BAI GIANG GIAI TICH 1

CHƯƠNG 1:SỐ THỰC CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Chương 3: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ Chương 4: HÀM SỐ LIÊN TỤC Chương 5: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Chương 6: CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN VỀ ĐẠO HÀM Chương 7: KHẢO SÁT HÀM SỐ Chương 9: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Chương 10. CHUỖI SỐ

TRƯỜNG CAO ĐẲNG BÌNH PHƯỚC

ThS.ĐẶNG XUÂN QUỲNH

BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 1 (Dùng cho ngành Công nghệ thông tin)

Bình Phước 2015

Chương 1 SỐ THỰC Bài 1 Số thực 1.1.Tập hợp số thực

hợp các số có dạng số nguyên và số thập phân vô hạn tuần hoàn

Tập các số có dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn hoặc các số không biểu diễn được dưới dạng là tỷ số của hai số nguyên thì được gọi là số vô tỷ Ký hiệu: I

Tập hợp số thực, (Ký hiệu: R) là tập hợp bao gồm cả số hữu tỷ và vô tỷ

Vậy R = Q  I

1.2.Quan hệ thứ tự

1.2.1.Định nghĩa quan hệ thứ tự

Cho X là một tập hợp, ký hiệu  là một quan hệ trên X Ta nói  là một quan

hệ thứ tự trên X nếu thỏa 3 tính chất sau :

1.2.2.Định nghĩa quan hệ thứ tự toàn phần

Tập X cùng với quan hệ thứ tự  , ký hiệu (X, ) được gọi là tập sắp thứ tự Tập sắp thứ tự (X, ) được gọi là sắp thứ tự toàn phần nếu x, y  X thì x  y hoặc y  x

Ví dụ 4 Tập R với quan hệ thông thường ở Ví dụ 1 là tập sắp thứ tự toàn phần Các tập sắp thứ tự ở Ví dụ 2 và Ví dụ 3 không là tập sắp thứ tự toàn phần

1.3.Tính chất của tập số thực

1.3.1.Tính chất 1: Tập số thực cùng với các phép toán cộng, trừ, nhân, chia thông

thường có các tính chất

Khép kín với các phép toán cộng và nhân : x + y  R, x.y  R, x,y  R

Giao hoán đối với phép cộng và nhân : x + y = y + x, x,y  R

Phép cộng và nhân có tính chất kết hợp:

x+ (y + z) = (x + y) + z; (xy)z = x(yz)

R có phần tử trung hòa đối với phép cộng là 0 và đối với phép nhân là 1

Phân phối : x(y + z) = xy + xz ; (x + y)z = xz + yz, x,y,z  R

Tồn tại phần tử đối của phép cộng và phần tử nghịch đảo của phép nhân

x + (-x) = 0, x  R ; xx-1=1, x R, x≠0 1.3.2.Tính chất 2: Tập số thực R là tập sắp thứ tự toàn phần và đóng kín với số thực dương ( tức x,y  R+ , x + y  R+ và xy  R+ )

1.3.3 Tính chất 3: Tính chất trù mật của tập số hữu tỷ trong tập số thực : giữa hai số hữu tỷ tùy ý p < q luôn tồn tại số thực r thỏa p < r < q

1.3.4 Tính chất 4: (Tính chất Archimede): Với mỗi số thực R luôn tồn tại duy nhất

số nguyên n thỏa : n<r<n+1 Khi đó n được gọi là phần nguyên của r Ký hiệu: [r]=n

Bài 2 Cận trên, cận dưới Phần tử lớn nhất, nhỏ nhất

Cận trên đúng, cận dưới đúng 2.1.Cận trên, cận dưới

2.1.1.Định nghĩa cận trên, cận dưới

Cho X là tập sắp thứ tự, A  X

Phần tử a được gọi là cận trên của tập A nếu : x  a, x  A

Phần tử a được gọi là cận dưới của tập A nếu : a  x, x  A

có cận trên Mọi phần tử a  0 đều là cận dưới của A

2.1.2.Định nghĩa tập bị chặn

Tập A được gọi là bị chặn trên nếu nó có một cận trên

Tập A được gọi là bị chặn dưới nếu nó có một cận dưới

Tập A được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới

2.2.Phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất của tập hợp

tập A nếu a  A và a là một cận trên của tập A Ký hiệu: maxA = a

dưới của tập A Ký hiệu: minA = a

Nhận xét: Phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ nhất (nếu có) của tập A là duy nhất Chứng minh NX:

Giả sử a = maxA và a’ = maxA thì a, a’  A và x  A ta có x  a và x  a’

Do a  A nên a  a’ và a’  A nên a’  a Vậy a = a’

Cận trên đúng, cận dưới đúngcủa tập A (nếu có) là duy nhất

Nếu A có phần tử lớn nhất thì supA = maxA và nếu A có phần tử nhỏ nhất thì infA = minA

Chứng minh

Giả sử a = maxA thì a  A và a là một cận trên của A Ta chỉ cần chứng minh

a là cận trên bé nhất của A Thật vậy

Lấy b là một cận trên tùy ý của A thì x  A, x  b Do a  A nên a  b

Điều đó chứng tỏ a là cận trên bé nhất của A

dưới thì infA = - 

2.3.2.Tính chất

Cho   A  R, a  R hoặc a = + ( a = -) Ta có

a = supA khi và chỉ khi thỏa hai điều kiện : x  a, x  A và nếu có b  R, b <

a thì tồn tại phần tử x  A sao cho x > b ( Tức là : nếu a = supA thì với mọi  > 0, tồn tại x  A sao cho (a - ) < x )

a = infA khi và chỉ khi thỏa hai điều kiện : a  x, x  A và nếu có b  R, b >

a thì tồn tại phần tử x  A sao cho x< b ( Tức là : nếu a = infA thì với mọi  > 0, tồn tại x  A sao cho (a + ) > x )

Chứng minh ( Ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp đầu)

(): Hiển nhiên

(): Giả sử a = supA thì hiển nhiên x  a, x  A

Nếu có b  R, b < a thì do a là cận trên bé nhất của A nên b không phải là cận trên của A Do đó tồn tại ít nhất 1 phần tử x của A sao cho b < x (cận trên là phần tử lớn hơn mọi phần tử của A, ngược lại, nếu b không là cận trên thì có ít nhất 1 phần tử của A lớn hơn b)

Mọi tập số thực khác rỗng và bị chặn trên đều có một cận trên đúng

2.4.Định nghĩa cận trên đúng, cận dưới đúng của hàm số Hàm số bị chặn

f bị chặn trên (dưới) trên tập A khi và chỉ khi f(A) bị chặn trên (dưới)

f bị chặn trên tập A khi và chỉ khi f(A) bị chặn

Bài 3 Giá trị tuyệt đối

(Xem tài giáo trình) [tr 27]

Chứng minh : sup(AB) = max{supA, supB}

Gọi A + B = {x  R, (a,b)  AB, x = a + b}

Chứng minh: sup(A + B) = supA + supB

Hướng dẫn bài tập

nguyên tố cùng nhau Ta cĩ p2 = 2.q2, do đĩ p2 là số chẵn nên p cũng là số chẵn

Giả sử p = 2k thì ta được q = 2k2 nên q cũng là số chẵn Vậy p và q đều là số chẵn Điều này trái với giả thiết p, q là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài 2.Giả sử

2

q 2 3 6 Q thì 2  3 q  62(q 1) 6 q  1 (*)

2(q 1) 6 là số vô tỷ (vì q+1 là số hữu tỷ)

đĩ q2 + 1 = 0

Từ đĩ q = q2 hay q = 0 (vơ lý)

Ta sẽ chứng minh m cũng là một cận trên của (A  B), khi đó m là cận trên bé nhất của (A  B) Thật vậy

Lấy y (A  B) thì y  A hoặc y  B Do đó y  a và y  b  y  m Vậy m

là một cận trên của (A  B) nên m là cận trên bé nhất của (A  B)  đpcm

a  A, a  supA và  b  B, b  supB Do đó  a+b  A + B, ta có:

a + b  ( supA + supB) tức (supA + supB) là một cận trên của (A + B)

Chương 2 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BÀI 1: Định nghĩa giới hạn của dãy số thực 1.1.Định nghĩa dãy số thực

Một hàm số u : N*  R được gọi là một dãy số thực

Cĩ 3 cách cho một dãy số : cho bằng cách liệt kê các phần tử của dãy ; cho bằng cơng thức của số hạng tổng quát; cho bằng cơng thức truy hồi

1.2.Dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn

vv(n) n(k ) u    được gọi là dãy con của dãy số {un}

Ví dụ 2: Dãy số: , , , , và dãy số 1, , , ,1 1 1 1 1 1 ,

của dãy số: 1,1 1 1 1, , , , , , 1

2 3 4 5 n

1.3.Định nghĩa giới hạn của dãy số

số dương  cho trước tùy ý, tồn tại một số nguyên dương N sao cho:

Dãy số  un với una,a R, n  là dãy hội tụ và limun=a

1.4.Các định lí về giới hạn của dãy số

1.4.1.Định lí 1 Giới hạn của dãy số (nếu cĩ) là duy nhất

Chứng minh

Chú ý: Điều ngược lại là khơng đúng Ví dụ : dãy số {(-1)n} bị chặn nhưng khơng hội tụ

1.4.3.Định lí 3 Giả sử: lim(u ) Ln 

Chứng minh (Ta chỉ cần chứng minh (a), chứng minh (b) là tương tự )

Đặt: =L-a>0 tồn tại: N N*, n N         u L L a n N,u a

Chứng minh: Giả sử ngược lại, U > V Khi đĩ cĩ số K R sao cho V < K < U

Đặt N=max{N1N2 thì với n≥N=> vn<L<un (trái với giả thiết)}

2.3.6.Định lí 6 Nếu lim(un)=L thì lim|(un)|=|L|

lim(un+vn)=U+V; lim(un.vn)=U.V

n n

u UNếu V 0 thì lim v V 

Chứng minh

dương N ,N sao cho: 1 2

n 1

Vì lim(v )=V 0 nên lim v = >0 do đó N V

thực A bất kỳ, tồn tại số nguyên dương N sao cho:

n≥N=> un >A, kí hiệu: lim(un)=+

thực A bất kỳ, tồn tại số nguyên dương N sao cho

lim(un+ vn) = + (hay -) 2.1.2.4.T/C 3 : Nếu lim(un) = + và lim(vn) = a > 0, hoặc lim(vn)= + thì lim(un vn) = +

Nếu lim(un) = + và lim(vn) = a < 0, hoặc lim(vn )= - thì lim(un.vn) = -

1 lim 0

Nhận xét

Tính chất

Tổng của hai VCB là một VCB

Tích của hai VCB là một VCB

Tích của một VCB với một dãy hội tụ là một VCB

Tích của một VCB với một đại lượng bị chặn là một VCB

Chú ý: Thương của hai VCB chưa chắc là VCB

Ví dụ : un =5/n và vn=1/n nhưng lim un/ vn=5

2.1.3.2.Vô cùng lớn

(tức là, với mọi M > 0 tùy ý cho trước, tồn tại số nguyên dương N sao cho

tùy ý, tồn tại phần tử uN sao cho : a -  < uN  un  a, n  N

Do đó |un – a | <  , n  N

(b)

3.1.2.Định nghĩa dãy các đoạn lồng thắt

[un+1; vn+1][un ; vn] và lim (vn – un) = 0

3.1.3.Bổ đề Cantor về dãy đoạn thắt

Nếu {[un, vn]} là dãy đoạn thắt thì tồn tại một điểm duy nhất c[un, vn] với mọi n

Chứng minh: Với n là số nguyên dương cố định, ta có: u1<u2< <uk< <vn với mọi k

c, n

Vì ukvn nên cvn Do đó : ancvn  đpcm

3.2.Định lí Bolzano – Weierstrass

giả sử là đoạn [a1, b1] Làm tương tự như trên cho đoạn [a1, b1] ta được đoạn [a1, b1]

Cứ tiếp tục như vậy ta được các đoạn [an, bn] [a2, b2][a1, b1][a, b] và thỏa mãn

2

duy nhất c[an, bn] thỏa lim(an)=lim(bn)=c, với mọi n

nên limx n k c

BÀI 4: TIÊU CHUẨN CAUCHY

4.1.Định nghĩa: Dãy số thực {un} được gọi là dãy Cauchy hay một dãy cơ bản nếu với một số dương  tùy ý, tồn tại số nguyên dương N sao cho:

m, nN  |um – un|<

4.2.Bổ đề : Nếu dãy Cauchy {un} có dãy con {u k n

} hội tụ về L thì un  L

Chứng minh

4.3.Định lý (Tiêu chuẩn Cauchy)

sao cho với mọi m, n  N thì | um – un | <  )

Với m  N thì |um–un|=|(um–L)+(L–un)||um –L|+|un–L|</2+/2 = 

BÀI 5: SỐ e, GIỚI HẠN TRÊN, GIỚI HẠN DƯỚI 5.1.Số e

Xét dãy số un=(1+1/n)n, ta sẽ chứng minh dãy số này hội tụ bằng định lí Bolzano – weirstrass (dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ)

Do đó {un} là dãy số tăng

Từ khai triển của un ta có:

1 2

n

e n

5.2.Giới hạn trên, giới hạn dưới

thì

L được gọi là giới hạn riêng của dãy {un}, L có thể hữu hạn hoặc bằng 

dãy {un}

5.3.Định lí 1 Mọi dãy số thực đều có giới hạn trên và giới hạn dưới, đồng thời

Với quy ước, nếu sup{un, un+1, }=+, n thì lim sup{un, un+1, }=+ và nếu inf{un, un+1, }=-, n thì lim inf{un, un+1, }=-

Chứng minh ( Xem tài liệu tr41)

5.4.Định lí 2 Dãy số thực {un} có giới hạn (hữu hạn hoặc vô hạn) khi và chỉ khi liminf un=limsupun Khi đó: limun=liminf un=lim sup un

Với mọi n, đặt an=inf{un, un+1, } và bn=sup{un, un+1, }

Vì anunbn với mọi n nên suy ra limun= L

Chương 3 HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN HÀM SỐ BÀI 1: BỔ TÚC VỀ HÀM SỐ 1.1.Định nghĩa ánh xạ

Cho hai tập hợp X và Y khác rỗng, ta gọi một ánh xạ f đi từ X vào Y là một quy tắc cho tương ứng mỗi x thuộc X một và chỉ một phần tử y thuộc Y Kí hiệu f :

X  Y, xy = f(x)

X gọi là tập nguồn, Y gọi là tập đích Phần tử y gọi là ảnh của x; phần tử x gọi

là nghịch ảnh của y

1.2.Định nghĩa hàm số một biến số

x|f(x) là một hàm số một biến số xác định trên tập D, x được gọi là biến số độc lập, f(x) được gọi là biến số phụ thuộc, D được gọi là miền xác định của hàm số, tập hợp f(D)={yR/y=f(x), xD} gọi là miền giá trị của hàm số f

Ví dụ Cho hàm số Dirichlet :

1, ( ) 0,

Giả sử y = f(u) là hàm số biến số u đồng thời u = g(x) là hàm số biến số x Khi

đó, y = f{(g(x)} là hàm số hợp của biến số độc lập x thông qua biến số trung gian u

Hàm hữu tỷ :

( ) ( )

1.6.Định nghĩa giới hạn hàm số

1.6.1.Điểm tụ, điểm cô lập của một tập hợp

ta có (x0 -  ; x0+ ) chứa ít nhất một điểm của tập E khác x0

( tức là : (x0-  ; x0+ )  E \ { x0}   )

(tức là : (x0-  ; x0+ )  E = { x0} )

Ví dụ: Cho E = [a, b) thì mỗi điểm x  [a, b] đều là điểm tụ của E

Cho E=(0,2]{3} thì mỗi điểm thuộc [0,2] là điểm tụ, 3 là điểm cô lập của E

1.6.2.Định nghĩa giới hạn hàm số theo Cauchy

Cho X là tập con của tập số thực, x0 là một điểm tụ của x, f là một hàm số xác định trên X Ta nói rằng, hàm số f có giới hạn là L khi x dần đến x0 nếu với số dương

 tùy ý cho trước, tồn tại số dương  sao cho:

1.6.3.Định nghĩa giới hạn hàm số theo dãy của Heine

{xn}  X \ { x0}, limn x n x0 lim (n f x n) L

    

(1) Chứng minh: Sự tương đương của định nghĩa 2.2 và 2.3

 

Với  > 0 tùy ý, tồn tại số dương  sao cho :

xX, 0 < |x – x0| <   |f(x) – L | <  (*)

 

tồn tại số dương  sao cho:

 > 0, x  X : 0 < |x - x0| <   |f(x) – L|   Điều này cũng có nghĩa là

n  N*, xn  X : 0 < |xn - x0| <   |f(xn) – L|  

Điều này trái giả thiết  đpcm

Cho f, g, h là ba hàm số xác định trên tập X, x0 là điểm tụ của X

Neáu : limf(x) L thì lim f(x) | L |

Cho X là tập con của tập số thực, x0 là điểm tụ của tập X  [-, x0), f là hàm

số xác định trên X Ta nói , L là giới hạn bên trái của hàm số f khi x  x0 nếu với 

> 0 tùy ý, tồn tại số dương  sao cho :

Hàm số f có giới hạn tại x0 khi và chỉ khi nó có giới hạn trái, giới hạn phải tại

2.1.2.Định lí 5.1 Giả sử f : (a, b)  R là hàm số tăng trên khoảng (a, b)

2.2 Giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực

2.2.1 Giới hạn tại vô cực

Cho X là tập con của tập số thực không bị chặn trên và f là một hàm số xác

dương  tùy ý, tồn tại số dương A sao cho :

x  X, x < - A  | f(x) – L | < 

Ký hiệu : xlim f x( ) L

 

2.2.2.Giới hạn vô cực tại điểm hữu hạn

Giả sử X là tập con của tập số thực, x0 là một điểm tụ của X, f là hàm số xác định trên X

BÀI 3: Giới hạn vô cực tại vô cực

Cho X là con của tập số thực không bị chặn trên, f là hàm số xác định trên X

lim ( ) ; lim ( ) ; lim ( )

Tổng của hai VCB khi x  x0 là một VCB khi x  x0

Tích của một VCB với một đại lượng bị chặn khi x  x0 là một VCB

Tổng của một VCB với một đại lượng bị chặn khi x  x0 là một VCL

x x

BÀI 4 Vô cùng bé, vô cùng lớn – phần chính

Ta có :

1 sin

Thật vậy, xét hai dãy số

1 2

Vô cùng bé tương đương – Phần chính

Định nghĩa Hai VCB f(x) và g(x) khi x  a được gọi là hai VCB tương đương nếu

Định lí 6.2.1 Giả sử f(x) và g(x) là các VCB khi x  a

Nếu : f(x)  f1(x) và g(x)  g1(x) thì

1 1

( ) ( )

lim lim ( ) ( )

( ) ( )

lim lim 1 ( ) ( )

lim lim lim

sin x x  sinx 

3 4

Định lí 7.2 (Tiêu chuẩn Cauchy về sự tồn tại giới hạn)

Giả sử f là hàm xác định trên tập X và x0 là một điểm tụ của X Khi đó, tồn tại

dương  sao cho : x  X, 0 < |x – x0| <  ,  | f(x) – x0 | < /2

Khi đó, x, x’  X, 0 < |x – x0| <  , 0 < |x’ – x0| <  ta có

|f(x) – f(x’)| = | f(x) – x0 + x0 – f(x’)|  |f(x) – x0| + |x0 – f(x’)| < /2 + /2 = 

() : Đảo lại, cho  > 0 tùy ý Gọi  > 0 là số thỏa điều kiện (1) Giả sử {xn} là một dãy của tập X \ {x0} sao cho lim(xn) = x0 Khi đó, tồn tại số nguyên dương N sao cho :

n  N  |xn – x0| < 

Khi đó, vì xn  x0 , n nên : m, n  N  |f(xn) – f(xm)| < 

Suy ra, {f(xn)} là dãy Cauchy trong R Theo tiêu chuẩn Cauchy về điều kiện hội tụ của dãy số thực thì dãy {f(xn)} hội tụ Đặt lim f(xn) = L Ta sẽ chứng minh

Hàm số f liên tục tại điểm x0  X nếu với  > 0 tùy ý, tồn tại  > 0 sao cho:

xX, |x– x0|<|f(x)–f(x0)|<

Hàm số f liên tục trên tập X nếu nó liên tục tại mọi điểm x  X

1.2.Định nghĩa 2 Cho f là hàm số xác định trên tập các số thực X, x0 là điểm tụ của

x x0

lim f(x) f(x )

1.3.Định nghĩa 3 Cho f là hàm số xác định trên tập các số thực X Hàm số f liên tục

tại điểm x0X khi và chỉ khi {xn}  X, lim xn = x0 limf(xn) = f(x0)

Nếu x0 là điểm cô lập của tập X thì f liên tục tại x0

Hàm số liên tục tại x0 khi và chỉ khi liên tục phải và liên tục trái tại x0

Ví dụ 1.2.1 Xét tính liên tục của hàm số :

1 sin , 0 ( )

1.4.2.Các trường hợp gián đoạn

điểm gián đoạn loại 2 Ta gọi:

  

lim f(x) lim f(x) là bước nhảy

BÀI 2: PHÉP TOÁN TRÊN CÁC HÀM SỐ LIÊN TỤC

|f(x)| là liên tục tại x0; f(x)  g(x) là liên tục tại x0; f(x).g(x) là liên tục tại x0

f(x)

g(x) là liên tục tại x0 , nếu g(x0)  0

2.1.Liên tục của hàm số hợp và các hàm số sơ cấp

2.1.1.Định lí 3.1 ( Liên tục của hàm số hợp)

Chứng minh: Vì f liên tục tại x0 nên {xn}  X, lim xn = x0 limf(xn) = f(x0)

= y0 (*)

Vì g liên tục tại y0 nên từ (*) suy ra

lim h(xn) = lim g[f(xn)] = g(y0) = g[f(x0)] = h(x0)

2.1.2.Định lí 3.2 (Liên tục của các hàm số sơ cấp)

Các hàm số sơ cấp liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của nó

Một số giới hạn liên quan đến số e

Do hàm số x |→ ln(x+1) liên tục (hàm sơ cấp) nên :

eu(x) – 1  u(x) ; au(x)  u(x).lna

BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN

3.1.Định nghĩa Cho hàm số f xác định trên đoạn [a , b], hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] nếu f liên tục trên khoảng (a, b) và liên tục trái tại b, liên tục phải tại a

3.2.Tính chất

3.2.1Định lí 5.1.(Weirstrass)

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] thì

Hàm số f bị chặn trên [a, b]

Hàm số f đạt GTLN và GTNN trên đoạn [a, b]

Chứng minh: Giả sử f không bị chặn trên [a, b] Khi đó, với mọi số nguyên dương n, tồn tại xn thuộc [a, b] sao cho |f(xn)| > n (*)

hội tụ, giả sử : xnk  Do f liên tục nên x0 f x nk f x 0 (1)

Mặt khác, theo (*) thì f x( k n) k n, n Điều này mâu thuẫn với (1)

Vậy f bị chặn trên [a, b]

n

(2) Dãy {xn} bị chặn nên theo định lí Bolzano weirstrass, tồn tại dãy con  xnkhội tụ, giả sử : x k n x0

Tương tự, ta cũng chứng minh được f có GTNN trên [a, b]

3.2.2.Định lí 5.2 (Định lí Bolzano – Cauchy)_ định lí giá trị trung gian

Khi đó, tồn tại ít nhất một điểm c  [a, b] sao cho f(c) = 

Chứng minh: Giả sử f(a)  f(b) và   [f(a), f(b)] Nếu f(a) = f(b) thì hiển nhiên định lí đúng

Xét f(a) <  < f(b) Đặt E = {x  [a, b] : f(x)  }

Vì a  E nên E   Vì E bị chặn trên bởi b nên tồn tại c = supE hữu hạn

Ta sẽ chứng minh f(c) =  Thậy vậy

Nếu f(c) < , do c  b nên c < b Vì f liên tục tại c nên xlimc f x( ) f c( )

 

<  Do

đó, tồn tại số dương  sao cho c +   b và f(x) <  với mọi x  [c, c + ] và vì vậy nên f(c + ] <   c +   E ( điều này có nghĩa là trong E còn có phần tử > c thỏa f(c +) Vô lí vì mọi phần tử của E phải  c do là cận trên đúng của E

Nếu f(c) > , do c  a nên c > a Vì f liên tục tại c nên xlimc ( ) ( )



 

>  Do

đó, tồn tại số dương  sao cho c -   a và f(x) > , x  [c - , c] , vì c = supE nên

này cũng mâu thuẫn

Ví dụ 6.2 ( Cách chứng minh một hàm số không liên tục đều)

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a, b ] thì f liên tục đều trên đoạn [ a, b]

Chứng minh: Giả sử f liên tục trên [a, b] nhưng không liên tục đều trên [a, b] Khi đó có một số  > 0 thỏa:

Mâu thuẫn với (*) Vậy f phải liên tục đều trê [a, b]

Chương 5 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN BÀI 1: ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT 1.1.Định nghĩa đạo hàm đạo hàm một phía

1.1.1.Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số f xác định trên khoảng (a, b) và x0  (a, b) Giới hạn (nếu có) của tỷ số :

0 0

( ) ( )



số f tại điểm x0 Ký hiệu : f’(x0)

0 0

0

( ) ( ) '( ) lim

Nếu đặt : x = x0 + h thì

0 0

Nếu hàm số f có đạo hàm tại điểm x0 thì f gọi là khả vi tại x0

Nếu hàm số f xác định trên (a,b) Ta nói, f có đạo hàm trên (a, b) nếu f có đọa hàm tại mọi điểm thuộc (a, b)

Nếu f’ liên tục trên (a, b) thì ta nói f là khả vi liên tục trên (a, b), hoặc f thuộc lớp C1 trên (a, b)

1.1.2.Đạo hàm một phía

Giả sử hàm số f xác định trên [x0, b) (hoặc (a, x0] ) Nếu tồn tại giới hạn

0

0 0

( ) ( ) lim

( ) ( ) lim

(trái) của hàm số f tại x0

( ) ( ) lim

1.2.Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C), điểm M0(x0, f(x0)) và M(x, f(x)) là hai điểm trên (C)

Nếu x  x0 thì tỷ số

0 0

1.3.Quan hệ giữa đạo hàm và sự liên tục của hàm số

1.3.1.Định lí Hàm số f có đạo hàm tại điểm x0 thì liên tục tại x0

Chứng minh Hàm f có đạo hàm tại x0  0

0 0

0

( ) ( ) '( ) lim

1.3.2.Chú ý: Hàm số liên tục tại điểm x0 thì chưa hẳn có đạo hàm tại x0

Ví dụ : f(x) = |x| liên tục tại x0 = 0 nhưng không có đạo hàm tại 0 ( SV tự CM)

1.4.Các định lí về các phép tính đạo hàm

1.4.1.Đạo hàm của một tổng, tích, thương

1.4.1.1.Định lí 2.1 Giả sử u, v là các hàm số có đạo hàm tại điểm x0 Khi đó, các hàm số :

u + v ; u.v ; c.u (c là hằng số) có đạo hàm tại x0 và

( )

u x

Chứng minh ( Xem giáo trình)

BÀI 2: ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP VÀ HÀM SỐ NGƢỢC

1.Định lí 2.2 Nếu hàm số f : (a, b)  (c, d) có đạo hàm tại x0  (a, b) và hàm số

g : (c, d)  R có đạo hàm tại u0 = f(x0) Khi đó, hàm số h = fg: (a, b)  R có đạo hàm tại x0  (a, b) và :

h’(x0) = (fg)’(x0) = g’(u0) f’(x0) = g’[f(x0)].f’(x0)

Chứng minh: Đặt x = x – x0 ; h = h(x) – h(x0) = h(x0 + x) – f(x0)

Ta có :

h x

2.2.Định lí 2.3.( Đạo hàm của hàm số ngược)

Cho f : (a, b)  (c, d) là hàm số liên tục, đơn điệu ngặt trên (a, b) và g = f-1 là hàm số ngược của f xác định trên (c, d) = f[(a, b)] Nếu f có đạo hàm tại điểm x0 

1 '( )

BÀI 4: VI PHÂN 5.1.Định nghĩa, ý nghĩa hình học và mối quan hệ với đạo hàm

5.1.1.Định nghĩa Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 trên (a, b)

Hàm số có vi phân tại x0 ta cũng nói hàm số khả vi tại x0

Do hàm số y = x có vi phân là dx = x nên ta thường viết : df(x) = f’(x)dx

5.1.2.Ý nghĩa hình học của vi phân

Xét hàm số y = f(x) có đồ thị (C), M(x0, f(x0)) và M’(x’, f(x’)), là hai điểm nằm trên đồ thị (C), trong đó, x’ = x0 + x

Đặt y = f(x0 + x) – f(x0)

Theo ý nghĩa của đạo hàm thì f’(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến MT

Gọi B là giao điểm của AM’ với MT Ta có : ABAM f x '( ) 0  f x'( ) 0  x dy

Vậy, vi phân của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là tung độ giao điểm của tiếp tuyến tại (x0, f(x0)) với đường thẳng : x = x0 + x

d(u.v) = v.du + u.dv

5.3.Tính bất biến của dạng vi phân cấp 1

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0  (a, b), hàm số g có đạo hàm tại y0 = f(x0) imf Đặt h(x) = (gf)(x) = g[f(x)] = g(y)

Ta có : vi phân của h đối với biến y là : dh = g’(y0).dy

Vi phân của y đối với biến x là : dy = f’(x0).dx

Vi phân của h đối với biến x là : dh = g’(y0).f’(x0)dx

Như vậy, trong cả hai trường hợp (coi là hàm theo biến x hay y) ta đều có

dh = g’(y0)dy = g’(y0).f’(x0)dx Tính chất này được gọi là tính bất biến của dạng vi phân cấp 1

BÀI 5: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO 6.1.Định nghĩa đạo hàm và vi phân cấp cao ( Xem giáo trình)

6.2.Đạo hàm cấp cao của một số hàm số



Trong đó,

!

!( )!

i n

n C





(1) Lấy đạo hàm của (1) ta được

0

.

k

i i k i k