phong phú

CHƯƠNG 2: BÀI TOÁN THỂ TÍCH TRONG CHƯƠNG TRÌNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

2.1 Bài toán tính thể tích trực tiếp

Phương pháp giải các bài toán dạng này thường được tiến hành như sau:

- Xác định chiều cao của khối đa diện cần tính thể tích

Trong nhiều trường hợp chiều cao này được xác định ngay từ đầu bài, nhưng cũng có trường hợp việc xác định chiều cao phải dựa vào các định lý

về quan hệ vuông góc đã học ở lớp 11 (hay dùng nhất là định lý về 3 đường vuông góc, các định lý về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng…) Việc tính các chiều cao thông thường nhờ vào việc sử dụng định lý Pytago hoặc dựa vào các công thức lượng giác

- Tìm diện tích đáy bằng các công thức quen thuộc

Nhìn chung các bài toán thuộc dạng này rất cơ bản, chỉ đòi hỏi việc tính toán cẩn thận, chính xác Tuy nhiên điểm khó nhất nằm ở yếu tố đường cao Có thể gặp các khả năng sau:

Dạng toán có sẵn đường cao

Dạng toán cần đi dựng đường cao

Dạng toán cần dựng đường cao phụ

2.1.1 Dạng toán có sẵn đường cao

a Cơ sở lý thuyết

Một số bài toán về tính thể tích khối đa diện đã có sẵn đường cao Giáo viên cần đưa ra các ví dụ và giúp học sinh biết xác định đường cao đó Sau đây

là một số gợi ý để nhận biết đường cao

- Đường thẳng qua đỉnh và vuông góc với mặt đáy Có thể cho vuông góc trực tiếp hoặc cho vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đáy

- Giao tuyến của 2 mặt phẳng phân biệt cùng chứa đỉnh và vuông góc với đáy

- Đường thẳng qua đỉnh nằm trong mặt phẳng () vuông góc với đáy, đồng thời vuông góc với giao tuyến của () và đáy

- Cho hình chiếu vuông góc của đỉnh lên mặt đáy thì đoạn nối đỉnh và hình chiếu của nó là đường cao

…

Lưu ý: Trong các trường hợp trên cần chỉ cho học sinh thấy được trong các trường hợp nào cần phải chứng minh đó là đường cao, trường hợp nào không cần phải chứng minh

b Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3, cạnh bên bằng 2a Tính thể tích khối đa diện S.ABC

Giải

Gọi M là trung điểm BC, O là trọng tâm của tam giác ABC

Do S.ABC là hình chóp tam giác đều nên hình chiếu vuông góc của đỉnh xuống đáy trùng với tâm của tam giác đáy  SO(ABC)

* Tính SABC

2 0

+ Biết cạnh đáy và đường cao Tính thể tích

+ Biết cạnh đáy và góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy Tính thể tích

Với những dạng trên ta cũng đi tính đường cao và diện tích đáy tương

tự như khi cho biết yếu tố cạnh bên và cạnh đáy Từ đó áp dụng công thức ta

dễ dàng tính được thể tích khối chóp

Trường hợp đặc biệt của hình chóp tam giác đều khi tất cả các mặt của hình chóp đều là tam giác đều ta được khối tứ diện đều Việc tính thể tích khối tứ diện đều sẽ được đề cập trong phần bài tập áp dụng

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh

AM  BC (vì ABC cân tại A)

45 0

Vì ABC vuông cân tại A có BC a 2

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

Do S.ABCD là tứ giác đều nên  SO  (ABCD) Vậy SO chính là đường cao của hình chóp S.ABCD

O A

S

B

C D

O

* Tính diện tích hình vuông ABCD

2 (2 )2 4 2 ABCD

Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là

3 2

 Với bài toán cho hình chóp tứ giác đều ta còn hay gặp các dạng sau:

+ Biết cạnh bên và đường cao Tính thể tích

+ Biết cạnh đáy và đường cao Tính thể tích

+ Biết cạnh bên và góc giữa cạnh bên và mặt đáy Tính thể tích

Với những dạng trên ta cũng làm tương tự như khi biết yếu tố cạnh đáy và cạnh bên

Khối chóp OABCD có đáy và đường cao

giống với khối hộp nên

b) Gọi M là trung điểm của BC ta có:

OM // DC (Vì OM là đường trung bình của

BDC)  OM  (BBC) (Vì DC  (BDC))

C

D A

dụng định lí Pytago trong các tam

giác vuông CMB và CMA ta được

S

A

B

C D

M

60 0

Tam giác SAC vuông tại A nên

Ví dụ 6: (Đề thi tuyển sinh đại học khối A -2009)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D

2 ,

AB AD  a CD a , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Giải

Vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với

đáy (ABCD)

nên giao tuyến SI  (ABCD) Vậy SI

là đường cao của hình chóp S.ABCD

M A

B

C D

M



N H

M A

B

C D

M



N H

M A

B

C D

M



N H

60 0

Ví dụ 7: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A -2007)

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông ABCD cạnh a , mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC, CD Tính thể tích của tứ diện CMNP

Giải

Gọi H là trung điểm của AD thì SH AD

Do (SAD)  (ABCD) nên

M

N P

S

B A

M

N P

S

B A

M

N P

S

B A

M

N P

Ví dụ 8: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B - 2006 )

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB a AD a  SA a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M,

N lần lượt là trung điểm của AD và SC Giả sử I là giao điểm của BM và AC Tìm thể tích tứ diện ANIB

Gọi M là trung điểm của BC, O là trọng tâm ABC

Do S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SO(ABC) hay SO là đường cao của hình chóp S.ABC

SBC là tam giác cân có M là trung điểm của BC  SM  BC (1)

ABC là tam giác đều  AM  BC (2)

Từ (1) và (2)  ฀SMA 300là góc giữa mặt bên và mặt đáy

Gọi M là trung điểm của CD, O là trọng

tâm của tam giác BCD

Do ABCD là tứ diện đều nên

A

C

D B

M O

Vậy thể tích khối chóp ABCD là

Bài 3 (Theo đề thi Đại học khối A - năm 2008)

Cho hình lăng trụ ABC.ABC có độ dài cạnh bên bằng 2a , đáy ABC là tam giác vuông tại A,AB a AC a ,  3 và hình chiếu vuông của đỉnh A trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp AABC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD; H là giao điểm của CN với DM Biết SH vuông góc với (ABCD) và SH a 3 Tính thể tích khối chóp S.CDMN

N

M

H

- Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy

- Khối chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy

- Khối chóp có hai mặt bên kề nhau và cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao nằm trên đường phân giác góc của đỉnh chung, nằm trong mặt phẳng đáy

- Khối chóp có đỉnh nằm trên một mặt phẳng vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyến của mặt đó và đáy

…

Với khối lăng trụ:

Với khối lăng trụ ta lấy một đỉnh kết hợp với đáy đối diện ta cũng được một khối chóp sau đó việc xác định chân đường cao cũng dựa theo các hướng trên

b Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hai mặt bên SAB và SAC tạo với đáy các góc bằng nhau và bằng 600, mặt bên còn lại tạo với đáy góc 450 Tính thể tích khối chóp trên

Giải

Giả sử H là chân đường vuông góc Kẻ HK  AB; HP  AC

Khi đó AB  (SHK) vì AB  HK và AB  SH do vậy góc giữa (SAB) và (ABC) là ฀SKH 60 0 Tương tự ta có góc giữa (SAC) và (ABC) là

nên BC  SM Do vậy góc giữa (SBC) và (ABC) là ฀ SMH  45 0

Giả sử MH = k.AM, (0 < k < 1) Khi đó

P H

S

M K

P H

vẽ sao cho SH (ABC).

Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D - 2009)

Cho hình lăng trụ đứng ABCABC có đáy là tam giác vuông ABC tại B Giả

sử AB a , AA 2 , a AC3a Gọi M là trung điểm của AC và I là giao điểm của AM và AC Tính thể tích tứ diện IABC

Giải

Do (AACC)  (ABC) nên trong (AACC) kẻ IH  AC (H AC)

 IH  (ABC)

* Tính IH

Vì IH // AA nên theo định lý Talet ta có:

S

H E

F J

B

C A

S

H E

F J

 M

 M

2a

2 29.4.3.2 6 6

Bài 1 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại B, ฀ABC 120 ;0

AB = BC = a Mặt bên SAB vuông góc với đáy và SA = SB; SC a 2 Tính thể tích khối chóp trên

(SAD) vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp trên theo a

Gọi M là trung điểm của AB

Do tam giác ACB là tam giác vuông tại C nên

Xét tam giác SAD có AD2 SA2 SD2

 SAD là tam giác vuông tại S



M

Bài 3 Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều , BCD là tam giác vuông tại

D, mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (BCD) và AD hợp với mặt phẳng (BCD) một góc bằng 600, và AD = a Tính thể tích khối tứ diện ABCD Hướng dẫn

Gọi H là trung điểm của BC, do ABC là tam giác đều nên  AH  BC

Bài 4 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có

BC = a Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450

a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC b) Tính thể tích khối chóp SABC

B

H

60 0

Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC SI AB SJ BC , 

Theo giả thiết ฀SIH  ฀SJH  450

Ta có SHI  SHJ  HI HJ nên BH

là tia phân giác của ฀ABC Từ đó suy ra

H là trung điểm của AC

(do ABC là tam giác cân tại B)

2.1.3 Dạng toán cần dựng đường cao phụ

Trong nhiều bài toán việc xác định đường cao phức tạp, ta có thể nghĩ đến hướng dựng một đường cao phụ

a Cơ sở lý thuyết

- Cho điểm A và mặt phẳng (P) và đường thẳng d chứa A và d // (P) thì khoảng cách từ A đến (P) bằng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên d đến (P)

- Nếu có mặt phẳng (Q) chứa A và song song với (P) thì khoảng cách từ

A đến (P) bằng khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên (Q) đến (P)

S

A

B

C J



H

45 0

45 0